giovedì 31 gennaio 2013

Matematica e vita nei campi


Pensieri e massime della tradizione matematica contadina

Se si estrae la radice, l’albero muore.

La vacca sterile, come il punto, non ha parti. 

La resa di un campo si moltiplica seguendo la regola dei semi.

Quando devono recintare un campo i contadini chiamano sempre un matematico. Quando vanno al mercato una maestra elementare.

Negli esercizi dei libri di geometria compaiono terreni di forme sconosciute a qualsiasi catasto.

La vita di un matematico di campagna segue l’algoritmo delle stagioni.

Se definisci bene l’insieme puoi contare assieme mele e pere.

I contadini ruotano le colture e traslano i confini.

Del frattale non si butta via niente.

Tutte le domeniche e le feste comandate, alla lunga la funzione è monotona.

Nella cantina di un contadino ci sono sempre moltissimi recipienti di varia capacità per non dover affrontare i soliti problemi sul travaso.

Prima di Fibonacci i conigli si riproducevano molto meno.

Le balle di fieno e stoppie delle mietitrebbiatrici una volta erano cubiche o a forma di parallelepipedo. Oggi anche in campagna è arrivato il pi greco e si fanno cilindriche.

Date a un geometra un terreno da recintare: ne farà delle villette a schiera.

Il primo problema sui grafi che affrontano i bambini è quello del melo con quattro rami, ciascuno con quattro rametti che portano quattro ciliegie. Solo i piccoli portati per la matematica non fanno calcoli, i futuri letterati dicono: 62! I futuri avvocati pensano: "Quanto ci guadagno?".

Le mogli dei contadini hanno strumenti particolari per tagliare le torte. Solo in campagna ti possono offrire i 5/13 di una crostata.

Un antico filosofo di Pavia si chiese quanti chicchi di riso può contenere l’universo. Poi si chiese quanti chicchi ci vogliono per formare un mucchio. Infine affermò che i pavesi dicono sempre il falso. Lo esiliarono in Grecia.

Indicare la retta via attraverso parabole dette in un cerchio ristretto è un’iperbole del cristianesimo.

sabato 26 gennaio 2013

Le domande di Dibattito Scienza alle forze politiche: lo stato dei lavori


Le domande nate dal gruppo Dibattito Scienza, che conta oramai quasi 1400 aderenti (su Facebook e sul sito omonimo), sono state inviate ai leader delle principali coalizioni o partiti che si candidano a governare il paese (Silvio Berlusconi, Pierluigi Bersani, Oscar Giannino, Beppe Grillo, Antonio Ingroia e Mario Monti). Sono state rese note oramai da due settimane e si attendono le risposte entro la fine del mese, in modo da pubblicarle nei primi giorni di febbraio, con un tempo sufficiente affinché vengano conosciute e dibattute prima della data delle elezioni. 

Sembra che sia ancora il caso di precisare che le dieci domande di Dibattito Scienza sono state scelte con un sondaggio tra i membri del gruppo tra quelle che erano giunte dai membri del gruppo stesso. Alcuni temi importanti, come ad esempio gli OGM, la responsabilità degli scienziati, le pseudoscienze sono rimasti fuori, ma era impossibile presentare un numero troppo elevato di temi. I quattro coordinatori, dei quali faccio parte, hanno riunificato, editato, tagliato le varie formulazioni giunte, per rendere il prodotto il più possibile sintetico e presentabile ai candidati, senza suggerimenti di risposta e senza alcun preconcetto ideologico, almeno nelle intenzioni. 

In queste settimane sono all'opera coloro che scherzosamente chiamiamo i mastini, membri del gruppo, in gran parte giornalisti scientifici, che si sono sobbarcati l’ingrato compito di contattare i leader o le loro segreterie, invitandoli a rispondere e rinnovando loro periodicamente l’invito. Il loro ruolo è fondamentale, e va coadiuvato da tutti coloro che, attraverso i Social Network, possono operare per stimolare continuamente, insistentemente, quasi persecutoriamente, la politica a dare un riscontro alle questioni nate dal mondo di chi pratica, divulga, diffonde, utilizza la scienza. Nel momento in cui scrivo sono giunte le risposte di Giannino e Ingroia. 

Quando giungeranno tutte le risposte (sempre che tutti i politici interpellati rispondano, ma ho già ricordato che una mancata risposta è comunque una risposta, interpretabile come scarsa sensibilità o ignoranza rispetto alle tematiche scientifiche), sarà compito dei coordinatori e di altri membri esperti dare una veste facilmente leggibile e confrontabile a testi che potrebbero essere lunghi, generici, dissimili nella forma. Insomma, tutto è pronto o quasi. 

In tutte le fasi che ho ricordato bisogna sottolineare il contributo della redazione de Le Scienze, il cui direttore, Marco Cattaneo, ha messo a disposizione del gruppo la professionalità, l’impegno, la rete di relazioni della più prestigiosa rivista italiana di divulgazione scientifica. 

Ecco le domande: 

1) Investimenti, meritocrazia, trasparenza: quali provvedimenti intende adottare per il rilancio di università e ricerca pubblica? 

2) Quali provvedimenti concreti intende adottare per favorire l’innovazione e l’investimento in ricerca delle imprese private? 

3) Le direttive 20-20-20 definiscono le politiche energetiche europee. Quali azioni concrete intende adottare per garantire all’Italia un piano energetico in grado di migliorare l’efficienza e minimizzare l’impatto ambientale e il costo dell’energia? 

4) Come intende occuparsi della produzione, gestione e smaltimento dei rifiuti solidi urbani, per migliorare l’impatto su ambiente e qualità della vita? 

5) Quali misure concrete intende adottare per la messa in sicurezza del territorio nazionale dal punto di vista sismico e idrogeologico? E quali per stimolare il settore edilizio conciliandolo con la salvaguardia del territorio e la lotta alla criminalità organizzata? 

6) Qual è la sua opinione sull’Agenda Digitale approvata dal precedente governo e quali sono le sue proposte concrete per la diffusione della banda larga in tutto il Paese? 

7) La legge 40 sulla procreazione medicalmente assistita è stata messa in discussione più volte negli ultimi mesi, con diverse sentenze tra cui quella della Corte di Strasburgo. Si impegnerà ad adeguare questa legge alla giurisprudenza italiana ed europea? Qual è invece la sua posizione a proposito del testamento biologico? 

8) Data l’importanza della scienza e della tecnologia nella società contemporanea, quali misure intende adottare, anche a livello scolastico, per favorirne lo sviluppo e contrastare anche il diffuso analfabetismo scientifico e matematico? 

9) Come pensa che il suo governo si debba occupare di modifiche climatiche causate dall’uomo? Quali interventi metterà in atto per la mitigazione e/o prevenzione dell’innalzamento dei gas serra? 

10) Qual è la sua posizione in merito all’uso di animali nella ricerca biomedica? Pensa sia corretto limitare l’uso di alcune specie animali a scopo di ricerca?

 

Concludo con l’augurio che tutte le forze politiche avvertano la necessità di affrontare seriamente le questioni sollevate nelle nostre domande: è un augurio che faccio al futuro del nostro paese.

giovedì 24 gennaio 2013

La mamma di Keplero non si tocca


Tutto ebbe inizio nel 1615 nella cittadina tedesca di Leonberg, a causa di un litigio tra due vicine di casa per questioni d’interesse. Una certa Ursula Reinbold accusò la vecchia Katharina di aver tentato di avvelenarla con un filtro versato in una bevanda. Per di più, qualche tempo dopo, il magistrato locale Lutherus Einhorn, che era cugino dei Reinbold, prese un bella sbornia, durante la quale tentò di costringere Katharina a confessare di essere un strega, minacciandola con una spada puntata alla gola. La signora, allora sessantanovenne (era nata nel 1546), era una donna tutt'altro che remissiva, e decise di intentare una causa civile per aggressione e calunnia contro la famiglia Reinbold. 

La lite era ormai fuori controllo e, come accadeva in quei tempi turbolenti, sconvolti dalle guerre di religione e dalla caccia alle streghe, i dissapori privati divennero un caso che coinvolse il locale tribunale dell’Inquisizione. Katherina fu accusata di essere una strega, coinvolgendo tutta la sua famiglia in una penosa vicenda che durò sei anni. La donna, nata Guldenmann, aveva sposato il mercenario Heinrich Kepler, dal quale aveva avuto una femmina e tre maschi, l’ultimo dei quali si chiamava Johannes e faceva l’astronomo e il matematico dell’Imperatore: Katherina era la madre di Giovanni Keplero. 

Einhorn, magistrato di Leonberg dal 1613 e il 1629, durante la sua carica accusò ben quindici donne di stregoneria, otto delle quali finirono al rogo. Un avversario potente, per di più consapevole che il suo comportamento da ubriaco gli avrebbe potuto procurare seri guai. Egli armeggiò per bloccare la causa civile intentata dalla vecchia e contemporaneamente si attivò per montare una falsa accusa contro Katharina, basata su voci e maldicenze, riuscendo a raccogliere numerose testimonianze contro di lei. Le manovre del magistrato furono agevolate dal fatto che la donna, come conferma lo stesso Keplero nelle sue lettere private, era assai poco cordiale e simpatica, pertanto erano numerose le persone disposte a parlarne male. Contro di lei era anche la storia famigliare: una zia che l’aveva educata era stata bruciata come strega qualche decennio prima. Infine commise l’errore fatale di tentare di corrompere Einhorn durante l’istruttoria. Katharina Kepler fu arrestata. 


Nel dicembre 1616 Keplero tentò di disinnescare la bomba rappresentata dal processo per stregoneria chiedendo e ottenendo dal duca di Württemberg il permesso di allontanare sua madre da Leonberg e di portarla con sé a Linz. Se la madre si fosse rassegnata a restare in Austria presso di lui, probabilmente avrebbe vissuto in pace i suoi ultimi anni. Ma Katharina era una vecchia testarda e battagliera, desiderosa di giustizia per l’aggressione subita e determinata ad affrontare il suo accusatore. Nel 1620 tornò a casa proprio con questi intenti, fino a che, nel mese di agosto di quello stesso anno, fu arrestata di nuovo e imprigionata con 49 capi d’accusa riguardanti la pratica della stregoneria. 

Keplero tornò precipitosamente nel Württemberg, affiancato dall'amico Christopher Besold (Besoldus), poliglotta professore di legge a Tubinga e ammiratore delle sue tesi astronomiche, che assunse l’incarico di avvocato difensore. Questo spiegamento di forze, inconsueto per un processo di stregoneria, dove di solito le inquisite erano donne povere e ignoranti, e la fama e il ruolo di Keplero, consigliarono il giudice di trasferire la causa ad un tribunale di grado superiore, a Güglingen. Finalmente, dopo altri mesi di battaglie procedurali, mentre Katharina languiva in una cella, si giunse alla presentazione di una memoria difensiva di 128 pagine, che conteneva una confutazione punto per punto delle accuse, in gran parte scritta da Keplero stesso. L’effetto di questo documento fu che si decise di chiedere il parere dell’Università di Tubinga, dove Keplero aveva studiato e dove Besoldus insegnava. 


Il responso dei professori sembrò inaspettatamente sfavorevole a Keplero e alla madre, che doveva essere portata di fronte al boia, il quale le avrebbe mostrato gli strumenti di tortura ingiungendole di pentirsi e di confessare. Ciò avvenne il 21 ottobre 1621. Pare che in quell'occasione la vecchia e ostinata Katharina abbia pronunciato le seguenti parole: “Fatemi ciò che volete. Anche se mi tiraste fuori dal corpo tutte le vene una dopo l’altra, non ammetterò nulla”. Poi cadde in ginocchio recitando il Paternoster. Di fronte a questa ennesima e coraggiosa dichiarazione di innocenza, il Duca del Württemberg deliberò che, avendo superato l’ordalia senza confessare, la madre di Keplero doveva essere liberata. Ciò fu eseguito immediatamente, mentre Keplero pagava tutte le spese del giudizio. Katharina Kepler morì nella sua casa di Leonberg il 13 aprile del 1622, da donna libera. 

L’impressione che si ricava da tutte questi avvenimenti è che, a un certo punto, si arrivò a un compromesso tra Keplero e i giudici, e che i dottori di Tubinga altro non suggerirono che una pantomima travestita da ordalia. Nella maggior parte dei casi, infatti, l’accusata di stregoneria, specialmente con la nomea e il carattere della vecchia Kepler, non se la sarebbe cavata così a buon mercato. Ma lei aveva dato i natali all’illustre Giovanni Keplero, così stimato alla corte imperiale da essere insignito di prestigiose cariche nonostante fosse un teologo luterano in un paese cattolico, per di più impegnato in un terribile conflitto proprio contro i Principi protestanti. E, diciamolo, Keplero poteva pagare cifre considerevoli. 

Katharina innocente, dunque? A dir la verità, non ne era sicuro neanche il figlio, che negli scritti posteriori pare proprio convinto che la madre fosse una strega. Gran parte del reddito della vecchia derivava dalla vendita di pozioni magiche che preparava lei stessa. Per gli studiosi moderni si trattava probabilmente di rimedi erboristici, ma la loro presunta efficacia derivava anche dagli incantesimi che la donna aveva imparato in famiglia, forse dalla zia arsa sul rogo, e dall'alone di magia che circondava i misteriosi componenti. Fu proprio questa attività, unita al carattere poco incline al compromesso e alla gentilezza, che resero credibili le accuse iniziali di Einhorn e fecero di Katharina l’imputata ideale di un processo per stregoneria. Alla fine se la cavò, però non si dica che in quell'occasione vinse la nuova scienza contro l’oscurantismo e l’intolleranza. Vinse il prestigio di Keplero, che l’imperatore apprezzava soprattutto come astrologo.

Il ragazzo stava sul ponte in fiamme


Sul New Monthly Magazine comparve nel 1826 una poesia dalla metrica della ballata composta da Felicia Dorothea Hemans, intitolata Casabianca. La prima quartina era: 

The boy stood on the burning deck 
Whence all but he had fled; 
The flame that lit the battle's wreck 
Shone round him o'er the dead. 

Il ragazzo stava sul ponte che bruciava
Da cui tutti tranne lui erano scappati; 
La vampa che accese il relitto brillava 
Intorno a lui e sui morti ammazzati. 

La poesia ricorda un episodio divenuto leggendario della spedizione napoleonica in Egitto, avvenuto nel 1798 sul veliero francese Orient durante la battaglia del Nilo. Il ragazzino Giocante, figlio del comandante della nave Louis de Casabianca, rimase eroicamente al suo posto e morì quando le fiamme fecero esplodere il deposito di munizioni. Alcune testimonianze, peraltro molto dubbie, riferirono persino che egli incendiò di proposito la santabarbara affinché la nave non venisse catturata dagli inglesi. 

Un simile esempio di abnegazione filiale e patriottica, celebrato in una poesia dalla metrica che favoriva l’apprendimento a memoria, non sfuggì agli educatori e pedagoghi anglosassoni di epoca vittoriana, al punto che Casabianca divenne una delle opere fondamentali e inamovibili dei libri di testo delle scuole elementari britanniche e americane per circa un secolo a partire dal 1850. The boy stood on the burning deck e almeno la prima quartina fanno ancora parte della memoria collettiva delle generazioni più anziane di quella parte del mondo. 

Successo e diffusione capillare suggeriscono inevitabilmente la nascita di parodie. Dalla poesia sono nate in un secolo e mezzo caricature di ogni tipo e genere, spesso ascrivibili al nonsense, di autori noti e più spesso anonimi, come quelle che qui presento nel mio adattamento: 

The boy stood on the burning deck 
Eating peanuts by the peck; 
His father called him, he wouldn’t go, 
Because he loved the peanuts so. 

Il ragazzo stava sul ponte in fiamme 
Mangiando noccioline nel bailamme; 
Lo chiamò il papà, ma non andò: 
Di noccioline ce n’era un bel po’.

(anonimo, trovato su The Everyman Book of Nonsense Verse, Children’s Classics, Alfred A. Knopf, 2004) 


The boy stood on the burning deck, 
His feet were full of blisters; 
The flames came up and burned his pants, 
And now he wears his sister’s. 

Il ragazzo stava sul ponte in fiamme 
I suoi piedi una carbonella; 
Le fiamme gli bruciarono i calzoni, 
E ora porta quelli di sua sorella. 

(anonimo, trovato su The Everyman Book of Nonsense Verse, Children’s Classics, Alfred A. Knopf, 2004) 


The boy stood on the burning deck, 
The flames 'round him did roar; 
He found a bar of Ivory Soap 
And washed himself ashore. 

Il ragazzo stava sul ponte che bruciava
Intorno a lui il fuoco ruggiva; 
Trovò un pezzo di sapone galleggiante* 
E si lavò quando giunse a riva. 

* Ivory Soap era un marchio di una linea di prodotti della Procter & Gamble, che comprendeva anche bianche saponette profumate che erano riempite di bollicine d’aria in modo da poter galleggiare. 

(anonimo, pubblicato da Martin Gardner in Best Remembered Poems, Dover Publications, 1992) 

The boy stood on the burning deck 
His lips were all a-quiver 
He gave a cough, his leg fell off 
And floated down the river. 

Il ragazzo stava sul ponte in fiamme 
Le sue labbra tutte tremolanti. 
Un colpo di tosse, le gambe molli, 
E cadde nelle onde circostanti.

(Eric Morecambe)

lunedì 14 gennaio 2013

Due scritti politti


Il torno del bagongo 

Spuzzò il nanpinto sul trapollo
nella stadia del gigion santoro
transe il limite per ics decoro
d’un bagongo armattofollo.

Istrionando polivinilcloruro,
con il pel sul cran malpinto,
menzognò tollon convinto
riprobanza di culon sicuro.

Sicut sciacquo di mutandata
che s’infogna nello sgorgo,
avito fetor di grama data,

sputifò in lango e in lorgo
la sua menzoglia consumata
di pirlatan ch’ingira il borgo.


Il capitan sconfuso 

Come schettin che dissicura
quando il magnetto gira a tondo,
fa tambien nello sconfondo
chi ebbe primaria investitura.

Volse pria ‘l naviglio al monte
ove col casin lui fe’ congrega,
or che ‘l monte salendo frega
vaga il bersan ne l’orizzonte.

Né più dipostiglio sa trovare,
in parato avello diprè la terra
dal bagongon difesa a mare:

rinuncia voca, e pur si afferra
all’ingroica manca, per salvare
l’imbolsita machina da guerra.

sabato 12 gennaio 2013

Ricordo del generale Pedrazzi


Il 12 gennaio 1936 l’armata coloniale del generale Pedrazzi infliggeva una storica lezione ai soldati del Negus. La preponderante superiorità numerica delle truppe negre fu schiantata dall’eroismo e dagli armamenti degli italiani, in quello che da allora fu ricordato come “il trionfo dell’Amba Radan”. 

Ironia della ria sorte, il 12 gennaio 1938, esattamente due anni dopo il trionfo dell’Amba Radan, il generale Aristide Pedrazzi cadeva vittima delle arti amatorie di un’abissina in un bordello di Addis Abeba. Moriva così nell’estasi erotica il soldato valente di cui già si parlava come successore di Graziani. Non mancò chi adombrò l’ipotesi di un complotto di quest’ultimo per eliminare un pericoloso rivale, ma le voci furono messe a tacere. Vestito in camicia nera, Pedrazzi fu sepolto nella natia Novellara, dove tuttora riposa sotto una lapide che porta scritte le parole “SEMPER OBELISCVM EREXI” 


Uno straordinario caso che tuttora è oggetto di dibattito tra gli storici avvenne nell’aprile 1945, quando la tomba del generale Pedrazzi fu difesa dalla popolazione di Novellara perché un gruppo di partigiani comunisti provenienti dalla montagna la voleva distruggere. Nonostante la presenza di due fasci littori, il monumento fu custodito da un folto gruppo di donne armate fino a che i patrioti se ne andarono verso il Po. 

Tra il 1933 e il 1945 l’anagrafe di Novellara registrò la nascita di 48 bambini di nome Aristide.



mercoledì 9 gennaio 2013

Mani indegne


“Può tuttavia accadere che un gusto eccessivo per i beni materiali porti gli uomini a mettersi nelle mani del primo padrone che si presenti loro. In effetti, nella vita di ogni popolo democratico, vi è un passaggio assai pericoloso. Quando il gusto per il benessere materiale si sviluppa più rapidamente della civiltà e dell'abitudine alla libertà, arriva un momento in cui gli uomini si lasciano trascinare e quasi perdono la testa alla vista dei beni che stanno per conquistare. 

Preoccupati solo di fare fortuna, non riescono a cogliere lo stretto legame che unisce il benessere di ciascuno alla prosperità di tutti. In casi del genere, non sarà neanche necessario strappare loro i diritti di cui godono: saranno loro stessi a privarsene volentieri... Se un individuo abile e ambizioso riesce a impadronirsi del potere in un simile momento critico, troverà la strada aperta a qualsivoglia sopruso. Basterà che si preoccupi per un po' di curare gli interessi materiali e nessuno lo chiamerà a rispondere del resto. Che garantisca l'ordine anzitutto! Una nazione che chieda al suo governo il solo mantenimento dell'ordine è già schiava in fondo al cuore, schiava del suo benessere e da un momento all'altro può presentarsi l'uomo destinato ad asservirla. Quando la gran massa dei cittadini vuole occuparsi solo dei propri affari privati i più piccoli partiti possono impadronirsi del potere. Non è raro allora vedere sulla vasta scena del mondo delle moltitudini rappresentate da pochi uomini che parlano in nome di una folla assente o disattenta, che agiscono in mezzo all'universale immobilità disponendo a capriccio di ogni cosa: cambiando leggi e tiranneggiando a loro piacimento sui costumi; tanto che non si può fare a meno di rimanere stupefatti nel vedere in che mani indegne e deboli possa cadere un grande popolo”. 


Da La Democrazia in America di Alexis-Charles-Henri Clérel de Tocqueville (1805 – 1859)


lunedì 7 gennaio 2013

venerdì 4 gennaio 2013

Mariomonti purgativo 2013


GENNAIO
Mariomonti è quella cosa
che ti tassa pure il fiato
e se tu non hai pagato
in apnea devi star.

FEBBRAIO
Mariomonti è quella cosa
che rinnova la Nazione:
con Casini e Buttiglione
sorge il sol dell’avvenir.

MARZO
Mariomonti è quella cosa
che ci fa quadrare i conti,
però senza Mariomonti
il passivo era minor.

APRILE
Mariomonti è quella cosa
che l’Europa lo sostiene:
alle banche gli conviene
e tu il mutuo non l’hai più.

MAGGIO
Mariomonti è quella cosa
che si scontra con Fassina:
desinenza un po’ assassina,
maledette quote ros.

GIUGNO
Mariomonti è quella cosa
che ti manda in pensione
quando hai il pannolone:
con i voti del PD.

LUGLIO
Mariomonti è quella cosa
che ti pubblica un’Agenda:
non è chiara la faccenda
se gliel’ha scritta Ichin.

AGOSTO
Mariomonti è quella cosa
che soddisfa il Vaticano,
pronto a prenderti la mano
se non lo fai pagar.

SETTEMBRE
Mariomonti è quella cosa
senza Ruby e la d’Addario:
lui sa bene, Montimario,
che regnare è meglio che.

OTTOBRE
Mariomonti è quella cosa
che compra gli F-35,
non gli piace chi delinque
contro i nostri militar.

NOVEMBRE
Mariomonti è quella cosa
sempre piena di sussiego:
ha un appeal, non lo nego,
come un calcio nelle pall.

DICEMBRE
Mariomonti è quella cosa
che fa visita a Marchionne:
 non gli lancian le madonne
sol venduti e leccacul.

giovedì 3 gennaio 2013

Gruppi matematici e giochi con testi e parole

Che cosa è un gruppo?

Consideriamo un insieme di elementi, che indicheremo con X. Chiameremo permutazione di questo insieme una funzione f: X→X che opera sugli elementi di questo insieme in modo da ordinarli in successione, come nell'anagramma di una parola. Ad esempio, è possibile permutare gli elementi dell’insieme X formato dalle tre lettere A, B e C, ottenendo sei possibili configurazioni: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Quando abbiamo una permutazione f, abbiamo anche una permutazione inversa f−1 che riporta allo stato iniziale: se f(x)=y allora f−1(y)=x. Se ad esempio esiste la funzione f che trasforma ABC in BCA facendo slittare le lettere di un posto verso destra, esiste anche la funzione inversa f−1 che riporta BCA ad ABC facendo slittare le lettere di un posto verso sinistra. La funzione g che invece scambia di posto due lettere consecutive (da ABC a BAC) è diversa sia da f sia da f−1. La permutazione banale, vale a dire quella che non cambia niente, si chiama identità e viene indicata con Id.

Quando si hanno due permutazioni f e g dello stesso insieme, si può applicare prima f e poi g: si avrà così definita una permutazione composta che si indicherà gf (o più semplicemente gf, partendo da destra), poiché gf(x)=g(f(x)). Si noti che comporre con l’identità è un’operazione neutra, perciò si dice che l’identità è l’elemento neutro.

Ora, seguendo Arthur Cayley, si può dare la seguente definizione:

Un gruppo è l’insieme di tutte le permutazioni d’uno stesso insieme X che si possono ottenere per composizione a partire da certe permutazioni preferite, chiamate generatori, o dalle loro inverse.

Ad esempio il gruppo generato dalla sola applicazione f è composto da tre permutazioni: f , f= f2 e Id = f3. In questo caso si riscontra che l’inverso di f è f2. Così come accade nella teoria degli insiemi, la cardinalità di un gruppo si definisce in base al numero dei suoi elementi: in questo la cardinalità del gruppo generato da f è 3. 

Le permutazioni viste sopra, operate sull'insieme X = {A, B, C}, costituiscono quindi un gruppo

Il concetto di gruppo consente di lavorare in maniera flessibile con oggetti matematici di natura e origine molto diverse tra loro, identificandone alcuni importanti aspetti strutturali comuni. Con i gruppi è possibile trattare con le stesse modalità le soluzioni di un'equazione polinomiale, le simmetrie di un ente geometrico (ad esempio il gruppo di simmetria di un poligono regolare con n lati, detto gruppo diedrale), oppure gli insiemi numerici, o ancora le matrici. I gruppi giocano un ruolo chiave anche in topologia e in aree esterne alla matematica, come ad esempio nella fisica quantistica, dove queste rappresentazioni spesso permettono di discriminare le teorie "possibili", o nella chimica e nella mineralogia, in cui sono utilizzati per classificare strutture cristalline, poliedri regolari e simmetrie delle molecole. 

Un gioco di caselle 

Ecco uno schema formato da tre righe e tre colonne, nel quale ogni casella è associata a una cifra da 1 a 9: 


Ora permutiamo gli elementi dello schema, facendo slittare le righe o le colonne. Ad esempio, indichiamo con R2 l’operazione che consiste nel far slittare la seconda riga verso destra di un posto e portare l’ultimo elemento della riga in prima posizione, come mostrato nello schema: 


Qui sotto rappresentiamo invece lo slittamento di un posto verso il basso della prima colonna, operazione che indichiamo con C1


Che cosa succede se combiniamo queste due operazioni ? Ecco il risultato dell’azione di R2 seguita da quella di C1 (la prima azione si indica più a destra): 


Ecco invece che cosa succede se invertiamo l’ordine delle due operazioni, eseguendo prima quella di C1 e poi quella di R2


Si può constatare che l’ordine in cui vengono eseguite le operazioni influisce sul risultato, che non è lo stesso. Si dice a questo proposito che le azioni non commutano: C1 R2 ≠ R2 C1

Come già accennato, indichiamo con l’esponente –1 l’operazione inversa. Così C1–1 è l’operazione che fa slittare verso l’alto di un posto la colonna 1, e R2–1 quella che fa slittare la riga 2 di un posto verso sinistra

Le traslazioni intere 

Consideriamo ora come insieme X tutti i punti di una retta. Indichiamo con t la traslazione di lunghezza l verso destra : t(x) = x + l se si pensa la retta come l’insieme dei numeri reali. La permutazione inversa è la traslazione verso sinistra di identica lunghezza. Più in generale, la potenza n–esima di t opera sulla retta X come indicato da tn(x) = x + nl


Il gruppo generato da t:

…,t–2, t–1, Id, t, t2,… 

può essere indicato con Z, con lo stesso simbolo utilizzato per l’insieme degli numeri relativi, con il quale è in corrispondenza biunivoca (si tratta infatti di un numero infinito di traslazioni intere, con l’identità, elemento neutro, che funge da zero). 

Come è facile verificare, in questo caso una traslazione t corrisponde a un’operazione di somma algebrica e gode delle sue stesse proprietà. Quindi l’ordine delle operazioni effettuate su X non influisce sul risultato: si tratta di un gruppo commutativo, o gruppo abeliano.

I commutatori 

All'interno di un gruppo G è possibile calcolare come commutano due suoi elementi a e b, calcolando il loro commutatore, dato dalla relazione:

[a,b] = aba–1b–1.

Un commutatore è diverso da zero quando la composizione di due operazioni non soddisfa la proprietà commutativa.

Tornando alle operazioni C1 e R2 viste in precedenza, possiamo ad esempio calcolare il commutatore di C1 e R2 , cioè [C1, R2] = C1R2 C1–1R2–1, ovvero l’azione inversa di R2 seguita dall'azione inversa di C1 seguita dall'azione di R2 poi da quella di C1, nell'ordine indicato dalla formula da destra verso sinistra. Troviamo allora:


Ci sono solo tre cifre permutate: (5,7,4). 

Un gioco di versi 

Un esperimento di utilizzo combinatorio dei gruppi consiste nell'associare ai quadrati di nove caselle i versi di una celeberrima poesia di Eugenio Montale, Spesso il male di vivere ho incontrato, tratta da Ossi di seppia (1925), con lo scopo di verificare l’effetto straniante dell’applicazione al testo di una permutazione composta non commutativa. Incominciamo con l’associare i versi (compresa la pausa tra le due quartine) con le caselle: 

1. Spesso il male di vivere ho incontrato: 
2. era il rivo strozzato che gorgoglia, 
3. era l’incartocciarsi della foglia 
4. riarsa, era il cavallo stramazzato. 
5. – 
6. Bene non seppi, fuori del prodigio 
7. che schiude la divina Indifferenza: 
8. era la statua della sonnolenza 
9. del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato. 

Ora applicheremo al testo così organizzato prima l’operazione R3–1, che consiste nel far slittare la terza riga verso sinistra di un posto, poi l’operazione C2, che provoca lo slittamento di un posto verso il basso della seconda colonna. Ecco il risultato: 


Che modifica il testo in questo modo: 

Spesso il male di vivere ho incontrato: 
del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato, 
era l’incartocciarsi della foglia 
riarsa, era il cavallo stramazzato, 
era il rivo strozzato che gorgoglia. 
Bene non seppi, fuori del prodigio 
era la statua della sonnolenza. 
– 
Che schiude la divina Indifferenza. 

Ora invertiamo l’ordine delle due permutazioni: 


Con il seguente risultato: 

Spesso il male di vivere ho incontrato: 
era la statua della sonnolenza, 
era l’incartocciarsi della foglia 
 riarsa, era il cavallo stramazzato, 
era il rivo strozzato che gorgoglia. 
Bene non seppi, fuori del prodigio. 
– 
Del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato 
che schiude la divina Indifferenza. 

Calcoliamo infine il commutatore di R3–1 e C2, cioè [R3–1, C2] = C2–1R3 C2 R3–1, ovvero l’azione inversa di R3 seguita dall’azione di C2 seguita dall’azione di R3 poi da quella inversa di C2, nell’ordine indicato dalla formula da destra verso sinistra.


Con tre cifre permutate: (5, 8, 9).

Come la teoria degli insiemi e quella dei grafi, anche quella dei gruppi può esplorare le enormi possibilità della combinatoria applicata a un testo. La matematica può essere utilizzata per giocare a scombinare la struttura di un testo esistente, come ho fatto in questo caso, ma può anche servire per guidare e costruire la struttura di un testo da creare. La cosa più sorprendente è osservare come l’applicazione di regole auto–imposte (le contraintes dell’Oulipo), lungi da limitare la creatività di un autore, può essere un potente strumento per la sua manifestazione.