venerdì 21 aprile 2017

Vicino allo stadio

Limerick


Per evitare i prevedibili, spiacevoli incidenti,
gli urti violenti e i pericolosi ammassamenti
che caratterizzano l'attrazione
dell'irresistibile pallone
è bene star lontani dall'orizzonte degli eventi.

lunedì 10 aprile 2017

Andiamo a raddoppiare!

Il paradossale teorema di Banach-Tarski


Nel 1924, Stefan Banach e Alfred Tarski pubblicarono Sulla decomposizione di insiemi di punti in parti rispettivamente congruenti, un articolo in cui i due matematici dimostravano che si può suddividere una sfera piena (una palla) nello spazio tridimensionale (*) in 5 parti, in modo che sia possibile ricomporre con questi pezzi due sfere entrambe perfettamente identiche alla sfera iniziale prima della suddivisione. La ricomposizione utilizza solo delle isometrie, cioè delle traslazioni e delle rotazioni. In particolare, i pezzi non sono mai deformati. Ciò sfida il senso comune, ma talvolta la matematica lo fa. 
Una palla a tre dimensioni euclidee è equiscomponibile a due copie di se stessa. 
Come indica il nome, si tratta di un teorema: è una proprietà matematica che è stata dimostrata con tutti i crismi. Esso non può essere contraddetto, pur sembrando a prima vista paradossale perché mette in discussione una realtà del nostro mondo fisico: quando si taglia un oggetto in diversi pezzi, il volume dell’oggetto iniziale dev’essere assolutamente uguale alla somma dei volumi dei suoi pezzi. Nel mondo matematico questa proprietà è anch’essa assolutamente vera, con l’unica condizione che si possa attribuire a questi pezzi un volume. Questa idea è difficile da definire, ma quando lo si fa con precisione, ci si rende conto che certi oggetti matematici semplicemente non possono essere misurati.

Questa proprietà sfida molto l’intuizione perché al cuore della sua dimostrazione si nascondono due dettagli un po’ perturbanti. Il primo è il legame con i paradossi legati all’infinito, perché si utilizza più volte il paradosso dell’Hotel di Hilbert, cioè quello per cui due insiemi infiniti che sembrano diversi a prima vista possono in realtà essere equivalenti. Il secondo punto, che disturba ancor di più, è la comparsa nella dimostrazione dell’assioma più controverso della teoria degli insiemi: l’assioma della scelta, al quale si ricorre talvolta nelle dimostrazioni facendo storcere il naso a molti. 

La suddivisione in parti dell’enunciato è perfettamente definita dal punto di vista matematico, ma sfortunatamente è di impossibile realizzazione pratica. Dispiace, ma nella realtà fisica così come la conosciamo non si possono duplicare gli oggetti tagliandoli a pezzi. 

A che cosa assomigliano esattamente questi pezzi? Costruiamolo per vederlo! Ci occorre innanzitutto una sfera, poi due assi di rotazione su questa sfera. Prendiamo ad esempio quello che permette una rotazione Est-Ovest e viceversa, e quello che permette le rotazioni verso Nord o verso Sud. 



Oltre a questi assi di rotazione, ci serve un angolo di rotazione. Si può scegliere l’angolo che si vuole, ma occorre che sia irrazionale, in modo che sia impossibile che la sfera ritorni nella sua posizione iniziale dopo una o più rotazioni attorno a uno o all’altro dei due assi, Un angolo di 90° non è per esempio accettabile, perché la successione di 4 rotazioni riporterebbe la sfera nella sua posizione iniziale. Questo problema non si pone se invece se si prende un angolo irrazionale, come √2°. La serie di n rotazioni di quest’angolo non porterà mai la sfera nelle condizioni di partenza. Ciò succede anche con qualsiasi altro angolo irrazionale, come ad esempio ln(105)°. 

Abbiamo bisogno di tutto ciò per attribuire a ciascun punto della superficie della sfera un indirizzo. Abbiamo anche bisogno di un punto d’origine, pure questo a piacere: lo chiamiamo A. 

Da questo punto possiamo giungere a 4 altri punti, a seconda che si faccia una rotazione dell’angolo scelto verso il nord, il sud, l’est oppure l’ovest. Ciascun punto dà accesso a 3 altri punti, e così di seguito. Abbiamo in questa maniera accesso a un certo gruppo di punti, che si potranno rappresentare con il loro indirizzo, cioè la successione di rotazioni da seguire per finire sulla loro posizione partendo dall’origine. Per esempio, l’indirizzo NNOS corrisponde a un punto ottenuto mediante una rotazione della sfera verso nord, poi ancora a nord, poi verso ovest, infine verso sud. Anche se è composto dalle stesse lettere, l’indirizzo SONN corrisponde a un altro punto, che si ottiene ruotando la sfera verso sud, poi l’ovest, il nord e ancora il nord. Bisogna tuttavia fare attenzione, perché certi indirizzi non sono validi, quando si succedono due rotazioni opposte l’una all’altra. Per esempio, l’indirizzo SNON non è valido, perché può essere semplificato in ON, dato che le rotazioni successive verso sud e verso nord si annullano reciprocamente. 



Alla fine, l’insieme di punti accessibili per rotazioni a partire dall’origine A possiede un indirizzo. Classifichiamo ora tutti questi punti in 4 insiemi: il primo è composto dai punti il cui indirizzo termina per N, il secondo dove l’indirizzo termina per S, il. terzo contiene i punti con indirizzo che termina per O e l’ultimo in cui termina per E. Resta il punto di origine A, che mettiamo da solo in un quinto insieme. 

Guardiamo più da vicino l’insieme numero 1, quello dei punti il cui indirizzo termina per N. Poiché si tratta di indirizzi semplificati, non vi si potrà mai trovare una penultima lettera uguale a S. 

Che cosa succede se si ruota questo insieme verso sud? Ciò aggiunge una S a ciascuno dei punti che vi si trovano. Siccome tutti gli indirizzi terminavano per N, ora sono semplificati. Si ottengono allora degli indirizzi che terminano per O, per E, per N, ma mai per S. Da notare che vi si ritrova anche il punto d’origine, ottenuto per semplificazione del punto di indirizzo N. In breve: dopo una rotazione verso sud, l’insieme 1 è composto ora dai punti usciti dagli insiemi 1, 3, 4 e 5. Si può dunque ricostruire la sfera iniziale a partire da due soli pezzi: l’insieme 2 e l’insieme 1 ruotato verso sud. 

Si può fare la stessa cosa prendendo l’insieme 3 e girando l’insieme 4, ottenendo una seconda versione della sfera. 

Con queste operazioni abbiamo suddiviso la sfera in 5 parti. Gli insiemi 1 e 2 possono formare una prima copia della sfera iniziale, mentre gli insiemi 3 e 4 formano una seconda copia. Abbiamo trasformato una sfera in due sfere identiche in ogni punto alla prima, tutto con semplici operazioni di suddivisione. Questo è l’argomento chiave che fa funzionare il teorema di Banach-Tarski. 



Restano ancora molti dettagli. C’è un quinto pezzo, composto solamente dal punto d’origine A. Si può eliminarlo, ma bisogna suddividere gli insiemi 1 e 2. Ciò che facciamo è spostare dal primo al secondo insieme tutti i punti il cui indirizzo è il simbolo N ripetuto una o più volte. Si aggiunge così l’origine all’insieme 2. Così si può essere sicuri che dopo una rotazione verso sud, questo nuovo insieme diventa l’unione degli insiemi 1, 3 e 4, di cui il complementare è proprio il nuovo insieme 2.

Abbiamo ora suddiviso la sfera in 4 parti che, opportunamente risistemate, formano due copie identiche di questa sfera. La dimostrazione appena fatta ricorda la storia dell’hotel di Hilbert, quando si è riusciti a far stare un numero infinito di clienti in un hotel infinito già pieno. Ci sono in effetti tanti punti in un insieme infinito che in due copie dello stesso insieme. 

Malgrado tutto, la prova appena fatta non è del tutto soddisfacente, perché non è stata suddivisa tutta la sfera, ma un sottoinsieme di questa, quello dei punti accessibili a partire da A attraverso una serie di rotazioni. Questi punti non sono in quantità numerabile, anche se resta ancora una quantità infinita innumerabile di punti inaccessibili. 

Non è così grave. Scegliamo uno dei punti inaccessibili e scegliamolo come il nuovo punto d’origine, diciamo B. Questo dà accesso a un numero infinito di nuovi punti. Con lo stesso sistema di indirizzi, si può aggiungere nella parte 1 tutti i punti usciti da B con indirizzo che termina per N, nella parte 2 quelli che terminano per S, è così via, senza dimenticare la piccola modifica che permette di aggiungere il punto d’origine B nell’insieme 2. Come in precedenza, questi quattro pezzi permettono di riformare due sfere. 

Non è ancora sufficiente. I quattro insiemi contengono sempre un numero infinito numerabile di punti non accessibili sulla sfera. Si può allora proseguire la costruzione scegliendo sempre dei punti, fino a che ciascuno dei punti della sfera appartiene a uno dei 4 pezzi. Per procedere a una tale operazione, non si potrà fare a meno di utilizzare l’assioma della scelta. È quindi in questo momento che si passa dal suo lato oscuro. Fin qui i pezzi erano infiniti numerabili, dunque di misura zero. Ora che è stato utilizzato l’assioma della scelta ci si ritrova con 4 pezzi che permettono di ricostruire due sfere, ma che non possiedono alcuna misura. È perciò possibile che associandoli a due a due essi formino dei nuovi pezzi di misura più grande. 

Il paradosso di Banach-Tarski non parla di una sfera vuota, ma di solidi pieni. Per ottenere una suddivisone soddisfacente, basta prendere non più dei punti sulla superficie della sfera, ma dei raggi della palla. Si ottiene allora una suddivisione del solido in quattro pezzi che permettono di ricostruirne due esemplari identici. 

Per quanto riguarda il quinto pezzo, rappresentato dal centro della sfera, è possibile procedere passo dopo passo come si è fatto in precedenza sulla superficie. Per farlo consideriamo un cerchio all’interno della sfera che passi per il centro e ancora un angolo irrazionale, in modo che sia impossibile tornare al punto di partenza. Procediamo come si sono assegnate le stanze nell’Hotel di Hilbert. Consideriamo proprio l’insieme dei punti del cerchio ottenuto dal punto mancante applicando una serie di rotazioni. Questo insieme è infinito, e non esiste un ultimo punto. Facendo ruotare questo insieme per l’angolo irrazionale scelto, il buco presente al centro della palla sarà riempito, senza che si sia formato alcun altro buco. 

È quindi quest’ultimo insieme di punti che forma il quinto pezzo della paradossale suddivisione di Banach e Tarski. 



Tralasciando qualche dettaglio, questa dimostrazione rappresenta un mezzo matematico e perfettamente definito di duplicare delle sfere piene. Essa può essere utilizzata per altri oggetti solidi, anche non è possibile dire in quante parti essi andranno suddivisi. Ragionando analogamente, si può dimostrare che è possibile suddividere una sfera piccola (ad es. una pallina da golf) in modo tale che i pezzi ottenuti, una volta assemblati, possano ricomporsi in una sfera più grande, magari delle dimensioni di Giove! 

Alla fine di tutto ciò, si può essere tentati di rifiutare completamente l’assioma della scelta, che mette talmente in crisi l’intuizione che ci si può fare degli oggetti matematici. Numerose discussioni hanno avuto luogo su questo argomento tra i matematici all’inizio del XX secolo e hanno dato vita a diverse correnti di filosofia matematica. Possiamo citare ad esempio l’intuizionismo, che rifiuta tutti gli oggetti matematici che non sono costruiti precedentemente in modo esplicito. 

Un atteggiamento che si deve evitare di fronte a tale paradosso è domandarsi se esso sia contraddittorio. Certo, sorprende l’intuizione, ma esso non mette in discussione alcun altro teorema. Infatti, ciò è stato dimostrato nel 1938 da Kurt Gödel, che ha provato che se gli assiomi della teoria ZF non sono contraddittori vicendevolmente, allora l’aggiunta dell’assioma della scelta non vi introduce alcuna contraddizione. Non ci sono perciò argomenti puramente matematici che autorizzano a rifiutare questo assioma. Diciamo che anche la negazione dell’assioma della scelta non comporta l’apparizione di contraddizioni nella teoria ZF. Si può perciò benissimo vivere in un mondo matematico dove le scelte sono impossibili… 

Ciò non impedisce che, ancora oggi, l’utilizzo dell’assioma della scelta da parte dei matematici resta sempre soggetto a cautela. Conviene preferire le dimostrazioni che non lo utilizzano e, se esso sembra inevitabile, indicare esplicitamente al lettori dove stanno per essere condotti. Più di cent’anni dopo la sua prima formulazione da parte di Zermelo, bisogna constatare che l’assioma della scelta e le sue conseguenze restano un terreno insidioso. 

In realtà quella di Banach-Tarski era una provocazione che voleva dimostrare le conseguenze paradossali e controintuive dell’assioma della scelta. Finì che gli fecero pubblicità, un po’ come sarebbe successo al gatto di Schrödinger, pensato per contestare la casualità nella meccanica quantistica e diventato uno dei suoi meme più noti. In ogni caso, i due matematici polacchi un risultato importante lo raggiunsero, e cioè sottolineare la necessità di definire scrupolosamente ciò che è misurabile da ciò che non lo è. Come tutti i paradossi, quello della duplicazione della sfera possiede anche delle ricadute filosofiche sul senso reale che si attribuisce agli oggetti matematici, ma questa è un’altra storia. 

*È impossibile duplicare un disco (dimensione 2) o un segmento (dimensione 1). 

Fonte: 
Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes : Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski, consultato il 16 ottobre 2016.

sabato 8 aprile 2017

John Robinson e la nascita del complotto degli Illuminati

All’inizio del 1797, John Robinson era un uomo che godeva di una solida e duratura reputazione nelle istituzioni scientifiche britanniche. Figlio di un mercante di Glasgow, era nato nel 1739 e aveva ricevuto un’educazione vasta e di buon livello. Si laureò all’università di Glasgow nel 1756. In seguito divenne il tutore del figlio dell’ammiraglio inglese Sir Charles Knowles, e ricevette dal governo l’incarico di partecipare al collaudo sul mare del nuovo cronometro del grande orologiaio John Harrison. Si recò poi in Russia come segretario privato di Knowles. Mentre era in Russia fu chiamato a ricoprire la cattedra di matematica nella scuola imperiale dei nobili cadetti. Tornò in Scozia e nel 1773 diventò professore di filosofia naturale all’Università di Edimburgo, dove insegnò idrodinamica, astronomia, ottica, elettricità e magnetismo. La sua abilità è dimostrata dal fatto che fu chiamato a scrivere gli articoli dell’Encyclopaedia Britannica riguardanti la navigazione, il telescopio, l’ottica, le opere idrauliche, la resistenza ai fluidi, l’elettricità, il magnetismo, la musica, ecc. Aveva anche inventato la sirena d’allarme e anticipato la legge di Coulomb studiando in termini quantitativi la forza tra cariche elettriche in rapporto alle loro distanze reciproche. Quando fu organizzata la Royal Society a Edimburgo con decreto reale del 1783, Robinson fu eletto Segretario Generale, carica che continuò a mantenere fino a pochi anni prima della morte. La sua reputazione non era confinata alla sola Gran Bretagna. Nel 1790 fu insignito della più alta onorificenza dal College of New Jersey dell’Università americana di Princeton. Personaggio assai versatile, era anche un abile musicista polistrumentista e un discreto poeta. 

Ebbene, prima della fine dell’anno la sua reputazione professionale fu messa in ombra da un libro sensazionale che vendette molto di più di tutto ciò che aveva scritto in precedenza e la cui eco continua a farsi sentire molto tempo dopo che la sua opera scientifica è stata dimenticata. Il titolo del libro era Proofs of a Conspiracy against all the Religions and Governments of Europe, che lanciò presso il pubblico di lingua inglese la teoria che un vasto complotto, ordito da una cellula massonica coperta, nota come gli Illuminati, stava cercando di sovvertire tutte le istituzioni del mondo civilizzato trasformandole in strumenti di un empio piano segreto: la tirannia delle masse sotto l’invisibile controllo di superiori sconosciuti e l’instaurazione di una nuova era di “oscurità sopra ogni cosa”. 

La prima edizione del Proofs of a Conspiracy andò esaurita in pochi giorni, e in un anno fu ripubblicata molte volte, non solo a Edimburgo, ma anche a Londra, Dublino e New York. Robinson aveva toccato un nervo scoperto, offrendo una risposta alle grandi domande di quel periodo: che cosa aveva causato la Rivoluzione Francese e che cosa aveva guidato il suo sanguinoso e tumultuoso avanzamento? Dal suo punto di osservazione di Edimburgo, egli aveva, con milioni di altri, seguito i resoconti di una Francia che aveva distrutto la sua monarchia, spogliato la sua chiesa e trasformato la sua popolazione oppressa e brutalizzata nella più temibile forza militare che l’Europa avesse mai visto. Ora, poi, sotto l’astro nascente del giovane generale Napoleone Bonaparte, tentava di esportare la carneficina e la distruzione nelle monarchie confinanti, non ultima la stessa Gran Bretagna. Robinson credeva tuttavia di essere il solo ad aver identificato la mano celata responsabile di questa eruzione apparentemente insensata di guerra e terrore che sembrava in grado di seppellire il mondo. 

Molti avevano individuato le radici della Rivoluzione nelle idee dell’Illuminismo, come quelle di Voltaire, Diderot e Condorcet, che avevano esaltato la ragione e il progresso a scapito dell’autorità e della tradizione; nessuno tuttavia di questi filosofi in gran parte aristocratici aveva caldeggiato una rivoluzione delle masse, e infatti molti di essi avevano concluso la loro vita sotto la lama della ghigliottina. Nei primi anni dell’ultimo decennio del secolo era stato possibile credere che gli avvocati e i giornalisti affamati di potere del Club dei Giacobini avessero montato il popolino di Parigi nella loro distruttiva frenesia per i loro interessi, ma, a partire dal 1794, Danton, Robespierre e il resto dei capi giacobini avevano seguito le loro vittime sotto la lama del boia. Come potevano essere stati i burattinai se i loro fili erano stati tagliati così brutalmente? Ciò che Robinson proponeva nelle pagine meticolosamente redatte del suo libro era che tutti questi agenti della rivoluzione erano stati pedine di un gioco più grande di loro, le cui ambizioni stavano solo cominciando a rendersi visibili. 


La Rivoluzione Francese, come tutti i convulsi eventi che l’avevano preceduta e seguita, era stata piena di complotti, nutriti dal proliferare di club e associazioni della più varia natura, dalla velocità degli eventi, dalla scarsitã di informazioni disponibili. In Gran Bretagna, nemici della rivoluzione come Edmund Burke avevano sostenuto sin dall’inizio che “già alleanze e corrispondenze della natura più straordinaria sì stanno formando in diversi paesi” e dal 1797 in molti ritenevano – e con buona ragione – che società segrete irlandesi stavano complottando con Napoleone per rovesciare il governo britannico e invadere il continente. Il potere della rivelazione di Robinson consisteva nel fatto che essa identificava nella rumorosa confusione di complotti un solo protagonista, una sola ideologia e un unico complotto generale che cristallizzava il caos in una epica lotta tra il bene e il male, il cui esito avrebbe definito il futuro della politica mondiale. 

Il vasto complotto di Robinson richiedeva un’importante figura di riferimento, un ruolo per il quale Adam Weishaupt, fondatore dell’ordine bavarese degli Illuminati, sembra oggi essere un candidato poco promettente. 

Adam Weishaupt era nato nel 1748 a Ingolstadt e aveva studiato dai Gesuiti. La sua nomina a Professore di Legge Naturale e Canonica all’Università di Ingolstadt nel 1775, al posto di uno dei gesuiti recentemente banditi (1773) dal papa Clemente XIV, provocò una grande rabbia da parte del clero. Weishaupt, le cui idee erano cosmopolite, e che conosceva e condannava le superstizioni e il bigottismo dei preti, fondò un partito loro contrario all’Università. Non era ancora un massone; fu iniziato in una loggia di Monaco nel 1777. 

I motivi che portarono Weishaupt a considerare l’idea di una organizzazione segreta erano svariati. In parte erano dovuti al suo genuino interesse per le cause del liberalismo e del progresso, nate in gran parte per le vicende personali che aveva vissuto di fronte all’intolleranza e al bigottismo. Ma c’era anche una certa sete di potere, che si manifestava in un carattere dispotico e non facile. Inoltre la nascita dell’Ordine si mescolava con interessi personali, soprattutto per il controllo dei ruoli chiave all’Università. Non estranea a queste motivazioni è la solo apparente contraddizione tra gli ideali perseguiti e l’ammissione di aver mutuato, almeno inizialmente, l’organizzazione degli odiati gesuiti, compreso il vincolo per ogni adepto di spiare i propri sottoposti e di riferirne ai superiori. 

Ossessivo e poco incline al compromesso, litigioso, Weishaupt aveva all’inizio trovato difficoltà nell’attrarre membri nella sua società segreta, dove essi avrebbero dovuto adottare pseudonimi mistici scelti da lui, salire la scala assai lunga dei suoi gradi iniziatici e svolgere ruoli subalterni nella sua grandiosa ma nebulosa missione per la riforma del mondo. Per sua fortuna potè contare sul carisma e le capacità organizzative del Barone Adolf von Knigge, suo collaboratore e entusiasta adepto dal 1780. 

I rituali degli Illuminati erano di natura razionalistica e non occulta. Lo stato di massone non era richiesto per l’iniziazione all’Ordine perché solo i gradi dal quattordicesimo al sedicesimo del sistema di Weishaupt e Knigge corrispondevano praticamente ai tre gradi della massoneria simbolica.

L’Ordine diventò popolare e comprendeva non meno di duecento adepti registrati, tra i quali quasi sicuramente Johann Wolfgang Goethe. Le sue logge si trovavano in Francia, Belgio, Olanda, Danimarca, Svezia, Polonia, Ungheria e Italia. Knigge, che era uno dei suoi membri più attivi e l’inventore di alcuni dei suoi Gradi, era un uomo religioso, e non avrebbe mai aderito se il suo programma fosse stato, come si disse, di abolire il Cristianesimo. Non si può tuttavia negare che, in qualche suo aspetto e membro, furono commessi abusi e irregolarità, che naturalmente andarono ad alimentare la propaganda contraria, che vi aggiunse accuse palesemente esagerate o addirittura false.


Gli editti di soppressione dell’Elettore di Baviera, Duca Carlo Teodoro, del 1784 e 1785 furono reiterati nell’agosto 1787 e l’ordine cominciò a declinare, al punto che all’alba del nuiovo secolo aveva cessato di esistere.



Nel 1785 Weishaupt fu privato della cattedra e esiliato dal paese con una pensione. Rifiutò la pensione e si trasferì a Regensburg e poi trovò definitivamente asilo presso Ernesto II, duca di Sassonia-Gotha-Altenburg. Weishaupt fu in seguito nominato professore all’Università di Gottinga, dove rimase fino alla morte avvenuta nel novembre 1830. Negli ultimi anni non fece altro che produrre una serie di cupe memorie auto-giustificative delle sue vicende. 

C’era conque molto nella vicenda degli Illuminati che offriva, almeno a Robinson, l’idea di uno schema molto più vasto e sinistro. Il senso messianico di Weishaupt della propria missione e le strutture stravaganti dell’Ordine suggerivano un’organizzazione molto più vasta di quella che era venuta alla luce, e la sua scoperta aveva generato un’ossessione davvero sproporzionata rispetto al pericolo che rappresentava. Era diventata una calamita per le profonde ansietà della chiesa e della monarchia riguardo al programma di ragione e progresso che era stato seminato in tutta Europa dall’avanguardia illuminista di filosofi e scienziati. L’ossessione per gli Illuminati aveva generato centinaia di sermoni, polemiche, opuscoli e fogli scandalistici, tutti in competizione per elencare le più terribili accuse di empietà. Erano queste le principali fonti di anni di ricerca da parte di Robinson per costruire le prove del complotto che ora presentava. Robinson ammise tranquillamente di avere solo una scarsa conoscenza del tedesco e di aver ricavato tutte le sue informazioni da altri scrittori. Sfortunatamente non si preoccupò neppure di fornire riferimenti alle sue fonti. 
Robinson non negava che lo scopo dichiarato dall’Ordine era quello di insegnare alle persone ad essere felici facendo loro del bene e di fare ciò attraverso l’illuminazione della mente, liberandola dal dominio della superstizione e del pregiudizio. Lo scozzese si rifiutava però di accettarlo come il vero obiettivo. Dove Weishaupt e il Barone Knigge promuovevano la libertà dal dominio della chiesa sulla filosofia, Robinson vedeva un appello per la distruzione della chiesa. Dove Weishaupt e Knigge volevano la libertà dagli eccessi dell’oppressione statale, Robinson vedeva la distruzione dello stato. Dove Weishaupt e Knigge volevano istruire le donne e trattarle come uguali, Robinson vedeva la distruzione dell’ordine giusto e naturale della società.

All’osservatore neutrale, Weishaupt e gli Illuminati potevano aver offerto una metafora eloquente delle forze che stavano ridisegnando l’Europa, ma per Robinson essi ne erano diventati la causa vera e propria: il centro, perciò inaccessibile, della rete di eventi che aveva distrutto il vecchio mondo.

Robinson potrebbe essere stato uno spettatore lontano della paura irrazionale per gli Illuminati, ma non era certo un osservatore spassionato. Mentre Proofs of a Conspiracy giunse a sorpresa (e non senza certi imbarazzi) tra i suoi amici e i colleghi scientifici, c’erano molti motivi per i quali gli Illuminati gli sì erano presentati in quel modo. La sua scoperta risolveva sospetti di lunga durata e conflitti sia nella sua vita privata sia in quella professionale, e in particolare sì adattava perfettamente alle sue curiose avventure nella massoneria. 

Nel 1797, il carattere di Robinson era andato incontro a una certa depressione, assai distante dal gioviale e conviviale temperamento della sua giovinezza. Nel 1785 aveva iniziato a soffrire di una sindrome misteriosa, un grave e doloroso spasmo dell’inguine; sembrava emanasse da sotto i testicoli, ma la sua precisa origine aveva confuso i più abili dottori di Edimburgo e Londra. Scosso dal dolore e frequentemente costretto a letto, alla fine del decennio era una figura ritirata e isolata; faceva uso frequente di oppio, una condizione che secondo alcuni dei suoi conoscenti lo rendeva vulnerabile alla malinconia, alla confusione e alla paranoia. Man mano che le vicende sanguinose della rivoluzione in Francia turbavano la Gran Bretagna, il panico era particolarmente intenso in Scozia, dove ministri e giudici montavano voci costanti di quinte colonne e cellule giacobine segrete. Tormentato, confuso dai farmaci, assalito da notizie terrificanti dal mondo esterno, Robinson era in possesso di tutti i fili oscuri per tessere la trama del complotto che lo stava consumando. 

La politica aveva gettato una lunga ombra anche sulla sua vita professionale. Le scienze della natura erano alle prese con un’altra rivoluzione francese, condotta da Antoine Lavoisier. Negli anni ’80, Lavoisier aveva ribaltato la chimica del secolo precedente con la scoperta dell’ossigeno, da cui era stato in grado di stabilire nuove teorie della combustione e a iniziare il processo di ridurre tutte le sostanze materiali a un insieme di elementi fondamentali. La rivoluzione di Lavoisier aveva spaccato la chimica inglese: alcuni avevano riconosciuto che i suoi esperimenti tecnicamente brillanti avevano trasformato la scienza della materia, ma per altri la sua terminologia nuova e straniera era, come il sistema metrico francese, un arrogante tentativo di spazzare via il sapere accumulato con il tempo e di eliminare il ruolo di Dio. La vecchia chimica, con le sue misteriose forme d’energia e i suoi linguaggi di essenze e principi, aveva difeso l’idea di una forza vitale e del misterioso soffio del divino; nel freddo nuovo mondo di Lavoisier, al contrario, la materia era ridotta a mattoni inerti manipolati dalle forze misurabili della pressione e della temperatura. Dio era stato gettato fuori dall’edificio della scienza e, proprio in quegli anni, un altro francese, Laplace, lo escludeva dalle possibili ipotesi per la sua meccanica celeste.


Robinson non accettò mai le teorie francesi, e prima del 1797 aveva inserito la nuova chimica all’interno del suo complotto degli Illuminati. Per lui, Lavoisier, assieme al più eminente chimico sperimentale inglese, Joseph Priestley, era un membro dell’Ordine, che agiva in concerto con logge massoniche infiltrate per diffondere la dottrina del materialismo che avrebbe permeato il nuovo ordine mondiale ateista. I famosi salotti di Madame Lavoisier, dove si incontravano i principali filosofi continentali, erano ora smascherati da Robinson come luoghi di riti sacrileghi dove l’ospite, vestita negli abiti cerimoniali di una occulta sacerdotessa, bruciava ritualmente i testi della vecchia chimica. Per quanto questa immagine possa sembrare poco plausibile, era uno degli elementi che Robinson aveva assemblato come prove nel suo libro, assieme, ad esempio, al pamphlet anonimo tedesco che sosteneva che, nel salotto del grande filosofo Barone d’Holbach, si sezionavano i cervelli di bambini vivi comprati da genitori poveri nel tentativo di isolare la loro forza vitale. 

Gli Illuminati si erano infiltrati nella vita professionale di Robinson, ma il suo legame più personale con il loro complotto derivava dalla stessa massoneria. Iniziato a Liegi nel 1770, era stato un membro del Rito Scozzese per decenni senza mai considerare le logge come più di “un pretesto per passare un’ora o due in un forte di decente convivialità, non del tutto privo di qualche occupazione razionale”. La sua carriera l’aveva tuttavia portato all’estero, dove era stato colpito dalla scoperta che non tutti gli ordini massonici erano così innocenti. Durante i suoi viaggi si era incontrato con altri massoni e aveva visiti delle logge in Francia, Belgio, Germania e Russia. Ciò che vide lo turbò: paragonate a quelle scozzesi, le logge continentali erano “scuole di empietà e licenziosità”. I loro membri sembravano bruciati da “zelo e fanatismo”, le loro idee religiose “molto disturbate dagli umori mistici di Jacob Boehme e Swedenborg, dalle dottrine fanatiche e fraudolente dei moderni Rosacroce, da Maghi, mesmeristi, Esorcisti, ecc.” Ora, trent’anni più tardi, ricordando l’occultismo e il libero pensiero ai quali era stato brevemente ma indelebilmente esposto, non aveva dubbi sulla fonte della distruzione che aveva colpito il Continente. 

Sebbene Proofs of a Conspiracy fosse diventato un successo, il complotto degli Illuminati non colpì mai l’immaginario della classe politica britannica come fece nell’Europa continentale. Una volta passata la crisi della Rivoluzione Francese, alcuni conservatori l’avrebbero attribuito al superiore senso comune britannico, ma in verità la Gran Bretagna aveva allora minacce e cospirazioni più serie da affrontare. Rights of Man di Tom Paine, un’opera di gran lunga più incendiaria e radicale di qualsiasi “testo segreto” degli Illuminati bavaresi, aveva venduto più di duecentomila copie nella sua edizione economica da sei penny, un numero che superava di molto ciò che fino a quel momento era stato considerato il numero totale dei possibili acquirenti di libri. Con la flotta inglese scossa da ammutinamenti e il governo impegnato a contrastare proteste e moti di rivolta, non era sorprendente che le gesta di una loggia bavarese da tempo smantellata sembrassero meno di una minaccia urgente. 


L’opera di Robinson, tuttavia, ebbe un profondo e duraturo impatto negli Stati Uniti, dove le forze antagoniste della rivoluzione e della reazione che avevano devastato l’Europa stavano minacciando di dividere i Padri Fondatori e  distruggere la loro neonata costituzione. Mentre le persone come Thomas Jefferson si consideravano cugini di una Repubblica Francese che aveva abbattuto il giogo della monarchia e con la quale avevano commerciato tra i blocchi navali inglesi, altri fondatori, come Alexander Hamilton, il cui partito federalista favoriva uno stato potente rivolto a proteggere gli interessi dei cittadini abbienti, temevano l’infiltrazione degli ideali radicali della Rivoluzione Francese. In una situazione politica incandescente dove le accuse di tradimento erano lanciate da entrambi i fronti, il libro di Robinson era colto con entusiasmo dai Federalisti come prova del programma nascosto che si nascondeva dietro seducenti slogan come democrazia, abolizione della schiavitù e diritti dell’uomo. Le parole di Robinson erano ripetute senza fine dai pulpiti e dagli opuscoli della Nuova Inghilterra tra il 1798 e il 1799, e Jefferson era pubblicamente accusato di essere un membro dell’Ordine di Weishaupt.


Queste accuse non furono però mai supportate da prove: “l’allarme Illuminati” si esaurì e i Federalisti persero per sempre potere. L’episodio aveva tuttavia toccato un nervo scoperto in profondità nella mentalità politica americana ed è stato invocato in molte paranoie successive. Le idee di Robinson avrebbero continuato a essere riscoperte e reinventate, fino a influenzare la politica moderna in modi curiosi. La decana della moderna teoria del complotto, Nesta Webster, accettò per intero la teoria, ma poi giunse a credere che gli Illuminati erano fumo negli occhi: i veri cospiratori erano il “pericolo giudaico”, il cui programma, pensava, era stato accuratamente esposto nei Protocolli degli Anziani Savi di Sion. Sebbene Webster in seguito tornò nell’anonimato e aderì al partito fascista britannico, ebbe un certo credito e guadagnò citazioni entusiaste negli articoli dell’allora giornalista Winston Churchill, che nel 1920 scrisse sul Sunday Herald:”Il complotto contro la civiltà inizia nell’epoca di Weishaupt. Come la storica moderna signora Webster ha così abilmente mostrato, esso giocò un ruolo importante nella Rivoluzione Francese”. Molti membri della destra isolazionista continuano a ritenere vera la teoria di Robinson ancor oggi: l’associazione ultraconservatrice americana John Birch Society, ad esempio, resta convinta che la Loggia di Weishaupt “era l’antenata del movimento Comunista e il modello dei moderni movimenti sovversivi”. Inutile dire che queste idee fanno parte del milieu culturale che ha espresso il presidente americano Donald Trump.


Dopo la sua morte nel 1805, il suo collega di Edimburgo, il geologo John Playfair, scrisse un necrologio rispettoso concentrandosi sulle sue conquiste scientifiche, ma fu incapace di evitare di menzionare l’opera per la quale è soprattutto ricordato. “L’allarme suscitato dalla Rivoluzione Francese”, suggeriva Playfair con tatto, “produsse nel signor Robinson una grado di credulità che non gli era naturale. Era una credulità," sottolineava, "che era stata condivisa da molti, incapaci di credere che la rivoluzione era stato un genuino movimento di massa in reazione all’oppressione di un regime tirannico; essi erano stati incatenati alla loro idea che essa doveva essere stata orchestrata da una piccola congrega di fanatici e che la mancanza di prove di qualsiasi complotto era essa stessa una prova che i cospiratori erano riusciti a nascondere le loro manovre dalla pubblica vista.” 

C’era molto buon senso nell’analisi di Playfair, che potrebbe essere applicata ai molti che in seguito credettero alle teorie di Robinson, o che continuano a crederci ancor oggi. Infatti, forgiato nello stesso crogiolo di tante moderne ideologie politiche, dal conservatorismo al nazismo, alle varie forme di nazionalismo e populismo, il complotto degli illuminati è diventato un mito moderno: non propriamente e non solo nel senso che la sua base fattuale evapora dopo un’analisi anche superficiale, ma come modello narrativo in grado di variare il suo significato per adattarsi a nuovi e inediti scenari. La storia di un complotto mondiale ordito da un piccolo gruppo di fanatici ha costruito il successo di molte opere di fiction (da Eco a Dan Brown) ma continua nelle varie teorie bizzarre create e amplificate sui social network, che vengono sostenute da migliaia se non da milioni di persone in cerca di spiegazioni semplici per un mondo sempre più complicato. I teorizzatori di complotti, che non sono famosi per la loro applicazione del rasoio di Occam, hanno deciso che ci sono legami tra gli Illuminati, la massoneria, la Commissione Trilaterale, il sionismo internazionale e il comunismo, e che tutti portano al Vaticano, alla CIA o agli alieni, meglio se rettiliani. In questo senso Robinson è stato un anticipatore, e gli Illuminati sono ancora tra noi.



Fonte principale: Mike Jay, Darkness Over All: John Robison and the Birth of the Illuminati Conspiracy, The Public Domain Review, 2014/04/02

lunedì 27 marzo 2017

La parodia del «Calculemus!» di Swift

Dettaglio dal frontespizio della Miscellanea Berolensia ad incrementum scientiarum (1710). In basso si vede la macchina calcolatrice di Leibniz, che nel volume viene descritta per la prima volta. 
Ne I viaggi di Gulliver (Gulliver’s Travels, 1726), Jonathan Swift critica le miserie della natura umana, sfociando spesso in una satira feroce e in un vero e proprio humour nero. Nel terzo viaggio del protagonista, quello all’isola fluttuante di Laputa, di cui mi sono già occupato in precedenza, Gulliver ha modo di visitare l’accademia di Lagado dove gli scienziati si dedicano a esperimenti assurdi e ricerche improbabili, che dimostrano come il sapere teorico sia del tutto inutile se non ha reali ricadute pratiche. Molti commentatori hanno visto in questo episodio una critica ai “filosofi naturali” della Royal Society, ma neanche il tedesco Leibniz sembra sia risparmiato. Vediamo come la calcolatrice meccanica e il sogno di una lingua filosofica universale basata sul calcolo siano messi alla berlina dalla penna intinta nel fiele dello scrittore irlandese, che qui anticipa certi procedimenti contemporanei della generazione automatica di testi. 
“Traversando un giardino ci trovammo nella seconda divisione dell'accademia, assegnata ai cultori delle discipline astratte.  
Nella prima grande sala trovai un professore circondato da quaranta scolari. Dopo esserci salutati, siccome egli si accorse ch'io guardavo con curiosità una certa macchina che occupava quasi tutta la sala, mi spiegò che il suo più ambizioso disegno consisteva nella scoperta del metodo di perfezionare le scienze mentali con mezzi meccanici. Egli andava orgoglioso di questo concetto, il più vasto e geniale che cervello umano avesse mai avuto, e sperava che tutti, quanto prima, ne riconoscessero l'utilità. Mentre, infatti, i metodi comunemente adottati per arrivare alle diverse nozioni scientifiche e ideali sono faticosi e difficili, col suo nuovo sistema, invece, anche un ignorante poteva scrivere libri di filosofia o di poesia, trattati di politica e di matematica, senza bisogno di speciale vocazione né di studio: bastava una modesta spesa e un piccolo sforzo muscolare. 

Nello spiegarmi ciò, egli mi fece vedere il meccanismo intorno a cui stavano i suoi scolari.
Era una specie di telaio di venti piedi quadrati, sul quale erano disposti moltissimi pezzetti di legno simili a dadi, di cui alcuni erano alquanto più grossi; e tutti erano legati insieme per mezzo di fili sottili. Ogni faccia di ciascun dado portava un pezzo di carta, su cui stava scritta una parola; sicché sul telaio si trovavano tutte le parole della loro lingua nei differenti modi, tempi e declinazioni, ma mescolate alla rinfusa.
La "macchina" di Lagado da I viaggi di Gulliver di Swift illustrati in The Prose Works of Jonathan Swift, DD, Volume 8 (1899)
Il professore mi avvertì che stava per mettere in moto la macchina: a un suo cenno, infatti, ciascun allievo prese in mano un manubrio di ferro (ve ne sono quaranta fissati lungo il telaio). Essi, facendolo girare, cambiarono totalmente la disposizione dei dadi, e perciò delle parole corrispondenti. Allora il professore ordinò a trentasei dei suoi scolari di leggere fra sé le frasi che ne risultavano, via via che le parole apparivano sul telaio; e quando trovassero tre o quattro parole che avessero l'apparenza d'una frase, di dettarle agli altri quattro giovinetti, che facevano da segretari. Questo esercizio fu ripetuto diverse volte, e col successivo capovolgersi dei cubi sempre nuove parole e frasi comparivano sulla macchina. Gli scolari si dedicavano a tale occupazione per sei ore del giorno.
Il professore mi fece vedere diversi volumi in folio pieni di frasi sconnesse ch'egli aveva raccolto e di cui pensava fare un estratto, ripromettendosi di cavar fuori da codesto materiale, il più ricco del mondo, una vera enciclopedia scientifica e artistica. Egli sperava che codesto suo lavoro, spinto con energia, avrebbe toccata la massima perfezione, a patto che la popolazione consentisse a fornire il denaro necessario per impiantare cinquecento consimili macchine in tutto il regno, e che i sovrintendenti dei vari istituti mettessero in comune le loro personali osservazioni. 
Ringraziai umilmente codesto illustre inventore, assicurandolo che, se avessi avuto la fortuna di tornare in Inghilterra, gli avrei reso giustizia celebrandolo fra i miei concittadini come primo creatore d'una macchina sì meravigliosa; anzi mi feci dare il disegno di questa e la descrizione dei suoi vari movimenti, e sopra tavole apposite li unii alle mie memorie. Assicurai anche l'accademico che avrei saputo prendere le necessarie cautele perché l'onore della scoperta restasse tutto suo, data l'usanza vigente fra gli scienziati europei di rubarsi reciprocamente i loro ritrovati, tanto che non si sa quasi mai a chi attribuirli”. 
La calcolatrice meccanica di Leibniz, progettata con l’apporto di una rete di eruditi, predicatori e amici e sviluppata con l’assistenza tecnica di artigiani itineranti e precari, di costruttori di orologi e persino di un domestico, doveva essere azionata da una manovella e, attraverso un complicato sistema di ruote dentate di ottone di diversa grandezza, realizzare moltiplicazioni e divisioni oltre alle addizioni e sottrazioni. Essa funzionò a fatica (o non funzionò affatto) nelle dimostrazioni dal vivo che furono allestite a Londra e a Parigi, al punto che la Royal Society invitò Leibniz a riproporla una volta risolti i problemi tecnici che rendevano il congegno inefficace.

La calcolatrice di Leibniz in una illustrazione utilizzata per la presentazione al pubblico.

Anche in considerazione degli alti costi già sostenuti e di quelli da sostenere, la macchina fu abbandonata dal suo ideatore, e un suo prototipo fu ritrovato in una soffitta dell’Università di Gottinga solamente nel 1879, durante i lavori di rifacimento del tetto.

sabato 25 marzo 2017

Assioma della scelta e insiemi non misurabili

(non rigoroso, ma senza formule!)


Una teoria matematica si basa sempre su degli assiomi, cioè degli enunciati il più possibile semplici che si postulano come veri e che serviranno come punto di partenza per tutte le dimostrazioni. La teoria nella quale si pone implicitamente la maggior parte del mondo matematico è la teoria degli insiemi, chiamata teoria ZF (Z sta per Ernst Zermelo e F per Abraham Fraenkel). Questa teoria possiede, a seconda di come viene presentata, da 8 a 10 assiomi.

Si può citare per esempio, l’esistenza di un insieme vuoto:
Un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e si indica con {} o con ∅ 


o quella di un insieme infinito:
Un insieme infinito è costituito da un numero infinito di elementi. 
Si può parlare anche dell’assioma della coppia, che permette di costruire un nuovo insieme a partire da due insiemi dati:
Dati due insiemi A e B, possiamo trovare un insieme C i cui elementi sono esattamente A e B.
o dell’assioma delle parti, che permette di costruire l’insieme delle parti di un insieme dato:
Se consideriamo un insieme A formato da n elementi e tutti i possibili sottoinsiemi, compreso il vuoto e A stesso, l’insieme di questi insiemi viene chiamato insieme delle parti. 


Gli assiomi della teoria ZF permettono di costruire quasi tutti gli oggetti matematici e di dimostrare i teoremi ad essi correlati. Per esempio, per costruire i numeri interi, una delle procedure classiche consiste nel partire dall’insieme vuoto, che farà da 0. Con l’assioma della coppia, si può costruire un insieme che riunisce l’insieme vuoto con se stesso, il che darà un insieme contenente un unico elemento. Questo insieme farà da 1. Per il numero 2, si costruisce grazie all’assioma della coppia un insieme con due elementi distinti: 0 e 1. Continuando questo procedimento, si otterranno tutti gli interi naturali.



Così, nella teoria degli insiemi, tutti gli oggetti matematici sono degli insiemi. Per esempio, un triangolo nel piano è un insieme di punti. Un punto è un insieme ordinato di due numeri reali, e i numeri reali si costruiscono a partire dai numeri interi, che sono stati anch’essi costruiti grazie agli assiomi. La costruzione dei numeri reali è molto complicata, e qui non ne parliamo.

Certamente non c’è bisogno di tutto ciò per la matematica elementare. Si può senza difficoltà calcolare il risultato di 6 ×7 senza dover passare per la definizione insiemistica dei numeri interi, ma ciò non impedisce che qualsiasi risultato matematico si basa su meno di una dozzina di verità non dimostrate.

Esiste tuttavia un assioma, comparso nel 1904 ad opera di Zermelo,, che si aggiunge talvolta alla teoria ZF, che prende allora il nome di ZFC: l’assioma della scelta (choice in inglese, choix in francese):
Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento. 
A grandi linee, questo assioma enuncia che se si dispone di un insieme composto di insiemi non vuoti, si potrà costruire un nuovo insieme con degli elementi provenienti da ciascuno degli insiemi interni. Detto altrimenti, si può affermare che se dispone di un comò che ha diversi cassetti non vuoti, l’assioma dice che è possibile prendere un oggetto da ciascuno dei cassetti. Ciò sembra evidente se si pensa a un comò in una casa, ma diventa più complicato quando un comò possiede infiniti cassetti, e ogni cassetto contiene infiniti oggetti indiscernibili (indistinguibili per proprietà o relazione).

Questo assioma è piuttosto contestato, ed è proprio per questo che lo si pone sempre a parte dagli altri assiomi della teoria degli insiemi. Un primo motivo di contestarlo è che, diversamente dagli altri assiomi, non è completamente evidente. Il principale ostacolo consiste nel fatto che, mentre gli insiemi sono costruibili all’infinito, l’assioma della scelta enuncia l’esistenza di insiemi che sono in pratica difficili da costruire. E ciò é piuttosto fastidioso: basta ricordare che, secondo Georg Cantor, un
«Insieme è una collezione di oggetti qualsiasi, ben definiti e distinguibili, che fanno parte della nostra intuizione e del nostro pensiero». 
Tale definizione è matematicamente corretta, perché le parole «ben definiti e distinguibili» rappresentano implicitamente un criterio di scelta.

Una classica illustrazione dovuta a Bertrand Russell fa intervenire un numero infinito di paia di scarpe. Esiste un metodo di scegliere una scarpa da ciascuna di queste paia? Dato che le due scarpe di un paio sono distinte, basta dire che si prende ogni volta la scarpa destra, e il gioco é fatto. La stessa domanda fatta per un numero infinito di paia di calze, tuttavia, non porta alla stessa risposta, perché é impossibile distinguere una calza destra da una sinistra. Sarà necessario allora scegliere caso per caso una calza per paio, il che non é possibile per un insieme infinito a meno di utilizzare l’assioma della scelta.


Il secondo dubbio che solleva la discussione sull’assioma della scelta è che i teoremi che implica sono talvolta controintuitivi. Esiste, ad esempio, il teorema di Banach-Tarski che consente di duplicare degli oggetti geometrici per semplice suddivisione, ma anche gli insiemi di Vitali, dei sottoinsiemi della retta dove non esiste più il concetto di lunghezza.

Parliamo allora di questo concetto di lunghezza o, più generalmente, della misura. Per degli oggetti unìdimensionali come gli estremi di un segmento, ciò che chiamiamo misura sarà allora la lunghezza del segmento. Per gli oggetti bidimensionali, la misura corrisponderà alla loro area o alla loro superficie. Per degli oggetti tridimensionali, la misura corrisponderà al loro volume.

In realtà, il concetto di misura è un po’ più sottile, ma teniamo a mente che si tratta di un numero positivo che, a seconda dei casi, sarà uguale a una lunghezza, a un’area o a un volume. Prendiamo per esempio il segmento unità, che corrisponde all’intervallo dei numeri compresi tra 0 e 1. Poiché questo intervallo è di lunghezza 1, la sua misura è uguale a 1. Se dividiamo questo intervallo in due parti uguali, otteniamo due segmenti di lunghezza 0,5. La misura totale è dunque due volte 0,5, cioè sempre 1. La nostra divisione non ha cambiato la misura di questo oggetto.

Altra suddivisione. Mettiamo da una parte il punto di ascissa 0,5 e dall’altra il resto. Poiché un punto non ha lunghezza, la sua misura è uguale a 0. Dall’altra parte abbiamo due segmenti di lunghezza ½, quindi la loro misura, cioè la lunghezza totale, è sempre uguale a 1. In effetti, togliere un unico punto da un intervallo non cambia la sua misura; questo oggetto rimane perciò di lunghezza 1. Se togliamo un secondo punto succederà la stessa cosa. Si può quindi togliere qualsiasi numero finito di punti a un intervallo senza cambiarne la misura. Un gruppo di punti isolati possiede sempre una misura totale uguale a 0.



E se mettiamo da una parte un numero infinito di punti? In questo caso le cose si complicano un po’. Dividiamo dunque l’intervallo in un modo più raffinato. Mettiamo da una parte tutti i punti dell’intervallo che corrispondono a un numero decimale, cioè i numeri che possono essere scritti con un un numero finito di cifre dopo la virgola, come 0,25 o 0,55 o 0,46. Dall’altra parte restano i punti che non corrispondono ai numeri decimali finiti, come ⅓, π-3 o √2–1, ecc. Abbiamo allora da una parte un insieme di punti decimali. Questo insieme viene detto “numerabile”, cioè che è possibile elencarne gli elementi. Infatti esiste la possibilità di ordinarli in modo d’avere un primo, un secondo, un terzo è così via.
Un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. 
Se un insieme numerabile possiede un numero infinito di elementi, viene detto infinito numerabile, e, dato che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, si può dire che un insieme è infinito numerabile se ha la cardinalità di N. Si può dimostrare che ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è anch’esso numerabile, e che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile. Esempi di insiemi numerabili sono l’insieme dei numeri interi, quello dei numeri razionali o quello dei numeri primi.



Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall’insieme dei numeri reali, la cui non numerabilità è stata dimostrata per la prima volta da Cantor tramite il suo argomento diagonale.

La teoria della misura indica che un insieme numerabile di punti ha sempre una misura uguale a 0, poiché si può intuitivamente considerare un insieme numerabile come un insieme pieno di buchi. I punti sono in qualche maniera tutti isolati l’uno dall’altro, per cui la lunghezza totale dell’insieme è la somma delle lunghezze dei punti. Poiché la misura di ciascun punto equivale a 0, la misura totale è 0.

Il secondo insieme è invece non numerabile. I punti non possono essere separati gli uni dagli altri. I buchi dell’insieme esistono solo in apparenza. Essi non sono sufficienti a diminuire la sua misura. Questo insieme possiede una misura esattamente uguale a 1.

Continuiamo allora la suddivisione. Abbiamo da una parte i numeri decimali, e dall’altra i non decimali. Togliamo un nuovo insieme infinito numerabile, quello dei numeri decimali di forma ⅓+ x, dove x è un numero decimale. Ciò corrisponde ai numeri i cui decimali finiscono per un numero infinito di 3. Chiameremo questo insieme la classe d’equivalenza di 1/3, che contiene numeri come ⅓+0.1 o 0.124333… Diremo che ⅓ è un rappresentante di questa classe. Resta ancora un numero infinito di punti, che corrispondono ai non decimali e non appartengono alla classe di 1/3. Questo insieme possiede sempre misura 1, perché abbiamo tolto una parte numerabile.

Togliamo adesso la classe d’equivalenza di √2–1, cioè i punti che corrispondono ai numeri di forma √2–1+x, dove x è un numero decimale. Rimane sempre un numero infinito di punti, i non decimali che non appartengono né alla classe di 1/3 né a quella di √2–1. Ancora una volta, questo insieme misura 1.

Possiamo continuare a togliere tante classi di equivalenza di numeri quante ne vogliamo: non si esaurirà mai l’insieme iniziale, che non diminuirà mai la sua misura. In effetti si può, ma bisogna farlo un numero infinito di volte, e questo infinito dev’essere non numerabile. Solo che, per farlo, bisogna essere in grado di scegliere un rappresentante della classe a ogni tappa, e non esiste alcun mezzo di creare esplicitamente questa lista. Il solo mezzo per farlo è quello di utilizzare l’assioma della scelta, cioè riconoscere che la lista esiste ma senza poter dire a che cosa assomigli. L’assioma della scelta permette dunque di scegliere un rappresentante di ciascuna classe d’equivalenza, ma non fornisce esplicitamente questa lista.

Qual è la misura di questa lista di rappresentanti? Senza entrare nei dettagli, si può dimostrare che questo insieme non ha misura zero, ma si può ugualmente dimostrare che la sua misura non è esattamente più grande di zero. La sola via d’uscita è dire che il concetto stesso di misura non è applicabile a questo insieme. Questa lista di rappresentanti, chiamata insieme di Vitali, non può dunque essere matematicamente misurata. Si tratta di ciò che viene detto un insieme “non misurabile”: in genere, si costruiscono gli insiemi di Vitali a partire dai numeri razionali piuttosto che da quelli decimali, ma il risultato è lo stesso. Anche se le loro densità sono le stesse, intuitivamente si immaginano più buchi tra i decimali che tra i razionali. Più formalmente:

L’insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme dei numeri reali. R che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva. Per la costruzione dell’insieme di Vitali è indispensabile l’assioma della scelta.



In breve, è possibile costruire oggetti in cui il concetto stesso di lunghezza, di area, o di volume non può esistere. Questa cosa non sarebbe poi così grave se Banach e Tarski non se ne fossero impadroniti. Essi hanno dimostrato che, associando opportunamente più oggetti non misurabili, è possibile costruire dei nuovi oggetti che invece sono misurabili. Così sono giunti a suddividere una sfera piena in 5 pezzi di cui quattro non misurabili, che consentono di costruire due nuove sfere identiche a quella di partenza attraverso semplici rotazioni e traslazioni. Ma questa è un’altre storia e ce ne occuperemo un’altra volta. 

Fonte: 

Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes : Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski, consultato il 16 ottobre 2016.

giovedì 23 marzo 2017

Queneau tra letteratura e matematica


Raymond Queneau (1903-1976) è stato uno dei più prolifici ed eclettici scrittori francesi del secolo scorso. La sua vivacità intellettuale ha dato luogo a un’opera molteplice, con una produzione originale, talvolta giocosa e, per certi versi, inclassificabile. Una delle costanti che è possibile ravvisare nella sua opera è l’interesse per la scienza e, più in particolare, per la matematica. In molti hanno commentato l’aspetto combinatorio dei Cent mille milliards de poèmes (1961), libro singolare composto da dieci sonetti in cui ognuno dei rispettivi 14 versi, aventi le stesse rime e la stessa costruzione sintattica, è ritagliato su una striscia di carta. Facendole scorrere in modo casuale, I versi possono essere combinati fino ad offrire 1014 sonetti, appunto centomila miliardi.



Nel 1960 Queneau, attratto dalle possibilità offerte dalla combinatoria e dalla matematica in genere alla genesi letteraria, con un gruppo di scrittori e matematici tra i quali François Le Lionnais e Claude Berge, aveva fondato l’Oulipo (Ouvroir de littérature potentielle). Il termine “potenziale” si riferisce a qualcosa che esiste in potenza nella letteratura, cioè che si trova all'interno del linguaggio e che non è stato necessariamente esplorato. 

Strumento prediletto per lo studio e la produzione è la contrainte, una restrizione formale arbitraria che si aggiunge a quelle già esistenti (la rima, la metrica, la successione temporale, ecc.) e può creare nuovi procedimenti, nuove forme e strutture letterarie suscettibili di generare poesie, romanzi, testi. Nel corso degli anni sono state esplorate decine di contraintes diverse, da quelle in qualche modo legate all’enigmistica, come il palindromo, l’acrostico, il lipogramma, a forme più direttamente legate alla matematica, come, oltre alla combinatoria, la teoria degli insiemi o la teoria dei grafi. Fra le numerose definizioni dell'Oulipo fornite dagli stessi membri, una, dello stesso Queneau, è assai elegante e significativa: “Un Oulipiano è un topo che costruisce il labirinto da cui si propone di uscire più tardi”. La “filosofia” di questo gruppo tuttora attivo e ramificato in diversi paesi, tra cui l’Italia, è che l’uso delle contraintes conduce l’autore a un maggiore sforzo immaginativo e può generare opere di assoluto interesse e qualità. 

La libertà compositiva del testo, lungi dall'essere mortificata, viene invece esaltata, come spiega lo stesso Queneau fin dal 1938 in aperta polemica con la scrittura automatica dei surrealisti: 
“Un'altra falsissima idea che pure ha corso attualmente è l'equivalenza che si stabilisce tra ispirazione, esplorazione del subconscio e liberazione; tra caso, automatismo e libertà. Ora, questa ispirazione che consiste nell'ubbidire ciecamente a ogni impulso è in realtà una schiavitù. Il classico che scrive la sua tragedia osservando un certo numero di regole che conosce è più libero del poeta che scrive quel che gli passa per la testa ed è schiavo di altre regole che ignora”. 
I procedimenti combinatori utilizzati da Queneau sono tuttavia squilibrati verso l’immediatamente percepibile applicazione dell’artificio: essi non si tramutano nelle misure letterarie fondamentali (romanzo, racconto, o testo teatrale), ma si ritagliano un campo di sperimentazione limitato (il sonetto, appunto, o il frammento), in cui realizzare una sintesi tra i valori delle matematiche e quelli letterari, ad essi subordinati. La letteratura potenziale, in cui si attua la sua combinatoria, è cioè ancora una microcombinatoria, un fenomeno solo propedeutico alla combinatoria vera e propria in letteratura, di cui un maestro contemporaneo è stato ad esempio l’altro oulipiano Georges Perec con La vita: istruzioni per l’uso

La fascinazione di Queneau per i numeri fu precoce: alcune pagine del suo diario di adolescente già lo dimostrano chiaramente. A 17 anni annota: “Sono andato con Leroux al Museo. Studio con furore la matematica”. Alcuni dei suoi saggi, pubblicati in Bords (1963) e in Bâtons, chiffres et lettres (1965, in italiano “Segni, cifre e lettere e altri saggi”, Einaudi, 1981) contengono talvolta considerazioni sulle serie di Fourier, su Hilbert, su Bourbaki, e sulle “congetture errate nella teoria dei numeri”

Dal punto di vista più strettamente narrativo, nelle opere di Queneau la matematica compare, oltre che come struttura, con i limiti sopra esposti, anche in qualità di oggetto di letteratura, come ad esempio in Odile (1937, pubblicato in italiano da Einaudi nel 1989). 

Odile non è un romanzo matematico, anche se il suo protagonista, Roland Travy, è un matematico dilettante fallito. Si tratta invece della duplice storia di una vicenda amorosa e di un’infatuazione intellettuale. La prima, quella tra Travy e Odile, l’eroina nascosta che dà titolo all’opera, termina bene. La seconda, quella di Travy per il cenacolo surrealista il cui capo Anglarès è la parodia di André Breton, termina male (e si tratta di una vicenda autobiografica perché Queneau era stato surrealista alla fine degli anni ’20, abbandonando il movimento con disprezzo per i suoi deliri onirici). 


La matematica ricopre un ruolo portante nella narrazione, un ruolo che è “ambientale” e mai didascalico (diversamente da opere come Il teorema del pappagallo di Hans Guedj o Il mago dei numeri di Hans Magnus Enzensberger). Tanto meno Queneau fa uso della matematica per creare metafore. 

In Odile la matematica è utilizzata per dipingere l’identità del protagonista, che in essa cerca rifugio, e come ambiente narrativo. Quando Travy parla di matematica, riporta con precisione alcuni teoremi come si potrebbero trovare in un manuale. Ecco il suo sfogo durante un colloquio con Odile: 
“Gettai uno sguardo inutile su un foglio di carta che si attardava sul mio tavolo: dati due rami regolari semplici a diramazioni alterne, trovare il numero dei loro punti di intersezione in funzione di dodici quantità da cui dipende la loro rappresentazione simbolica in rapporto a due assi di coordinate. Ci volevano sei quantità per rappresentare senza ambiguità una tale figura geometrica, era là, pretendevo una delle mie scoperte, in effetti una semplice constatazione che fino a quel momento io non sapevo dedurre nulla. Presi un quaderno; vi erano dei calcoli su una nuova classe di numeri di cui mi credevo il padre, numeri formati di due elementi estremi di una doppia ineguaglianza. Essi presentavano rispetto alle tre operazioni diverse dall’addizione delle proprietà estremamente curiose che non arrivavo a spiegarmi chiaramente; delle ricerche su ciò che chiamavo l’induzione di serie infinite e l’integrale di Parseval, su ciò che definivo l’addizione a destra e quella a sinistra dei numeri complessi e l’importanza di queste operazioni per l’analisi combinatoria. Numeri, numeri, numeri...”
Significativa è la catena di incomprensioni tra Travy e il surrealista Anglarès quando il protagonista fa visita al suo salotto-cenacolo. Travy rappresenta quei giovani intellettuali che seguono i processi della recente matematica e sanno come questa sia andata ben oltre il mero rigore logico e il calcolo efficiente, ma non cade nella trappola della suggestione metaforica esercitata dalle geometrie non euclidee, dagli oggetti topologici, o dai paradossi della logica, come l’indecidibilità di Gödel, o dalle autoreferenze, come l’insieme di tutti gli insiemi o il barbiere di Russell. Al contrario, Anglarès, sostiene che le nuove matematiche rappresentano per i movimenti d’avanguardia la liberazione di nuove facoltà dell’immaginazione: gli oggetti e le strutture della matematica moderna come “bagaglio di metafore”, come investimento estetico, ma senza reale comprensione. Egli rappresenta il prototipo di tutta quella serie di intellettuali non specialisti affascinati e confusi che saranno ridicolizzati alla fine del secolo dalla burla intellettuale di Sokal e Bricmont
– Non esiste un solo mondo, – gli dissi, – quello che lei vede o che crede di vedere o che immagina di vedere o che vuole vedere, quel mondo che toccano i ciechi, sentono i mutilati e annusano i sordi, quel mondo di cose e di forze, di solidità e di illusioni, di vita e di morte, di nascite e di distruzioni, il mondo in cui viviamo, in mezzo al quale siamo soliti addormentarci. Per quel che ne so io ne esiste almeno un altro quello dei numeri e delle figure, delle identità e delle funzioni, delle operazioni e dei gruppi, degli insiemi e degli spazi. C'è gente, come sa, che pretende si tratti solo di astrazioni, costruzioni, combinazioni. Vogliono far credere a una specie di architettura; si prendono degli elementi della natura, si affinano, si puliscono, si prosciugano e lo spirito umano costruisce con questi mattoni una casa splendida, magistrale testimonianza della potenza della sua ragione... ma in realtà le cose non vanno così; non all'architettura, all'edilizia bisogna paragonare la geometria o l'analisi, ma alla botanica, alla geografia, alle scienze fisiche. Si tratta di descrivere un mondo, di scoprirlo e non di costruirlo o inventarlo perché esiste al di fuori dello spirito umano e indipendentemente da esso. Dobbiamo esplorare questo universo e dire poi agli uomini quel che ci abbiamo visto, dico proprio: visto. Ma per esprimerlo, occorre un linguaggio: quello dei segni e delle formule, quello che si considera comunemente l'essenza stessa della scienza e non ne è che il modo di espressione. Questo linguaggio si rivela ancor più impotente a descrivere le ricchezze del mondo matematico che non la lingua francese a formulare la molteplicità delle cose, poiché esse non si situano allo stesso livello di esistenza. C'è peraltro una specie di filologia matematica che si chiama logistica. Ma forse l'annoio? 
(...)
– È impossibile risolvere algebricamente le equazioni di grado superiore al quarto, eccetto in particolarissimi casi. In generale non si può. 
– Il fatto è che non ci si sa fare. 
– Si può dimostrarlo. 
– Ma è scandaloso. 
– Proprio così. È scandaloso perché esiste una realtà ribelle al linguaggio algebrico-logico, una realtà che ci supera e che non si può esprimere con un linguaggio inventato dalla nostra ragione, perché tiene in scacco il meccanismo di ricostruzione razionale di quel mondo. (...) Ma non creda che le cose si fermino qui e che l'intelligenza rinunci a proseguire l'esplorazione di quel campo. Si scontra con un ostacolo, cerca di superarlo, e tramite una nuova teoria, la teoria dei gruppi, scoprirà nuove meraviglie. Certamente uno spirito potente concepirebbe questo reale in un sol lampo; la nostra debolezza ci obbliga a dei sacrifici. 
– È maledettamente idealista, continui, quel che mi racconta. 
– Vuole dire realista: i numeri sono delle realtà. Esistono i numeri! Esistono come questo tavolo, più di questo tavolo eterno esempio dei filosofi, infinitamente più di questo tavolo bang!


Travy esprime qui l’opinione platonista di Queneau, e che si trova tra molti matematici moderni (e in scrittori interessati alle scienze esatte come Borges), che la matematica esiste al di fuori dell’uomo, non è una sua invenzione, non è la mera manipolazione di simboli inventati di cui era invece convinto Hilbert. Essa è invece un mondo che l’uomo esplora. I matematici non inventano gli oggetti matematici, bensì li scoprono. 

Nel suo rapporto con i numeri, Queneau considerò sempre se stesso un dilettante (nel vero senso della parola), un “buongustaio di cifre”. Ciò non gli impedì di essere aggiornato su suoi sviluppi attraverso letture specifiche, una pratica costante, e la partecipazione ai seminari dei maggiori matematici operanti a Parigi. 

Nel 1948 entrò nella Société mathématique de France e, dal 1963, fu membro dell’American Mathematical Society. Da quell’anno partecipò ai seminari di ricerca operazionale e di calcolo dei grafi. Dal suo diario sappiamo che negli anni Cinquanta era in contatto con i principali esponenti del gruppo di Bourbaki e che incontrava regolarmente a cena il logico matematico austriaco Georg Kreisel (1923), che allora insegnava a Parigi, con il quale discuteva delle principali innovazioni matematiche. 

Nella vasta bibliografia di Queneau, a dimostrazione del radicamento del suo interesse e della competenza acquisita, è presente persino una vera e propria pubblicazione matematica. Si intitola Sur les suites S-additives (e il lettore accorto avrà notato l’allitterazione…), che fu presentato da André Lichnerowicz come nota all’Accademia delle Scienze francese durante la seduta del 6 maggio 1968 e in seguito fu pubblicato (in francese!) sul Journal of Combinatorial Theory (12, p. 31, 1972) con la presentazione di Giancarlo Rota. In 41 pagine si succedono definizioni, teoremi con le loro dimostrazioni e un certo numero di congetture, tutti frutto dell’elaborazione di Queneau nel campo della teoria dei numeri. Altro che “due culture!” 

Queneau ha rappresentato la ricerca più significativa realizzata nel Novecento di una sintesi tra scienza e umanesimo, di cui possiamo leggere le basi teoriche in questo brano nel quale Queneau individua negli ambiti della Scienza e dell'Arte un'identica costituzione genetica: 
“L'ideale che si sono costruiti gli scienziati nel corso di tutto questo inizio di secolo è stato una presentazione della scienza non come conoscenza ma come regola e metodo. Si dànno delle nozioni (indefinibili), degli assiomi e delle convenzioni. Ma questo non è forse un gioco che non ha nulla di diverso dagli scacchi o dal bridge? Prima di procedere nell'esame di questo aspetto della scienza, ci dobbiamo fermare su questo punto: la scienza è una conoscenza, serve a conoscere? [...] che cosa si conosce in matematica? Precisamente: niente. E non c'è niente da conoscere. Non conosciamo il punto, il numero, il gruppo, l'insieme, la funzione più di quanto "conosciamo" la Realtà Concreta Terrestre e Quotidiana. Tutto ciò che conosciamo è un metodo accettato (consentito) come vero dalla comunità degli scienziati, metodo che ha anche il vantaggio di connettersi alle tecniche di fabbricazione. Ma questo metodo è anche un gioco, più esattamente quello che si chiama un jeu d'esprit. Perciò l'intera scienza, nella sua forma compiuta, si presenta e come tecnica e come gioco. Cioè né più né meno di come si presenta l'altra attività umana: l'Arte”. (1)
1) In La matematica nella classificazione delle scienze (1938), ora in Segni, cifre e lettere e altri saggi, cit.