giovedì 30 giugno 2011

Carnevale della Fisica n. 20


Oggi il Carnevale della Fisica celebra la sua ventesima edizione a casa di Storie di Scienza del bravissimo Giovanni Boaga. Il tema scelto è Il Tempo, come al solito non vincolante. Tra i 37 contributi inviati da 24 blogger il lettore troverà stuzzichevoli e formative letture, a conferma che la manifestazione è matura e costituisce un appuntamento irrinunciabile della comunicazione scientifica italiana. Io partecipo con l’articolo sulle censure di Hubble, ma sono uno dei pochi ad essere andato fuori tema. Il padrone di casa è uno dei blogger che più apprezzo e anche questa volta non si smentisce (ad esempio illustra il Carnevale con splendide immagini di capolavori della pittura).

A margine ricordo che proprio il 30 giugno di 106 anni fa usciva il numero degli Annalen der Physik con l’articolo Zur Elektrodynamik bewegter Körper di un impiegato dell’ufficio brevetti di nome Albert Einstein. Non sembra sia passato tanto tempo, vero?

martedì 28 giugno 2011

Le censure di Hubble

ResearchBlogging.orgQuesta storia potrebbe cominciare come inizia una barzelletta: ci sono un americano, due inglesi e un prete belga. Solo che questa non è una barzelletta, ma è il racconto di omissioni e squallide rivalità in campo scientifico, e i protagonisti non sono personaggi qualunque, ma alcuni dei principali astronomi e astrofisici del Novecento. Li presento sinteticamente, con la loro foto, come in un album di figurine.

Il primo personaggio è il più famoso. Si tratta di Edwin Hubble. Americano del Missouri, nato nel 1889, Hubble è considerato uno dei più grandi astronomi della storia, perché le sue scoperte hanno radicalmente cambiato la nostra visione dell’universo. Dal suo osservatorio situato sul Mt. Wilson in California, allora il più potente del mondo, cominciò, a partire dal 1919, una serie di osservazioni che gli consentirono di scoprire che la Via Lattea, fino ad allora considerata corrispondente all’intero universo, è solo una dei miliardi di galassie che lo costellano (1925).

Entro la fine del decennio fece un passo ulteriore, classificando le galassie in base alla loro forma, desunta dalle fotografie ottenute con il telescopio. Una delle immagini più famose della storia della scienza è senza dubbio lo schema a diapason pubblicato da Hubble nel 1936 in The Realm of Nebulae, ma basato su un celebre articolo del 1926 (Extra-galactic nebulae. ApJ, 64, 321). Hubble riconobbe tre principali famiglie in base alla forma: esistono galassie ellittiche, galassie spirali e galassie dalla forma piuttosto caotica, note con il nome di galassie irregolari. Le galassie spirali sono a loro volta distinte in due famiglie separate: la spirali normali e quelle con una struttura centrale allungata, le spirali barrate. Questo schema è ancora utilizzato, anche se in una forma evoluta.

La scoperta fondamentale attribuita a Hubble riguarda tuttavia la legge di proporzionalità tra la distanza delle galassie e il loro redshift, cioè lo spostamento verso il rosso dello spettro delle loro emissioni luminose, fenomeno che accade in genere quando la sorgente di luce si muove allontanandosi dall'osservatore o avvicinandosi a lui (o, analogamente, essendo il moto relativo, quando l'osservatore si allontana dalla sorgente o si avvicina ad essa). In una pubblicazione del 1929, (A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae, PNAS, 15, 168) studiando lo spettro di 46 galassie e in particolare l’effetto Doppler dovuto alle loro velocità relative rispetto alla nostra, Hubble arrivò alla conclusione che tanto più distanti tra loro sono le galassie, tanto maggiore è la velocità con la quale si allontanano reciprocamente. Le osservazioni lo portarono così a concludere, in accordo con le equazioni di Einstein della relatività generale nell’ipotesi di uno spazio omogeneo, isotropico e in espansione, che l’universo si espande uniformemente, con una velocità che calcolò essere di 500 Km al secondo per megaparsec (un megaparsec, un milione di parsec, è una distanza equivalente a 3,26 milioni di anni–luce, così una galassia distante 2 megaparsec si allontana da noi con velocità doppia di una galassia distante un solo megaparsec). Questo valore, chiamato da allora in poi costante di Hubble, è stata in seguito corretto al ribasso ed è attualmente stimato intorno ai 74 km/s per megaparsec, con un margine d'errore del 4,3%.

Hubble, che negli anni ’30 raffinò le sue osservazioni e perfezionò le sue scoperte, fu sempre molto cauto sull’espansione dell’universo, ritenendo che il redshift potesse essere spiegato da cause diverse e ancora ignote rispetto alle reciproche velocità di allontanamento delle galassie. Egli continuò le ricerche dal Monte Wilson e morì di un attacco cardiaco nel 1953. Poco prima aveva fatto in tempo a provare il nuovo e più potente telescopio costruito sul Monte Palomar,

Il secondo personaggio della nostra storia è assai meno noto. Si tratta dell’astronomo inglese John Henry Reynolds (1874-1949). Figlio del sindaco di Birmingham e rampollo di una famiglia di industriali metalmeccanici, privo di studi specifici, un vero dilettante, divenne talmente esperto da essere accolto nel 1907 nella Royal Astronomical Society, di cui divenne presidente tra il 1935 e il 1937. Concentrò i suoi studi sulla forma delle galassie, pubblicando nel 1920 un articolo sulla classificazione delle galassie spirali (Photometric measures of the nuclei of some typical spiral Nebulae, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 80, p.746, June 1920). Le sue biografie riportano poi che egli ebbe una fitta e paritaria corrispondenza con Hubble, il quale avrebbe utilizzato parte delle sue scoperte per elaborare la classificazione dei corpi stellari. La cosiddetta Legge di Hubble-Reynolds, che misura la luminosità superficiale delle galassie ellittiche, celebra il contributo di entrambi in questo specifico campo.

E’ a questo punto che nella nostra storia compare la prima discrepanza dalla storiografia ufficiale. Il dubbio è esposto da David L. Block, della School of Computational and Applied Mathematics dell’Università Witwatersrand di Johannesburg, Sudafrica, e Kenneth C. Freeman, della Research School of Astronomy And Astrophysics dell’osservatorio di Mount Stromlo, Camberra, Australia, nel libro Shrouds of the Night. Masks of the Milky Way and Our Awesome New View of Galaxies, pubblicato da Springer nel 2008 (disponibile online) e recentemente ripreso in un articolo pubblicato su ArXiv. Nel testo in questione, Block e Freeman sostengono che “Hubble aveva una metodologia molto selettiva nel non citare gli scienziati precedenti che potevano aver presentato le idee originali” (Hubble had a very selective methodology of not referencing earlier scientists who may have presented the original ideas). Essi riproducono una lettera di Hubble a Reynolds (purtroppo senza indicazione di data) nella quale l’americano esorta l’inglese a sviluppare uno schema classificatorio delle galassie.


Il frutto di questo invito fu proprio l’articolo di Reynolds del giugno 1920. Sei anni più tardi Hubble pubblicò il suo articolo definitivo sulla classificazione delle galassie che gli valse una grande notorietà, senza minimamente citare Reynolds. Block e Freeman sostengono che Hubble aveva invece studiato attentamente l’articolo di Reynolds, scrivendo sulla copia in suo possesso alcuni commenti a matita (ad esempio, di fianco a ciascuna delle categorie di Reynolds compare la sigla che egli avrebbe poi attribuito alle galassie nel suo schema). Così, Hubble, che arrivò ad accusare di plagio una classificazione proposta indipendentemente dallo svedese Knut Lundmark pochi mesi prima del suo articolo, che invece vi stava lavorando almeno dal 1922, avrebbe eclissato per sempre i meriti di John H. Reynolds!

Un banale caso di rivalità tra scienziati? Di sicuro il giudizio espresso su Hubble da Block e Freeman è abbastanza duro e lapidario, e non sembra giustificato se ci si basa su un solo episodio. Infatti non c’è solo il caso Reynolds nella nostra storia. Prima però è necessario conoscere gli ultimi due protagonisti.

Il terzo personaggio della nostra storia è un altro scienziato inglese, assai più famoso di Reynolds. È infatti nientemeno che Sir Arthur Stanley Eddington, (1882 –1944), grande astrofisico, matematico, altrettanto abile divulgatore, quacchero, pacifista, filosofo e, last but not least, autore di poesia umoristica scientifica. Per la sua biografia completa rimando alla voce di Wikipedia in inglese. Qui mi limito a ricordare che Eddington divenne famoso in tutto il mondo nel 1919, quando, in occasione di un’eclisse di Sole, osservò la curvatura della luce provocata dalla grande massa della nostra stella, fatto che costituì la prima verifica sperimentale della teoria della relatività generale di Einstein. Sulla teoria di Einstein si concentrò anche la sua attività di docente universitario e di divulgatore scientifico: il suo Mathematical Theory of Relativity, pubblicato nel 1923, fu giudicato dallo stesso Einstein come “la miglior presentazione dell’argomento mai pubblicata in qualsiasi lingua”.

Nel campo dell’astrofisica, Eddington si occupò della struttura interna delle stelle, scoprendo la fondamentale relazione tra la massa e la luminosità, calcolò l’abbondanza di idrogeno nelle stelle e produsse una teoria per spiegare la pulsazione delle stelle variabili come le Cefeidi. Su questi argomenti pubblicò nel 1926 The Internal Constitution of Stars, nel quale sosteneva che la fonte dell’energia delle stelle è data dalla trasformazione della materia che le costituisce.

Inutile dire che anche Eddington era in contatto epistolare frequente con Hubble. Ricordiamo anche che Eddington ebbe tra i suoi allievi nell’anno accademico 1923–24 il prete belga che è l’ultimo personaggio della nostra storia.

Eccoci arrivati a Monsignor Georges Henri Joseph Édouard Lemaître (1894–1966), astronomo e professore di fisica all’Università cattolica di Lovanio. Egli è noto per aver per primo proposto la teoria che sarebbe stata chiamata del big–bang sull’origine dell’universo e quella dell’atomo primordiale. Ordinato prete nel 1923, ma già attirato dalla contemporanea vocazione per le scienze, nello stesso anno si laureò a Cambridge in Astronomia. Fu proprio Arthur Eddington a iniziarlo alla moderna cosmologia, all’astronomia stellare e all’analisi numerica. L’anno successivo si trasferì negli Stati Uniti, dove fu attivo all’Osservatorio di Harvard e si iscrisse al MIT per il dottorato in scienze. Nel 1925, tornato in Belgio, divenne assistente a Lovanio e cominciò gli studi che lo portarono all’articolo del 1927 Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques, pubblicato negli Annales de la Société Scientifique de Bruxelles,. In questo articolo, che non ebbe grande rilievo internazionale a causa della poca fama della rivista ospite, Lemaître presentò l’idea di un universo in espansione, arrivando a conclusioni analoghe a quelle di Hubble due anni prima di lui. Egli fornì nell’opera una prima idea della velocità costante di espansione, che egli calcolò, basandosi su osservazioni pubblicate in precedenza, fornendo il valore di circa 625 km/s per megaparsec. In quegli anni Einstein rifiutava totalmente l’idea di un universo in espansione, propendendo piuttosto per uno stato stazionario, al che il nostro prete belga lo apostrofò con la frase “I vostri calcoli sono esatti, ma la vostra fisica è abominevole”. Nello stesso anno Lemaître tornò al MIT ottenendo il PhD con la tesi sul “Campo gravitazionale di una sfera fluida di densità uniforme e invariabile secondo la teoria delle relatività”. In seguito a questo titolo, divenne professore ordinario di astronomia a Lovanio.

Solo nel 1930 Eddington, al quale era stato inviato l’articolo originale, pubblicò nelle Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (MNRAS) un lungo commento all’articolo di Lemaître di tre anni prima, descrivendo le idee dell’astrofisico belga come una “soluzione brillante” ai principali problemi della cosmologia. L’articolo originario fu pubblicato solo nel 1931, in una forma decisamente abbreviata, vedremo come. Invitato a Londra nell’ambito di una serie di incontri della British Association, Lemaître espose in quella sede la sua teoria dell’atomo primordiale, o “dell’uovo cosmico che esplode al momento della creazione”, meglio conosciuta in seguito come “teoria del big–bang”, definizione coniata da Fred Hoyle. Nel 1933, quando riepilogò la sua teoria dell’universo in espansione e pubblicò una versione assai più dettagliata negli Annales di Bruxelles, il mondo finalmente cominciò a riferirsi a lui come a un famoso scienziato ed elemento di spicco della nuova fisica cosmologica.

In questi brevi cenni biografici su Lemaître il lettore si sarà già accorto che l’idea di un universo in espansione fu da lui proposta due anni prima che da Hubble; non solo, perché al prete belga si deve la prima formulazione dell’idea di una costante cosmologica universale, che egli cercò anche di quantificare. Ma, allora, perché si parla ancora di “legge di Hubble” e di “costante di Hubble”? Siamo giunti finalmente di fronte all’ultimo strano aspetto di questa storia.

I diagrammi sotto mostrati si riferiscono alle due dimostrazioni empiriche della pendenza in un diagramma velocità radiale/distanza. Il primo è stato ricavato dai dati sperimentali esposti da Lemaître nell’articolo del 1927, che portano ad ipotizzare una velocità di espansione di 625 km/s /Mpc. Il secondo, universalmente noto, è quello che Hubble pubblicò nel famoso articolo del 1929, Esso mostra una velocità di espansione di 530 km/s /Mpc. Al di là della discordanza su valore numerico da attribuire alla costante di espansione, si concorderà che il diagramma è sostanzialmente identico.

Un altro fatto sconcertante emerge nel libro Discovering the Expanding Universe di Harry Nussbaumer, dell’Istituto Federale Svizzero di Tecnologia di Zurigo e Lydia Bieri, dell’Università di Harvard, Massachusetts. Nel volume, edito nel 2009 dalla Cambridge University Press, è riportata la prova evidente che il testo originale di Lemaître, inviato a Eddington per la traduzione in inglese, fu meticolosamente e pesantemente censurato nelle sezioni riguardanti la discussione e l’uso delle velocità radiali delle galassie. Nell’immagine, le parti evidenziate con il bordo rosso non sono state tradotte nella versione inglese del testo.



Nell’articolo originale, il cui titolo indica chiaramente che il contenuto è il frutto sia di teoria che di osservazione, Lemaître non solo deriva una relazione lineare tra le velocità radiali delle galassie e le loro distanze, ma si prende anche cura di determinare la velocità con la quale l’Universo si espande. Nella versione inglese censurata viene omesso qualsiasi riferimento al suo utilizzo di dati ricavati dall’osservazione, mentre l’articolo originale utilizza accuratamente le velocità radiali di 42 galassie riportate nella tabella I contenuta nell’articolo Analysis of radial velocities of globular clusters and non-galactic nebulae pubblicato dall’astronomo americano di origine svedese Gustaf Strömberg nel 1925. Lemaître converte le magnitudini apparenti m in distanze utilizzando la formula indicata da Hubble nel 1926 (log r = 0.2m + 4.04). Egli ottiene così il valore di 625 km/s/Mpc per la velocità di espansione dell’universo, dato censurato dal traduttore in più punti, tra i quali nell’equazione (24) dell’originale. Nella traduzione inglese, tra l’equazione (23) e la (24) ci sono solo otto parole, con la soppressione completa della prima determinazione empirica del valore della velocità di espansione dell’universo.

Non si sa perché Eddington, o chi per lui, censurò l’articolo del prete belga. Rimane il fatto che i meriti di Lemaître nella storia dell’astrofisica del Novecento furono così ampiamente sminuiti in favore di quelli di Hubble. Il quale, naturalmente, evitò di citare l’opera di Lemaître anche nel suo testo più completo e definitivo del 1936. Nussbaumer e Bieri gli attribuiscono il timore che una gemma potesse cadere dalla sua corona.

David L. Block (2011). A Hubble Eclipse: Lemaitre and Censorship ArXiv DOI: arXiv:1106.3928v1 [physics.hist-ph]

mercoledì 22 giugno 2011

Geometria e geografia: il De dimensione terrae di Caspar Peucer

Il De dimensione terrae di Caspar Peucer (1525-1602) è un piccolo trattato di geografia matematica destinato all’insegnamento all’interno delle facoltà di filosofia: non fa parte certamente delle opere fondamentali della storia della scienza, ma, se ci si interessa delle pratiche scientifiche e pedagogiche, l’opera testimonia l’alto livello raggiunto nel campo della matematica dalle università protestanti del Sacro Impero nel XVI secolo.

Il suo autore, allievo e genero del riformatore Filippo Melantone (ne aveva sposato la figlia Magdalena nel 1550), fu professore di matematica, d’astronomia e medicina all’Università di Wittenberg, poi medico personale del principe elettore Augusto di Sassonia. Tra il 1574 e il 1586 Peucer avrebbe subito una lunga detenzione, legata alle lotte interne al luteranesimo tedesco a causa delle sue posizioni considerate cripto-calviniste.

Il De dimensione terrae, pubblicato a Wittenberg nel 1550, fu in seguito rieditato altre tre volte fino al 1587. L’insieme di queste edizioni s’inscrive nel movimento di grande attività scientifica che conobbero le università luterane tedesche in seguito alla riforma intrapresa da Melantone. Si tratta di un piccolo volume che uno studente poteva acquistare senza spesa eccessiva e che si aggiunge al cospicuo numero di trattati ideati da Melantone stesso o da altri professori di Wittenberg per i corsi propedeutici dei primi anni e riguardanti la fisica, l’astronomia, l’astrologia o la storia. Peucer fu associato assai giovane alla composizione di alcune di queste opere. Il De dimensione terrae è il primo manuale che uscì con il suo nome. Nel 1550 aveva 25 anni e non si era ancora fatto conoscere in campo astronomico e astrologico. Quattro anni dopo, quando apparve una versione riveduta dell’opera, lo statuto del suo autore si era modificato: Peucer aveva pubblicato nel frattempo altri testi ed era appena stato nominato alla cattedra di alta matematica (astronomia) della facoltà di filosofia, carica che mantenne fino al 1560.

La prima edizione del De dimensione terrae era una breve sintesi dei trattati antichi consacrati alla misura della sfera e alla questione della determinazione delle coordinate geografiche, alla quale si aggiungeva uno sviluppo sui metodi per calcolare la distanza tra due località date. La seconda versione torna con maggior dettaglio su questo punto, consacrando diversi capitoli alla conversione delle coordinate geografiche in distanze, con un grado di difficoltà supplementare introdotto nelle dimostrazioni geometriche. Per l’autore è l’occasione per mettere in opera il sapere più recente sulla trigonometria sferica e di citare i nomi di Regiomontanus, Nicolò Copernico e Georg Joachim Rheticus.

Quest’ultimo nome riveste un’importanza particolare. Rheticus, famoso per essere stato il primo discepolo di Copernico e l’editore delle sue opere, aveva dedicato una grande parte del suo lavoro scientifico alla trigonometria piana e sferica. I suoi lavori furono pubblicati solo molto tempo dopo la sua morte, ma è tuttavia assai probabile che egli abbia iniziato qualche collega a questi argomenti durante i suoi soggiorni a Wittenberg. La seconda novità del 1554 è l’aggiunta al testo scientifico di due brevi opere di natura del tutto differente: una descrizione della Terra Santa del XIII secolo di Burchard di Mont-Sion (morto dopo il 1285) e una piccola descrizione dei toponimi biblici, redatta da Melantone. Questa curiosa associazione è stata mantenuta nelle edizioni successive.

Il De dimensione terrae si distingue dalla maggior parte delle opere di cosmografia della sua epoca in quanto produce uno sforzo costante per delimitare e restringere il suo oggetto di studio. Durante il Rinascimento il sapere geografico non costituisce una disciplina chiaramente definita: la descrizione della Terra, secondo la tradizione alla quale appartiene, utilizza metodi diversi. Essa può essere aggiunta a una descrizione generale del cosmo, all’interno della quale la Terra costituisce un oggetto celeste tra tanti, come nel De Spharea Liber di Giovanni di Sacrobosco (ca. 1195-1256), trattato medievale assai di frequente utilizzato nelle università europee del Rinascimento, oppure nella Geografia di Tolomeo (II sec. e.v.), riscoperta in Italia all’inizio del XV secolo e largamente diffusa dalla stampa, che aggiunge alla descrizione di meridiani, paralleli ed equatore l’esposizione di numerose tecniche di proiezione cartografica sconosciute nel Medio Evo. I manuali cosmografici più popolari nel XVI secolo associano questi due aspetti e si basano largamente sul testo di Tolomeo. L’approccio matematico può essere integrato anche da una descrizione testuale di contenuto storico o etnografico, nella tradizione della Geografia di Strabone (I sec. a.e.v.). Questi diversi approcci al sapere geografico, che si combinano più che escludersi a vicenda, hanno in comune la caratteristica di descrivere e non misurare il globo terrestre: si tratta di inventariare e collocare ciò che si trova sulla sua superficie. Nel XVI secolo le tecniche relative alla misura della Terra cominciano appena ad interessare i matematici, con strumenti teorici che rimangono assai rudimentali.

Peucer definisce chiaramente il suo oggetto proponendosi di calcolare le distanze terrestri tra punti conosciuti. L’originalità del De dimensione terrae è così duplice: richiede un sapere attivo nel dominio della matematica e intende applicare questo sapere alla scala del globo. L’opera s’inquadra esattamente in ciò che a partire dal secolo successivo sarà l’oggetto della geodesia: stabilire una rete di punti di riferimento sparsi le cui posizioni sul globo siano conosciute con precisione, sulla quale basare i lavori di misurazione e topografia.

Come la maggior parte dei trattati destinati all’insegnamento a Wittenberg, il De dimensione terrae è fornito di un importante apparato retorico di legittimazione del sapere e delle tecniche utilizzate, sulla scorta degli insegnamenti di Melantone, la cui attività di diffusione del sapere matematico ha una triplice giustificazione. La matematica ha innanzi tutto un’utilità pratica, che la rende indispensabile nella vita quotidiana, come ad esempio nel viaggio, la navigazione, il commercio o la guerra. Essa mette inoltre in opera un modo di ragionamento strettamente logico che costituisce il livello superiore, e auspicabile, del metodo filosofico: la matematica e la geometria costituiscono per lo spirito un allenamento al ragionamento logico e più in generale alla filosofia, che è considerata non come un accumulo di dottrine o di opinioni, ma come un insieme di risultati acquisiti per prova e ragionamento. Infine, la matematica traduce con fedeltà la regolarità dei movimenti celesti, ricordando così che questi fenomeni naturali, che non possono essere dovuti al caso, rivelano un’intenzione divina.

Intesa come Provvidenza, l’azione divina nel mondo si traduce nel mantenimento d’un ordine naturale costante, ma anche per la capacità concessa all’uomo di conoscere quest’ordine. Apprendere e comprendere la matematica riveste una funzione devozionale e meditativa, che Peucer sottolinea con forza: si tratta di ammirare la saggezza divina, di nutrire rispetto nei confronti di Dio. L’incitamento a praticare la matematica in onore di Dio non è pura forma. Esso accompagna la costruzione di un sistema d’insegnamento e di una comprensione del mondo tipicamente luterani.

Matematico, l’oggetto del De dimensione terrae lo è effettivamente, perché Peucer intende insegnare i metodi antichi e moderni di misurare la Terra. In questa prospettiva, il trattato appartiene esplicitamente alla disciplina geografica, nella definizione che allora più spesso vi veniva data nell’università sassone, per la quale la geografia è una descrizione puramente matematica del globo terrestre. Essa dipende in questo senso dal sapere astronomico, che le fornisce l’essenziale dei suoi strumenti concettuali : meridiani, paralleli, equatore sono cerchi immaginari concepiti dall’astronomia greca antica come percezione geometrica e semplificata dei fenomeni celesti, proiettati sulla superficie terrestre. Questa descrizione matematica deve concretizzarsi nella costruzione di carte geografiche. Nella sua definizione melantoniana e nel modo in cui è insegnata a Wittenberg, la geografia non comprende la descrizione testuale, di natura storica o etnografica.

Questo trattato puramente matematico presenta tuttavia la particolarità di giustificare il suo oggetto anche per il suo ruolo riguardo al sapere storico. Le carte devono illustrare la conoscenza del passato: «In realtà, la lettura della storia non dà alcun piacere, non tocca lo spirito, se manca l’osservazione dei luoghi». Secondo Peucer, la geografia deve illuminare la storia, renderla presente, conferirle una forza persuasiva. Questo legame tra conoscenza storica e cartografia può così chiarire l’associazione a un’opera matematica di testi che riguardano la topografia e la toponomastica della Terra Santa: il racconto del pellegrinaggio e il breve trattato sui nomi biblici di Melantone devono ricordare allo studente che la prima cartografia lo si sollecita ad esercitarsi è quella del teatro della sacra scrittura, la prima testimonianza della rivelazione divina al mondo.


Il De dimensione terrae non si attarda sulle questioni di fisica: la classica questione della costituzione fisica della Terra, composta da due sfere inserite l’una nell’altra, terrestre e acquatica, è affrontata in modo rapido solamente perché consente di definire la forma d’insieme della Terra, risultato preliminare indispensabile agli sviluppi geometrici che costituiscono l’essenziale del trattato. Il Rinascimento, seguendo su questo punto gli Antichi, considerava la Terra come una sfera perfetta: è solo a partire dal XVII secolo che i lavori di geodesia si sono preoccupati di definire la forma reale del globo terrestre.

Peucer, all’inizio della seconda parte del trattato, dà la definizione della longitudine e della latitudine. Questa definizione sottintende la semplice comprensione, dal punto di vista geometrico, di ciò che rappresentano le linee immaginarie che sonno i paralleli e i meridiani. Essa consente agli studenti di localizzare su un modello della sfera terrestre, mappamondo o globo, dei punti dei quali sono loro fornite le coordinate. Questo sapere fondamentale, che proviene dalla Geografia di Tolomeo, è una semplice guida per la lettura e la comprensione delle informazioni geografiche.

Ma Peucer vuole condurre i suoi studenti più lontano. È in questa prospettiva che sottolinea che il suo trattato non ha lo scopo di riprendere e spiegare le tecniche di proiezione cartografica trasmesse da Tolomeo. Non si tratta di contestare l’utilità delle carte, la cui elaborazione rimane una meta essenziale del sapere geografico, ma di sviluppare, a monte di ciò, la capacità degli studenti di calcolare da soli certi dati che permetteranno loro di disegnare queste carte. Il proposito di Peucer non è precisamente la descrizione né la localizzazione degli oggetti terrestri, ma la misura delle distanze, stabilite e verificate sistematicamente con il calcolo, tra due punti dati.

La prima parte del trattato di Peucer è dedicata alla ripetizione degli antichi fondamenti della geodesia: il calcolo della circonferenza, del diametro, della superficie e del volume del globo terrestre. Essa permette di ricordare agli apprendisti geografi i nomi di alcuni grandi matematici greci dell’Antichità e di sviluppare con precisione il dettaglio dei calcoli intrapresi. Così egli ricorda il metodo di Eratostene per il calcolo della circonferenza terrestre.

La materia originale dell’opera è concentrata nella seconda parte, nella quale l’autore affronta la questione delle coordinate geografiche, designate con i termini di latitudo e longitudo, di cui dà prima la definizione antica e poi quella moderna. Infatti, nella definizione antica, desunta da Tolomeo, questi termini non designavano soltanto la posizione dei luoghi in rapporto all’equatore e a un meridiano di riferimento, ma anche l’estensione da Nord a Sud e da Est a Ovest del mondo abitato, l’œkoumène. Peucer espone in seguito nei loro aspetti principali le tecniche esistenti per determinare latitudine e longitudine. La determinazione delle coordinate di un punto sulla superficie del globo terrestre passa necessariamente per l’osservazione astronomica. Abbastanza facile per la latitudine, il calcolo della longitudine nel XVI secolo è ancora problematico. Essa si ottiene con l’osservazione concomitante dello stesso fenomeno celeste (ad esempio un’eclisse di luna) in due luoghi distinti. La differenza tra le ore di inizio del fenomeno in ciascun luogo indica la differenza di longitudine, espressa in unità di tempo. Il problema fondamentale attiene alla necessità d’avere in ciascun luogo una conoscenza assai precisa dell’ora e il mezzo di misurare con precisione lo scorrere del tempo. Peucer non si ferma a queste questioni, se non per indicare le tecniche antiche, e relativamente facili da riprodurre, del calcolo della latitudine per mezzo di uno gnomon. Riconosce che la determinazione della longitudine crea incertezze, che richiede tempo e la collaborazione di diverse persone e che è senza dubbio preferibile che gli studenti facciano ricorso alle tavole delle coordinate stabilite da altri.

Si tratta di uno dei pochi passaggi dell’opera nei quali l’autore rinvia gli allievi ai testi di riferimento piuttosto che alla loro riflessione personale. Egli sembra essere consapevole del carattere spesso lacunoso dei dati utilizzati ai suoi tempi per la costruzione delle carte. Il fatto di avere a disposizione un’informazione supplementare poteva però spingere i cartografi ad applicare con maggior prudenza le tavole delle coordinate delle grandi città del mondo che erano riportate dalle edizioni aggiornate della Geografia di Tolomeo e i trattati moderni di cosmografia. Le distanze tra le città erano spesso conosciute in modo approssimativo, sulla base dell’esperienza dei tempi di spostamento da un luogo all’altro. Un risultato ottenuto con il metodo di calcolo proposto da Peucer poteva avere l’effetto di suscitare la sfiducia del cartografo riguardo alle coordinate geografiche trasmesse senza correzione. Il metodo del De dimensione terrae era dunque di ausilio alla verifica di questi dati.

Riguardo alla questione che più gli interessa, cioè il calcolo delle distanza tra due punti conosciuti, Peucer fornisce allora una traduzione geometrica del caso generale. Due punti sulla superficie della terra di cui sono note le coordinate consentono, prolungando sino all’equatore i meridiani sui quali sono situati, di costruire un triangolo sferico che costituisce la base dei calcoli sviluppati in seguito. Un vertice di questo triangolo si trova al polo del globo terrestre. Due lati sono costituiti dai meridiani, prolungati sino all’equatore, sui quali si trovano i punti conosciuti, L’angolo formato al polo del globo terrestre è dato dalla differenza di longitudine tra i due punti. Le distanze rispettive dei punti dal polo e dall’equatore sono conosciute dalle latitudini. Questa configurazione generale consente a Peucer di distinguere poi nove casi di figure, determinati in funzione della posizione dei luoghi conosciuti (sullo stesso parallelo oppure no, sull’equatore, nello stesso emisfero oppure no) e dei diversi triangoli così costruiti. Si tratta sempre di giungere a una risoluzione dei triangoli a partire dagli angoli e delle distanze conosciuti, utilizzando un piccolo numero di teoremi geometrici. Peucer fornisce due comuni definizioni di trigonometria prima di entrare nel dettaglio delle dimostrazioni, quelle di sinus rectus e di sinus totus. Queste definizioni non corrispondono alle funzioni trigonometriche nel significato odierno. Il sinus rectus è la metà di corda d’arco definita da una retta qualsiasi che taglia un cerchio e il suo diametro (che la corda taglia ad angolo retto). Il sinus totus, nella stessa costruzione, è la metà del diametro, o il raggio tagliato dall’arco.

Il trattato prosegue, per ciascuno dei nove casi determinati, in modo analogo: definizione del caso, traduzione in termini di problema geometrico, metodo di risoluzione, infine applicazione a uno o più casi geografici reali. Peucer si cura di spiegare con precisione il suo metodo e di ricordare in ogni caso i teoremi che utilizza. Nell’opera egli però non fornisce alcuna tavola trigonometrica, il che pone il problema di quali tavole utilizzassero gli studenti, anche se sembra probabile che il De dimensione terrae facesse riferimento a quelle di Regiomontanus. Tra i vari teoremi, quelli che interessano strettamente la trigonometria sferica sono assai pochi e sono basati su quelli di Regiomontanus e Copernico. Quest’ultimo è ben conosciuto nell’università sassone, grazie alla mediazione di Rheticus e all’interesse che il De revolutionibus orbium coelestium (1543) ha suscitato tra i matematici dell’ateneo. Il De dimensione terrae sembra comunque utilizzare in modo sistematico e approfondito il trattato di Regiomontanus, che rappresenta alla metà del XVI secolo l’opera di trigonometria più nuova e completa.

Peucer, in realtà, cita un solo teorema di Copernico, che chiama “terzo teorema di Copernico”, senza fornirne il contenuto. Si tratta della terza proposizione del capitolo XIV della prima parte del De revolutionibus, lo sviluppo di un teorema già noto a Tolomeo e utilizzato dal matematico arabo Jabir. I primi tre teoremi di Copernico tratti da Euclide e Copernico nel De revolutionibus sono infatti i seguenti:

Dato il diametro di un cerchio, sono dati anche I lati del triangolo, del quadrato, del pentagono dell’esagono e del decagono che lo stesso cerchio circoscrive”. (“Theorema Primum”);

“È inoltre manifesto che quando è data una corda che sottende un arco, si può trovare quella corda che sottende il resto del semicerchio” (“Porisma” – corollario autoevidente);

“Quando per esempio sono dati il lati del pentagono e dell’esagono inscritti, da questo calcolo è data una linea che sottende un arco di 12°, che è la differenza tra gli archi ed è uguale a 20.905 parti del diametro” (“Theorema Tertium”). Con riferimento alla figura, si ha infatti:

Nella moderna notazione trigonometrica, il calcolo sopra riportato corrisponde alla seguente applicazione della formula di sottrazione:

Il teorema è utile a Peucer in quanto i meridiani su cui giacciono i luoghi geografici conosciuti tagliano l’equatore ad angolo retto e formano un triangolo rettangolo. L’utilizzo ripetuto di questo teorema e la sua citazione sempre allusiva sembrano testimoniare una certa diffusione a Wittenberg dell’opera dell’astronomo polacco, nonostante il fatto che le autorità accademiche proibissero l’insegnamento della teoria eliocentrica. Ciò conferma che i lavori di Copernico erano allora considerati assai seri e che l’astronomo era valutato come uno dei più grandi esperti, a prescindere dall’accettazione delle sue idee cosmologiche.

Il testo del Peucer possiede dunque la caratteristica, allora rara, di distinguere un oggetto di studio effettivamente geografico. Il manuale si differenzia chiaramente dai trattati di cosmografia del XVI secolo, che mescolano di frequente questioni fisiche (la natura del cielo), astronomiche (osservazione degli astri, in particolare per la determinazione delle coordinate), geografiche (suddivisione della sfera terrestre in zone climatiche, inventario sommario dei popoli che l’abitano), tecniche (proiezioni cartografiche) e storiche. Peucer dedica tutta la sua opera all’oggetto terrestre, slegato del suo contesto celeste: si tratta di un passo importante nel processo di costituzione di una disciplina geografica autonoma. L’autore, d’altra parte, restringe il suo studio geografico ad un approccio geometrico della sfera. Questa scelta si può spiegare con il contesto universitario di produzione dell’opera, che sottoponeva gli studenti di filosofia a un cursus studiorum stabilito rigidamente e a un ordine determinato di saperi. L’accresciuta importanza della matematica a Wittenberg ha senza dubbio contribuito in modo considerevole allo statuto della geografia come disciplina autonoma: a Wittenberg la valorizzazione della matematica spingeva a considerare la geografia come esercizio matematico, e non come accumulazione di contenuti di saperi differenti.

Al di fuori del contesto accademico, il De dimensione terrae senza dubbio non è mai stato un manuale di utilizzo corrente tra i cartografi. Nel XVI secolo, solo le carte dedicate a piccole superfici potevano spingere a lavori sistematici di misura e calcolo di distanze con la triangolazione. Quest’ultima faceva ricorso solo alla geometria piana, e cercava di individuare i luoghi gli uni in rapporto agli altri senza utilizzare il sistema di coordinate geografiche. All’opposto, la cartografia a piccola scala applicava il più delle volte dei dati ricavati da realizzazioni cartografiche anteriori e a tavole di coordinate stabilite dagli astronomi. Questo tipo di costruzione cartografica era in gran parte affare di letterati, tra i quali le conoscenze matematiche erano assai ridotte. In entrambi i casi, il metodo proposto da Peucer con lo scopo di verificare con il calcolo l’esattezza delle coordinate geografiche non poteva essere di grande utilità. Fu solo nel XVII secolo che vide la luce una geodesia sistematica, che utilizzava, a piccola o a grande scala, il calcolo delle coordinate e la geometria sferica. Fu sempre all’inizio del Seicento che le università tedesche cominciarono ad affiancare all’insegnamento della filosofia i corsi di matematica applicata diretti a formare ingegneri e geometri, le cui funzioni progressivamente si professionalizzarono. Assai innovativo, sia per il suo oggetto e il suo metodo, sia per l’attenzione che accordava alle novità matematiche del tempo, il De dimensione terrae non poteva trovare un largo pubblico tra i contemporanei.

Fonti principali:

Axelle Chassagnette,  La géométrie appliquée à la sphère terrestreHistoire & mesure [Online], XXI - 2 | 2006, Online since 01 décembre 2009. 

Peucer, Kaspar: De Dimensione Terrae Et Fontibvs Doctrinae Longitvdinis Et Latitvdinis Locorvm, Wittebergae, 1550 - Digitalisierung, Nachweis, Bereitstellung im WWW und Langzeitarchivierung der im deutschen Sprachgebiet erschienenen Drucke des 16. Jahrhunderts (1518-1600) der Bayerischen Staatsbibliothek – MDZ Münchener Digitalisierungs Zentrum.

sabato 11 giugno 2011

L’approssimazione di π nelle Observationes Cyclometricæ di Adam Kochański

ResearchBlogging.orgL’antico problema della quadratura del cerchio, cioè di costruire un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato con un una serie finita di passi usando solo riga e compasso, assillò i geometri per millenni, fino a quando nel 1882 il teorema di Lindemann-Weierstrass dimostrò la sua impossibilità, provando che π è un numero trascendente, cioè non corrisponde ad alcuna radice di polinomi con coefficienti razionali, perciò non è possibile rendere circolare un quadrato o, viceversa, quadrare un cerchio, al punto che oramai la locuzione “quadratura del cerchio” è diventato sinonimo di compito impossibile. E’ invece possibile dare una soluzione approssimata, scegliendo opportunamente rapporti tra numeri razionali che avvicinino il più possibile il valore di π. Numerosi matematici occidentali e orientali, sin dai tempi del papiro di Rhind (ca. 1800 a. C.) hanno fornito diversi metodi per ottenere valori il più possibile vicini. Ad esempio lo stesso papiro approssima il valore a 256/81, mentre Archimede, nel III sec. A. C., dimostrò che il valore cercato si trova tra 3 + 1/7 (circa 3,1429) and 3 + 10/71 (circa 3,1408).

Uno degli studi più noti sul valore approssimato da assegnare a π lo realizzò il gesuita polacco Adam Adamandy Kochański (1631 –1700). Figura importante della cultura del suo paese, studiò filosofia, teologia, fisica e matematica, insegnando in numerose università europee (tra le quali Firenze) e scrivendo opere di meccanica, fisica, matematica e filosofia. Nel 1680, su invito del re di Polonia Giovanni III Sobieswki, futuro vincitore dei Turchi nella battaglia di Vienna (1683), ne divenne il cappellano, matematico, costruttore di orologi, bibliotecario e tutore del figlio Giacomo, cariche che mantenne sino alla morte. Kochański fu in corrispondenza con Hevelius e Liebniz e fu l’unico polacco che all’epoca conoscesse il calcolo degli infinitesimi. Nell’agosto 1685 pubblicò sugli Acta Eruditorum di Lipsia, il primo giornale scientifico stampato in terra tedesca, la sua opera più nota, le Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accommodatae, dedicata appunto a un metodo, dichiaratamente approssimato, per ottenere la quadratura del cerchio. Sull'opera è stata recentemente pubblicato un articolo con il testo latino originale annotato e accompagnato da una traduzione inglese curata da Henryk Fukś del Department of Mathematics della canadese Brock University di St. Catharines, Ontario.

Kochański non fa parte della vasta schiera dei quadratori esaltati e sicuri di sé: al contrario dichiara di esporre un metodo che potrà forse essere migliorato da altri più fortunati di lui, “quam fortasse quispiam felicius excolere poterit, commemorabo”. Nondimeno si è persuaso che certe sezioni di una linea retta, i cui segmenti sono incommensurabili tra di loro e ad altre linee rette in lunghezza e superficie, sono tuttavia commensurabili a parti di aree e circonferenze in lunghezza e superficie; così, trovando la sezione con questo metodo, si può ottenere la quadratura del cerchio geometricamente, o almeno calcolare il rapporto tra diametro e circonferenza con il numero di decimali che si desidera (“ita ut inventa sectione istiusmodi, liceret ex ea Tetragonismum expedire Geometrice, vel saltem rationem Diametri ad Ambitum, in numeris ad lubitum maximis supputare”).

Il metodo si ispira a quello della quadratrice di Dinostrato, cioè la curva trascendente scoperta da Ippia di Elide e utilizzata dal matematico greco Dinostrato (390–320 a.c.) per trovare un quadrato di area uguale ad un cerchio dato. Essa consente di mettere in relazione la lunghezza di una circonferenza con quella di determinati segmenti rettilinei. Ad essa Kochański è giunto, sostiene egli stesso, attraverso la sua pratica meccanica (era infatti un orologiaio provetto). Oltre alla dimostrazione geometrica, il testo fornisce una tabella delle successive approssimazioni aritmetiche, con i decimali espressi per difetto e per eccesso sotto forma di frazioni, come usava allora. L’esame della tabella, secondo l’autore, consente di verificare che la sua costruzione è tanto accurata quanto i risultati ottenuti da Ludolph van Ceulen (1540 – 1610), il matematico che calcolò 35 cifre di π, o del gesuita austriaco Christoph Grienberger SJ (1561 – 1636).


Con riferimento alla figura qui sopra, si parte dal cerchio di raggio unitario centrato in O con OA = OF = 1. Si disegna il cerchio con centro in A (0;0) e raggio 1, che interseca il primo cerchio nel punto B di coordinate . Si costruisce ora il cerchio centrato in B di raggio 1, che interseca il secondo cerchio nel punto . Il segmento CO interseca la perpendicolare ad AO in A nel punto . Ora si costruisce il punto ad una distanza 3 da D. Il segmento EF è allora di lunghezza .

L’approssimazione per π è data da:


Partendo da cerchi di opportune dimensioni, il metodo di Kochański permetterebbe di approssimare geometricamente il valore di π con una precisione mai raggiunta in precedenza.


Fonti:

Henryk Fuks (2011). Observationes Cyclometricæ by Adam Adamandy Kochański – Latin text with annotated English translation ArXiv DOI: arXiv:1106.1808v1

Weisstein, Eric W. "Kochanski's Approximation." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

IZWT - Repertorium Deutscher wissenschaftlicher Periodika des 18. Jahrhunderts – Bergische Universitaet Wuppertal - Acta Eruditorum, Annus 1685 - a pag. 394


Un ricordo di Giorgio Celli: Lode al DNA


Etologo, naturalista, professore universitario e divulgatore scientifico (è stato il conduttore della fortunata trasmissione televisiva di Rai3 Nel regno degli animali), Giorgio Celli, morto oggi nella sua Bologna all’età di 76 anni, poteva vantare anche una lunga carriera letteraria. Ha fatto parte della neoavanguardia con il Gruppo 63, assieme a poeti e scrittori del calibro di Alberto Arbasino, Nanni Balestrini, Umberto Eco, Antonio Porta, Angelo Guglielmi, Giorgio Manganelli, Elio Pagliarani, Edoardo Sanguineti e Sebastiano Vassalli. Interessato al teatro e all'arte, nel 1975 ha vinto il premio Pirandello con l'opera Le tentazioni del professor Faust (Feltrinelli 1976); due sue opere teatrali sono state rappresentate al Festival dei due mondi di Spoleto. Nel 1986 ha curato l'audiovisivo Arte e biologia nel Novecento per la sezione "Arte e scienza" della Biennale di Venezia.

La poesia di Celli è originale sia sul piano stilistico sia per le connessioni con il lavoro del ricercatore e del pubblicista, impegnato ad indagare gli ambiti del sapere scientifico e i suoi possibili legami con la letteratura, il teatro, le arti figurative. La sua parola poetica, al pari dello sguardo scientifico, coglie e riflette le pieghe segrete del reale e della materia. L’Ode al DNA (che Matteo Veronesi ritiene “non indegna, per vigoria di concezione e d’immagini, di stare accanto all’Ode all’atomo di Pablo Neruda”) unisce in un solo respiro poetico la visione dell’universo e della storia "fatta corpo dalle origini", un’epopea della vita che procede dal "caso" alla "norma", dall’ameba all’impresa scientifica.

Lode al DNA

Lode a te
DNA
serpente
che risali a spirale
l’albero del tempo
pallottoliere dei noumeni
per computare l’algoritmo
della vita
sullo spartito del carbonio
coro a tre voci dei geni
nell’oratorio della cellula
tipografia clandestina
che stampi anatomie
sull’arcolaio delle forme
e subdole patologie
come bisturi nelle cliniche
dell’evoluzione
che hai scritto sul libro dell’eone
la storia fatta corpo dalle origini
senza volermi
hai sognato di me
me nell’ameba
me negli echinodermi
me negli pterodattili
me in quel remoto scimpanzé
che abitava un tempo sugli alberi
tu che governi l’uovo nel nido
e l’ovulo nell’utero
che fai danzare l’ape nel suo bugno
che hai suggerito a Platone
nell’età greca dei miracoli
quei Dialoghi
che tu hai scritto di suo pugno
tu che hai aperto un orecchio
alla sordità dell’universo
che hai dischiuso delle pupille
alla cecità siderale delle stelle
che hai ispirato
col ritmo del respiro
i poeti e con le nostre dieci dita
i primi matematici
che hai piantato nei mitocondri d’Eva
il seme di senape
della nostra umanità
che hai piegato il caso alla norma
l’informe alla forma
l’anomia all’identità
ti dobbiamo questa mano che scrive
con la penna o il computer
eredi della selce scheggiata
ti dobbiamo questa intelligenza
Pegaso che si impenna
tra la memorie e l’inferenza
tra il fossile e l’utopia
tra il mito e la scienza.

da Percorsi (2006)

giovedì 9 giugno 2011

Patti e il dodo


SLEEP OF THE DODO

The dodo sleeping, dreaming of himself,
lost in his daily doings. His wife mounted
in a menagerie of mogul extremes.
His children born and slain for sport,
with nary a nod save the wind,
echoing an old dance tune.

Funny squawks: coracoo, coracoo
swept by mist into the grotto,
the sugar plantation. Funny beaks
bobbing the swamp's dreaming pond.
Comic bodies washed up on the craggy
shore. Funny bones, then no more.

The sun hung, bled into the clouds.
God's bloodshot eyes, such sad surprise.
The dodo awoke, and seeing them,
slowly closed his own again.
Out of this world, into the indistinct
memory of a line that had forgotten itself.



IL SONNO DEL DODO
(traduzione di Robin Benatti)

II dodo dormiva, sognando di se stesso,
perso nelle faccende quotidiane. La moglie salì
in un serraglio di titaniche estremità.
I suoi bambini nati e uccisi per sport,
senza un cenno del capo salvo il vento,
riecheggiando una vecchia melodia da ballo.

Bizzarre grida d'uccelli: coracoo, coracoo
spazzate dalla nebbia nella grotta,
la piantagione di zucchero. Bizzarri becchi
muovono su e giù lo stagno sognante della palude.
Buffi corpi gettati dalle onde sulla sponda scoscesa.
Bizzarre ossa, poi nulla più.

II sole restò sospeso, sanguinò nelle nuvole.
Gli occhi di Dio iniettati di sangue, che triste sorpresa.
Il dodo si svegliò, e vedendoli,
chiuse lentamente di nuovo i propri.
Fuori da questo mondo, nella vaga
memoria di una linea che aveva dimenticato se stessa.

Da Patti Smith, Presagi d’innocenza. Poesie, Frassinelli, 2006


domenica 5 giugno 2011

Il calcolo della distanza tra due testi letterari


Un blogger come Popinga che si occupa di scienza e letteratura non può dimenticare come la statistica sia un metodo fondamentale di ricerca anche in campo letterario, in supporto ai tradizionali procedimenti della critica basati sull’analisi stilistica e sullo studio del contesto storico, geografico e culturale. Da più di un secolo il testo letterario è considerato un insieme di elementi che è possibile elaborare con numerosi metodi matematici, che hanno raggiunto una tale raffinatezza da poter essere giudicati affidabili quanto l’analisi delle impronte digitali o il test del DNA utilizzati in campo forense.

L’applicazione dell’analisi statistica ai testi letterari consente diversi tipi di indagine, tra i quali quella che inglesi e americani chiamano “autorship attribution”, cioè l’identificazione dell’autore di un testo di origine dubbia o sconosciuta. Il problema fu oggetto di due studi pionieristici già nel 1887 e nel 1901, quando l’americano Thomas Mendenhall inaugurò la stilometria analizzando la distribuzione della lunghezza delle parole in vari autori, dapprima dimostrando le significative differenze che esistono tra lingue diverse e tra autori differenti (nel caso di Dickens e Thackeray), poi studiando i testi di Shakespeare, Bacon e Marlowe, ricavandone una serie di istogrammi di distribuzione di frequenza. Questo secondo studio divenne molto popolare perché evidenziò notevoli differenze tra l’istogramma riferito a Shakespeare e quelli di molti suoi contemporanei (tra i quali Francis Bacon), ma una sostanziale e impressionante similitudine con quello ricavato dall’analisi dei testi di Marlowe. Il fatto alimentò la secolare discussione sull’identità del genio di Stratford-on-Avon, la cui biografia presenta tuttora importanti lacune (Marlowe fu ucciso in una taverna due settimane prima che fosse pubblicata la prima opera di Shakespeare). L’identità tra i due fu sostenuta con un metodo simile al contemporaneo metodo bootstrap di ricampionamento. Le conclusioni di Mendenhall furono contestate sulla base della scelta dei testi, ma non sono mai state completamente smentite.

In effetti la scelta dei testi da confrontare costituisce una delle operazioni più delicate dell’analisi stilometrica, per una serie di comprensibili motivi: lo stile di un autore può maturare e arricchirsi durante la sua carriera artistica, e perciò, più che analizzare la costanza di determinati caratteri nell’intera opera, è più utile considerare il loro valore statistico considerando la data di produzione. Inoltre un autore può utilizzare diverse forme letterarie, come la prosa e la poesia, che presentano diverse proprietà statistiche. In questi casi è necessario un appropriato lavoro preliminare di scelta e trattamento per evitare che si sopravvaluti una eterogeneità dettata da consapevoli scelte stilistiche. Infine, un’affidabile analisi stilometrica deve considerare tutte le informazioni disponibili sull’opera oggetto di indagine, come la data di stesura, e ciò rende necessaria la collaborazione tra esperti di vari campi, come statistici e storici della letteratura e biografi.

Particolarmente interessanti sono quei casi dove il risultato dell’analisi stilometrica consente di identificare un altrimenti inaspettato autore di un’opera, oppure di negare la paternità di un candidato ritenuto probabile, quando tale attribuzione è confermata dalla scoperta successiva di nuovo materiale documentario. Un esempio di tale successo è la smentita dell’attribuzione a Mark Twain delle lettere comparse sul New Orleans Daily Crescent durante il 1861, in cui un certo Quintus Curtius Snodgrass descriveva la sua partecipazione alla Guerra Civile americana nel campo sudista.

I metodi di analisi statistica di un testo letterario messi a punto nel corso degli anni sono numerosi e assai diversificati, sia per quanto riguarda i caratteri presi in esame (lunghezza delle parole, loro distribuzione, frequenza di utilizzo di termini significativi, evoluzione nel tempo del lessico, lunghezza e costruzione delle frasi e dei periodi, ecc.), sia per ciò che concerne il trattamento matematico delle informazioni così ottenute, sia per gli obiettivi che si propone.

Un interessante articolo di Cyrill e Dominique Labbé, intitolato La classification des textes e comparso alla fine di marzo sul bellissimo portale francese Images des Mathématiques del CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) fornisce l’occasione per illustrare una procedura per un calcolo di “distanza” tra i testi, al fine di poter misurare con precisione la prossimità più o meno elevata di ciascuno di essi in rapporto a tutti gli altri.

La distanza tra due testi (intertestuale) si misura come si misura la distanza tra due oggetti nello spazio, con la differenza che l’unità di misura non è il metro, ma la parola. Se si rappresentano i due testi come due insiemi di parole, A e B, si opera la differenza simmetrica AΔB tra i due insiemi, cioè si considera l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A oppure a B ma non appartengono ad entrambi. La proprietà caratteristica, AΔB = {x|x ∈ (A∪B) − (A∩B)}, mostra che si tratta dell'unione dei due insiemi meno la loro intersezione. Si conta quindi il numero di parole diverse tra i due testi.

Come si risolvono le ambiguità? Prendiamo ad esempio i due “testi”:
a) Il neofascista gli disse “Difendiamo la nostra razza”;
b) “Difendiamo la nostra razza”, gli disse il pescatore.
Tranne una parola (neofascista, pescatore), sembrano pressoché uguali, a condizione di ignorare le maiuscole iniziali, la punteggiatura e l’ordine delle parole. Ciò nonostante, esiste un’ambiguità di fondo, che è dovuta all’esistenza di una omografia, cioè di parole con la stessa grafia e significati diversi (la zeta sorda non viene distinta nella lingua scritta da quella sonora). “Razza” è da intendersi nel primo caso come “gruppo di individui che presentano caratteri somatici comuni”, mentre nel secondo caso indica un “pesce marino con corpo dalla forma simile a un rombo, grandi pinne a forma di ali, coda sottile e lunga” (fonte: Dizionario Sabatini-Coletti, edizione on line). In genere queste ambiguità sono risolte dall’esame del contesto, a meno di voler considerare i casi di un neofascista ambientalista o di un pescatore razzista, peraltro nient’affatto da escludersi in questi tempi di gran confusione.

Come si procede allora per il calcolo della “distanza” tra A e B? Definiamo:
- NA e NB: numero delle parole (tokens in inglese) rispettivamente in A e B, o lunghezza di A e B, nel nostro caso 8;
- VA e VB: numero dei “vocaboli” (types in inglese) rispettivamente in A e B. Si tratta della dimensione dei rispettivi vocabolari: ci sono 8 parole differenti in A e 8 in B. V(A,B) è il vocabolario totale di A e B, che consta di 9 parole (10 se consideriamo l’omografia di “razza”).
- FiA e FiB: numero di volte in cui un vocabolo i è utilizzato rispettivamente in A e B. Si tratta degli effettivi o “frequenze assolute” di questo vocabolo. Nel nostro esempio, esse sono tutte 1 tranne che per “neofascista” e “razza” (gruppo umano), che sono assenti in B, e “pescatore” e “razza” (pesce), che sono assenti in A.
- |FiA - FiB|: la differenza assoluta degli effettivi del vocabolo i in A e in B. L’aggettivo “assoluta” significa che non si tiene conto del segno nel risultato. Nell’esempio, la differenza assoluta è 1 per “neofascista” e “pescatore”.
- D(A,B): è la distanza tra A e B. Questa distanza è il numero di parole diverse tra A e B (o viceversa). Per calcolare questa distanza si fa ricorso a una tabella come quella sotto rappresentata.

1difendere (verbo)110
2dire (verbo)110
3gli (pronome)110
4il (articolo)110
5la (articolo)110
6neofascista (nome)101
7nostra (aggettivo)110
8pescatore (nome)011
9razza (1, nome)101
10razza (2, nome)011
Totale884
I vocaboli impiegati in A e B sono collocati in ordine alfabetico nelle prime due colonne. Nella terza e quarta colonna si riportano rispettivamente gli effettivi FiA e FiB. Nella quarta colonna, infine, si riporta la differenza assoluta º FiA e FiB º tra questi due effettivi. Nell’ultima riga si leggono i risultati. La lunghezza di A (NA) come quella di B (NB) è di 8 parole. La distanza assoluta tra A e B è uguale a 4 parole. Queste operazioni si possono riassumere con la formula: (1):
 
E, poiché ci sono 16 parole totali in A e B, la distanza relativa (2) è uguale a 4/16, cioè 0,25:
 
D(A,B) è una distanza euclidea (lunghezza del segmento di retta che unisce due punti). L’aggettivo “euclideo” significa “conforme alla geometria di Euclide” (per un punto passa una sola parallela a una retta esterna a quel punto). Le proprietà di una distanza euclidea sono: 
– l’identità (la distanza tra un punto e se stesso è nulla);
– la simmetria (il risultato è lo stesso sia misurando AB sia misurando BA);
– la disuguaglianza triangolare (il percorso diretto tra A e B è sempre più breve che passando per un punto C non situato sul segmento AB). Queste proprietà hanno importanti conseguenze. Ad esempio si può costruire una rappresentazione grafica di tutte le distanze all’interno di una vasta popolazione di testi, così come si disegna la mappa di una città.
Tornando al nostro esempio, ammettendo perciò che il sostantivo “razza” abbia due significati diversi in A e in B, la distanza tra i due insiemi è di 4 parole su 16, vale a dire 0,25.

Nell’esempio sopra riportato i due testi hanno la stessa lunghezza (lo stesso numero di parole). Come si procede invece a misurare la distanza quando i due testi hanno lunghezze differenti? Supponiamo che B sia più lungo di A (NA < NB). In questo caso si cerca di stimare la distanza riducendo B alla lunghezza di A e sovrapponendo questa riduzione B’ sul testo A. In altri termini la domanda diviene: se B avesse la stessa lunghezza di A, quante parole differenti avrebbero questi due testi?
Definiamo:
U: il rapporto tra le lunghezze di A e di B, cioè la proporzione con la quale bisogna ridurre B per ottenere B’:
EiA(u): l’effettivo teorico, in un testo di lunghezza A, di un vocabolo i appartenente al vocabolario di B. Questo effettivo teorico si ottiene ponderando con U l’effettivo di i in B:
Per ciascuno dei vocaboli di B, la formula (3) permette di calcolare il numero di volte che questo vocabolo apparirebbe se B avesse la lunghezza di A. Sostituendo nella formula (1), l’effettivo di ciascuno dei vocaboli di B con questo effettivo teorico, si ottiene una stima della distanza intertestuale:
Per il calcolo della distanza relativa si sostituisce nella formula (2) NB con la somma degli effettivi teorici, vale a dire con la lunghezza teorica di B’:
 
Il valore di NB’ è all’incirca uguale a NA. La formula (2) diventa:
Si tratta di una stima suggerita da almeno due ordini di motivi. Innanzitutto, gli effettivi in A sono dei numeri interi naturali, mentre gli effettivi teorici in B’ sono dei razionali che si avvicinano a degli interi naturali (sconosciuti). Detto altrimenti, il risultato della sottrazione al numeratore di (4) e (5) comporta dei decimali senza significato, ma che comunque entrano nella misura della distanza. Questi decimali pesano in modo più evidente se il vocabolo considerato ha un numero basso di effettivi (osservati in A e teorici in B’). Ora, in tutti i testi in lingua naturale, i vocaboli che appaiono una sola volta sono sempre più numerosi che quelli che compaiono due volte, che a loro volta sono più numerosi degli effettivi di tre, ecc. Il fatto che nelle formule (4) e (5) si mettono insieme delle differenze assolute non permette a questi “errori” di annullarsi. Al contrario, essi si sommano. Per eliminare questo effetto, Cyrill e Dominique Labbé propongono di eliminare dal calcolo:
 – i vocaboli assenti in A e per i quali l’effettivo teorico in B’ è inferiore a 1. La formula (3) diventa allora:
– la differenza degli effettivi osservati in A e degli effettivi teorici in B quando questo valore è inferiore a 0,5. In effetti, poiché si tratta di stimare un intero, questo risultato equivale a zero. La formula (4) diventa allora:
La formula (5) è completata per integrare questi due elementi.
In secondo luogo, il risultato di (5) è una stima a causa dei postulati che fondano il calcolo dell’effettivo teorico di un vocabolo in B’ (formula 3bis). Questa formula suppone che:
– l’effettivo di un vocabolo aumenta proporzionalmente all’allungamento del testo. Questo postulato vale solo per le parole più frequenti e non specializzate;
– la comparsa di nuovi vocaboli avviene sempre allo stesso ritmo. In effetti, questo ritmo è molto rapido all’inizio del testo – perciò la formula (3bis) non si può applicare a testi troppo corti –, poi scende lentamente verso la fine.
Per questi motivi la formula (5) non è pienamente affidabile quando i due testi comparati non sono di lunghezze troppo diverse e quando la lunghezza del più corto supera il punto a partire dal quale il ritmo di comparsa di nuove parole diviene sensibilmente lineare. Una serie di esperienze indica che:
– i due testi devono avere più di 1000 parole, e che, al di sotto delle 3000, il risultato di (5) può essere instabile;
– il rapporto U deve essere inferiore a 1/10. Più questo rapporto si innalza, più il risultato deve essere esaminato con prudenza;
– entro questi limiti, l’incertezza che pesa sulla distanza stimata è compresa tra ± 1% (con testi superiori a 5000 parole e con U<2) e ± 5% (quando U vale 1/5).
Così calcolata, la distanza intertestuale si rivela uno strumento assai utile per determinare l’autore di un testo di difficile attribuzione o di origine sconosciuta. Tuttavia, i fattori da considerare per chi voglia utilizzare l’analisi statistica per la classificazione di un insieme di testi letterari sono ancora molti (genere, autore, lingua, epoca, tema, ecc.), per cui conviene rimandare all’articolo originale chi voglia approfondire queste tematiche. Non se ne pentirà.