Gli operatori binari

 

Dato un insieme S, un operatore binario § è una regola che prende due elementi a, b ∈ S e li manipola per darci un terzo, non necessariamente distinto, elemento a§b. 

Gli operatori sono rappresentati da caratteri speciali o da parole chiave e forniscono un modo semplice per confrontare valori numerici o stringhe di caratteri. Esistono tre tipi di operatori binari: matematici, logici e relazionali. 

Conosciamo sin da piccoli le quattro operazioni matematiche di base: addizione (+), sottrazione (‒), moltiplicazione (✕) e divisione (/). Inoltre, l'operazione modulo (MOD) trova il resto dopo la divisione di un numero per un altro numero. L'operazione di potenza (^) moltiplica il numero a sinistra dell'operazione (base) tante volte quanto indicato dall’esponente a destra. 

Esistono due operazioni logiche binarie fondamentali: OR e AND (più l’operazione unaria NOT). Gli operatori logici AND e OR confrontano gli operandi e restituiscono un risultato vero (1) o falso (0). Con AND, se entrambi gli operandi sono veri, il risultato è vero. Se uno degli operandi è falso, il risultato sarà falso. Con OR, se entrambi gli operandi sono veri o uno degli operandi è vero, il risultato è vero. Se entrambi gli operandi sono falsi, il risultato sarà falso. 

Gli operatori relazionali sono uguaglianza (=), disuguaglianza (≠), rigorosamente maggiore di (>), maggiore o uguale a (≥), rigorosamente minore di (<) e minore o uguale a (≤). Gli operatori relazionali confrontano due operandi e producono un risultato vero o falso. Quando due operandi vengono confrontati, il risultato dipende dalla loro posizione relativa. 

Le operazioni logiche e il modulo si possono eseguire su qualsiasi numero reale, non solo sugli interi. Il numero zero equivale al logico falso e qualsiasi numero diverso da zero equivale al logico vero.

Possiamo specificare un insieme e un operatore binario su quell'insieme scrivendo l'insieme e quindi l'operatore: S, §. Ad esempio, potremmo specificare (Z, +) oppure (N, /) per denotare gli interi e l'addizione su di essi, oppure i numeri naturali e la divisione. 

Gli operatori binari possono essere definiti su insiemi arbitrari, non solo su insiemi di numeri. Teniamo però presente che non tutti gli insiemi hanno un operatore binario. Ad esempio, l'insieme F = {tavolo, sedie, libreria, divano, finestre, …} dei mobili in casa: sebbene questo insieme appaia abbastanza naturale, non sembra esserci alcuna regola per "combinare" i suoi elementi. 

Esamineremo ora le diverse proprietà che un operatore binario può possedere. 

Chiusura 

Alcuni operatori binari sono tali che quando combiniamo due elementi di un insieme, otteniamo sempre un altro elemento in quell'insieme. 

Un operatore binario § è chiuso su un insieme S se per ogni a, b ∈ S, anche a § b è un elemento di S.

Molti insiemi con cui abbiamo familiarità sono chiusi sotto particolari operatori binari, mentre molti non lo sono. Consideriamo alcuni esempi. 

Esempio 1. Addizione di numeri naturali. Se a e b sono entrambi elementi di N, allora anche la loro somma a + b è un elemento di N. Pertanto, N è chiuso per l’addizione. 

Esempio 2. Moltiplicazione di interi dispari. Se a e b sono entrambi dispari, allora anche il loro prodotto a ✕ b è dispari. Pertanto, l'insieme degli interi dispari è chiuso per la moltiplicazione. 

Esempio 3. L'insieme degli interi dispari non è chiuso per l’addizione, poiché la somma di due numeri dispari non è mai dispari. 

Identità 

Per molti insiemi  con un operatore binario, esiste un elemento speciale nell'insieme che quando "combinato" con altri elementi nell'insieme non li cambia. Tale elemento è chiamato elemento neutro, o identità. Quando si considera l'addizione dei numeri reali, ad esempio, il numero 0 è unico in quanto può essere aggiunto a qualsiasi altro numero e lasciare quel numero invariato. 

Per un insieme S e un operatore binario §, un elemento identità Id. ∈ S è tale che per ogni elemento a ∈ S, abbiamo a § Id. = Id. § a = a. 

Esempio 4. Addizione di interi. 0 è un elemento di identità, poiché per ogni a ∈ Z abbiamo 0 + a = a + 0 = a. 

Esempio 5. Moltiplicazione di numeri naturali. 1 è un elemento di identità, poiché per ogni a ∈ Z abbiamo 1 ✕ a = a ✕ 1 = a. 

Esempio 6. Insieme di insiemi. L'insieme vuoto ∅ è un elemento di identità per l'operatore binario ∪.

Esempio 7. Insieme degli interi pari. Per l’addizione c'è un elemento di identità (che è 0), ma nella moltiplicazione non c'è un elemento di identità (poiché 1 non è un numero pari). Questo illustra il punto importante che non tutti gli insiemi e gli operatori binari hanno un elemento di identità. 

Inversione 

Sappiamo dalla scuola elementare che per ogni numero x, c'è un altro numero (che spesso scriviamo come ‒x) tale che, quando lo aggiungiamo a x, otteniamo l'elemento identità. Ad esempio, 5 ha un "inverso", ‒ 5, e sommandoli insieme si ottiene 0. Tali inversi esistono non solo per i numeri nell’addizione, ma anche per molti altri tipi di insiemi e operatori binari. Per alcuni tipi di insiemi e operatori binari, per ogni elemento c'è un altro elemento in modo che la combinazione dei due elementi ci dia sempre l'elemento identità. 

Per un insieme S e un operatore binario §, un elemento a’∈ S è detto inverso di a, se a§a’ = a’§a = Id. 

Questa idea generalizza il concetto di addizione negativa e il concetto di reciproco che troviamo nella moltiplicazione di insiemi arbitrari e operatori binari. 

Esempio 8. Addizione di interi. Per ogni intero a ∈ Z esiste un altro elemento a’ tale che a + a’= 0. Scriviamo spesso questo inverso come −a, quindi abbiamo a + (−a) = −a + a = Id. = 0. 

Esempio 9. Moltiplicazione di numeri razionali in Q. La maggior parte degli elementi in Q hanno inversi moltiplicativi. Ad esempio, se a = 3/5, allora c'è un altro elemento a’ = 5/3 ∈ Q in modo che a ✕ a’ = a’ ✕ a = Id. = 1. Tuttavia, 0 è in Q ma non ha un inverso per la moltiplicazione, poiché non esiste un numero razionale q tale che 0 ✕ q = q ✕ 0 = 1. Ciò evidenzia che è possibile che alcuni elementi abbiano inversi mentre altri no. 

Complessivamente, gli esempi precedenti illustrano che a volte tutti gli elementi di un insieme hanno un inverso, a volte quasi tutti gli elementi hanno un inverso e talvolta quasi nessuno degli elementi ha un inverso. 

Associatività 

Come descritto sopra, gli operatori binari prendono due elementi e li combinano per produrne un terzo. Tuttavia, occasionalmente scriviamo cose come 5 + 8 + 2, in cui abbiamo un totale di tre elementi che dovrebbero essere combinati, ed esiste una certa ambiguità su quale delle seguenti due procedure dovremmo seguire: 

1. Sommare 5 e 8 per ottenere 13, quindi sommare 13 a 2 per ottenere 15, oppure 

2. Sommare 8 e 2 per ottenere 10, quindi aggiungere 10 a 5 per ottenere 15. 

In questo caso particolare i due numeri risultanti sono gli stessi. I due processi sono proceduralmente differenti, ma in fondo finiscono con lo stesso risultato. Il lettore probabilmente sa dalla scuola primaria, però, che non c'è niente di speciale nei numeri 5, 8 e 2, e infatti lo stesso si verificherebbe con tre numeri qualsiasi. Questo motiva la definizione di un'importante proprietà finale degli operatori binari. 

Un operatore binario § su un insieme S si dice associativo se per tutti a, b, c ∈ S abbiamo a § (b § c) = (a § b) § c. 

Sappiamo che l'addizione è associativa, quindi l'ordine in cui aggiungiamo un insieme di numeri non è importante. Allo stesso modo, anche la moltiplicazione è associativa, e per qualsiasi numero x, y, z abbiamo x(yz)=(xy)z. È per questo motivo che possiamo scrivere xyz senza preoccuparci di specificare se intendiamo che x e y siano combinati per primi, o se lo siano y e z. 

Sebbene la maggior parte di noi dia per scontata l'associatività dell'addizione e della moltiplicazione, abbiamo tutti familiarità con altri operatori binari che non sono associativi. Ad esempio, se scriviamo 5 − 8 − 2, l'ordine in cui eseguiamo le operazioni è importante, cioè (5 − 8) − 2 ≠ 5 − (8 − 2). 

Ulteriori complicazioni sorgono quando mescoliamo gli operatori. Ad esempio, l'espressione 5 + 8 ✕ 2 può essere interpretata in due modi diversi, producendo un’importante differenza nel risultato. Dovremmo sommare 5 e 8 e quindi moltiplicare il risultato per 2 (per ottenere 26)? Oppure dobbiamo aggiungere 5 al prodotto di 8 e 2 (per ottenere 21)? Sebbene non esista una risposta "giusta", alcune convenzioni si sono evolute, e in generale, se le parentesi non indicano diversamente, consideriamo prima le moltiplicazioni, e solo dopo consideriamo le addizioni. Si noti, tuttavia, che il famoso "ordine delle operazioni" che alimenta tante discussioni sui social network non affronta direttamente l'interpretazione "corretta" di un'affermazione come 5/8/2, che potrebbe risultare in 5/16 o 5/4, a seconda di quale divisione calcoliamo per prima. 

Esempio 10. Addizione di interi. Per qualsiasi numero intero a, b, c ∈ Z, abbiamo a + (b + c) = (a + b) + c. 

Esempio 11. Moltiplicazione di numeri reali. Per qualsiasi numero reale a, b, c ∈ R, abbiamo a ✕ (b ✕ c) = (a✕ b) ✕ c. 

Esempio 12. Divisione di numeri razionali positivi. Per numeri razionali positivi a, b, c, generalmente a / (b/c) ≠ (a/b) /c, perché la divisione non è associativa. Lo stesso vale per la sottrazione. 

Commutatività 

Gli operatori binari sono regole per prendere due elementi da un insieme e combinarli per produrre qualcosa. Per tutti i numeri reali a e b è sempre vero che a + b = b + a e che a ✕ b = b ✕ a. Naturalmente sappiamo che questo non è il caso della sottrazione e della divisione, poiché per quasi tutti gli a e b, a − b ≠ b − a; a/b ≠ b/a . Ciò motiva la seguente definizione: 

Un operatore binario § su un insieme S si dice commutativo se per tutti a, b ∈ S abbiamo a § b = b § a. 

Esempio 13. Elevamento a potenza (di numeri interi, razionali o reali). Per quasi tutti gli a e b abbiamo a^b ≠ b^a. 

Esempio 14. Abbiamo notato in precedenza che gli operatori binari possono agire non solo sui numeri, ma anche su elementi arbitrari. Qui consideriamo un insieme di trasformazioni geometriche che possiamo combinare: 

S = {ruota di 0°, ruota di 90°, ruota di 180°, ruota di 270°, rifletti in verticale, rifletti in orizzontale, trasla secondo il vettore z}. 

Possiamo considerare l'operazione di combinare queste trasformazioni geometriche facendone una e poi facendo l'altra. Ad esempio, immaginiamo di riflettere un'immagine su uno specchio e quindi traslarla, oppure invertire l’ordine delle operazioni. Si può dedurre dalla figura che le isometrie non sono quasi mai commutative.