domenica 29 aprile 2012

La matematica di Renzo Butazzi


Era così depresso che quando andava al mare si divertiva solo a fare il morto. Quando morì davvero pensò di essere al mare e si abbronzò.

Era molto depresso: invece di fare le frittelle di riso le faceva di pianto. Qualche maligno diceva che era soltanto avaro: il pianto era più facile da trovare e costava meno.

Non tutte le ciambelle riescono col buco, ma neppure un buco riesce con la ciambella.

Aveva così poche idee, che non le diceva a nessuno per paura di rimanere senza.

L’autore degli aforismi che ho riprodotto è Renzo Butazzi (1928), un Grande Toscano come quell’altro tanto celebrato, solo che lui il cannocchiale lo usa girato dall’altra parte, per guardare splendori e miserie della nostra umanità attraverso le lenti del comico e dell’ironia (e spesso del nonsense). Persona di cultura e ingegno, dagli interessi molteplici, giocoliere di parole, ha collaborato con periodici gloriosi quali il Caffè di Giambattista Vicari (dove ebbe occasione di occuparsi di medicina alternativa), Il Cavallo di Troia, Confini, Il Semplice, Cuore, Satyricon di Repubblica, Comix. Su Il Semplice uscì nel 1996 un suo testo di storia dell’arte che è un vero capolavoro linguistico e comico. Ne riproduco l’inizio:

L'ABBAZZILICA DI PITOSFORI, MONUMENTO ROMANICO

L'abbazzilica romanica di Pitosfori è l'unica abbazia basilischica rimasta pressoché integra fino ai giorni loro. Percorrendo l'involuta che scoscende scosciata lungo il fianco della collina di Monte Pitos, spicca fin da vicinissimo il campanillo invertito a tripla bifora sottratta.
Sulla facciata ecclesiale, in liquirizi bianchi e neri di stile tigresco, rintocca il timpano smandrappato alla buranense, il cui occhio centrale non batte ciglio. La navata principale, che s'all'unghia in tutta la sua vertiginosa larghezza tra le monofore trombate, è preziosamente labirintata dai cenotafi catafratti dei duchi di Pitosforo.

Recentemente ha pubblicato per Sagoma di Varese un delizioso libretto, Il silenzio dell'uovo (2011), biografia letteraria e saggio pseudo-accademico su due poeti dimenticati dell’Ottocento, Torquato e Titina Gazzilloro, fratello e sorella, testo che dovrò procurarmi al più presto per dare maggior spessore alla mia serie sui poeti inesistenti. In rete ho trovato un gustoso estratto del suo vivace e raffinato studio.

Butazzi si è occupato di scienza in più occasioni, come quando scrisse questi pietosi versi nello stile di Edgar Lee Masters (Spoon River Analogy):

Oh, biologo pietoso
prega anche tu
per il fanciullino
morto di freddo
allorché la provetta
cadde, spargendolo,
appena concepito
sul gelido impiantito
del laboratorio.
Lo sfortunato non era neppure
battezzato.

Questa Facoltà di Medicina
Divisione di Cardiochirurgia
ricorda l’eroico sacrificio di
Pelosi Arturo, Belledi Mariuccia e Filotti Antonio.
Animalisti convinti, nemici acerrimi della vivisezione
si sostituirono volontariamente
a un cane e due conigli
in un programma sperimentale
per il trapianto dei cuori di palmito
negli esseri umani.

Qualche giorno fa l’amico Paolo Albani mi ha cortesemente fatto conoscere i componimenti matematici (in prosa) e geometrici (in rima) del Nostro, piccole storie di numeri e altri enti che in qualche modo ricordano l’atmosfera dei miei versi umoristici, facendo di Butazzi un mio plagiario per anticipazione. C’è in questi testi conoscenza e gioco, c’è la consapevolezza che si può parlare di matematica con umorismo senza banalizzarla. Li presento con la certezza che piaceranno al lettore, così come sono sicuro che hanno divertito l’autore mentre li scriveva.

VITA MATEMATICA

Convinto dalla tangente il cerchio cercò di trasformarsi in quadrato. L’angolo invece rifiutò: era sempre stato retto e tale voleva rimanere.

Se cambia l’ordine – suggerì il prodotto ai fattori – facciamo finta di niente: ci risparmiamo un sacco di fatica.

Sarà meglio che usi la spirale, pensò la circonferenza dopo aver avuto l’ennesimo diametro.

Quando andava al circolo il diametro passava sempre per il centro.

Essendo priva di indice la radice quadrata non aveva fatto il servizio militare.

Quella funzione ha un seno iperbolico, osservò il logaritmo leccandosi la mantissa.

La radice di due era molto preoccupata. Ormai erano passati trenta decimali senza che le venisse il periodo. Temeva di essere incinta anche se tutto ciò le sembrava irrazionale.

Quando sss..i didice la cococombinazione, esclamò il triangolo di Tartaglia incontrando il binomio di Newton.

Appena ebbe guardato nella parentesi il coseno pronunciò la diagnosi: c’è un brutto accesso all’integrale fratto. Purtroppo ha una radice cubica e l’estrazione sarà difficile.

Ricomponiti – disse la parentesi al polinomio – Così scomposto ti si vedono i binomi.

L’equazione cercava di risalire alle radici per trovare la propria identità.

Ho detto che sei una bella conica, non una comica, disse il cerchio all’iperbole che stava arrabbiandosi.

L’irrazionalità dei loro esponenti rese molto difficile il confronto tra le due potenze.

Secondo i parametri la variabile era troppo indipendente, ma per fortuna stavano mettendo dei limiti alla sua funzione.

Il Trapezio voleva iscriversi nel circolo del Pentagono ma lo avevano respinto.

Quello che mi fa più soffrire - si lamentava il due - è quando mi estraggono una radice: non finisce mai.

Farci separare non conviene né a me né a te, disse l’uno allo zero.

Sono io, il primo tra i primi, esclamò il due guardando l’uno dall’alto in basso.

Sei troppo irrazionale, ti consiglio l’analisi, suggerì l’algebra all’equazione insoddisfatta.

Appena l’equazione scoprì di avere di avere due membri si precipitò dal dottore.

Io sono l’essere supremo - proclamò la variabile indipendente rivelandosi ai coefficienti - posso assumere qualunque valore nell’infinito.

Non vorrei passare per maniaco – si lamentava l’asintoto – ma non poter mai toccare una curva mi fa impazzire.

Se non glielo spiegavano gli angoli acuti, l’angolo ottuso non riusciva mai a fare un triangolo.

L’angolo piatto è molto utile per mangiarci i gradi.

Ogni volta che le due rette s’incontravano facevano il punto.

Risalendo per i decimali il resto della divisione cercava disperatamente di raggiungere il dividendo.

L’ipotenusa non voleva uscire con i cateti perché erano più piccoli di lei.

Il diametro è molto veloce: fa un giro intero in tre e quattordici, mentre il raggio ci mette il doppio.

Da sempre il numero primo aveva cercato vanamente di farsi in quattro. Finché, sopraffatto dalla frustrazione, si gettò dalle ordinate sfracellandosi sulle ascisse.

In un sistema cartesiano ogni punto del piano è schedato.

Persa la ragione la progressione smise di progredire.

Smarrite tra le infinite soluzioni, le equazioni di primo grado scelsero la sicurezza di un sistema.


GEOMETRIE

Giace curva da stamani
sugli assi cartesiani
l’esponenziale
che si sente male.

L’angolo giro è tondo.
Dorme un sonno profondo,
acciambellato
da quando fu creato.
Non se ne vede niente:
forse è trasparente.

Langue delusa
l’ipotenusa.
Vorrebbe unirsi all’angolo retto,
ma lui si oppone
per farle dispetto.

La parabola
Ha le traveggole:
ci vede doppio,
si crede un’iperbole.

Brulica di parallele l’infinito
che tutte là
si vanno ad incontrare;
come il Mar dei Sargassi
brulica d’anguille
che solo là si vanno ad accoppiare

Un angolo retto,
stancato dall’uso,
cadendo all’indietro
diventa un ottuso.

L’angolo ottuso,
deluso,
di gradi fa abuso.
Si gonfia, si sbraca,
diventa più sciatto:
è un angolo piatto.

Forzuto ed astuto
è l’angolo acuto.
Fa leva,
pian piano si leva,
finché, quando è eretto,
fa l’angolo retto.

Era forse un rettangolo stanco
il trapezio scaleno
che giace sbilenco
sul piano?

Le ultime quattro poesiole geometriche sono state pubblicate su Il Cavallo di Troia nel 1984.

venerdì 27 aprile 2012

Giocando con i narcisi


I wandered lonely as a cloud

I wandered lonely as a cloud
That floats on high o'er vales and hills,
When all at once I saw a crowd,
A host, of golden daffodils;
Beside the lake, beneath the trees,
Fluttering and dancing in the breeze.

Continuous as the stars that shine
And twinkle on the milky way,
They stretched in never-ending line
Along the margin of a bay:
Ten thousand saw I at a glance,
Tossing their heads in sprightly dance.

The waves beside them danced; but they
Out-did the sparkling waves in glee:
A poet could not but be gay,
In such a jocund company:
I gazed -and gazed -but little thought
What wealth the show to me had brought:

For oft, when on my couch I lie
In vacant or in pensive mood,
They flash upon that inward eye
Which is the bliss of solitude;
And then my heart with pleasure fills,
And dances with the daffodils.

(William Wordsworth, 1802)



Adattamento con rima

Solo vagavo come nuvola sospesa
che alta fluttua su colline e valli,
quando di colpo vidi una distesa,
un esercito, di narcisi gialli;
accanto al lago, sotto le fronde,
danzanti alla brezza in lente onde.

Fitti come splendenti stelline
nella Via Lattea tremolanti,
distesi in una linea senza fine
intorno alla baia, lungo i versanti;
diecimila ne vidi con un’occhiata
che ninnavano i capi in danza beata.

Accanto ad essi un ballo d’onde lucenti,
ma essi le superavano in allegria:
un poeta davvero gode i momenti
in tale gioconda compagnia;
Fissavo e fissavo ma poco ho pensato
a qual bene la scena mi ha dato;

ché spesso, quando giaccio per ore
in assente o pensosa attitudine,
essi balenano in quell’occhio interiore
che è la grazia della solitudine;
allora di piacere il mio cuore si sazia
e con i narcisi danza e ringrazia.


Haiku

Solo vagavo,
poi vidi i narcisi,
gioia del cuore.


Maltusiano

Daffodillo è quella cosa
che abbonda in Inghilterra:
pei poeti in quella terra
è assai meglio del narcis.



Cronaca

CLAMOROSA VISIONE DI UN POETA
Diecimila narcisi danzanti visti in un colpo solo durante una passeggiata presso la baia di Glencoyne. La sorella minimizza: “Solo qualche decina”. La polizia interroga l’uomo, sospettato di far uso di sostanze allucinogene.



Limerick scientifico

Vagavo nei campi come nuvola solitaria,
esposta al vento e al capriccio dell’aria,
quando vidi i narcisi
che geni ben precisi
rendono gialli per legge ereditaria.


Abstract

DAFFODILS: A JOY TO THE INWARD EYE
William Wordsworth1
To be published in The Lyrical Ballads Journal, 4, 15, 1802

1 Lake District University, Cumberland, GB

Wandering in the fields, a poet saw 104 daffodils (Narcissus, clade Amaryllidoideae). This article reports on the vision of their dance in the breeze which brought and still brings joy to his inward eye.

mercoledì 25 aprile 2012

Astronomy Domine

Immagine di Titano ripresa il 28 ottobre 2004 
dalla sonda Cassini
Lime and limpid green, a second scene
A fight between the blue you once knew.
Floating down, the sound resounds
Around the icy waters underground.
Jupiter and Saturn, Oberon, Miranda
And Titania, Neptune, Titan.
Stars can frighten.
...
Blinding signs flap,
Flicker, flicker, flicker blam. Pow, pow.
Stairway scare Dan Dare who's there?
Lime and limpid green
The sounds surrounds the icy waters underground
Lime and limpid green
The sounds surrounds the icy waters underground.

(Syd Barrett)

Astronomy Domine è la traccia che apre l’album The Piper at the Gates of Dawn, pubblicato nell’agosto del 1967. La canzone fu composta da Barrett tra il 1965 e il 1966 con l’aiuto dell’LSD. I riferimenti a pianeti e loro satelliti sono dovuti alla consultazione di diversi atlanti astronomici posseduti da Mike Leonard, nel cui appartamento londinese il gruppo si riuniva per provare.

Nel suo viaggio lisergico e spaziale, l’allora leader della band si paragona a Dan Dare, personaggio di un fumetto inglese di fantascienza che esordì nel 1950, pubblicato con il titolo Dan Dare, Pilot of the Future. Le vicende del pilota di astronavi erano ambientate negli allora lontani anni ‘90, ma l’atmosfera è quella del cinema di guerra britannico degli anni ‘50.

Tavola di Dan Dare

Il sogno psichedelico di Barrett e dei Pink Floyd nasce anche da una buona dose di cultura pop, ma i risultati appartengono alla storia della musica.


martedì 24 aprile 2012

Qualche nuova rima scientifica

FONDAMENTI


Desiderio d’evasione
Da due ritti gendarmi custodita,
una |cifra| voleva cambiare vita:
“Il valore assoluto è prigionia!
Se Dio mi dà un segno, vado via!”


Concistoro
Nell'insieme dei cardinali,
nell'edificio solidali,
ciascuno è stato ordinato
e ha il suo posto assegnato.


TRITTICO INGLESE


Entropia al modo di Keats
Eterno, incorruttibile, sopra un’urna greca,
sta Efesto lo zoppo nella sua teca,
forgiando il metallo,
con gesto di ballo,
mentre disordine al mondo Crono reca.


Genetica al modo di Wordsworth
Vagavo nei campi come nuvola solitaria,
esposta al vento e al capriccio dell’aria,
quando vidi gli asfodeli
che l’ordine di alleli
rende gialli per legge ereditaria.


Ecologia al modo di Coleridge
Un vecchio marinaio dall’aria disperata
racconta a tutti la disgrazia capitata:
uccise un uccello marino,
nel parco di Portofino.
Gli costò sequestro e multa salata.

lunedì 23 aprile 2012

La cinica sintesi di Félix Fénéon

Foto segnaletica dopo l'arresto
Personaggio bizzarro, critico d’arte, giornalista, direttore di riviste, scopritore di talenti, Félix Fénéon (1861-1944) è stato una delle figure più influenti del panorama artistico e letterario della Francia a cavallo tra due secoli, pur avendo pubblicato in vita una sola opera individuale, il saggio di 43 pagine Les Impressionnistes en 1886 che diede fama ai neo-impressionisti. La concisione è stata la sua caratteristica costante, come riconobbe Apollinaire scrivendo che egli “n'a jamais été très prodigue de sa prose”. Dal 1881 al 1894 fu impiegato del Ministero della Guerra, apprezzato per la precisione dei suoi rapporti e l’uso perfetto della lingua. Aderì dal 1886 al movimento anarchico, collaborando a diverse riviste libertarie o dirigendole. Nell’Aprile 1894 la sua carriera di funzionario terminò bruscamente perché fu accusato di essere l’autore di un attentato dinamitardo contro il ristorante Foyot di Parigi. Il processo, celebrato nell’agosto dello stesso anno, non riuscì a stabilirne la colpevolezza e fu l’occasione per Fénéon di prendere in giro la corte. Richiesto di spiegare che cosa ci facesse il mercurio trovato nel suo ufficio, che secondo l’accusa poteva servire per confezionare esplosivi, egli si limitò a dire “o per costruire barometri”.

Ritratto di Félix Fénéon realizzato
 da Félix Valloton  (1898)
Rilasciato, fu assunto al periodico progressista Revue blanche, diventandone in breve tempo il redattore capo. La rivista prese posizione nel 1898 in favore dell’ufficiale dell’esercito Alfred Dreyfus, accusato di essere una spia per il solo fatto di essere ebreo, e appoggiò la campagna organizzata da Émile Zola per la sua assoluzione. Durante gli otto anni alla Revue blanche, Fénéon scoprì e valorizzò scrittori del calbro di Jarry, Mallarmé, Apollinaire, Rimbaud, Proust e Schwob, sempre scrivendo recensioni brevissime e linguisticamente perfette. Grande falsario, utilizzava una serie di pseudonimi in tutti i suoi scritti, sulla Revue e sui numerosi altri periodici ai quali collaborò.

Nel 1906 iniziò a scrivere per il Matin, pubblicando in forma anonima quasi mille e cinquecento Nouvelles en trois lignes, che comparivano ogni giorno in numero variabile sulle colonne del quotidiano. Si tratta in gran parte di resoconti di fatti di cronaca (talvolta inventati), condensati in poche righe e tra i cento e i centocinquanta caratteri tipografici, secondo una formula che si può sintetizzare come una riga per l'ambiente, una per la cronaca, una per l'epilogo. Nel vincolo autoimposto della brevità, quasi come nella scrittura di un haiku, Fénéon dà prova di grande maestria linguistica, creando immagini davvero indimenticabili, come in questo esempio, da molti considerato uno dei suoi capolavori:

Un colpo apoplettico ha steso il signor André, 75 anni, di Levallois, nei paraggi del pallino. La sua boccia rotolava ancora, e lui non c’era più.

Paul Signac, Sur l'émail d'un fond rythmique de mesures et d'angles, de tons et de teintes, 
Portrait de M. Félix Fénéon en 1890, Opus 217
L’effetto di queste piccole storie, spesso truculente, descritte con una certa dose di cinismo e con stile apparentemente anodino e oggettivo, è, di volta, in volta, paradossale, straniante, epigrammatico, feroce, ironico e divertito. Un vero capolavoro di sintesi, in cui l’azione è figlia di una virtuosistica sintassi e di una scelta magistrale dei termini:

150 soldati partiti da Rochefort per le manovre sono stati costretti a fermarsi a Cozes. Troppo caldo. E sì che si tratterebbe di truppe coloniali.

Anche le Nouvelles en trois lignes non furono mai raccolte in volume durante la vita dell’autore, che nel frattempo aveva aderito al comunismo dopo la Rivoluzione d’Ottobre del 1917 e si era dedicato all’attività di gallerista e critico d’arte. Solo nel 1948, dopo la sua morte, ne fu pubblicata un’edizione presso Gallimard, curata dallo scrittore, critico ed editore Jean Paulhan, all’interno delle Œuvres de Félix Fénéon. Paulhan aveva trovato tra le carte di Fénéon una cartelletta in cui erano stati incollati tutti i ritagli delle opere minimaliste pubblicate sul Matin nel 1906.

Più di un centinaio di queste sono state scelte, tradotte e pubblicate nel 2009 a cura di Matteo Codignola per Adelphi, con il titolo Romanzi in tre righe. Da questa bella e caldamente consigliata edizione traggo per la delizia del lettore alcune perle:

Tre scioperanti di Fressenneville condannati a pene detentive: uno, due o tre mesi, a seconda del grado di scurrilità delle contumelie rivolte ai soldati.

“Pensavo Peggio!”. Lo ha esclamato – radioso – Lebret, condannato per omicidio, a Rouen, ai lavori forzati a vita.

Arrestato a Saint-Ouen un signore sulla sessantina, certo Gallot. Tentava di inoculare ad alcuni soldati il proprio antimilitarismo.

L’orologiaio Jallat, di Saint-Étienne, ha ucciso la sua bambina, che riteneva di costumi troppo poco morigerati. Va tuttavia considerato che gli rimangono altri undici figli.

Domenica uno sguattero di Nancy, Vital Frérotte, è morto per una sbadataggine. Era appena tornato da Lourdes, definitivamente guarito dalla tubercolosi.

A Clichy un mendicante settantenne, certo Verniot, è morto di fame. Nel suo pagliericcio sono stati trovati 2000 franchi. Ma non bisogna generalizzare.

La signora Olympre Fraisse racconta di essere stata aggredita nel bosco di Bordezac, nel Gard, da un satiro, che avrebbe inflitto ai suoi 66 anni ripetuti, meravigliosi, oltraggi.

Il signor Gauthier aveva sotterrato tre figlie al cimitero di Essarts-le-Roi. Ora ha chiesto che le salme vengano riesumate. Alla conta ne mancherebbe una.

venerdì 20 aprile 2012

Cath Cymraeg tueddu i gorwneud


Non conosco il gallese anche se le lingue minoritarie mi attirano. Per costruire il titolo mi sono divertito con un traduttore automatico English-Welsh (quindi traduzione di una traduzione) a rendere le prime due righe di una filastrocca nostrana che circola da qualche anno e che mi è stata segnalata dall’amica Patrizia Martellini di Evolve or Die.

La metrica è quella che è, e occorreva impiegare grida vendetta, ma c’è un simpatico tentativo di allitterazione alla quarta e all’ultima riga:

Un gatto gallese
portato a esagerare
voleva mangiare
una mole di mele al mese
"Le mangerò con la buccia"
rispondeva seccato
a un'arguta bertuccia
che voleva sapere
quanto tempo occorreva impiegare
per sbucciarla tutta,
quella mole di mele.

Ricordo che, per i chimici e i fisici (e nel Sistema Internazionale delle unità di misura), una mole è la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di unità interagenti (atomi, molecole, ioni, elettroni, fotoni, ecc.) pari al numero di Avogadro, cioè a 6,02 × 1023. Quindi, secondo l’anonimo autore della filastrocca, una mole di mele contiene qualcosa come seicentomila miliardi di miliardi di mele. Per dare un’idea dell’impresa immaginata dal gatto gallese, ostinato e sognatore come tutti i veri celti (diffidare dalle patetiche imitazioni in camicia verde), basta dire che un numero di mele pari a quello di Avogadro (quindi una "mole" di mele) può coprire l’intera superficie terrestre con uno strato alto cinquanta chilometri. Se invece si disponessero tali mele in fila, essa avrebbe una lunghezza pari a circa 20 miliardi di volte il diametro del Sistema solare (pari a circa 80 UA).

La domanda dell’acuta bertuccia merita una risposta: immaginando che un provetto sbucciatore (magari un gatto gallese lo è) impieghi tre minuti per ogni mela, occorrerebbero 3 × 6,02 × 1023 minuti. Poiché in un anno ci sono 60 × 24 × 365 = 525.600 minuti, per tutta l’operazione occorrerebbe un tempo t in anni pari a:


che corrisponde a quasi duecento milioni di volte l’età dell’universo. Ostinati, sognatori e pazienti, i gatti gallesi.

mercoledì 18 aprile 2012

Aritmetica col trucco



ResearchBlogging.org“Tre cavalli stanno galoppando a 27 chilometri all’ora. Qual è la velocità di un cavallo solo?”


Questo è un esempio dei problemi di aritmetica che Anna Khovanova somministra ai suoi giovani allievi nella scuola media dove lavora come istruttrice per le gare di matematica. Per quanto possa essere sorprendente, dato che la Khovanova ha che fare con gli studenti più preparati di una delle migliori scuole del Massachusetts, in molti si fanno ingannare. L’insegnante ha una sua teoria per spiegare questo fatto: sono pochi i ragazzi che a scuola sono davvero abituati a pensare. Essi sono invece addestrati a utilizzare modelli (operazioni, formule, algoritmi, ecc.). A una prima frettolosa occhiata, il problema suona come una semplice divisione, così essi dividono. Una volta sorpresi e gabbati, essi incominciano a prestare più attenzione all’enunciato, e poi ci pensano un poco prima di rispondere. Nessuno ama essere ingannato: ecco perché questi simpatici quesiti sono di grande importanza per motivare gli studenti a prestare attenzione e a riflettere davvero.

La Khovanova, convinta, a ragione, del grande valore didattico di questi problemi e indovinelli, ne ha collezionati un certo numero che ha pubblicato sul suo sito web e sul suo blog. Ecco alcuni di quelli che lei considera i più belli, da infilare qua e là in mezzo alle domande più “serie”:

1. Un bastone ha due estremità. Se ne taglio via una, quante ne rimangono?

2. Anna è madre di due figli. Uno è cresciuto ed è andato ad abitare da solo. Quanti figli ha ora Anna?

3. Un quadrato ha quattro angoli. Se ne tagli uno, quanti angoli avrà la figura restante?

4. A un mercatino di agricoltori ti fermi davanti a una bancarella di mele, dove vedi 20 bellissime mele. Ne compri 5. Quante mele hai ora?

5. La signora Casali ha 2 figli, 3 figlie, 2 gatti e 1 cane. Quanti bambini ha?

6. Il lampadario della mia sala da pranzo ha 5 lampadine. Durante un temporale 2 si sono bruciate. Quante lampadine ci sono ora sul lampadario?

7. Il mio cane Lillo ama i libri. Al mattino ha portato due libri nel suo angolino e tre altri libri alla sera. Quanti libri leggerà stanotte?

8. Ci sono cinque ciotole piene di caramelle sul tavolo. Andrea ne mangia una ciotola di caramelle e Sara ne mangia due. Quante ciotole ci sono ora sul tavolo?

9. Nico aveva 10 mucche. Tutte sono morte tranne nove. Quante mucche sono rimaste?

10. Un paziente ha bisogno di fare tre punture con un intervallo di 30 minuti tra una e l’altra. Supponendo che le punture si facciano istantaneamente, quanto tempo richiederà la procedura?



11. Stai facendo una gara di corsa e superi la persona che era seconda. Che posto occupi ora?

12. Un bruco vuol vedere il mondo e decide di scalare un palo alto 12 metri. Parte tutte le mattine e scala 4 metri in mezza giornata. Poi si addormenta per la seconda metà della giornata, durante la quale scivola giù di 3 metri. Quanto tempo ci metterà il bruco per giungere in cima?

13. Gli esseri umani hanno 10 dita sulle mani. Quante dita ci sono su 10 mani?

14. Quante persone ci sono in due volte due coppie di gemelli?

15. Ci vogliono 3 minuti per far bollire un uovo. Quanto tempo ci mettono a bollire 5 uova?

16. Due amici sono andati a fare una passeggiata e hanno trovato 20 €. Quanti soldi avrebbero trovato se fossero stati in quattro?

17. L’uno per cento dei pesci in un laghetto sono alborelle. Tiro fuori dal laghetto il 10% delle alborelle. Che percentuale di alborelle contiene ora il laghetto?

18. I Martinelli hanno 5 figli. Ogni figlio ha una sorella. Quanti bambini ci sono nella famiglia?

19. Sulla staccionata ci sono dieci corvi. Il contadino spara e ne colpisce uno. Quanti ne rimangono sulla staccionata?

20. Venti ragazzi della tua scuola sono andati in gita a Roma. Durante la gita hanno visitato 20 musei. Quanti musei ha visitato ogni ragazzo?

Molto opportunamente, l’autrice, invece di fornire la risposta corretta a ogni domanda, elenca le risposte sbagliate più frequenti tra i suoi allievi che hanno calcolato prima di pensare.

1. 1 estremità.
2. 1 figlio.
3. 3 angoli.
4. 15 mele.
5. 8 bambini.
6. 3 lampadine.
7. 5 libri.
8. 2 ciotole.
9. 1 mucca.
10. un’ora e mezza.
11. primo.
12. 12 giorni.
13. 100 dita.
14. 16 persone.
15. 5 minuti.
16. 40 €.
17. 90% di alborelle.
18. 10 bambini.
19. 9 corvi
20. 1 museo.

Anna Khovanova sostiene di accorgersi che i ragazzi stanno sbagliando proprio quando li vede mettere mano alla penna e alla calcolatrice, soprattutto quando devono risolvere questo problema:

In media, i conigli incominciano a riprodursi quando hanno 3 mesi e fanno 4 cucciolate al mese. Se metto una coniglietta di un giorno in una gabbia e la tengo un anno, quante cucciolate farà?


Sono convinto che queste domande, che possono essere ripetute dai ragazzi a casa e con gli amici, costituiscono una risorsa didattica da non sottovalutare, anche per il loro carattere ludico. Qualche collega della secondaria di primo grado le utilizza già? Oppure vuol sperimentarle in classe? Qualche lettore conosce altri problemini col trucco da aggiungere all’elenco?

Tanya Khovanova (2012). Tricky Arithmetic talk at the Gathering for Gardner, 2012 arXiv: 1204.3112v1

venerdì 13 aprile 2012

Le Ton Beau de Marot

C’è un libro di Douglas Hofstadter (l’autore di Gödel, Escher, Bach) che ha un titolo francese, è stato scritto in inglese, si occupa di traduzioni e non è mai stato tradotto in nessun’altra lingua per precisa scelta dell’autore Si tratta di Le Ton Beau de Marot, In Praise of the Music of Language, pubblicato nel 1997 da Basic Books di New York. L’autore è conosciutissimo e amato da me e gran parte dei lettori di questo blog, perciò rinvio alla pagina di Wikipedia per una sua biografia. Hofstadter, che è poliglotta e si è occupato di numerose traduzioni, ha scritto questo testo con l’intento di far conoscere le sue "ruminations on the art of translation", che gli forniscono l’opportunità di parlare anche degli argomenti che gli sono più cari, come il linguaggio, le scienze cognitive, l’intelligenza artificiale. In molti hanno considerato questo libro bello quanto GEB, che ha dato all’autore fama e stima pressoché universali.

Il curioso titolo Le Ton Beau de Marot è un gioco di parole. Significa “Il bello stile (o suono) di Marot” (anche se avrebbe più senso anteporre l’aggettivo al sostantivo: le beau ton), ma a un orecchio francese esso suona anche come “Le Tombeau de Marot”, cioè la “La tomba di Marot” (sulla copertina c’è infatti l’immagine di una pietra tombale). In realtà, tombeau possiede altri significati, altrettanto validi nel contesto, che ho trovato grazie alla sempre indispensabile Parolata di Carlo Cinato:
1. (musica) Nei secoli XVII e XVIII, brano di musica strumentale dedicato alla memoria di un personaggio defunto, genere poi ripreso nel secolo XX.
2. (storia, arte) Nelle arti figurative, nome dato in Francia alle rappresentazioni figurative di Cristo morto in grembo alla Vergine.
Ma chi era Marot?

Clément Marot (1497-1544) è considerato uno dei più grandi poeti francesi del Cinquecento. Fu poeta ufficiale della corte di Francia durante il regno di Francesco I . Nell’autunno 1537 scrisse una breve poesia dal titolo A une Damoyselle Malade (A una fanciulla malata), dedicata a Jeanne d’Albret (figlia di Margherita di Navarra), che Hofstadter preferisce chiamare “Ma Mignonne”, dalle due prime parole dell’opera. La poesia, che oggi potremmo definire minimalista, possiede una struttura interessante, perché è composta da 28 versi con 14 distici a rima baciata (AA, BB, CC, ecc.), ciascuno dei quali contiene tre sillabe con l’accento che cade sempre sull’ultima. Inoltre il primo e l’ultimo verso sono uguali e il poeta, che inserisce il proprio nome a circa metà dell’opera, si rivolge alla fanciulla con il “voi” nei primi 14 versi e poi passa al “tu” nei 14 successivi:

A une Damoyselle malade

Ma Mignonne
Je vous donne
Le bon jour.
Le séjour
C'est prison :
Guérison
Recouvrez,
Puis ouvrez
Vostre porte,
Et qu'on sorte
Vistement :
Car Clement
Le vous mande.
Va, friande
De ta bouche,
Qui se couche
En danger
Pour manger
Confitures :
Si tu dures
Trop malade,
Couleur fade
Tu prendras,
Et perdras
L'embonpoint.
Dieu te doint
Santé bonne
Ma Mignonne.

La poesia è l’occasione per Hofstadter per una ponderosa opera (circa 600 pagine) sul significato, i pregi, i difetti, gli errori e la bellezza della traduzione. Per sostenere le sue riflessioni, egli alterna alla trattazione ben 89 diverse traduzioni della poesia (realizzate da amici, studenti, traduttori professionisti e colleghi), in inglese e in altre lingue, presentando un gran numero di variazioni e possibilità di renderla. Da queste versioni parte per trattare dei diversi aspetti del processo di traduzione, da quella letterale a quella libera, dei livelli del linguaggio, dello stile, dei prestiti di parole da una lingua all’altra, dei “falsi amici”, della differenza tra cultura di provenienza e quella di destinazione. A une Damoyselle Malade è così la struttura di base del libro, o il suo tema omnicomprensivo, dal quale talvolta Hofstadter si stacca per affrontare lunghe disquisizioni non connesse direttamente all’argomento principale, ma, com’è nel suo stile, legate ai suoi campi di interesse preferiti: la traduzione poetica dunque è il mezzo per capire il linguaggio, e il linguaggio è il mezzo per capire il pensiero.

Che cosa implica la traduzione secondo Hofstadter? Innanzitutto essa è una creazione di analogie. Essa può essere vista infatti come un’ambizione, “il fedele trasporto di qualche schema astratto da un ambiente [di significato] a un altro ambiente, in altre parole, l’analogia”. Detto altrimenti, se si afferma qualcosa in una lingua entro una determinata cultura, si vuole trovare un modo analogo per dirlo in un altro linguaggio e in un’altra cultura. Di solito non possiamo dire qualcosa esattamente nello stesso modo in due lingue diverse, tuttavia cerchiamo di trovare l’approssimazione più vicina, o un’analogia. Quando traduciamo la frase A di una lingua nella frase B di un’altra lingua, spesso consideriamo frase A = frase B. La realtà è che frase A ~ frase B. Tutti i traduttori lo sanno, ma non sempre agiscono di conseguenza.

Hofstadter sviluppa poi un concetto che definisce frame blend (mescolanza di strutture di riferimento), che così illustra: “Nell’atto della traduzione ci sono sempre due “strutture” – la cultura d’origine e quella di destinazione – che inevitabilmente si mescolano in modi innumerevoli come le idee sono trapiantate da una all’altra. Alcune idee si trapiantano facilmente, altre creano un conflitto, talvolta feroce, altre ancora semplicemente non si spostano, per quanto esse siano spinte”. La traslazione tra strutture di riferimento – lingue, culture, modi di espressione – o persino tra i pensieri di una persona e un’altra, diventa per l’autore un modo per tornare a parlare dei concetti da lui trattati nelle opere precedenti.


La traduzione è qualcosa di significativamente diverso dal mero trasferimento di un testo da una lingua a un’altra: “La scelta principale del traduttore è naturalmente quella della lingua, ma un insieme ugualmente importante di scelte è la combinazione di restrizioni [contraintes] volontariamente assunte. Una restrizione non deve essere rigida o strettamente definita”. Queste restrizioni, che possono riguardare il contesto culturale, quello storico, lo stile, la modalità di fruizione, ecc., costituiscono “il più delizioso grado di libertà aperto al traduttore, ed è ciò che rende la traduzione così aperta e piena di potenziale illimitato per la creatività”. Mi sembra di sentire la frase spesso citata dai membri dell’Oulipo a proposito delle loro contraintes autoimposte: “Un Oulipiano è un topo che costruisce il labirinto da cui si propone di uscire più tardi”.

Hofstadter sostiene in modo convincente che, siccome restrizioni come la rima e il metro influenzano fortemente il contenuto di ogni opera poetica, è un grave errore ignorare questi fattori quando si traducono versi. Secondo lui, la struttura dell’opera è importante tanto quanto il contenuto (se non di più), e i due sono così inestricabilmente intrecciati che diventa imperdonabile ignorarne uno. Sostenendo che il processo di traduzione è un processo fondamentalmente creativo, che comporta scelte importanti del traduttore che richiedono “ingenuità e buon senso”, Hofstadter dichiara, abbastanza decisamente, che al ruolo del traduttore dovrebbe essere assegnato lo stesso peso di quello dell’esecuzione da parte di un interprete di una composizione classica. Su questo assunto, egli rivolge una feroce critica alla traduzione automatica così come è attualmente praticata, dicendo che l’unico modo per avere una macchina traduttrice soddisfacente è quello di sviluppare un programma di traduzione davvero intelligente. Qui siamo nel campo più famigliare a Hofstadter, che è uno dei principali esperti mondiali di intelligenza artificiale.

Hofstadter fornisce così i suoi numerosi esempi di possibili traduzioni della piccola poesia di Clément Marot, da quella letterale a quella in stile rap urbano, da quella in stile elisabettiano (filologicamente più rigorosa), a quella in cui la bimba malata diventa una mucca. C’è, in tutto questo campionario, un’altra componente che l’autore non manca di sottolineare: la traduzione è anche una sfida creativa, e può essere un divertimento per chi la fa. Così, con un acuto anagramma, Hofstadter sostiene che TRANSLATION è anche LOST IN AN ART, l’arte della traduzione, appunto.

Al tema principale della traduzione Hofstadter ne mescola uno strettamente personale, che è probabilmente all’origine del suo rifiuto di autorizzare traduzioni: la perdita della moglie Carol per un tumore cerebrale mentre egli procedeva alla scrittura del libro. In questo contesto, la poesia dedicata a una fanciulla malata acquista un altro significato, profondamente e tragicamente personale, anche se le traduzioni di “Ma Mignonne” erano incominciate prima ancora che la malattia fosse nota. Il libro è dedicato alla moglie deceduta con l’appellativo Ma Rose, mentre egli si definisce Ton Beau. Carol è stata anche l’autrice di una delle versioni della poesia di Marot, scritta in ospedale in un giorno di primavera. Eccola.

Chickadee
Carol Hofstadter

Chickadee,
I decree
A fine day.
Dart away
From your cage
And engage
In brave flight,
So you might
Flee the croup.
Hope you swoop
Into ham,
Apple jam,
And French bread,
Or instead
You will lose
The bright hues
Of your plumes.
Flu consumes
Scrawny birds;
Heed my words
And take care.
Slip the snare
That does pinch
My wee finch.
Hopes abound
That aground
You won’t be,
Chickadee.

Scrive l’autore: “Chickadee [la cincia americana] è una bella esplorazione del concetto di “uccello”, dall’inizio alla fine. L’idea di sostituire la prigione metaforica [dell’originale] con una gabbia (cage), per esempio, è affascinante ed elegante, come lo è la trasformazione della perdita di colore dalla pelle alle piume. L’uccello che scende in picchiata, beccando pezzi di cibo a metà volo, è un’altra immagine carina, un frame blend per eccellenza, che mi ricorda un’immagine simile che lei propose una volta (…). A mio giudizio, gli ultimi sette versi di Chickadee sono ben congegnati e incantevoli. Devo dire, poiché sento la sua dolcezza, il mio occhio scivola sulla sua forma elegante, che non posso fare a meno di sentire che questa poesia è tra le più belle e tenere di tutte le “Ma Mignonne”. Ma poi, sono di parte – l’amavo così tanto, e continuo a farlo, giorno dopo giorno”.

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Ovviamente, considerata la mia fedina penale poetica, condivido il parere di Hofstadter sulle potenzialità creative e ludiche della traduzione sotto contrainte, e mi sono cimentato in un adattamento in italiano della poesia di Marot, cercando di dedicargli a mio modo un piccolo tombeau. Devo premettere tuttavia alcune considerazioni:
− Il rispetto della contrainte di tre sillabe per verso è, nella nostra lingua, condizione più dura che in francese o in inglese: le nostre sillabe sono di solito più corte e le parole sono in genere composte da più sillabe di quanto avvenga fuori d’Italia. L'amico e lettore Sebastiano Zanetello fa notare come in italiano un verso tronco di 3 sillabe equivale a un verso piano di 4 sillabe (e a un verso sdrucciolo di 5);
− Il risultato non può di certo ambire a un gran valore artistico: si tratta di un gioco di equilibrismo verbale;
− Per adattare il vezzeggiativo mignonne all’italiano, ho dato un nome alla fanciulla malata, Margot, per cercare di avvicinare la rima con il secondo verso “io vi do”, anche se l’accento è differente.
Ecco la mia versione, emendata da Sebastiano:

A una fanciulla malata

Mia Margot
io vi do
il buondì.
Stare lì
che follia:
l'energia
ritrovate,
e schiodate
quella porta,
già risorta,
già fremente:
e Clemente
a voi la da.
Ghiotta, sì, va
la tua bocca,
quando tocca
e si arrischia
nella mischia
dei babà:
se stai là
così fiacca
come biacca
tu parrai,
perderai
vigoria.
Dio ti sia
di buon pro
Mia Margot.


giovedì 12 aprile 2012

Popinga con Pramantha per Libertà è cultura. A Lamezia dal 14 al 22 aprile


Liberà è Cultura. Momenti per la XIV Settimana della Cultura è il titolo del programma con cui Pramantha risponde ai molteplici stimoli che arrivano da questo intenso mese di aprile 2012, che prevede da sabato 14 a domenica 22 lo svolgimento della XIV Settimana della Cultura promossa dal MIBAC; lunedì 23 la Giornata Mondiale del Libro indetta dall'UNESCO; e lo svolgimento delle attività organizzate per il Mese Mondiale dell'Astronomia (GAM - Global Astronomy Month) al grido significativo di "one people, one sky".

Prodotto da Gianfranca Bevilacqua (Direttore di Pramantha Polis - il Dipartimento Pramantha dall'anima etico-politica), sotto la regia di Maria Rosaria Gallo (Direttore di Pramantha Arteteca), il programma prevede diversi momenti - incontri e manifestazioni in ambito artistico, scientifico, filosofico e sociale - e si svolge in modo dislocato. È rivolto agli studenti degli Istituti Superiori centrali della città di Lamezia Terme (Liceo T. Campanella, Istituto Tecnico Commerciale De Fazio, Istituto Professionale Luigi Einaudi, Liceo Scientifico Galileo Galilei, Liceo Classico Francesco Fiorentino), e al pubblico che amerà prendervi parte - nel caso delle attività che avranno luogo nella sede dell'Arteteca in C.so Giovanni Nicotera 165, e nel caso di CORPO ELETTRONICO Videoarte italiana tra materia, segno e sogno, mostra realizzata dalla Fondazione Rocco Guglielmo (partner culturale di Pramantha in questa avventura), visibile fino al 25 aprile presso il Complesso Monumentale del San Giovanni a Catanzaro.

Libertà è Cultura è il tema conduttore scelto da Pramantha, "un'espressione in cui - afferma Gianfranca Bevilaqua - l'accento posto sul verbo che intervalla le due parole ha, oltre a un valore sintattico, un forte valore simbolico. La miseria affama e toglie la dignità all'uomo. Ma la povertà economica, la crisi, la paralisi della crescita, non sono temi sconnessi da quel bisogno che possiamo considerare imprescindibile per una società civile di sana e robusta costituzione: il nutrimento conoscitivo/culturale, l'unico capace di restituire all'uomo la dignità di essere pensante e creativo; essere capace di capire e trasformare la realtà. In questa ottica, il messaggio sottinteso all'intera chermesse è chiaro: la cultura è lo strumento per affrancarsi dalla schiavitù del potere mortificante". Senza dimenticare - come sottolinea Maria Rosaria Gallo - che non basta fare e fruire cultura, così come non basta fare e fruire arte. Occorre rompere la cintura del silenzio."

Messaggi forti e diretti nel contributo di Pramantha alla XIV Settimana della Cultura. Messaggi magistralmente declinati dal contributo che Popinga ha fatto scaturire dalla sua penna, regalando uno splendido Manifesto all'intera manifestazione e, soprattutto, svelando i reali destinatari dell'intero programma: i giovani uomini e le giovani donne di Lamezia Terme.


lunedì 9 aprile 2012

Breaking News – Il verosimile più vero del vero

8/4/2012, ore 17:50
Fornero: l’Italia non può permettersi la Pasquetta. Domani si lavora. Scuole e uffici pubblici aperti. Code sulle strade dell’improvviso rientro.


8/4/2012, ore 20:33
Veltroni candida Marchionne alle primarie di Torino: "Ha fatto tanto per la città e non possiamo lasciarlo alla destra".


8/4/2012, ore 23:30
Anche la N’drangheta chiede le dimissioni di Renzo Bossi da consigliere regionale lombardo. “Finora si lavorava bene, ora lui ci rovina tutti gli affari”, avrebbe dichiarato un esponente della n’drina intitolata a Don Giussani.


9/4/2012, ore 07:25
Rosy Mauro internata in un Centro di Prima Accoglienza a Gallarate. Anche la sua cittadinanza padana era stata comprata.


9/4/2012, ore 08:18
Luciano Violante: il fascismo fu sconfitto con metodi non democratici. “Si doveva lasciare che Mussolini si presentasse alle elezioni”. Poi critica Pertini ed elogia Almirante, nel nome “del superamento di divisioni che non hanno più senso”.


9/4/2012, ore 08:34
Stefania Craxi difende Renzo Bossi: “Si attaccano i figli per colpire i padri”. Poi elogia Kim Jong-il, Marina Berlusconi, Lapo Elkann e Giuseppe Riina.


9/4/2012, ore 09:24
Monti alla commemorazione di Pippo Franco: “Toglieremo agli italiani il fardello del debito, dovessimo anche farli crepare tutti di fame”. Immediata smentita della Presidenza del Consiglio: “Non ho detto tutti”.


9/4/2012, ore 09.40
Violenta rissa stamane tra bande di balordi all’uscita da una discoteca di Milano. Leggermente ferito Ignazio La Russa.


9/4/2012, ore 10.10
Dopo i recenti scandali nel partito, Maroni ha dichiarato che l’elezione di Miss Padania 2012 si svolgerà a patte chiuse.


9/4/2012, ore 10.12
Il vescovo spagnolo Reig Pla si scaglia contro gli animali domestici: “La loro nudità esibita e la promiscuità sessuale sono un pessimo esempio per i bambini”.


9/4/2012, ore 10.44
Scienza. Clamoroso annuncio di Antonino Zichichi: “CELLA TEVIDIR ATINON DIDIOSE LISCIENZI TROVANOL ODOV’È QUEG MIPAGA APARTI”.



sabato 7 aprile 2012

La matematica della sbucciatura delle arance


ResearchBlogging.orgLa matematica è ovunque, siamo d’accordo. E le arance in Olanda sono amate in modo particolare per via della casata reale degli Orange, che ha lasciato nome e colore alle maglie delle squadre nazionali. Forse per questo motivo a due matematici di università olandesi, Laurent Bartholdi (Gottinga) e André G. Henriques (Utrecht) è venuto in mente di dimostrare un teorema che mette in relazione la sbucciatura di un’arancia con la spirale di Eulero (o di Cornu, o curva clotoide).

Figura 1 -Un’arancia considerata come una sfera di raggio
unitario, con la spirale di larghezza 1/N.
La difficoltà tecnica di sbucciare con un coltello senza errori un’arancia lungo una spirale di larghezza costante è quasi pari all’elaborazione matematica successiva. I due matematici, compiuta l’impresa, si sono chiesti quale formula potesse descrivere la forma della buccia così tagliata e disposta appiattita sul piano di un tavolo.

Vediamo come hanno fatto. Essi hanno parametrizzato la curva spirale per mezzo di una traiettoria a velocità costante, esprimendo la spirale appiattita come funzione del tempo. Ciò si può fare paragonando la rivoluzione della spirale sull’arancia con la spirale corrispondente su un cono tangente la sua superficie (fig.3, sinistra). Una volta nota la curvatura, è possibile derivare un’equazione differenziale della spirale, che si risolve analiticamente.

Figura 2 - La buccia d’arancia appiattita sul piano
Allo scopo di risolvere matematicamente il problema, Bartholdi e Henriques hanno esaminato una sfera di raggio unitario. La spirale sulla sfera è stata considerata di larghezza 1/N (fig.1) La superficie della sfera è 4π, così la lunghezza della spirale è approssimativamente 4πN. I due hanno descritto la buccia d’arancia appiattita a spirale (fig.2) con una curva (x(t); y(t)) nel piano, parametrizzata a unità di velocità dal tempo t = −2πN a quello t = 2πN.

Sulla sfera di raggio unitario, l’area tra due piani orizzontali alle altezze h1 e h2 è 2π (h1 −h2). Ne consegue che, al tempo t, il punto sulla sfera ha altezza s := t/2πN (fig.5).

Il primo obiettivo è ora trovare un’equazione differenziale per (x(t); y(t)). A questo scopo, si calcola il raggio di curvatura R(t) della spirale appiattita al tempo t: questo è il raggio di cerchio con il miglior contatto alla curva al tempo t. Per esempio, R(−2πN) = R(2πN) = 0 ai poli e R(0) = ∞ all’equatore.

Per N grandi, la spirale al tempo t segue approssimativamente un parallelo all’altezza s sull’arancia. La superficie sulla sfera può essere approssimata a un cono tangente il cui sviluppo sul piano è un settore di disco. Il raggio:
del disco è uguale al raggio di curvatura della spirale al tempo t, e può essere calcolato con il teorema di Talete (fig.3, destra). Il raggio R(t) è determinato in effetti senza segno: la scelta dei due ricercatori riflette l’orientazione NE-SO della spirale sulla sfera. Con qualche considerazione analitica e alcuni calcoli che risparmio al lettore (che, se vorrà, potrà fare riferimento all'articolo originale), Bartholdi e Henriques giungono a calcolare per la spirale appiattita la parametrizzazione:


Figura 3. sinistra: Spirale sulla sfera trasferita al cono tangente e 
sviluppata sul piano per calcolare il suo raggio di curvatura; 
destra: Il calcolo del raggio di curvatura R della spirale appiattita.

Considerando poi che cosa succede quando si varia la larghezza della striscia, si vede che ne sono influenzate due proprietà, la dimensione totale e la forma. Con larghezze sempre più piccole, si ottengono spirali sempre più lunghe. Variando la scala di queste spirali in modo che abbiano tutte la stessa dimensione, la loro forma tende a un limite ben definito. Infatti, per N tendente all’infinito, vale a dire se si pela l’arancia con spirali sempre più sottili, si ottiene la curva:


Che è la soluzione (approssimata con lo sviluppo in serie) del classico integrale di Fresnel, definito dalle condizioni che il raggio di curvatura al tempo t sia 1/2t, con la parametrizzazione per t da −∞ to +∞. La curva corrispondente è la spirale di Eulero, o spirale di Cornu (fig.4), che si avvolge all’infinito spesso intorno ai punti  .

Figura 4 - Spirale di Eulero   
Siccome neanche in Olanda esiste un coltello tanto preciso, e un operatore tanto paziente, da poter ottenere una larghezza della spirale prossima allo zero, il che vuol dire con lunghezza prossima all’infinito, i due matematici si sono adattati a stabilire un teorema per descrivere la spirale di buccia d’arancia posata sul tavolo di fronte ai loro occhi. Ponendo  , la condizione |t| << N0.7 diventa |T| << N0.2, così la parte di buccia di larghezza 1/N parametrizzata tra  e è una buona approssimazione della parte della spirale di Eulero parametrizzata tra –T e T.

Figura 5 - Area di una sottile striscia circolare sulla sfera.
La conclusione cui sono giunti Bartholdi e Henriques non è certo di quelle cambiano il mondo, ma ogni tanto c’è bisogno di scoprire la matematica che c’è dietro le piccole cose. Ritengo tuttavia che risultati migliori si sarebbero potuti ottenere utilizzando arance rosse siciliane e non quella della figura 1, che, a occhio e croce, sembra spagnola. La qualità delle soluzioni di un problema dipende dalla qualità delle premesse.

Laurent Bartholdi, & André G. Henriques (2012). Orange Peels and Fresnel Integrals ArXiv arXiv: 1202.3033v1