martedì 10 aprile 2018

La dimostrazione matematica come dramma


Dennis Guedj ha usato la bella metafora del "dramma dell'assiomatica" per descrivere il fatto che, in una teoria matematica assiomatizzata, i contenuti di un teorema sono impliciti negli assiomi e che, nella derivazione di un teorema dagli assiomi, c'è un'inesorabilità del tipo che caratterizza un dramma. Forse possiamo chiederci quali siano i dettagli del percorso dagli assiomi al teorema (cioè i dettagli della trama), ma non vi è alcuna via di fuga da un possibile epilogo della storia.

In realtà, Guedj sembra riferirsi a ciò che viene definito “dramma chiuso”, tipico della tradizione greca antica, in cui l'azione, condotta in modo disciplinato, segue uno sviluppo continuo e le singole scene sono legate da rapporti di causalità: la scena C deve seguire per forza la scena B e deve precedere la scena D. Nel dramma greco (e in quelli successivi che ne hanno adottato lo schema fondamentale) vigono i vincoli di azione, tempo, luogo, personaggi e linguaggio.

Per fortuna esiste anche un “dramma aperto”, moderno, da Shakespeare in poi, dove il filo conduttore dell'azione non è riconoscibile in modo univoco. La successione delle azioni si può ricostruire solo mediante la coesione delle scene complementari. Gli episodi si susseguono in modo abbastanza autonomo e si collegano tra loro più per affinità di contesto che per consequenzialità temporale o di azione. Ogni scena si rifà all'intera problematica del dramma (quasi una “ricapitolazione”), in modo da sembrare autonoma e permutabile. Nel dramma aperto anche i livelli stilistici e i registri espressivi vengono mescolati.

Nella matematica moderna, e penso a una dimostrazione come quella di Andrew Wiles della congettura di Fermat, nella dimostrazione si cerca la perfetta complementarità delle tecniche usate (analitiche e geometriche), anche se a prima vista lontane: un risultato di per sé di enorme valore, che costituisce una parte innovativa della dimostrazione del teorema stesso. L'enorme lavoro interessa in maniera approfondita diverse branche della matematica, con un utilizzo e un perfezionamento originali di strumenti potenti ed inediti, e con l’uso di una commistione di vari linguaggi specialistici.
Il “dramma” della dimostrazione moderna, che contempla anche strumenti un tempo impensabili come l’enorme capacità di calcolo del computer, consiste tuttora della necessità del rispetto degli assiomi di partenza, ma lo sviluppo dell’azione può fare a meno, superandoli e integrandoli, dei vincoli “aristotelici” dati dall'ambito e dal linguaggio settoriale, o da un’impostazione schematicamente rigorosa, direi bourbakista. È questo che rende la matematica moderna difficile, appassionante e sempre più articolata grazie alle continue estensioni e generalizzazioni. Come ha scritto il matematico brasiliano-canadese Paulo Ribenboim:
“Non c’`e alcun epilogo. La ricerca continua. Nuovi metodi verranno inventati per risolvere nuovi problemi. O, al contrario, nuovi problemi motiveranno la ricerca di nuovi metodi. Ciò è quanto di meglio possa accadere, poiché è proprio il provare e riprovare, alla ricerca delle risposte alle sue questioni più profonde, che nutre la matematica.”

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