Un problema di geometria analitica di Verne

Nel 1863, Jules Verne pubblicò il suo primo libro, Cinque settimane in pallone, che si rivelò un successo e gli diede la tanto sospirata indipendenza economica. Lo stesso anno inviò al suo editore, Pierre-Jules Hetzel, il manoscritto di una seconda opera, Parigi nel XX secolo, un romanzo d’anticipazione che aveva probabilmente iniziato a scrivere nel 1860.

Il romanzo è ambientato a Parigi nel 1960 e presenta una società in cui si apprezza solo il profitto e la tecnologia. Il protagonista, Michel Dufrénoy, un sedicenne poeta e letterato bretone nato troppo tardi, tenta senza successo di vivere in una società tecnologicamente avanzata, ma regredita mostruosamente dal punto di vista umano e culturale. La storia, in cui come suo solito Verne profetizza invenzioni e fenomeni economici e sociali che poi si sarebbero effettivamente realizzati (le automobili, la metropolitana, la musica elettronica, la cultura di massa, le grandi corporazioni industriali e finanziarie, la guerra affidata alle macchine e la reciproca deterrenza tra le potenze, il potere delle banche e del denaro), termina tragicamente con il giovane Dufrénoy che muore di freddo aggirandosi attorno al cimitero dove è sepolta l’amata, mentre una nuova terribile glaciazione ha colpito la Terra alla fine del 1961. Questa opera ucronica è stata interpretata da molti come una critica di Verne alla mentalità positivista prevalente ai suoi tempi e al capitalismo senza freni e controlli che si stava imponendo nelle società avanzate europee.

Con sorpresa dell’autore, il romanzo venne rifiutato, con una cortese e dura lettera in cui Hetzel rimproverava Verne di aver scritto con troppo pessimismo, senza brillantezza, facendo previsioni impossibili e senza possibilità di piacere al pubblico. Egli ripose l’opera nel cassetto e se la dimenticò. Una vasta e fortunata produzione di romanzi d’avventura gli fece dimenticare per tutta la vita questo episodio negativo.

Nel 1989, Jean Verne (pronipote dello scrittore ) ritrovò il manoscritto nella casa di famiglia e Parigi nel XX secolo fu finalmente pubblicato nel 1994 da Hachette diventando subito un caso editoriale e un bestseller. Vi fu persino chi propose di assegnare a Verne il premio per il miglior racconto di fantascienza del 1994!

L’atmosfera del romanzo è ben rappresentata dal primo capitolo, ambientato presso la sede di una grande società privata, la Società Generale di Credito Istruzionale, che ha assunto il monopolio dell’istruzione in Francia (centralizzandola tutta in una cittadella all’interno di Parigi), durante la cerimonia di assegnazione. dei premi per i migliori allievi in ogni disciplina. Ne riporto un passaggio, giovandomi della traduzione italiana di Maurizio Grasso ripubblicata da Newton Compton nel 2012, perché contiene un problema di matematica che non si sa se fu inventato dallo stesso Verne, o suggeritogli da qualcuno, o ripreso da qualche testo di esercizi.

“Intanto, poiché tutto deve avere una fine a questo mondo, anche i discorsi, la macchina si fermò. Essendosi conclusi senza incidenti gli esercizi oratori, si procedette alla distribuzione dei premi.

Il quesito di matematica superiore posto al grande concorso era il seguente:

Date due circonferenze OO’, da un punto preso su O si traccino le tangenti a O’; si congiungano i punti di contatto di queste tangenti; si tracci la tangente in A alla circonferenza O; si chiede il luogo del punto di intersezione di questa tangente con la corda dei contatti nella circonferenza O’.

Tutti comprendevano l’importanza di un simile teorema. Era noto come fosse stato risolto secondo un nuovo metodo dall’allievo Gigoujeu (François Némorin) di Besançon (Alte Alpi). Gli applausi raddoppiarono al richiamo di quel nome; durante quella memorabile giornata fu pronunciato settantaquattro volte: in onore del vincitore si fracassavano le sedie, cosa che, anche nel 1960, altro non era se non una metafora destinata a rappresentare una metafora destinata a rappresentare i furori dell’entusiasmo. 

Gigoujeu (François Némorin) vinse in quella circostanza una biblioteca di tremila volumi. La Società Generale di Credito Istruzionale faceva le cose per bene. 

Non possiamo citare per intero la sterminata nomenclatura di scienze che si insegnavano in quella caserma dell’istruzione: un albo d’oro del tempo avrebbe lasciato di stucco i bisnonni di quei giovani studiosi. La distribuzione seguiva il suo corso, e gli sghignazzamenti scoppiavano quando qualche povero diavolo della divisione di lettere, provando vergogna sentendo chiamare il proprio nome, riceveva un premio per un tema in latino o una menzione per una versione dal greco.” 

Michel Dufrénoy, il protagonista del romanzo, incurante delle risate e delle frasi di scherno, riceve il premio per i versi latini, consistente nell’unico volume Il manuale del buon industriale, che guarda con disprezzo e lascia cadere per terra prima di tornare al suo posto senza neanche baciare le guance al Presidente come d’usanza.

Lasciamo ora lo sfortunato e ribelle Dufrénoy e torniamo al problema brillantemente risolto da Gigoujeu. Ho provato a rappresentarlo con Geogebra, e lo riformulo in modo meno sintetico.

Abbiamo dunque due circonferenze disgiunte di centro O e O’. Sulla prima circonferenza consideriamo un punto A, dal quale mandiamo le tangenti (in blu) alla seconda circonferenza, che individuano i punti B e C. Essi giacciono su una retta (in rosso) che è il prolungamento della corda BC. Disegniamo la tangente in A alla prima circonferenza (in rosso) e consideriamo il punto M di intersezione tra queste due rette in rosso. Tale punto dipende dalla scelta di A (e quindi dall’angolo θ). Come varia la posizione di M al variare di A? 

Il problema non è difficilissimo per chi ha una discreta conoscenza della trigonometria: il luogo cercato è una quartica, che la funzione “luogo” di Geogebra disegna immediatamente (in verde). Se si considera la prima circonferenza come unitaria e la seconda di raggio r con centro di coordinate O’ (d; 0), si ottengono le coordinate di M: 

Ponendo: 

si ottiene che il luogo di questi punti, per

è

e cioè: