sabato 12 luglio 2014

Le storie d’amore come sistemi dinamici

Le storie d’amore sono processi dinamici nei quali i coinvolgimenti sentimentali (i "sentimenti") evolvono nel tempo, partendo, in generale, da uno stato di indifferenza. Per questo motivo, esse possono essere collocate, almeno come principio, all’interno della struttura formale della teoria dei sistemi dinamici, dove si utilizzano modelli matematici per descrivere l’evoluzione nel tempo delle variabili di riferimento. I modelli più frequentemente usati si basano sulle equazioni differenziali ordinarie (ODE).

La maggior parte dei modelli proposti per la descrizione delle storie d’amore si compone di due equazioni differenziali ordinarie, una per ciascun partner, del tipo:


(1)

In questi modelli, le variabili di stato xi(t), con i = 1, 2,  sono i sentimenti al tempo t degli individui i per il partner, mentre A1 e A2 sono i loro fascini (appeal).  I fascini, come tutti gli altri parametri che specificano le caratteristiche fisiche degli individui, sono considerati costanti nel tempo. Valori positivi dei sentimenti variano dalla simpatia alla passione, mentre valori negativi sono associati alla ostilità e al disprezzo.

Il fascino dell’individuo i possiede diverse componenti quali l’attrattiva fisica, il coraggio, l’educazione, la sensibilità, ecc., che sono indipendenti dal sentimento xi. Se  è il peso che l’individuo j (ji) dà alla componente h del fascino del partner, è possibile definire il fascino di i (percepito da j) come:


Quindi, il fascino non è una caratteristica assoluta dell’individuo, ma piuttosto un valore percepito dal partner attuale o futuro/a.

Due persone che si incontrano per la prima volta a t = 0 sono, in genere, indifferenti l’uno all’altra, vale dire x1(0) = x2(0) = 0. Perciò, i sentimenti evolvono in accordo con le equazioni (1), dove i tassi di cambiamento fi sono dettati dallo squilibrio tra i processi di rigenerazione e consunzione.


Quest’ultimo processo, chiamato oblio, spiega perché gli individui perdono gradualmente il ricordo dei loro partner dopo la separazione. Si considera che le perdite avvengano secondo una legge esponenziale (espressa da un coefficiente α negativo). Al contrario, i processi di rigenerazione sono di due tipologie diverse, cioè la reazione al fascino (rappresentata da un parametro ρ di un individuo per l’altro) e la reazione all’amore del partner, descritta da una funzione R. Gli individui più comuni, di solito chiamati sicuri, sono coloro ai quali piace essere amati. Un individuo appartenente a questa classe è formalmente identificato da una funzione R crescente.  Per cogliere le limitazioni psico-fisiche presenti in tutti gli individui, le funzioni di reazione sono considerate limitate come nella figura 1.

In conclusione, un ragionevole modello per coppie di individui sicuri è:

 (2)

Il primo a occuparsi di dinamiche amorose in termini matematici fu Steven Strogatz nel 1988. Dal suo articolo sono in seguito nati studi ulteriori che hanno esteso l’analisi a una serie di modelli delle relazioni romantiche, anche letterarie, più generali e astratti. Proprio qualche giorno fa una serie di suoi tweet ha richiamato la mia attenzione su una serie di lavori italiani che costituiscono un’evoluzione della sua intuizioni. Una delle “scuole” più fertili in questo campo è quella del Politecnico di Milano, che ha come suo esponente principale Sergio Rinaldi, che si è occupato, con altri, di diverse vicende, a partire dalla modellizzazione matematica dell’amore tra  Scarlett e Rhett in Via col vento. La ciclica vicenda dell’amore tra Francesco Petrarca e Laura De Sade descritta nel Canzoniere ha palesato un accordo sorprendente tra la predizione del modello e i dati storici disponibili. Altre storie d’amore tendono verso regimi più complessi, o perché sono influenzate da ambienti caotici, o perché l’interazione tra i personaggi può generare una sorta di caos sentimentale. Tale ad esempio è la storia descritta in Jules et Jim, racconto diventato celebre dopo la trasposizione cinematografica che ne fece François Truffaut nel 1962, che è stata oggetto di una riuscita modellizzazione matematica sempre da parte di Rinaldi e colleghi.

Un’altra importante caratteristica dei sistemi dinamici non lineari è la possibilità che piccolissime (al limite non percettibili) variazioni di qualche parametro strategico possono dar luogo a discontinuità rilevanti nei sentimenti dei partner. In altre parole, piccole scoperte possono avere grandi conseguenze negli affari d’amore. Da un punto di vista formale queste discontinuità non sono altro che biforcazioni, che si hanno proprio quando una piccola variazione dei valori dei parametri (i parametri di biforcazione) causa un cambiamento “qualitativo” o topologico del sistema, vale a dire un cambiamento del numero di punti di equilibrio o della loro natura. Tali cambiamenti possono anche portare ad una catastrofe. I valori per cui si hanno modifiche qualitative al sistema sono detti valori critici .

Queste piccole scoperte da parte di uno dei due protagonisti di una storia d’amore sono in genere associate a grandi emozioni, che emergono quando vi sono crisi profonde o esplosioni entusiastiche di interesse. Esempi potenziali del primo tipo sono le relazioni basate sul sesso: in effetti, l’appetito sessuale decresce con il tempo fino al punto di inevitabile e improvvisa rottura se non esistono altri elementi di unione. Un esempio assai noto del secondo tipo è quello dei playboy, che insistono sistematicamente nel corteggiamento fino a che la loro “preda” si innamora di loro. Due vicende che implicano biforcazioni catastrofiche sono state studiate e modellizzate recentemente da Rinaldi: la prima è La Bella e la Bestia, una favola scritta nel 1756 da  Jeanne-Marie Leprince de Beaumont e diventata un famoso cartone animato della Disney, mentre la seconda è l’amore tra Elizabeth Bennet e il signor Darcy, descritta nel famoso romanzo Orgoglio e pregiudizio scritto da Jane Austen nel 1813. L’analisi della vicenda evidenzia un’improvvisa esplosione di coinvolgimenti amorosi, indotta da piccole scoperte e rivelata dall’esistenza nel modello di una biforcazione tangenziale. 


La storia d’amore tra Elizabeth e Darcy può essere perfettamente interpretata con le equazioni (2), purché si assegnino valori adeguati ai parametri del modello. Il fascino A1 di Elizabeth (percepito da Darcy) è all’inizio basso (PP3), poi invece aumenta ad ogni incontro, in cui lei mostra, senza eccezioni, la sua grazia e il suo talento (PP5, ..., 8). Al contrario, il fascino A2 di Darcy (percepito da Elizabeth) rimane negativo, visti i pregiudizi che lei porta verso i ricchi e i nobili. È pertanto lecito immaginare  che l’evoluzione della storia d’amore sia il risultato di un aumento ricorsivo di A1; seguito da un repentino aumento di A2 (dovuto all’eloquente lettera di Darcy), come mostrato nella figura 2. All’inizio della storia (PP2, 3, 4) il punto rappresentativo nello spazio dei fascini è il punto 1 nella regione rossa della figura, dove Elizabeth e Darcy sono in una relazione ostile. Quando la percezione A1 del fascino di Elizabeth aumenta (punti 2, 3, 4, 5 nella figura 2a), non accade nulla di rilevante, sebbene il coinvolgimento di Darcy sia positivo dal punto 5 (vedi PP9). A quel punto Elizabeth è ancora ostile e, infatti, rifiuta di sposarlo (PP10). È solo la lettera di Darcy che rivela improvvisamente  a Elizabeth le intenzioni oneste del suo innamorato. Ciò è rappresentato come un salto verticale nello spazio dei fascini dal punto 5 al punto 6 nella regione verde della figura, quando i due amanti possono trovarsi solo in una relazione positiva. Detto altrimenti, come conseguenza della lettera, la biforcazione tangenziale superiore è attraversata dal basso, e questo attraversamento implica un salto di discontinuità da x’ a x’’’ nei sentimenti di Elizabeth e Darcy (PP12, …, 15).

Una caratteristica fondamentale dei sistemi dinamici non lineari è l’esistenza di stati stabili alternativi (ASS). Utilizzata da tempo in fisica, ingegneria e, più recentemente, in ecologia, questa proprietà può essere utilizzata nello studio delle storie di cuore. Un caso esemplare in cui l’importanza strategica degli ASS è messa in rilievo è la storia dell’amore di Cyrano per Rossana contenuta nel Cyrano de Bergerac di Edmond Rostand (1897), dove si evidenzia un’avvincente  proprietà generale: “negli affari di cuore l’inganno temporaneo può talvolta essere redditizio”.


In questo caso, l’uso di un modello matematico mette in evidenza che le coppie composte da individui “sicuri”, senza fascino né troppo alto né troppo basso, possiedono due regimi sentimentali, uno favorevole e l’altro no (fig. 3). Così, se una di queste coppie si trova intrappolata in un regime sfavorevole, il problema consiste nel trovare una via d’uscita e cambiare verso un regime favorevole. Il modello mostra che l’inganno temporaneo, cioè fornire al partner per un tempo sufficientemente lungo un’impressione tendenziosa del coinvolgimento o del fascino, è un metodo molto efficace per ottenere questo cambio. Ciò attenua, nel contesto delle storie amorose, il giudizio morale negativo che si dà all’inganno nel comportamento sociale.

Sergio Rinaldi è anche un ottimo divulgatore. Qui lo vediamo spiegare personalmente come è possibile modellizzare una storia d'amore: