Geometria dei cruciverba

Come tantissimi, sono un appassionato dei cruciverba, nelle loro varie declinazioni: a schema fisso o libero, senza schema, crittografate, sillabiche, a gruppi variabili, bifrontali, ad anelli, la ricerca di parole crociate, gli incroci obbligati e le cornici concentriche, e chi più ne ha più ne metta. La Settimana Enigmistica, “il settimanale che vanta più tentativi di imitazione” è una costante presenza in casa mia, e ogni pagina presenta enigmi che spesso devo accanitamente disputare con mia moglie (al punto che in alcuni casi ci facciamo le fotocopie).

Le parole crociate vantano una storia relativamente recente: la prima griglia definita comparve il 21 dicembre 1913 nel supplemento domenicale Fun del New York World. L’aveva inventata l’inglese, poi americanizzato, Arthur Wynne, che adottò uno schema a losanga, o a diamante. Ancora non c’erano le caselle nere per separare le parole della stessa riga o colonna, ma lo stesso Wynne provvide poi a creare questa convenzione, che decretò il successo del gioco ampliandone enormemente le possibilità e le dimensioni. Il sistema delle caselle nere pian piano impose schemi quadrati o rettangolari, che sono oggi praticamente universali.

Il gioco si diffuse nel giro di un decennio in tutte le parti del mondo e in molte lingue, adattando le sue convenzioni all’idioma locale (in italiano e francese non si tiene conto degli accenti, in tedesco le vocali miste si scrivono separate, ecc.). Il primo cruciverba inglese è del novembre 1924, mese in cui fu pubblicato anche il primo schema francese. In Italia il primo “Indovinello delle parole crociate” comparve l’8 febbraio 1925 sulla Domenica del Corriere e nel 1929 è attestata per la prima volta la parola “Cruciverba”, forse inventata dall’editore e scrittore Valentino Bompiani. C’è da dire che il nostro paese vanta un precedente poco conosciuto: il lecchese Giuseppe Airoldi aveva pubblicato un primo piccolo schema di "Parole incrociate" il 14 settembre 1890 su Il Secolo Illustrato della Domenica, rivista edita da Edoardo Sonzogno. Il gioco consisteva in una griglia di dimensioni 4×4 nel quale ogni riga e colonna aveva una propria definizione. La paternità di Airoldi non viene riconosciuta perché nel gioco mancavano le caselle nere e, soprattutto, perché il suo schema non ebbe seguito.

I cruciverba hanno solleticato anche la creatività degli artisti più giocosi e provocatori. Lo scrittore oulipiano Georges Perec ha inventato il cruciverba più piccolo del mondo, con uno schema composto da una sola casella. Le definizioni sono:

1 orizzontale: Vocale

1 verticale: Consonante

Nella casella si deve mettere una I, considerata in francese una semiconsonante, o yod.

Il nostro Paolo Albani si è invece divertito a prendere in giro sia i cruciverba sia lo stile pittorico di Man Ray:

L'amico Profeta Incerto ha invece inventato il cruciverba di Turing, o crucituring, una varietà di cruciverba il cui schema è costituito da un’unica riga orizzontale di lunghezza infinita, esattamente come il nastro di una Macchina di Turing. Nelle caselle del Crucituring si possono inserire sia lettere che numeri, separati da una casella nera. Ecco le tre definizioni di questo schema:
1) Lo dice chi acconsente.
2) I decimali del pi greco.
3) Amò Tristano. 

A Lvov, in Ucraina, che noi conosciamo come Leopoli, un brutto palazzo è stato impreziosito con la collocazione su un lato di uno schema gigante di parole crociate, alto trenta metri, che rimane vuoto con la luce diurna, ma di notte si illumina con luci fluorescenti fornendo la soluzione delle definizioni collocate durante il giorno in vari punti di interesse della città, come monumenti, teatri, fontane, ecc.: una forma di incentivo enigmistico al turismo culturale e all’intelligenza degli abitanti:

Il francese Jacques Quesnel ha messo in discussione la forma quadrilatera dello schema, proponendone uno circolare per bambini (griglia dell'orologiaio):

Dicevo della forma degli schemi, in genere, e con pochissime eccezioni, quadrata o rettangolare, di varie dimensioni. In fondo si tratta di riempire con lettere e caselle nere una semplice griglia.

In geometria, una griglia non è altro che una tassellatura del piano fatta con quadrati: si parte da uno e si costruiscono gli altri per traslazione a partire dal primo (è il principio base delle tassellature regolari). Si può vedere la cosa anche da un'altra prospettiva: ogni quadrato si ottiene dal precedente per una rotazione di 90°. La ripetizione dell’operazione consente di ritornare al quadrato di partenza. Se volessimo avere tasselli di forme diverse dal quadrato, ma tutti uguali, cioè caselle a forma di poligono regolare, è facile osservare che lo possiamo fare in soli 3 modi: con il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare, che hanno rispettivamente angoli di 60° (360°/6), 90° (360°/4) e 120° (360°/3).

Se tentassimo di ricoprire il piano con caselle pentagonali (5 lati e 5 angoli uguali di 108°), dopo aver ruotato di 108° il primo pentagono per tre volte si arriva a 108° × 3 = 324°. Una quarta rotazione porterebbe a superare i 360°, con il nuovo pentagono parzialmente sovrapposto al primo, e addio tassellatura. Ciò perché la misura degli angoli del tassello non è un divisore intero di 360°, come avviene invece per i tre poligoni indicati sopra. 

La tassellatura con poligoni regolari si può fare solo se è possibile ritornare, dopo un certo numero di rotazioni, sulla figura di partenza (si dice che la tassellatura manda in sé).

Si possono allora fare schemi di parole crociate con caselle triangolari, quadrate o esagonali, quest’ultime disposte come le celle di un favo: gli incroci sono un po’ più complicati. C’è chi ci ha pensato, ma senza grande successo.

E se volessimo prescindere dal fatto che le caselle dello schema sia uguali tra loro? Con diverse configurazioni di poligoni regolari potremmo ottenere curiosi schemi, casi di tassellature semiregolari, che però sarebbero assai poco funzionali al gioco. In questi casi la disposizione dei poligoni attorno a ciascun vertice deve essere la stessa. Ne esistono otto tipi:

Anche il ricorso a poligoni non regolari o a figure non poligonali può consentire di ricoprire il piano, ma non è il caso di complicare la vita a un semplice solutore di cruciverba (e la redazione dei periodici di enigmistica dovrebbe essere affollata di matematici). Che ne dite ad esempio di un cruciverba di Penrose?