Una sequenza che inganna

Disegniamo n punti su una circonferenza, in modo che, tracciando tutte le corde che collegano ogni coppia di punti, non ci siano all’interno punti comuni a più di due corde. In quante regioni viene suddiviso il cerchio? Vediamo. 

Per n=1 si ottiene una sola regione: 

Per n=2 si ottengono r= 2 regioni: 

Per n=3 si ottengono r= 4 regioni: 

Per n=4 si ottengono r= 8 regioni: 

Per n=5 si ottengono r=16 regioni: 

Capito come funziona? Sicuri? Perché se, avete ricavato che n punti danno luogo a r = 2^n-1 regioni, avete sbagliato! 

Proviamo per n=6 e contiamo quante sono le regioni: sono 31, non 32! 

L’ipotesi che la relazione sia r = 2^n-1 è da scartare. In realtà la spiegazione corretta, di questo che è noto come problema del cerchio di Moser, è un pochino più raffinata: r è la somma dei primi 5 termini della riga n del triangolo di Tartaglia dei coefficienti binomiali.

I valori di r costituiscono la serie OEIS A000127. 

Formalmente il numero delle regioni r si calcola con la relazione: 

dove  è il coefficiente binomiale. 

Questo problema ha un grande valore didattico, perché mostra come prove limitate (magari anche con l’ausilio della potenza di calcolo dei computer) possano portare a risultati non corretti. Ecco perché in matematica si cerca sempre di trovare un prova generale di ogni teorema.