Oltre Bolt (matematica e 100 metri piani)

Usain Bolt, il fenomenale velocista giamaicano, ha dichiarato di voler portare il suo attuale record mondiale dei cento metri piani, che è di 9.58 secondi (ottenuto a Berlino il 16 agosto 2009), a 9.40 secondi. Che cosa può dirci la matematica a proposito? 

Se raggiungesse questo obiettivo, la velocità media di Bolt sarebbe di 10,64 m/s o 38,304 km/h. In realtà egli raggiungerebbe velocità superiori, perché si parte da fermo e la prima parte della gara è dedicata ad accelerare fino alla velocità di punta. Tale record di 9.40 era impensabile prima di lui, ma da questo atleta ci si può aspettare di tutto. Michael Johnson, ex primatista della distanza, ha detto che “Nessuno può prevedere i limiti di Usain Bolt”. 

Per sapere se Bolt riuscirà nel suo proposito dobbiamo solo aspettare, ma l’ambiziosa prestazione solleva la domanda se esiste un limite invalicabile che nessun atleta potrà mai superare. Se questo limite esiste, dove si colloca? Ad esempio, ci sarà mai un record sotto i 9 secondi? 

Non esiste alcun dubbio che i record mondiali sono fatti per essere battuti. In qualche caso ciò è avvenuto in maniera spettacolare, come ha fatto lo stesso Bolt, oppure come fece il saltatore in lungo Bob Beamon alle Olimpiadi di Città del Messico nel 1968, quando migliorò il record mondiale di 55 cm, portandolo a 8,90 m, misura che è rimasta insuperata per 23 anni!

 

Più di frequente i record sono limati qua e là, pochi centimetri nelle gare di salto o di lancio, pochi centesimi di secondo nelle gare di velocità. 

Dal punto di vista matematico, la sequenza dei record mondiali in una disciplina atletica fornisce una successione decrescente di numeri reali che tende a un limite. Ciò perché anche Bolt, con tutti i superlativi accumulati, non può correre a velocità infinita. Una tale successione deve convergere a un limite matematico l: un numero al di sotto del quale essa non si spinge, ma al quale si avvicina sempre più. Formalmente:

   

Ciò tuttavia non risolve il problema, perché il ricorso a una proprietà dei numeri reali non dice dove si collochi questo limite, che potrebbe anche essere 0. Nel linguaggio di tutti i giorni ciò vorrebbe dire che non esistono limiti al record del mondo. Non c’è dubbio che i record sono migliorati e i tempi di gara sembrano avvicinarsi sempre più a un limite. Ma quando si parla di convergenza, queste conclusioni affrettate possono essere pericolose. Pensiamo ad esempio alla serie armonica

   

Per quanto ad ogni passo si sommino numeri sempre più piccoli, la serie continua a crescere senza un limite: è divergente. 

Facciamo finta che un immaginario record del mondo dei 100 metri fosse esattamente di 10 secondi nel 1970. Inoltre ipotizziamo che questo record si riduca di 1/10 di secondo nel decennio seguente, poi di ulteriori 5/100 di secondo nel decennio successivo, continuando con valori sempre più piccoli nei decenni ulteriori, basando l’intera costruzione sulla serie armonica. Paragoniamo queste riduzioni con quelle effettive del record del mondo ufficiale fino a oggi: 

il miglioramento del nostro record del mondo immaginario è più lento di quello reale, sicuramente dal 1990 in poi. Nel k-esimo decennio dopo il 1970, assumiamo che il nostro record del mondo “armonico” immaginario sia dato dall'espressione

   

La divergenza della serie armonica ci assicura che questo record del mondo continuerà a ridursi oltre ogni limite, sebbene ci vorrà un’eternità perché ciò avvenga. Per calcolare il numero di anni necessari per raggiungere un record di 9 secondi netti, possiamo usare l’approssimazione alla somma della serie armonica, e risolvere l’equazione

   

dove è la costante di Eulero-Mascheroni, il cui valore approssimato è 0,57721. Come previsto, dovremo aspettare a lungo per un record sotto i 9 secondi: ci vorranno 1.236 secoli! Se ci interessa sapere il tempo necessario per raggiungere un record di 0 secondi, ebbene si tratta di aspettare 1,5 × 10⁴² secoli. 

Questo tipo di calcoli potrebbe sembrare inutile, ma fornisce un dato interessante. Se la riduzione dell’effettivo record del mondo può uguagliare o migliorare le piccole riduzioni del record del mondo armonico, non ci saranno limiti al record effettivo. Questa riduzione potrebbe anche richiedere meno tempo, anche se sarà sempre misurato in millenni. 

Esiste pertanto la possibilità teorica che non ci sia un limite al record del mondo e i risultati cronometrici sono inesorabilmente destinati a scendere. I metodi di allenamento migliorano continuamente, atleti eccezionali appaiono sulla scena. L’alta quota e un vento favorevole alle spalle (entro il limite consentito di 2 m/s, che può contribuire a “limare” fino a 1/10 di secondo) possono dare una mano. Su tempi più lunghi, esiste anche un miglioramento della fisiologia umana secondo le linee tracciate dall’evoluzionismo. Gli uomini potrebbero un giorno correre i 100 metri i 5 secondi, ma saranno diversi dagli uomini così come sono ora. 

C’è un altro fattore da considerare. Sin dai tempi di leggende storiche come Jesse Owens, la misurazione dei tempi di gara si è fatta sempre più accurata. Con approssimazioni sempre più piccole (dal secondo, al decimo, al centesimo), oggi la frequenza di record migliorati si è accresciuta. La svolta nella tecnologia cronometrica avvenne negli anni ’60, quando l’americano Jim Hines per primo superò la barriera dei 10 secondi nei cento metri con il tempo di 9.95, alle Olimpiadi messicane. Il record è durato 15 anni, ma poi è stato migliorato 12 volte. 

Ciò che potrebbe impedire al record di avvicinarsi allo 0 potrebbe risiedere proprio nella fisiologia del genere umano. Se ciò fosse vero, ci si potrebbe chiedere dove potrebbe cadere il limite quando gli atleti non saranno più in grado di migliorare la prestazione cronometrica. Questo fatto interessa gli scienziati dello sport da generazioni, in quanto essi vedono cadere anno dopo anno i record atletici e si chiedono quando non non potrà più succedere. Sulla base della nostra esperienza, è impensabile immaginare un record di 5 secondi, che corrisponderebbe a una velocità media di 72 km/h, quella di uno scooter. Logicamente non possiamo escluderlo: semplicemente non lo sappiamo. 

Un utile approccio è fornito da un modello matematico. La maggior parte dei modelli in questo contesto tenta di adattare le coordinate dei record (in un diagramma anno/tempo in secondi, ad esempio) a delle curve e poi dedurre dalle proprietà asintotiche di queste curve dove si potrebbe collocare un limite inferiore. Una delle curve usate è la curva logistica, che sembra adattarsi molto bene ai valori a nostra a disposizione. Questa curva indica un limite inferiore per il record del mondo. La debolezza di questo adattare dati e curve risiede nel fatto che esse non fanno riferimento alle scienze sportive e la fisiologia è completamente trascurata. 

Nella figura, ad esempio, la linea blu rappresenta il record del mondo reale per i 100 metri maschili tra gli anni 1912 e 2002. La linea rossa è la curva logistica estrapolata fino al 2162: si tratta del grafico di una funzione del tipo

  

dove i parametri a, b e c sono scelti in modo che la curva si adatti il più possibile ai valori reali. In questo caso il limite inferiore indicato dalla curva logistica è di 9.48 secondi. Il grafico è stato realizzato dall'australiano Kevin Duffy nel 2002, quando il record del mondo era detenuto da Tim Montgomery con il tempo di 9.78. Oggi, dopo Bolt, i parametri utilizzati vanno rivisti. 

Ciò di cui abbiamo bisogno è una teoria scientifica completa che unisca la fisiologia alle velocità. In quale modo l’apporto di ossigeno, il ritmo cardiaco e i molteplici fattori che contribuiscono alla corsa si traducono nella velocità di un atleta? Senza una tale teoria tutte le previsioni di un limite al record del mondo sono pie illusioni. Il modello visto sopra prevede che il limite che gli esseri umani non potranno mai superare sia di 9.48 secondi. Ma è stato fatto nel 2002 e non sappiamo ancora ciò che è in grado di fare Usain Bolt. E, soprattutto, non sappiamo che cosa potranno fare gli uomini del futuro. 

Questo articolo è tratto in gran parte da No limits for Usain di Tony Crilly, Emeritus Reader in Scienze Matematiche alla Middlesex University, che si può trovare sul bellissimo sito allestito in occasione delle prossime Olimpiadi di Londra dall’Università di Cambridge, intitolato Maths and Sport: Countdown to the Games (clic sull'immagine sopra). Le risorse raggiungibili dalla homepage del sito, completamente gratuite, vanno da attività per studenti dai 5 ai 18 anni, in gran parte provviste di una guida per l’insegnante, e articoli rivolti a un pubblico più adulto, tutte con lo scopo di esaminare gli sport olimpici dal punto di vista matematico e scientifico in generale.