La letteratura combinatoria (2)

Quadrati latini

Nel numero delle operazioni combinatorie non rientrano solo quelle che agiscono sugli elementi di un insieme, ma anche quelle che mettono in relazione più insiemi composti di elementi diversi: ciò che si combina in questo caso non sono gli elementi, ma gli insiemi stessi. In termini matematici, dati due insiemi non vuoti A e B, si tratta del prodotto cartesiano A×B (si legge A per B oppure A cartesiano B), che è l'insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartenga ad A ed il secondo a B:

A×B = {(x,y) / x ∈A e y∈B }

Ad esempio, dati gli insiemi A = { a,b,d} e B = {1,2,4}, il prodotto cartesiano vale:

A×B = {(a,1),(b,1),(d,1),(a,2),(b,2),(d,2),(a,4),(b,4),(d,4)}

Tale operazione è esprimibile graficamente mediante schemi bidimensionali, come le tabelle a doppia entrata o la rappresentazione cartesiana:

Il quadrato latino è una classica struttura matematica bidimensionale utilizzata dagli oulipiani in ambito letterario: Un quadrato latino di ordine n è una griglia quadrata di n×n caselle nella quale compaiono n simboli diversi, che soddisfa le seguenti condizioni:
1) in ogni cella della griglia compare un simbolo;
2) in ogni riga e in ogni colonna ciascun simbolo compare una volta sola.

Scambiando tra loro due righe o due colonne, oppure cambiando i simboli di un quadrato latino, si ottiene di nuovo un quadrato latino.

Sul quadrato latino si basa la sestina lirica, inventata nel XIII secolo dal trovatore provenzale Arnaut Daniel e utilizzata, tra gli altri, da Dante, Petrarca, Pound, Ungaretti. La sestina lirica è una struttura costituita da 6 stanze di 6 versi (più 3 di congedo). Una delle regole secondo cui viene costruita prevede che ogni verso termini con una tra 6 parole chiave possibili, le quali non possono comparire due volte nella stessa stanza, né due volte nello stesso verso di stanze diverse. Scrivendo queste parole all'interno di un quadrato, in funzione della stanza e del verso in cui compaiono, si costruisce un quadrato latino.

La cansò di Arnaut Daniel “Lo ferm voler qu’el cor m’intra” può rappresentare bene le proprietà della sestina lirica. Essa si basa su sei parole chiave (intra = entra; cambra = camera; arma = anima; oncle = zio; verga = verga; ongla = unghia), si sviluppa in sei coblas (sestine) con una terzina di chiusura o “congedo”, e procede secondo permutazioni regolari da una sestina all’altra, che creano una sorta di “movimento segreto” paragonabile a quello di una spirale. L’oulipiano Jacques Roubaud ha paragonato lo schema alla “spirale della chiocciola”:

La fermezza che in cuor m’entra
non può becco spezzare a me né unghia
d’invido che sparlando perde l’anima:
non l’osando colpir con ramo o verga,
di frode almeno, ove non avrò zio,
godrò gioia in giardino o dentro camera.

Se ripenso a quella camera
dove, a mio danno so, nessuno entra,
ma ognuno m’è più che fratello o zio,
non ho membro non frema, fosse l’unghia,
come fa il bimbo davanti alla verga:
tanto temo non sia a lei presso all’anima.

Presso al corpo, non all’anima,
e mi prendesse di nascosto in camera,
che più mi piaga il cuore che una verga
ch’ora il suo servo dove ell’ è non entra:
sarò di lei come la carne e l’unghia,
e non darò retta ad amico o a zio.

La sorella di mio zio
mai di più amai né tanto, per quest’anima,
che tanto accosto com’è il dito all’unghia
mi vorrei, se volesse, alla sua camera:
mi ha in mano sua l’amore che in cuor m’entra
meglio che un uomo forte esile verga.

Mai dacché la secca verga
fiorì, e a Adamo seguì nipote e zio,
amor puro così, come in cuor m’entra,
non credo fosse in corpo, e meno in anima:
dovunque stia, all’aperto oppure in camera,
non si scosta il mio cuore da lei un’unghia.

Così afferra sé e s’inunghia
in lei il mio cuore come scorza in verga,
che è di gioia palazzo, torre e camera;
meno i parenti amo, fratello e zio,
che ne avrà in Cielo doppia gioia l’anima,
se alcuno mai perché ama bene v’entra.

Arnaldo invia il suo canto d’unghia e zio
che piaccia a lei che di sua verga ha l’anima
Suo Desiderio, a cui Pregio entra in camera.

(Traduzione da Anticomoderno Due. La sestina, Viella, Roma, 1996).

Lo schema della sestina lirica deriva da una permutazione ottenuta mediante una regolare alternanza d’inversione e progressione (retrogradatio cruciata): si riscrive ogni volta la sequenza prendendo in ordine successivo l’ultima parola, poi la prima, poi la penultima, poi la seconda, ecc.

Il ciclo romanzesco dedicato alla giovane eroina Ortensia - La belle Hortense (1985), L'enlèvement [rapimento] d'Hortense (1987) e L'exil d'Hortense (1990) - del matematico, poeta e drammaturgo Jacques Roubaud, è organizzato secondo le permutazioni della sestina, cioè è diviso in 6 parti di 6 capitoli ciascuna, i cui argomenti vengono ripresi da una parte all'altra secondo lo schema descritto.

Quadrati greco-latini

Una variante del quadrato latino è il quadrato greco-latino: una scacchiera quadrata di lato n con coppie di simboli su ogni casella, disposti in modo che ogni simbolo compaia una e una sola volta in ogni riga e in ogni colonna, e che ogni coppia compaia una e una sola volta. In origine i due quadrati latini venivano riempiti rispettivamente con lettere dell'alfabeto greco e di quello latino, da cui il nome.

Un quadrato greco-latino è una sovrapposizione di due quadrati latini, formati da due insiemi diversi di simboli S₁, S₂, tali da soddisfare la condizione che ciascuna coppia di simboli compare una sola volta nel quadrato. In altre parole, ciascun simbolo del primo insieme deve essere accoppiato con ciascun simbolo del secondo insieme. Se gli insiemi sono formati da n simboli, allora le coppie ordinate e distinte possibili sono n×n = n². Si possono costruire quadrati greco-latini di lato n per ogni n maggiore di 2 e diverso da 6.

Il romanzo La vita: istruzioni per l'uso (Rizzoli, Milano, 1986) dell'oulipiano Georges Perec, che fu definito da Calvino “un evento nella storia del romanzo”, fa un grande uso di quadrati greco-latini. In esso l’autore descrive un immobile parigino (il palazzo all'1 di rue Simon-Crubellier, visto il giorno 23 giugno 1975, verso le 20) composto da 99 stanze, scale e cantine comprese, disposte su 10 piani, come in una scacchiera quadrata di lato 10 (una casella è vuota). Ogni capitolo è riservato alla narrazione di una singola stanza.

Per scrivere l'opera, pubblicata nel 1978, quattro soli anni prima della sua morte, Perec, come risulta dai suoi appunti di lavoro, ha composto 42 liste di 10 elementi ciascuna, corrispondenti a vincoli narrativi (persone, citazioni letterarie, località geografiche, date storiche, mobili, oggetti, stili, colori, cibi, animali, piante, minerali, ecc), le ha divise in 21 coppie e ha attribuito a ognuna un quadrato greco-latino di lato 10, le cui caselle corrispondono alle stanze dell'immobile. Ogni stanza è quindi caratterizzata da 42 vincoli narrativi (contraintes). Sulla griglia il movimento da una casella all’altra, che guida la narrazione, costituisce un’ulteriore vincolo: il passaggio da una stanza/casella all’altra obbedisce al problema topologico-scacchistico detto algoritmo del cavaliere, che consiste, partendo da una qualsiasi delle caselle, nel visitare tutte le altre una volta sola muovendosi come fa il cavallo negli scacchi (due caselle in avanti e una a lato). Esistono diversi tipi di soluzioni/percorsi. Lo schema illustra il percorso scelto da Perec (in blu le caselle/stanze iniziale e finale). La prima e l’ultima mossa del cavallo sono illustrate dal colore dello sfondo:

Continua...