La geometria di Napoleone

Il teorema di Napoleone afferma che se si costruiscono dei triangoli equilateri sui lati di un triangolo qualsiasi ABC (tutti all’esterno o tutti all’interno), i centri di questi triangoli equilateri formano a loro volta un triangolo equilatero (triangolo di Napoleone).

Congiungendo ciascun vertice del triangolo di partenza con il vertice opposto del corrispondente triangolo di Napoleone (esterno o interno), i tre segmenti (in verde) concorrono in un punto detto punto di Napoleone (N).

Il teorema è un caso particolare di un teorema più generale, per il quale, se i tre triangoli costruiti sono simili tra di loro e nella stessa orientazione, allora i loro centri formano un triangolo che è loro simile. Anche l’esistenza di un punto in cui concorrono i tre segmenti che uniscono i centri dei triangoli ai vertici opposti del triangolo di partenza è una proprietà generale della costruzione.

Questo teorema è uno dei più scoperti e riscoperti della matematica. La sua prima sicura comparsa avvenne in un articolo del 1825 di un certo Dr. W. Rutherford sull’agenda londinese The Ladies Diary: or, Woman's Almanack, che fu pubblicata annualmente dal 1704 al 1841. È probabile che il teorema fosse già noto prima di Rutherford, ma non esiste alcuna prova diretta che possa essere attribuito a Napoleone Bonaparte, anche se è noto che egli fosse piuttosto portato per la matematica e la geometria in particolare. Secondo il suo biografo Felix Markham (Napoleon, 1963),

“per i suoi insegnanti Napoleone era un allievo modello e promettente, specialmente in matematica (…) L’ispettore scolastico scrisse che l’attitudine di Napoleone per la matematica lo rendeva adatto alla marina, ma alla fine si decise che avrebbe dovuto tentare l’ingresso in artiglieria, dove l’avanzamento per merito e abilità matematica era più aperto (…)”.

Napoleone era appassionato di tutte le scienze e ne seguì gli sviluppi per tutta la vita. Nel suo esilio finale a Sant’Elena, passava il tempo leggendo la Histoire naturelle di Buffon, l'Astronomie di Delambre, il corso di cristallografia e cosmogonia dell’Abate Haüy, il corso di chimica di Fourcroy, quello di matematica di Lacroix, che annotò personalmente, tutti libri di testo che erano diventati dei riferimenti e che l’Imperatore aveva fatto redigere dagli scienziati più prestigiosi. Sotto il suo regno, la Francia divenne la potenza scientifica più importante al mondo, risultato di una politica attiva, concepita con passione e realizzata con talento da una elite scientifica unita e selezionata, sedotta dal ruolo sociale e politico concesso dall’Imperatore.

Sin dai tempi del Primo Consolato, egli era orgoglioso di essere membro dell’Institute de France, per il quale trovò una sede degna nel 1805, diventato Imperatore, nell'antico Collège des Quatre-Nations, di fianco al Palazzo del Louvre. Egli era amico di diversi matematici e scienziati, molti dei quali erano tra i 150 che avevano partecipato alla Campagna d’Egitto del 1798, come Fourier, Monge e Berthollet, vera accademia in movimento con la quale si intratteneva in lunghe discussioni notturne, sotto gli sguardi preoccupati e attoniti dei suoi generali. Fourier divenne persino governatore del Basso Egitto!

Anche Laplace, che aveva interrogato il giovane corso per l’ammissione in artiglieria, era assai amico di Napoleone, ricevendo titoli e incarichi prestigiosi. Egli fu tuttavia rimosso dall’incarico di Ministro dell’Interno dopo solo sei settimane, perché, disse poi l’Imperatore, “cercava sottigliezze dappertutto, aveva solo idee dubbiose e portava nell’amministrazione lo spirito dell’infinitamente piccolo”. Il più noto dialogo tra i due, riportato da diverse fonti, tra le quali Victor Hugo, avvenne quando Laplace diede a Napoleone una copia della sua Mécanique Céleste. L’imperatore sfogliò il grande volume e disse «Comment, vous faites tout le système du monde, vous donnez les lois de toute la création et dans tout votre livre vous ne parlez pas une seule fois de l'existence de Dieu!» (Ma come, voi trattate tutti i sistemi del mondo, date le leggi di ogni creazione e nel vostro libro non menzionate una sola volta l'autore dell'universo!). Laplace rispose «Sire, je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là» (Sire, non avevo bisogno di quell’ipotesi).

Tornando al teorema, la sua dimostrazione non è complicata. Fate riferimento all’illustrazione qui sotto, dove il triangolo di partenza è colorato in giallo ed è stato aggiunto un quarto triangolo equilatero sul vertice di sinistra. Osservate che, se si ruota la figura in senso antiorario di un angolo di π/3 intorno al vertice c, il triangolo originariamente centrato in b si sposta nella posizione che era occupata dal triangolo centrato in d. Ciò prova che i segmenti cb e cd sono di ugual lunghezza e formano un angolo di π/3. Nella stessa maniera, ruotando la figura in senso orario di un angolo di π/3 intorno al vertice a, il triangolo originariamente centrato in b si sposta nella posizione che era occupata dal triangolo centrato in d, così i segmenti ab e ad sono di ugual lunghezza e formano un angolo di π/3. Di conseguenza, il segmento ac biseca gli angoli in a e in c, allora il triangolo abc ha un angolo di π/6 in ciascun vertice, pertanto è equilatero. Lo stesso vale per acd.

Con la costruzione del teorema si ottiene tra l’altro una simpatica tassellatura del piano: 

La dimostrazione vista è molto immediata, ma non fornisce informazioni quantitative. Date le misure dei tre lati del triangolo di partenza, quanto misura il lato del “triangolo equilatero di Napoleone”? Non è difficile provare il Teorema di Napoleone usando la geometria analitica e un po’ di algebra, ma si può fare anche con la trigonometria. 

Una prova del teorema, che nello svolgimento permette di scoprire come esprimere i lati del triangolo di Napoleone in funzione dei lati del triangolo di partenza, parte dal caso generale di un triangolo di lati a, b, c posto all’interno di un sistema di coordinate cartesiane con il lato c giacente sull’asse x. 

Il centro del triangolo equilatero costruito sul lato a si trova muovendosi verso l’esterno lungo la perpendicolare tracciata dal punto mediano per una lunghezza pari al raggio del cerchio inscritto nel triangolo equilatero stesso:

Le coordinate m, n di questo segmento devono soddisfare le condizioni: 

 

Dove x, y sono le coordinate del vertice C, opposto al lato c. Poiché , allora:

Analogamente si possono trovare le coordinate u, v del segmento tracciato dal punto medio di b al centro del triangolo equilatero costruito su b:

 

In funzione di queste lunghezze, la distanza s tra i centri dei triangoli equilateri costruiti sui lati a e b si può esprimere come:

 

 Risolvendo i quadrati si ha:

 

Con opportuni raccoglimenti e passaggi, che risparmio al lettore, e facendo ricorso alla formula di Erone per l’area del triangolo, si arriva a stabilire che la distanza tra i centri dei triangoli equilateri costruiti su a e b vale: 

Poiché ciò è perfettamente simmetrico per i tre lati, è evidente che le distanze tra i centri dei triangoli equilateri costruiti su due lati qualsiasi del triangolo sono le stesse, e così il triangolo ottenuto collegando questi centri è equilatero, il che prova il teorema di Napoleone. 

C’è da dire, prima di concludere, che all'Imperatore dei Francesi è attribuita anche la Costruzione di Napoleone, che consiste nel “costruire con il solo compasso il centro (che si suppone perduto) di un cerchio dato”. Anche in questo caso la paternità di Napoleone è assai dubbia. È più probabile che questa costruzione sia presa a prestito dal matematico bresciano Lorenzo Mascheroni, che il Bonaparte conobbe durante la campagna d’Italia e che morì in Francia mentre era impegnato nei lavori della commissione che doveva stabilire la lunghezza del metro. 

Ecco il procedimento, a partire dal cerchio (c) in grassetto rosso, di cui si cerca il centro: 

1. Prendere un punto P qualsiasi del cerchio dato e tracciare un cerchio (c’) di raggio arbitrario con centro in P (in blu) 

2. (c’) taglia (c) in A e B. 

3. I cerchi (in nero) di centro A e B che passano per P si incrociano in C. 

4. Il cerchio (in violetto) di centro C che passa per P taglia (c’) in D e E. 

5. I cerchi (in verde) di centro D e E che passano per P si incrociano nel centro O cercato. 

La dimostrazione si può trovare qui.