domenica 15 aprile 2018

La moltiplicazione delle geometrie (1): Gauss, Lobacevskij, Bolyai

I dubbi sul quinto postulato - Euclide (III sec. a. C.) pose all'inizio dei suoi Elementi una serie di "definizioni" (es.: "Un punto è ciò che non ha parti") e "nozioni comuni" (es.: "Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità) uguali le somme sono uguali") e cinque "richieste” (postulati). Questi enunciati dovevano fornire tutte le informazioni necessarie per inferire i teoremi e risolvere i problemi della geometria: essi dovevano essere in ogni caso essere accettati, o le dimostrazioni non sarebbero state valide.

Tuttavia, il quinto postulato sembra più un atto di fede che un fatto evidente. Il testo di Euclide può essere reso come segue: "Se una linea retta [c] che cade su due linee rette [a e b] rende gli angoli interni sullo stesso lato meno di due angoli retti, le due linee rette [a e b], se prolungate indefinitamente, si incontrano su quel lato su cui si trovano gli angoli inferiori ai due angoli retti"). La frase sembra oracolare, tuttavia può essere facilmente parafrasata come una ricetta per costruire triangoli, (Figura 1). Ogni triangolo è formato da tre linee rette complanari che si incontrano, a coppie, in tre punti. Dato qualsiasi segmento PQ, si traccia una linea retta a che passa per P e una linea retta b che passa per Q, in modo che a e b giacciano sullo stesso piano; si verifica che gli angoli che a e b formano con PQ su uno dei due lati di PQ hanno una somma inferiore a due angoli retti; se questa condizione è soddisfatta, dovrebbe essere garantito che a e b si incontrano in un punto R sullo stesso lato di PQ, formando così il triangolo PQR. Se il postulato viene rifiutato, diciamo, perché crediamo che il mondo sia finito, e che non ci sia spazio per accogliere il vertice R se gli angoli interni in questione si sommano a poco meno di due angoli retti, allora gran parte del sistema di Euclide della geometria non sarà valido.


Nelle epoche che seguirono, il senso di libertà matematica di Euclide andò perduto e i matematici si aspettavano che la geometria poggiasse su basi evidenti. Le ricerche sul postulato delle parallele iniziarono già al tempo dei greci antichi, continuarono nel mondo islamico e furono riprese in Occidente agli inizi dell’era moderna. Ora, se a è perpendicolare e b è quasi perpendicolare a PQ, a e b si avvicinano molto lentamente su un lato di PQ e non è scontato che alla fine si incontrino da qualche parte su quel lato. Dopo tutto, l'iperbole si avvicina indefinitamente ai suoi asintoti e tuttavia, in modo dimostrabile, non li incontra mai. Nel corso dei secoli, diversi autori hanno tentato una dimostrazione del postulato di Euclide. John Wallis (1616-1703) la derivò dicendo che, dato un triangolo qualsiasi, si può sempre costruirne un altro simile (cioè con gli stessi angoli), di grandezza arbitraria, ma questa ipotesi ha bisogno a sua volta di una prova. Girolamo Saccheri (1667-1733), dalla negazione del postulato di Euclide dedusse una lunga serie di proposizioni, finché non ne raggiunse una che giudicò "ripugnante alla natura della linea retta". Ma la comprensione di Saccheri di questa "natura" era radicata nella geometria euclidea e il gesuita ligure dovette ammettere il suo insuccesso. Anche il matematico alsaziano Johann Heinrich Lambert (1728–1777), dopo aver dimostrato l’irrazionalità di π, aveva affrontato il problema delle parallele e aveva pensato a una specie di geometria sferica, ma era rimasto sconcertato da un concetto che faceva a pugni con l’intuizione comune e con l’ombra dello spazio unico e a priori dell’amico e corrispondente Kant,
che bloccò ogni sua possibile speculazione su possibili geometrie non euclidee.

Fu solo agli inizi dell’Ottocento che diventò più facile immaginare che gli Elementi potessero non essere il solo possibile sistema di geometria metrica. Tra i fattori che possono essere indicati per spiegare come l’impensabile divenne pensabile anche al di fuori della comunità dei matematici, fu l’accumularsi di sfortunati tentativi basati su assiomi diversi dal quinto postulato per tentare di dimostrarlo. Il loro fallimento portò alcuni a prendere in considerazione l’idea che in effetti potesse esserci una geometria diversa da quella di Euclide.

Il segnale di questo mutamento fu ad esempio il professore di legge Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859), il quale, nel 1818, tramite Gerling, suo collega all'Università di Marburgo, inviò a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) una nota su una geometria molto diversa da quella euclidea. Lo scritto di Schweikart fu approvato da Gauss, che rispose che tutte le proprietà della nuova geometria potevano essere derivate una volta che fosse stato assegnato un valore a una costante che compariva nella relazione di Schweikart. Ma ciò che Gauss aveva accettato, e su quali basi, è meno chiaro. Egli aveva già trovato errori in numerose difese degli Elementi di Euclide (compreso quello contenuto negli Eléments de Géométrie del “mostro sacro” Legendre) e, con il passare degli anni diventò completamente fiducioso che esistesse una nuova geometria bidimensionale diversa da quella piana euclidea. Questa geometria poteva essere descritta da formule che egli doveva aver considerato simili a quelle della geometria sferica. Tuttavia non descrisse una geometria tridimensionale di questo tipo, lasciando aperta la possibilità che la geometria bidimensionale che si delineava fosse un qualche tipo di stranezza formale senza senso.

D’altra parte, nella corrispondenza con l’amico Heinrich Olbers, chiarì di non poter attribuire alla geometria euclidea la stessa certezza dell’aritmetica, che considerava un a priori, mentre la geometria era piuttosto come la meccanica, cioè una scienza sperimentale. In altri scritti, vedeva nell'impossibilità di decidere se la geometria euclidea fosse un a priori “la più chiara dimostrazione che Kant aveva torto ad affermare che lo spazio è solo una forma della nostra intuizione”. Anche il nipote di Schweikart, Franz Taurinus (1794-1874), pubblicò nel 1825 un’opera, Theorie der Parallellinien, che contribuì ad alimentare una diffusa incertezza sulla necessità a priori della geometria euclidea.

Il Theorema egregium - Molte di tali questioni epistemologiche ebbero uno sviluppo accelerato con l’opera Disquisitiones generales circa superficies curvas, vera pietra miliare nella storia della geometria differenziale, che Gauss pubblicò nel 1828. Gauss rifletté profondamente su cosa significasse definire una superficie, e scoprì che sono possibili tre definizioni di generalità successive. Si può supporre che almeno localmente la superficie possa essere data nella forma, z = f (x, y) per alcune funzioni f di x e y. Questo è vero per le regioni della sfera, ma non per tutte. Più in generale, si può assumere che la superficie sia costituita da quei punti (x, y, z) che soddisfano un'equazione della forma f (x, y, z) = 0, come la sfera.

L’oggetto principale dell’indagine di Gauss era tuttavia lo studio delle proprietà che sono indipendenti dalle varie forme che può assumere la superficie (oggi diremmo che cercava le proprietà invarianti per trasformazioni isometriche). Più generalmente, sosteneva Gauss, potrebbe essere che una superficie sia data localmente da tre funzioni, ciascuna di due variabili curvilinee u e v. Queste due variabili devono essere pensate come le coordinate dei punti di un piano e le funzioni x (u, v), y (u, v) e z (u, v) insieme danno le coordinate dei punti sulla superficie nello spazio. A questo punto era fondamentale definire l’elemento ds, cioè la lunghezza di un arco infinitesimo di linea di superficie. Essa si poteva esprimere nella forma:


deove E, F e G sono determinati dalle funzioni di u e v e dalle loro derivate parziali prime e seconde, e soddisfano EG ‒ F2 > 0. Questa formula, detta oggi prima forma fondamentale della superficie permise a Gauss di definire una misura della curvatura della superficie in un punto, e dimostrava che la misura della curvatura dipende solo da E, F e G e dalle loro derivate rispetto a u e v, ma non direttamente dalle funzioni x (u, v), y (u, v) e z (u, v).

L'implicazione, come lo stesso Gauss sottolineò, è che la sua misura della curvatura di una superficie in un punto è intrinseca, perché è interamente determinata dalle misurazioni nella superficie e non coinvolge in alcun modo una terza dimensione normale ad essa. Così le superfici non andavano più considerate come immerse nello spazio tridimensionale, ma piuttosto “non come contorni di corpi, ma come corpi di cui una dimensione è infinitamente piccola”, una specie di velo “flessibile ma inestensibile”.

Per definire la curvatura di una superficie, Gauss si avvalse della rappresentazione sferica. Egli associava a ciascun punto di una superficie S un punto di una superficie sferica di raggio unitario e centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali. Per ogni regione U di S, egli definiva la “curvatura integrale” come l’area della corrispondente regione f(U) sulla sfera. La misura della curvatura k della superficie in un punto P di U era allora il limite del rapporto:


Sulla figura 2, la regione f(U) sulla sfera è più grande della regione U sulla superficie, anche quando quest’ultima si restringe attorno a P. Ne deriva che il quoziente delle aree e il suo limite sono superiori a 1: la superficie è in effetti “molto curva”. Come si può constatare, più la superficie è “curva” o “appuntita” nell'intorno di P, più l’area di f(U) è maggiore in rapporto all'area U. La maggior parte delle superfici hanno una curvatura non nulla, maggiore o minore di 1. Al contrario, se la superficie S è un piano, tutti i vettori ad esso ortogonali sono paralleli tra di loro; la regione f(U) si riduce allora a un punto, quindi la sua area è nulla e il denominatore della formula è sempre nullo. Di conseguenza, la curvatura di un piano è nulla in tutti i suoi punti P.


Si davano allora tre diversi tipi di punti, a seconda che k fosse maggiore, uguale o minore di zero. La curvatura positiva era quella di un colle, quella negativa quella di una sella, quella nulla corrispondeva al piano.

Fondamentalmente, per definire la curvatura di una superficie in uno dei suoi punti, usiamo l'applicazione di Gauss che trasporta i vettori ortogonali alla superficie fino a una sfera ausiliaria di raggio uguale a 1. Così come ci vogliono solo due coordinate per localizzare qualsiasi punto sul piano euclideo, bastano due coordinate (u, v) per localizzare qualsiasi punto Q della superficie vicino a P. Tuttavia, è anche necessario avere una terza coordinata per rappresentare i vettori ortogonali sulla superficie e definire la regione f(U) che entra nella definizione geometrica della curvatura. Sembra impossibile parlare di curvatura limitata a due soli gradi di libertà interna di cui gode la superficie; la terza dimensione e l'immersione della superficie nello spazio sembrano assolutamente indispensabili; un supporto esterno sembra necessario sia per la comprensione intuitiva della curvatura sia per la sua definizione. Quindi, a prima vista, la curvatura è una nozione "estrinseca", cioè esterna alla superficie, non appartenente alla sua essenza interna e sembra dipendere fondamentalmente dalla sua forma nello spazio. Ma la grandezza di Gauss sta nell’aver saputo intuire la natura "intrinseca" nascosta in questa nozione di curvatura: infatti, grazie alla formula egregia (*), la curvatura della superficie S, i cui punti arbitrari sono identificati da due coordinate (u, v), può essere colta intrinsecamente e bidimensionalmente, senza sfera ausiliaria, senza vettori normali sulla superficie, senza terza dimensione: tale è il notevole paradosso. Ci volle tutta la perseveranza del “principe dei matematici” per compiere la scoperta della curvatura delle superfici sviluppando una formula complessa come (*), attraverso la quale il concetto di curvatura è possibile senza ricorrere a una terza dimensione spaziale.

Gauss studiò anche quando una superficie può essere mappata su un'altra in modo tale che le distanze non siano alterate: se due punti P e Q su una superficie sono distanti una distanza d, allora lo sono anche le loro immagini sull'altra superficie. Egli fu in grado di dimostrare che una condizione necessaria affinché ciò accada è che le curvature nei punti corrispondenti siano le stesse. Ad esempio, il cilindro e il piano sono localmente isometrici; sebbene curvo, il cilindro ha una curvatura zero nel senso di Gauss, proprio come il piano, ed è per questo che è possibile stampare da un tamburo rotante. Si tratta del Theorema egregium, che, detto con le parole di Gauss è:
Se si trasforma una superficie S in un'altra superficie S’ in modo che le lunghezze infinitesime di tutte le curve tracciate sulle superfici siano conservate, allora la curvatura in un punto P della prima superficie, S, è uguale a quella nel punto P’ che corrisponde ad essa sulla seconda superficie S'.
Non si capì subito che l'approccio di Gauss consentiva di definire superfici come regioni del piano con una particolare metrica, che non necessariamente devono essere ottenute dalle superfici nello spazio tridimensionale euclideo. Naturalmente, se si definisce una superficie come l'immagine di una mappa da una regione di R2 a R3, ovviamente essa è in R3. Ma se si definisce una superficie come una regione di R2 con una particolare metrica, allora non ci può essere superficie in R3 a cui corrisponde. La prima persona ad apprezzare questo fatto sembra essere stato Riemann, che, come vedremo, estese questa idea a qualsiasi numero di dimensioni.

L’opera di Gauss si conclude con un’analisi dei triangoli sulle varie superfici, in cui consegue un risultato che esporrà più tardi e che è diventato uno dei suoi teoremi più famosi:
La somma degli angoli di un triangolo formato da linee geodetiche su qualsiasi superficie, è maggiore di 180° se questa superficie è concavo-concava, e meno di 180° se questa superficie è concavo-convessa, di una quantità che ha come misura l'area del triangolo sferico corrispondente ad esso, secondo le direzioni delle normali, contando l'area totale della sfera come 720°.
La geometria iperbolica - Le prime descrizioni completamente matematiche dello spazio in termini diversi da quello di Euclide furono opera di János Bolyai in Ungheria (Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens, 1832) e, indipendentemente, da Nicolai Ivanovich Lobacevskij in Russia (Neue Anfangsgründe der Geometrie, 1835, e Geometrische Untersuchungen, 1840).

Dal 1790 Gauss aveva lavorato sull'argomento nella stessa direzione, ma si astenne dal pubblicare i suoi risultati per paura delle reazioni (“le strida dei beoti”) e, forse, perché non si era mai accorto della portata delle sue scoperte finché non venne a conoscenza delle opere di Bolyai e Lobacevskij.

Bolyai cancellò il postulato dal sistema di Euclide; la rimanente parte è la "geometria assoluta", che può essere ulteriormente specificata aggiungendovi il postulato di Euclide o la sua negazione. Tra il 1820 e il 1823, egli preparò, ma non pubblicò immediatamente, un trattato su un sistema completo di geometria non euclidea, che chiamò "geometria immaginaria" (ora conosciuta come geometria iperbolica), la geometria degli spazi curvi su una superficie a forma di sella, dove la somma degli angoli di un triangolo è inferiore a 180° e le rette apparentemente parallele non sono in realtà parallele. Nello spazio curvo, la distanza più breve tra due punti a e b è in realtà una curva, o geodetica, e non una linea retta. Pertanto, gli angoli di un triangolo nello spazio iperbolico sommano a meno di 180° e due linee parallele nello spazio iperbolico divergono effettivamente l'una dall'altra. Sebbene sia facile visualizzare una superficie piatta e una superficie con curvatura positiva (ad esempio una sfera, come una Terra), è impossibile visualizzare una superficie iperbolica con curvatura negativa, a meno che si tratti di una piccola area localizzata. Quindi il concetto stesso di superficie iperbolica sembrava andare contro ogni senso della realtà. In una lettera a suo padre, Bolyai si mostrava meravigliato di se stesso: "Dal nulla ho creato uno strano nuovo universo". Il suo lavoro fu pubblicato solo nel 1832, solo come una breve esposizione (26 pagine) nell'appendice al libro di suo padre intitolato Tentamen, quindi viene spesso chiamato semplicemente Appendice. Leggendolo, Gauss riconobbe chiaramente il genio delle idee del giovane Bolyai, ma rifiutò di incoraggiarlo, e tentò persino di rivendicare le sue idee come proprie. Sebbene avesse un'eccellente educazione nei fatti di base della matematica, la familiarità di Jànos Bolyai con la letteratura specialistica era scarsa, e egli aveva solo una conoscenza piuttosto incompleta delle conquiste contemporanee. Anche dei risultati di Gauss gli era nota solo una piccola parte; per esempio, non aveva mai sentito parlare delle indagini di Gauss sulla teoria delle superfici contenute nelle Disquisitiones generales circa superficies curvas. Né era a conoscenza del lavoro svolto da Saccheri, Lambert, Schweikart e Taurinus. Conobbe le idee di Gauss solo dopo la pubblicazione dell'Appendice, e lesse una (singola) opera di Lobacevskij molto più tardi, nel 1848. Inoltre, scoraggiato dalla notizia che Lobacevskij aveva pubblicato qualcosa di molto simile due anni prima, Bolyai si isolò dal mondo matematico e non pubblicò più nulla. Anche se in vita pubblicò solo le 24 pagine dell'appendice, Bolyai lasciò più di 20.000 pagine di manoscritti matematici quando morì (compreso lo sviluppo di un rigoroso concetto geometrico di numeri complessi come coppie ordinate di numeri reali).

Anche Lobacevskij costruì sulla negazione del postulato di Euclide un sistema alternativo di geometria, che egli soprannominò "immaginario" e tentò vanamente di verificare su scala astronomica calcolando la somma degli angoli interni dei triangoli formati da tre corpi celesti (in particolare la Terra, il Sole e Sirio). Questo tentativo di verifica sperimentale era coerente con le sue idee: la “verità” sulla geometria poteva “essere controllata in modo simile alle atre leggi fisiche, soltanto da esperienze”. Egli sosteneva che “nella natura noi abbiamo cognizione, propriamente, soltanto del movimento, senza il quale le sensazioni sensoriali sono impossibili”, perciò i concetti geometrici non sono altro che “creazioni artificiali della nostra mente, tratte dalle proprietà del movimento; ecco perché lo spazio in sé, separatamente per noi non esiste”: da far rabbrividire Kant! Da queste premesse traeva un’idea di sorprendente modernità: “talune forze della natura seguono una geometria, altre un’altra loro particolare geometria”.

Lobacevskij sosteneva che “Le linee che escono da un punto, o intersecano una data retta nel medesimo piano, oppure non si incontrano mai con essa, per quanto vengano prolungate”. Tra queste figuravano le parallele alla retta data, che costituivano così il passaggio tra le rette secanti e quelle divergenti. Poi introduceva il concetto di angolo di parallelismo μ relativo a un segmento p di perpendicolare, definito come “l’inclinazione di una linea rispetto alla perpendicolare a un’altra, parallela alla prima”.

La costruzione presentata sopra per spiegare il quinto postulato di Euclide può anche essere usata per chiarire la sua negazione. Si disegna la retta a attraverso il punto P ad angolo retto con il segmento PQ. Se il postulato di Euclide viene negato, ci sono innumerevoli linee rette che passano per Q, complanari con a, che formano angoli acuti con PQ ma che non incontrano mai a. Consideriamo l'insieme di numeri reali che corrispondono alla grandezza di questi angoli acuti. Lasciamo che il massimo limite inferiore di questo insieme sia μ. Evidentemente, μ>;0. Ci sono esattamente due linee rette attraverso Q, complanari con a, che formano un angolo di dimensione μ con PQ. (Figura 3) Chiamiamole b1 e b2. Né b1b2 incontrano a, ma a incontra ogni retta che passa per Q che è complanare con a e forma con PQ un angolo inferiore a μ. Gauss, Lobacevskij e Bolyai, all'insaputa l'uno dell'altro, concordarono nel chiamare b1 e b2 le parallele ad a passanti per Q. μ l’angolo di parallelismo per il segmento PQ. La sua dimensione dipende dalla lunghezza di PQ e diminuisce all'aumentare di quest’ultimo.


Supponiamo che l'angolo di parallelismo per PQ sia di mezzo angolo retto. In questo caso, b1 e b2 formano un angolo retto in Q e quindi abbiamo due linee rette reciprocamente perpendicolari sullo stesso piano di a, che non incontrano a.

L’angolo di parallelismo era fondamentale: se era retto, si aveva l’ordinaria geometria; se invece era minore di un retto si aveva la geometria “immaginaria”. In questa seconda ipotesi, “possiamo rappresentarci una curva, che chiameremo oriciclo, per la quale due parallele qualsiasi a una retta data sono inclinate dello stesso angolo rispetto a una corda. In pratica, l’oriciclo può essere considerato come una curva ortogonale a un fascio di rette parallele: nella geometria ordinaria tale curva è una retta, mentre in quella “immaginaria” si può pensare come il limite di un cerchio quando il suo centro si allontana all'infinito lungo la direzione delle rette del fascio (Figura 4). Allora, per due oricicli relativi al medesimo fascio di parallele, “il rapporto di loro due archi s e s’, compresi tra due parallele, dipende dalla loro distanza, in modo che s = s’ex. Se e=1 abbiamo la geometria euclidea, dove le parallele sono equidistanti in quanto s = s’; nella geometria lobacevskiana invece vale e maggiore di 1. Con queste considerazioni, egli poteva definire in modo puramente geometrico un’unità di misura assoluta dei segmenti, che corrisponde alla distanza x tra due oricicli relativi allo stesso fascio di parallele, con il rapporto tra s e s’ uguale alla base e dei logaritmi naturali.


In modo analogo, Lobacevskij introduceva la nozione di orisfera come "il limite al quale tende la sfera all’aumentare del suo raggio”. Se gli angoli di parallelismo sono retti (come nel caso euclideo), l’orisfera è un piano, altrimenti essa è una superficie curva, sui cui la geometria è tuttavia una geometria sferica standard. Basandosi su questo, Lobacevskij sosteneva che ogni contraddizione che fosse sorta nella sua geometria sarebbe inevitabilmente stata accompagnata da una contraddizione nella geometria euclidea.

La geometria di Lobacevskij abbonda di teoremi sorprendenti (molti dei quali erano già stati trovati da Saccheri). Eccone alcuni: i tre angoli interni di un triangolo si sommano a meno di due angoli retti. La differenza o "difetto" è proporzionale all'area del triangolo. Quindi, nella geometria lobacevskiana, triangoli simili sono congruenti (Figura 5). Inoltre, se un triangolo è diviso in triangoli più piccoli, il difetto dell'insieme equivale alla somma dei difetti delle parti. Poiché il difetto non può essere maggiore di due angoli retti, l'area dei triangoli ha un limite finito. Se un quadrilatero, per costruzione, ha tre angoli retti, il quarto angolo è necessariamente acuto. Quindi, nella geometria lobacevskiana, non ci sono rettangoli. Tutta la teoria euclidea della similitudine decadeva.

Naturalmente è vero che nessun insieme di deduzioni consistenti nella nuova geometria escludeva la possibilità che esistesse una contraddizione, ma l’affascinante relazione della nuova geometria con quella euclidea sferica, e l’esistenza di formule trigonometriche per i triangoli, suggeriva con forza che la nuova geometria fosse come minimo consistente.

Non c’era solo il fatto che esistevano le formule della geometria sferica, ma esse implicavano una formulazione alternativa della geometria, della quale quella descritta da Euclide negli Elementi avrebbe potuto essere un caso particolare. Se ci potesse essere stato un altro modo di definire la geometria, che portava a queste formule in diversi casi, si sarebbe aperta la via a ripensare tutte le domande sulla geometria sollevate dall'esame critico. La persona più adatta per far ciò negli anni ‘30 e ‘40 era Gauss. Egli conosceva benissimo l’opera di Bolyai e Lobacevskij, e la sua geometria differenziale gli forniva i mezzi per procedere, ma, curiosamente, egli non lo fece. Nei primi anni ‘40 scrisse alcune note che mostrano che poteva mettere in relazione la nuova geometria bidimensionale con la geometria di una superficie a curvatura negativa costante, ma egli non trasse nulla di questa osservazione, o almeno non la pubblicò.

La nuova geometria poneva una sfida radicale a quella euclidea, perché negava ad essa la sua miglior pretesa di certezza, cioè che era l'unico sistema logico per discutere della geometria in generale. Essa sfruttò anche la tensione nota agli esperti tra i concetti di più diretto e di più breve. Ma per altri versi era convenzionale. Non offriva nuove definizioni di concetti familiari come rettilinearità o distanza, concordava con la geometria euclidea sugli angoli, offriva semplicemente un'intuizione diversa sulle linee parallele basata su un’idea differente del comportamento su lunghe distanze delle linee rette. I suoi sostenitori non offrirono una conclusione scettica. Bolyai e Lobacevskij non dissero: "Esistono due geometrie logiche ma incompatibili, quindi non potremo mai sapere cosa è vero". Mantennero invece la speranza che gli esperimenti e le osservazioni avrebbero dato una risposta. Il prezzo epistemologico che si sarebbe dovuto pagare se le osservazioni astronomiche fossero state a favore della nuova geometria sarebbe stato, in un certo senso, lieve: sarebbe stato necessario dire che le rette hanno una proprietà dopo tutto inaspettata, ma rilevabile solo su lunghe distanze o con potenti strumenti, non disponibili allora, per ridurre gli errori di misurazione. Sicuramente molti dei teoremi della geometria bidimensionale avrebbero dovuto essere rielaborati, e le loro familiari controparti euclidee sarebbero apparse solo come ottime approssimazioni. Ma ciò è ampiamente paragonabile alla situazione in cui la meccanica newtoniana si trovò dopo l'avvento della relatività speciale.

La geometria descritta da Gauss, Lobacevskij e Bolyai ricevette poca attenzione prima della fine degli anni '60 del XIX secolo. Quando i filosofi se ne accorsero, le loro opinioni furono divise. Alcuni la consideravano un esercizio formale di deduzione logica, senza alcun significato fisico o filosofico, che impiegava parole ordinarie (come "retta" o "piano") con un significato nascosto. Altri la accolsero come una prova sufficiente che, contrariamente alla tesi allora dominante di Kant, la geometria euclidea non fornisce alcun pre-requisito dell'esperienza umana e che la struttura geometrica dello spazio fisico è aperta alla ricerca sperimentale. Altri ancora concordavano sul fatto che le geometrie non euclidee fossero alternative legittime, ma sottolinearono che la progettazione e l'interpretazione degli esperimenti fisici presuppongono generalmente una geometria definita e che questo ruolo era stato anticipato dal sistema di Euclide. Per i matematici la nuova geometria sarebbe probabilmente stata solo una strana curiosità, se non si fosse trovata una nicchia all'interno delle geometrie proiettiva e differenziale, le due correnti principali della ricerca geometrica del diciannovesimo secolo.

mercoledì 11 aprile 2018

Poesie d’amore per matematici

Matchmaking as a Combinatorial Exercise

I’ve browsed the combinations:
seven billion choose two.
That’s 24 quintillion –
It took some time to do.

The brute-force search was worth it, though,
to prove my theorem true:
“No couple in the space compares
to pairing me with you”.

Favorire incontri come esercizio combinatorio

Ho dato un’occhiata alle combinazioni:
sette miliardi sopra 2 (il binomiale).
Fa 24 milioni di milioni di milioni:
ci è voluto del tempo mica male.

La dura ricerca è convenuta, tuttavia,
per provare che il teorema si regge da sé:
“Nello spazio non c’è coppia, cara mia,
che uguaglia la combinazione tra me e te”

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The Limitations of Proof

I cannot prove I love you.
I don’t meant to be rude.
But I cannot prove I love you --
Not with any certitude.

There’s no good proof I love you,
and I know that sounds phlegmatic.
It’s not that I don’t love you –
Just, the love is axiomatic.

Limiti della dimostrazione

Non posso dimostrare che ti amo,
non voglio sembrare privo di dolcezza
Ma non posso provare che ti amo
senza un margine di incertezza.

Non c’è una buona prova che ti amo,
e capisco di sembrar flemmatico.
No, non è che non ti amo,
solo che l’amore è assiomatico.

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Roses Are Roses

Roses Are Roses:
logic is logical;
I love you so plainly
It’s just tautological.

Le rose sono rose

Le rose sono rose;
la logica è logica;
ti amo così semplicemente
che è cosa tautologica.


(da Math with Bad Drawings)

martedì 10 aprile 2018

La dimostrazione matematica come dramma


Dennis Guedj ha usato la bella metafora del "dramma dell'assiomatica" per descrivere il fatto che, in una teoria matematica assiomatizzata, i contenuti di un teorema sono impliciti negli assiomi e che, nella derivazione di un teorema dagli assiomi, c'è un'inesorabilità del tipo che caratterizza un dramma. Forse possiamo chiederci quali siano i dettagli del percorso dagli assiomi al teorema (cioè i dettagli della trama), ma non vi è alcuna via di fuga da un possibile epilogo della storia.

In realtà, Guedj sembra riferirsi a ciò che viene definito “dramma chiuso”, tipico della tradizione greca antica, in cui l'azione, condotta in modo disciplinato, segue uno sviluppo continuo e le singole scene sono legate da rapporti di causalità: la scena C deve seguire per forza la scena B e deve precedere la scena D. Nel dramma greco (e in quelli successivi che ne hanno adottato lo schema fondamentale) vigono i vincoli di azione, tempo, luogo, personaggi e linguaggio.

Per fortuna esiste anche un “dramma aperto”, moderno, da Shakespeare in poi, dove il filo conduttore dell'azione non è riconoscibile in modo univoco. La successione delle azioni si può ricostruire solo mediante la coesione delle scene complementari. Gli episodi si susseguono in modo abbastanza autonomo e si collegano tra loro più per affinità di contesto che per consequenzialità temporale o di azione. Ogni scena si rifà all'intera problematica del dramma (quasi una “ricapitolazione”), in modo da sembrare autonoma e permutabile. Nel dramma aperto anche i livelli stilistici e i registri espressivi vengono mescolati.

Nella matematica moderna, e penso a una dimostrazione come quella di Andrew Wiles della congettura di Fermat, nella dimostrazione si cerca la perfetta complementarità delle tecniche usate (analitiche e geometriche), anche se a prima vista lontane: un risultato di per sé di enorme valore, che costituisce una parte innovativa della dimostrazione del teorema stesso. L'enorme lavoro interessa in maniera approfondita diverse branche della matematica, con un utilizzo e un perfezionamento originali di strumenti potenti ed inediti, e con l’uso di una commistione di vari linguaggi specialistici.
Il “dramma” della dimostrazione moderna, che contempla anche strumenti un tempo impensabili come l’enorme capacità di calcolo del computer, consiste tuttora della necessità del rispetto degli assiomi di partenza, ma lo sviluppo dell’azione può fare a meno, superandoli e integrandoli, dei vincoli “aristotelici” dati dall'ambito e dal linguaggio settoriale, o da un’impostazione schematicamente rigorosa, direi bourbakista. È questo che rende la matematica moderna difficile, appassionante e sempre più articolata grazie alle continue estensioni e generalizzazioni. Come ha scritto il matematico brasiliano-canadese Paulo Ribenboim:
“Non c’`e alcun epilogo. La ricerca continua. Nuovi metodi verranno inventati per risolvere nuovi problemi. O, al contrario, nuovi problemi motiveranno la ricerca di nuovi metodi. Ciò è quanto di meglio possa accadere, poiché è proprio il provare e riprovare, alla ricerca delle risposte alle sue questioni più profonde, che nutre la matematica.”

giovedì 5 aprile 2018

I tristi matematici di Enzensberger

I matematici

Radici radicate in nessun luogo,
illustrazioni per gli occhi chiusi,
sezioni, fasci, pieghe, fibre:
questo mondo di tutti il più bianco
con i suoi fasci, tagli e coperture
è la tua terra promessa.

Altezzoso ti perdi
nel soprannumerario, in quantità
di vuoti, magri, estranei
in sé densi e oltre le moltitudini.

Conversazioni spettrali
tra scapoli:
la congettura di Fermat,
l'obiezione di Zermelo,
il Lemma di Zorn.

Da illuminazioni fredde
già abbagliato da bambino,
ti sei allontanato
scrollando le spalle,
dai nostri sanguigni piaceri.

Incappato senza parole,
inconsapevolmente,
guidato dall'angelo dell'astrazione,
sui campi di Galois e le aree di Riemann,
in ginocchio nella polvere di Cantor,
attraverso le stanze di Hausdorff.

Poi, a quarant'anni, ti siedi
o teologo senza Geova,
calvo e con il mal di montagna
in abiti stagionati
di fronte alla scrivania vuota,
bruciato, o Fibonacci,
o Kummer, o Godel, o Mandelbrot,
nel purgatorio della ricorsione.

In: Hans Magnus Enzensberger: Zukunftsmusik. Suhrkamp Verlag, Frankfurt / M. 1993

Che cosa ha Enzensberger contro i matematici? Persi in astrazioni definite spettrali, altezzosi, sradicati fin da bambini, sciatti, vecchi prima del tempo, raggrinziti dal sole della loro passione, privi di moglie, di parola e di Dio? Che cos’è questa litania ripetuta di nomi di matematici antichi e moderni, creatori di paesaggi che sembrano gironi di un Purgatorio (della ricorsione)? Eppure Enzensberger, instancabile costruttore di ponti tra le due culture, proprio a Gödel aveva dedicato un omaggio, e sulla matematica aveva scritto un pregevole e fortunato libro, Il Mago dei Numeri. Viene il dubbio che lo scrittore tedesco stia parlando anche di altri, consanguinei nello spirito, vicini nell'immaginazione: i poeti come lui stesso. Nel Purgatorio che li ha chiamati, e che si sono scelti, il fuoco brucia con fiamma che non consuma.



Die Mathematiker

Wurzeln, die nirgends wurzeln,
Abbildungen für geschlossene Augen,
Keime, Büschel, Faltungen, Fasern:
diese weißeste aller Welten
mit ihren Garben, Schnitten und Hüllen
ist euer gelobtes Land.

Hochmütig verliert ihr euch
Im Überabzählbaren, in Mengen
Von leeren, mageren, fremden
In sich dichten und Jenseits-Mengen.

Geisterhafte Gespräche
Unter Junggesellen:
Die Fermatsche Vermutung,
der Zermelosche Einwand,
das Zornsche Lemma.

Von kalten Erleuchtungen
schon als Kinder geblendet,
habt ihr euch abgewandt,
achselzuckend,
von unseren blutigen Freuden.

Wortarm stolpert ihr,
selbstvergessen,
getrieben vom Engel der Abstraktion,
über Galois-Felder und Riemann-Flächen,
knietief im Cantor-Staub,
durch Hausdorffsche Räume.

Dann, mit vierzig, sitzt ihr,
o Theologen ohne Jehova,
haarlos und höhenkrank
in verwitterten Anzügen
vor dem leeren Schreibtisch,
ausgebrannt, o Fibonacci,
o Kummer, o Gödel, o Mandelbrot,
im Fegefeuer der Rekursion.

domenica 1 aprile 2018

Il sonetto illustrato di Giovanni Battista Palatino, alle origini del rebus

Il rossanese Giovanni Battista Palatino (ca. 1510 – ca. 1575), insigne calligrafo, antiquario e letterato, pubblicò tra il 1540 e il 1545 un celebre testo sui tipi di modelli calligrafici (oggi li chiameremmo font) più usati nella sua epoca. Il libro è considerato uno dei più belli e completi del suo genere. In suo onore, alla fine degli anni ’40 del secolo scorso, si inventò il font Palatino Linotype, considerato da molti uno dei più leggibili ed eleganti. 

Diventato cittadino romano attorno al 1538, Palatino, pubblicò nel 1540 il “Libro nuovo d'imparare a scrivere tutte sorte lettere antiche et moderne di tutte nationi, con nuove regole misure et essempi, con un breve et utile trattato de le cifre”, che apparve a Roma, editore Benedetto Giunti, tipografo Francesco Cartolari, che ebbe presto altre edizioni rivedute e ampliate. Oltre a una bella rassegna dei caratteri alfabetici e numerici, il volume conteneva anche un curioso sonetto illustrato, uno dei primi, ingenui e tuttavia sagaci, esempi di rebus in lingua italiana. Il sonetto tratta del rimpianto per una bella e intelligente donna morta precocemente. La metrica pare zoppicare e lo stile non è dei migliori, ma l’idea è senza dubbio geniale.


Dove son gli occhi, et la serena forma,
del santo alegro, et amoroso aspetto?
Dov’è la man eburna, ov’è ‘l bel petto
Ch’appensarvi hor in fonte mi trasforma?

Dov’è del fermo pié, quella sant’orma
col ballar pellegrin pien di diletto?
Dov’è ‘l soave canto, et l’intelletto,
che fu d’ogni valor prestante norma?


Dov’è la bocca e l’aure viole,
l’abito vago, et l’alme treccie bionde,
che facean nel fronte un nuovo sole?

Lasso che poca terra hoggi l’asconde
non la retruova il mondo, amor si duole
ch’ardendo io chiami ogn’hor chi non risponde.

sabato 31 marzo 2018

Il poliedro di Meglepett Egér

Il capitolo XXXIX de La vita: istruzioni per l’uso di Georges Perec (1978, in Italia Rizzoli, 1984) è dedicato alla descrizione dell’appartamento del vecchio critico d’arte e bibliovoro Léon Marcia. Tra le pubblicazioni in varie lingue che vi si trovano, una rivista jugoslava (“Arte”) riporta in copertina l’illustrazione di un’opera dello scultore ungherese Megeplett Egér:
“Sulla copertina di Umetnost, che nasconde quasi del tutto quella del Barlington, è fotografata un’opera dello scultore ungherese Megeplett Eger: placche di metallo rettangolari fissate una all’altra in modo da formare un solido con undici facce”.
Invano il lettore cercherebbe notizie di questo artista, che è completamente inventato. In ungherese, l’aggettivo meglepett significa “sorpreso”, o “stupito” e il sostantivo egér significa “sorcio”. Un “topo sorpreso”, dunque, che in francese dà origine all’allitterazione tutta perecchiana souris surprise. Invano si cercherebbe anche una riproduzione della scultura, perché, semplicemente, un solido del genere non può esistere.

Sappiamo che il capolavoro di Perec si basa su una complessa geometria di contraintes, cioè di costrizioni auto-imposte (contrassegno e precetto della letteratura potenziale degli oulipiani) che in qualche modo “guidano” la scrittura. Ognuno dei 99 capitoli dell’opera dello scrittore francese rispetta un catalogo di ben 42 di questi vincoli, che riguardano colori, forme, quadri, stili dei mobili, figure, materiali, ecc., che devono comparire più o meno esplicitamente. In ciascuna di queste liste figurano almeno due oggetti geometrici, una “superficie” (triangolo, rettangolo, ecc.) e un “volume” (piramide, cono, cubo, ecc.).

Nel capitolo di cui ci occupiamo, ad esempio, dovevano comparire, tra le altre cose, un poliedro e un rettangolo. Anzi, 11 rettangoli, secondo un’ossessione per questo numero che si riscontra in molte opere di Perec. Non sorprende che la lista di contraintes comprendeva in questo caso anche un metallo, un topo e la sensazione dello stupore!

Quanto al solido, esso non può esistere, sulla base di semplici considerazioni geometriche. Si possono accostare tre rettangoli, come nei vertici di un parallelepipedo rettangolo, o di un cubo. In un poliedro i rettangoli si uniscono per forza a gruppi di tre: quattro rettangoli (quattro angoli retti) formerebbero un piano, mentre cinque o più non darebbero niente di convesso

Con 11 rettangoli (aventi ciascuno quattro vertici), riuniti in gruppi di tre, il poliedro avrebbe 44/3 vertici! Un poliedro le cui facce sono dei rettangoli deve avere per forza un numero di facce divisibile per tre.



Il poliedro rappresentato nella figura rappresenta quanto di più vicino si può trovare alla scultura di Meglepett Egér. Esso ha dodici facce, e tutte sono dei quadrilateri. Queste facce, tuttavia, non possono essere tutte dei rettangoli: ci sono quattro vertici nei quali si raggruppano quattro facce, senza che si formi un piano. Dalla formula di Eulero per i poliedri, sappiamo che, in un poliedro convesso, se F, S e V rappresentano i numeri rispettivamente di facce, spigoli e vertici, deve essere:

F + V – S = 2

Il poliedro ha dodici facce, 24 spigoli e 14 vertici. Si possono utilizzare al massimo sei rettangoli (i tre quadrilateri in alto di fronte a noi e, simmetricamente, i tre in basso in fondo). Il solido rappresentato mostra solo undici delle dodici facce del poliedro, di cui sei sono dei rettangoli (due in realtà sono dei quadrati) e sei sono dei rombi, una è un parallelogrammo; la faccia mancante sarà anch'essa un parallelogramma, e apparirà come un buco se si volesse costruire il poliedro.

Questo poliedro può essere costruito invece con dei quadrilateri a forma di rombo. Si tratta allora di un dodecaedro rombico (o rombododecaedro). Si possono impilare dei dodecaedri rombici per riempire lo spazio, così come degli esagoni regolari possono tassellare il piano. Questa struttura geometrica si trova nei cristalli di granato. Non sembra un caso che Perec si fosse informato anche sulla cristallografia, poiché il cristallo di granato compare in La vita: istruzioni per l’uso nel capitolo XCVI, dove si può leggere:
(…) sul comò, un’opera voluminosa rilegata in cuoio bianco, il Grande Dizionario della Cucina, di Alexandre Dumas, e, in una coppa di vetro, dei modelli di cristallografia, pezzi di legno minuziosamente intagliati che riproducono qualche forma oloedrica ed emiedrica dei sistemi cristallini: il prisma retto a base esagonale, il prisma obliquo base romboidale, il cubo spuntato, il cubo ottaedro, il cubo dodecaedro, il dodecaedro romboidale, il prisma esagono-piramidale”.

Il capitolo descrive l’appartamento del dottor Dinteville, il cui bagno è pavimentato proprio da piastrelle esagonali.

mercoledì 21 marzo 2018

e a te x (ex)


Questa poesia è stata condivisa dai sempre degni di lode Rudi Mathematici sulla loro pagina Facebook. Si tratta di un piccolo, grazioso, capolavoro di umorismo poetico-matematico dedicato al numero e, che viene fatto parlare in prima persona, e alla funzione esponenziale. L’originale inglese, scritto da Zoe Griffiths (“a maths communicator who visits schools with Think Maths to give engaging talks and workshops. She likes poetry!”), corredato dai simpatici disegni che ho riprodotto, si trova su una recente pagina della rivista elettronica Chalkdust, dedicata alle curiosità matematiche. Su invito dell’amica matematta Annalisa Santi, ho provato a tradurla in italiano.

e a te x

Sono e,
se non conosci me
io vivo
tra il due e il tre.

Questa è la mia storia.

Sono incompreso,
mi credono un mero 2,71
ma c’è qualcosa di me
che non vede nessuno
e vorrei che fosse inteso.

E il chiamarsi come una lettera
rende le cose un macello!
Gli altri numeri mi burlano anche per quello.

Così dico loro – guardate cosa posso fare,
intendo, sono certo il solo numero
che ha camminato sulla terra
e che si è espresso in rime?

Ma non è così attraente, non è elitario,
si tratta invece d’essere bravi
ad esprimersi in modo frazionario.

Altrimenti dicono che in te c’è qualcosa di sbagliato.
Sei pazzo,
irrazionale.

I numeri naturali possono considerarsi fortunati.
Essi possono facilmente trovare il loro spazio
perché il nostro posto
su quella linea
è definito
dalle nostre cifre
e io non so nulla del mio.

Ma ci fu un tempo
in cui eravamo in tre a non adattarsi.
Anche π non sapeva
esattamente dove stare, o collocarsi,
e poi c’era i.
Lei era in una sua propria dimensione!

Pensai che noi tre
eravamo predestinati,
eravamo tutti parte della stessa identità.

Ma poi crescemmo.

Incominciai a vedere π da un diverso angolo
aveva delle belle gambe,
amavo quel resto del suo corpo che era essenzialmente un rettangolo.

Uscimmo assieme un paio di volte.

Ma poi venne il Pi Day:
tre, quattordici.
Lasciò che la approssimassero!

E lei diventò
una sensazione notturna,
un nome famigliare,
uno di quei volti
che tutti conoscono.

E perduta in quel mondo di approssimazione insensata
di se stessa non mi avrebbe lasciato più di due decimali!

Passò del tempo,
e anche la mia vecchia amica i ed io ci allontanammo,
la spensieratezza della giovinezza
sostituita dalla fermezza
dell’età,
cominciai a vedere ciò che mi avevano detto
e che mi rifiutavo di credere:
i era immaginaria!

Potreste chiedervi che ne penso di t.
Lei è due volte il numero che π per sempre sarà,
ma π t sono simili
e per me tutto ciò era un po’ famigliare:
è solamente troppo π.

Ora basta, torniamo a me solitario.
È stata dura
e dire che non sono un numero negativo.

Ma poi
la incontrai,
x.

Disse “sono x
Chiesi “sei un simbolo di moltiplicazione?”
Ridacchiò, “Lo sento tutte le volte”,
“No, sono x arricciata,”
Disse.

Lei la riccia x, è una sorta di x formosa,
ma non è questo,
non sono uno che dà giudizi
basati su cifre o forme,
lei è diversa,
è divertente.

Ed è vero,
posso sempre far conto su di lei
e ciò mi piace pure.
Con lei è dove ho sempre voluto stare,
voglio che lei sia la mia quantità incognita!

Così le ho scritto una poesia,
e a te x”,
(era meglio di così).

La aprì, con esitazione,
la lesse, con imbarazzo,
ad alta voce,
altri numeri poteva sentirla!
Mai avrei voluto così tanto
davvero
sparire.

e a te x, questa poesia che ho scritto,
questa parte di me che ho dato
era fatta per far sentire proprio bene,
ma si rivelò il contrario.
Era l’inverso del naturale
(logaritmo?)

In realtà quella poesia non è mai esistita.
L’ho solo sognata.
È il ventunesimo secolo:
le ho fatto una videochiamata.

L’ho inviata e in essa ho gridato,
finché l’ha letta, e ha replicato.

Su che cosa ha detto non dirò niente
Ma il poco che si è impresso nella mia mente
È la riga finale, una stringa di x.

La prima era la x formosa,
che è il suo nome,
le altre erano per dire
che voleva vedermi ancora.

E se ti preoccupa che ciò che è in fondo
uno scherzo sui numeri
abbia fatto qualcosa d’imprevisto al tuo cuore,
allora vergogna!
Anche i numeri provano sentimenti.

Così questa storia riguarda me e x
E il numero che mi ha mostrato che posso essere,
sono e, vivo tra il 2 e il 3
non so dove esattamente
Non me ne importa!

Con x, vedo le cose con sguardo diverso,
rido in faccia
alla davvero ridicola coda dei numeri.

Io sono me, io sono e!

domenica 18 marzo 2018

Un sonetto per János Bolyai

L’ungherese János Bolyai (1802 – 1860) fu, con Lobachevskij, Gauss e Riemann, uno degli scopritori della geometria non-euclidea, un’assiomatizzazione diversa dalla classica geometria euclidea, basata sulla contestazione del postulato sulle parallele. Questa scoperta di una visione alternativa dello spazio, logicamente consistente, aprì la strada per l’esplorazione di nuovi mondi geometrici, che avrebbero portato alla nascita di straordinarie interpretazioni di come è fatto l’universo.

Annunciando la scoperta della geometria iperbolica, Bolyai scriveva il 3 novembre 1823 al padre Farkas, anch’egli matematico, e compagno di studi di Gauss, da Temesvár (Timişoara), allora parte dell’Impero Austro-Ungarico:
“Ho raggiunto risultati così straordinari da restare attonito io stesso, e sarebbe un gran peccato che ciò vada perduto. Quando li vedrete, caro padre, anche voi capirete. Ora posso solo dire che ho creato un nuovo, diverso, mondo partendo dal nulla.”.
Quest’ultima frase fu posta in epigrafe al sonetto che il grande poeta ungherese Mihály Babits scrisse sulla rivista Nyugat nel 1911, subito dopo la solenne traslazione delle salme dei due Bolyai.

Ora, il sonetto è scritto in ungherese, lingua quanto mai ostica che non conosco, e ne sono venuto a conoscenza tramite una versione inglese molto infedele, e a un più accessibile adattamento spagnolo, di cui è bene non fidarsi, oltre che alla solitamente inattendibile traduzione diretta di Google Translator. Chi redige queste righe non conosce a livello professionale alcuna di queste lingue, ma in base al titolo dell’opera, alla presentazione in inglese e ai molti vocaboli comprensibili del testo s’è persuaso di potersene proporre come adattatore.

Qui di seguito la versione originale in ungherese di Mihály Babits, seguita dal mio adattamento, frutto, come si è detto, di un lavoro di traduzione di traduzioni degno di Vincenzo Monti, traduttore dei traduttor di Omero.

Semmiből egy új, más világot teremtettem.......
– Bolyai János levele apjához –................

Isten elménket bezárta a térbe.
Szegény elménk e térben rab maradt:
a kapzsi villámölyv, a gondolat,
gyémántkorlátját még csak el sem érte.

Én, boldogolván azt a madarat
ki kalitjából legalább kilátott,
a semmiből alkottam új világot,
mint pókhálóból sző kötélt a rab.

Új törvényekkel, túl a szűk egen,
új végtelent nyitottam én eszemnek;
király gyanánt, túl minden képzeten

kirabolván kincsét a képtelennek
nevetlek, mint Istennel osztozó,
vén Euklides, rab törvényhozó.

Ho creato un universo nuovo, partendo dal niente
(lettera di János Bolyai a suo padre)

Dio ha chiuso nello spazio la nostra mente.
E in tale prigione rimase, ignava.
Falco bramoso, il pensiero beccava
i suoi muri di diamante inutilmente.

Io, felice come un uccello che ingabbiato
vede il sole, recluso che fila tenacemente,
un universo intero dal niente ho creato
con una rete di ragnatele consistente.

Con nuove leggi, oltre lo stretto me
ho aperto un infinito non pensato.
Non fecero di meglio i più grandi re.

Un tesoro impossibile ho trafugato
e con Dio, vecchio Euclide, rido di te,
poiché il tuo carcere ti sei creato.

martedì 13 marzo 2018

Il cervello euclideo (e lo spazio a priori)

Da Euclide ai neuroni. La geometria nel cervello, di Giorgio Vallortigara, (Castelvecchi, 2017) è un libretto di una quarantina di pagine pieno di descrizioni di ipotesi e esperimenti con varie specie di animali per indagare il modo in cui la geometria è rappresentata nel cervello. Si legge in poche ore, e ne vale proprio la pena. Innanzitutto perché l’autore è un’autorità nel campo delle neuroscienze, e si è già occupato di cervello e matematica, e poi perché mette in risalto l’enorme differenza tra le nozioni acquisite dai matematici sulle proprietà degli enti geometrici e quello che si continua a scoprire su come lo spazio sia rappresentato, vissuto, attraverso un complicato sistema di attivazione di centri neuronali.

Nella prima parte, dedicata al comportamento dei viventi che si orientano nell’ambiente, scopriamo che esiste un esprit géometrique che consente agli animali di codificare la geometria dello spazio, un talento innato indipendente da qualsiasi forma di imprinting o di trasmissione culturale. Esso si basa fondamentalmente, a livello ambientale, sulla capacità metrica di valutare la distanza delle superfici e su quella di senso di distinguere tra destra e sinistra. Se invece si considera l’informazione geometrica locale degli oggetti, abbastanza sorprendentemente, diventa importante la capacità di valutare angoli, distanze e lunghezze, mentre la direzione, cioè il senso, è assai meno rilevante.

La seconda parte riferisce della localizzazione nel cervello delle capacità descritte. Fondamentale risulta così l’ippocampo, una regione evolutivamente molto antica del sistema nervoso dei vertebrati. Esso ospita delle place cells (“cellule dei posti”), in grado di fornire indicazioni sulla posizione, e head direction cells (“cellule della direzione della testa”) , che si attivano in base alla direzione della testa (e solo di essa). L’orientamento degli animali nello spazio non dipende tuttavia solo da indicatori esterni. Ci sono meccanismi che consentano un orientamento su base endogena, come la capacità di misurare un percorso in termini di conteggio di distanze e di angoli.

In una regione limitrofa dell’ippocampo, la corteccia entorinale, sono state scoperte le grid cells (“cellule a griglia”), in grado di comporre mappe geometriche attraverso un sistema di coordinate spaziali, e speed cells (“cellule della velocità”), ossia neuroni in grado di valutare la velocità con la quale l’animale si muove nello spazio. A questo elenco si aggiungono le border cells (“cellule dei bordi”), che consentono di valutare la distanza da un bordo o da un confine, indipendentemente dalla direzione della testa.

A questa complessa circuiteria per l’orientamento spaziale che si trova nell’ippocampo e nelle regioni limitrofe si aggiungono alcune regioni del complesso occipitale laterale e dell’area ippocampale dei luoghi, (Ppa) che rispondono rispettivamente agli oggetti ma non alle scene in cui sono inseriti e, in modo complementare, alle scene indipendentemente dagli oggetti che vi si trovano.

Quali conclusioni trae Vallortigara in questo breve ma densissimo testo? Tralascio le valutazioni cliniche, per concentrarmi su quelle che più possono interessare i cultori e i professionisti della geometria. In primo luogo, ma già era noto, il nostro cervello è euclideo, nel senso che rappresenta, abita, una geometria che è quella descritta da Euclide più di due millenni fa. In secondo luogo, e ciò ha un certo interesse filosofico, gli studi empirici suggeriscono “che lo spazio, così come il numero, il tempo, la casualità e la conoscenza degli oggetti fisici e sociali, siano pre-disposti nel nostro cervello e configurino di conseguenza la nostra psiche”.

L’autore ribadisce un concetto che ha più volte ribadito: se Kant fosse vivo oggi sarebbe senza dubbio un neuroscienziato. Nella Critica della ragion pura (1781) il filosofo tedesco scriveva infatti che:
“Lo spazio non è un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne. […] Pertanto, la rappresentazione dello spazio non può esser nata per esperienza da rapporti del fenomeno esterno; ma l'esperienza esterna è essa stessa possibile, prima di tutto, per la detta rappresentazione. Lo spazio è una rappresentazione necessaria a priori, la quale sta a fondamento di tutte le intuizioni esterne. […] Lo spazio non è un concetto discorsivo o, come si dice, universale dei rapporti delle cose in generale, ma una intuizione pura. Perché, primieramente, non ci si può rappresentare se non uno spazio unico, e, se si parla di molti spazi distinti, si intende soltanto parti dello stesso spazio unico e universale”.
Questa analisi, che per decenni condizionò la ricerca sul V postulato di Euclide e in qualche maniera rallentò la ricerca sulle geometrie non-euclidee, conserva tuttavia un valore fondamentale se da essa se ne trae la considerazione che la geometria (e la matematica, come suggerirebbero le ricerche sul concetto di numerosità presso gli animali) si basano su capacità evolutivamente sviluppate e ora intrinseche del nostro cervello. Credo che mai si dovrebbe dimenticare questo legame profondo, naturale, ancestrale, tra la disciplina “astratta” per eccellenza e il mondo che siamo e nel quale siamo immersi.

lunedì 5 febbraio 2018

Limeratomy, o l’anatomia in limerick

Anthony Euwer, 1877–1955, poeta umoristico e pittore americano, pubblicò The Limeratomy nel 1917. Sottotitolato A Compendium of universal knowledge for the more perfect understanding of the human machine (Un compendio del sapere universale per una migliore comprensione della macchina umana), The Limeratomy contiene poesie “scritte nella lingua del limerick” illustrate dallo stesso Euwer. Il libretto di 96 pagine tratta, in poco più di 70 poesiole, dei più convenzionali componenti dell’anatomia umana (gli occhi, il naso, il cervello, le dita, ecc.) assieme a qualità meno tangibili o astratte (l’anima, la coscienza, ecc.) e altre che sono più poetiche che scientifiche (la punta del gomito). 

Nel sottoporre l’anatomia al trattamento per limerick, Euwer scrive nella prefazione: 
“In questi limerick clinici l’autore si è cimentato nel far comprendere a tutti certe verità rabbiose e brucianti che sono state dragate da pile ammucchiate di espressioni e cultura scientifiche. Si spera che la comparsa di questo piccolo volume possa provocare una felice psicologia in quest’epoca, un’epoca in cui la macchina umana sta entrando in possesso di se stessa”. 
Ecco alcuni esempi del “trattamento” attuato da Euwer: 

THE HANDS 
The hands they were made to assist 
In supplying the features with grist. 
There are only a few— 
As a rule about two— 
 And are hitched to the end of the wrist. 

LE MANI 
Le mani furono fatte per l’assistenza, 
per fornire un vantaggio nell’evenienza. 
Ciascuno ha le sue 
(di regola circa due) 
e alla fine del polso hanno aderenza. 

THE FACE 
As a beauty I'm not a great star, 
There are others more handsome by far, 
But my face I don't mind it, 
Because I'm behind it— 
'Tis the folks in the front that I jar. 

LA FACCIA 
Come bellezza non sono certo un Adone:
più belle di me ci son tante persone,
ma dalla mia faccia non arretro, 
perché io ci sono dietro: 
è la gente di fronte che si scompone. 

THE ANKLE 
The ankle's chief end is exposiery 
Of the latest designs in silk hosiery, 
Also I suspect 
It was made to connect 
The part called the calf with the toesiery. 

LA CAVIGLIA 
Lo scopo principale della caviglia è che tu vedi 
l’ultimo disegno di calze di seta e corredi 
Ho poi anche il presentimento 
che fu fatta come collegamento 
tra la parte chiamata polpaccio e le dita dei piedi. 

THE CONSCIENCE 
With a conscience we're able to see 
Just how bad we're permitted to be, 
At the same time it's true 
That what's wicked for you 
Mightn't be half so wicked for me. 

LA COSCIENZA 
La coscienza notare ci fa 
ciò che ci consente la disonestà: 
è però anche vero 
che ciò che tu vedi nero 
potrebbe per me esserlo a metà. 

THE SMILE 
No matter how grouchy you're feeling, 
You'll find the smile more or less healing. 
It grows in a wreath 
All around the front teeth— 
Thus preserving the face from congealing. 

IL SORRISO 
Non importa quanto ti senta irritato, 
troverai il sorriso più o meno indicato. 
In una corona si fa avanti 
tutt’intorno ai denti davanti, 
impedendo al viso di essere bloccato. 

Nel libro non si trovano solamente descrizioni dell’anatomia, ma anche suggerimenti umoristici per vivere in modo salutare. In “L’epiglottide”, Euwer scrive: 

THE EPIGLOTTIS 
Have a heart for you poor epiglottis, 
Don’t crowd down your victuals, for what is 
More sad than the sight 
Of a wind-pipe plugged tight 
When the food fails to see where the slot is. 

L’EPIGLOTTIDE 
Di te, povera epiglottide, abbi cura, 
stipa le tue vettovaglie con misura: 
niente è più triste nella vita 
di una trachea del tutto ostruita 
quando il cibo non sa dov’è la fessura 


Pur piena di humour, la concisa struttura dei limerick porta a una rapida conoscenza di parti del corpo umano altrimenti poco note. Ecco che cosa scrive l’autore sulla Medulla Oblongata. il bulbo dell’encefalo: 

THE MEDULA OBLONGATA 
Though it sounds like a sort of sonata,
'Tain’t confirmed by our medical data, 
I’m referring of course 
To that centre of force— 
The medula-ah-ah-oblongata 

L’OBLONGATA 
Sebbene suoni come una specie di sonata, 
dai nostri dati medici non confermata, 
mi riferisco ovviamente 
al quel centro eminente: 
la medulla - ah - ah - oblongata.