sabato 11 ottobre 2014

Escher e Malta: dilatazioni e strani anelli

Tra il 1935 e il 1936, più o meno alla fine dei tre lustri durante i quali aveva a lungo viaggiato e vissuto in Italia, M. C. Escher (1898–1972) passò per due volte a Malta, sempre come passeggero di navi mercantili in transito, per il tempo necessario alle operazioni di carico e scarico delle merci. Del primo, breve, soggiorno, ci è giunto uno schizzo del 27 marzo 1935 che raffigura la piccola città portuale di Senglea e alcune navi. 


Nell'ottobre successivo, da questo disegno Escher trasse una xilografia in cui la località è rappresentata come una penisola interamente urbanizzata, con alti palazzi e chiese abbarbicati su un colle cinto da una imponente muraglia. In primo piano un battello all'ancora, con alcune barche che fanno la spola tra il natante e il molo.


Poco più di un anno più tardi, il 18 giugno 1936, tornato a Malta, Escher disegnò di nuovo lo stesso scorcio della città portuale, che doveva affascinarlo in modo particolare. Quella veduta, affascinante, movimentata e piena di armonia, servì nel 1945 come soggetto per lo studio di una dilatazione. 


L'opera si intitola Balcone e si caratterizza per il fatto che il centro dell'immagine è ingrandito quattro volte rispetto alla periferia. L'effetto sull'occhio è quello di una grande bolla in corrispondenza del balcone centrale, come se esso fosse gonfiato da dietro. In questo modo si possono notare dei dettagli che, senza l'ingrandimento, non si sarebbero potuti vedere, come ad esempio un piccolo alberello in un vaso sulla terrazza. Il paragone con il disegno preparatorio, in cui l'immagine non è ancora deformata, permette di riconoscere il quinto balcone dal basso come l'oggetto della dilatazione applicata dall'artista. 


Lo spazio acquistato dal centro doveva essere in qualche modo compensato da una riduzione delle distanze nelle sue prossimità: in effetti, lo spazio tra i quattro balconi sottostanti risulta alquanto compresso rispetto alla realtà. Escher crea questo effetto ottico con rigore matematico. Negli schemi è possibile decifrare il procedimento adottato. Nel primo si vede un quadrato suddiviso in quadrati più piccoli e un cerchio tratteggiato che definisce il bordo della dilatazione. Le linee verticali PQ e RS e quelle orizzontali KL e MN diventano poi delle curve. Infatti, nel secondo schema, che rappresenta la dilatazione avvenuta, si vede che i punti A, B, C, D sono proiettati sul margine della bolla e assumono le posizioni A', B', C', D'. Tutte le linee centrali sono incurvate verso il bordo della circonferenza. 



Ritroviamo il porto e gli edifici di Senglea in una delle opere più celebri dell'artista olandese, l’inquietante litografia quadrata (32×32 cm) Galleria di stampe, realizzata nel 1956, ben vent'anni dopo il primo viaggio a Malta. Essa mostra un giovane all'interno di una galleria, mentre guarda la stampa di una veduta del porto mediterraneo (con la stessa nave della xilografia del 1935). Man mano che i suoi occhi seguono gli edifici da sinistra verso destra e poi verso il basso, egli scopre tra di essi quella stessa galleria in cui si trova. Una macchia circolare al centro della litografia contiene il monogramma di Escher e la sua firma. 


La migliore spiegazione di come fu realizzata l’opera si trova nell’ormai classica biografia scritta dal matematico e amico Bruno Ernst, Lo specchio magico di M. C. Escher (Taschen, 1978, ed. it. 1990). “Galleria di stampe nacque dall’idea che sarebbe dovuto essere anche possibile realizzare una dilatazione a forma di anello” Per ottenere questo effetto, Escher assunse, come scheletro di questo quadro, “un reticolo che marcasse una dilatazione chiusa, (...), la quale non ha un inizio né una fine”. La realizzazione di questa idea gli provocò “alcune forti emicranie”, ma il risultato è uno di quelli che Douglas Hofstadter chiama strange loops, strani anelli, “un quadro di un quadro che contiene se stesso. Oppure è il quadro di una galleria che contiene se stessa? o di una città che contiene se stessa? (…) Il concetto di Strani Anelli contiene quello di infinito: un anello, infatti, non è proprio un modo per rappresentare un processo senza fine in modo finito?” (D. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach, Adelphi, 1984, pp. 13-14). 



All’inizio, egli “cercò di realizzare la sua idea servendosi di rette [primo schema], ma poi, intuitivamente, scelse linee curve [secondo schema]. I piccoli rettangoli originari rimangono in questo modo ‘rettangolari’” Dopo un certo numero di successivi miglioramenti, Escher giunse al reticolo mostrato nella figura. Se si percorre il perimetro da A a D, i quadrati che formano il reticolo si espandono di un fattore 4 in ogni direzione. Procedendo in senso orario attorno al centro, il reticolo si piega su se stesso, ma si dilata di un fattore di 44 = 256.


Il secondo ingrediente necessario all’artista era un normale disegno, non distorto, della stessa scena: una galleria in cui si tiene una mostra di stampe, una delle quali mostra un porto con edifici prospicenti, e uno di questi edifici è la galleria stessa, ma ridotta di un fattore 256. Per realizzare questo scopo e rendere giustizia ai diversi gradi di dettaglio che gli servivano, Escher fece quattro studi preparatori, uno per ciascuno degli angoli della litografia. Ciascuno di essi mostra una porzione del precedente, ma dilatato di un fattore 4. Dal punto di vista matematico, i quattro studi di Escher corrispondono a un singolo disegno che è invariante per uno scalamento di un fattore 256. Quadrato dopo quadrato, egli adattò la griglia quadrata dei suoi studi alla griglia curvilinea, realizzando così l’opera. 



Escher ottenne il suo reticolo con metodi grafici, e dovette poi adattare i vari particolari del disegno allo schema, apportando lievi correzioni. Il suo metodo lasciava poi necessariamente un “buco” centrale, che egli pensò di riempire con il suo monogramma e la firma. Sempre Hofstadter (cit., p. 777) commenta “Sebbene la macchia assomigli a un difetto, forse il difetto risiede nelle nostre aspettative, perché in realtà Escher non avrebbe potuto completare quella parte di quadro senza essere incoerente rispetto alle regole secondo le quali stava dipingendo il quadro. Quel centro del vortice è, e deve essere incompleto. Escher avrebbe potuto renderlo arbitrariamente piccolo ma non avrebbe potuto liberarsene. (…) Escher ha quindi dato una parabola pittorica del Teorema di Incompletezza di Gödel.” 

 Conversando con Bruno Ernst, Escher, dopo aver dichiarato di aspirare più alla meraviglia che alla bellezza, comunque la si intenda, rifiutò tuttavia di considerarsi un artista matematico: “Due eminenti signori, il Prof. Van Dantzig e il Prof. Van Wijngaarden, cercarono una volta, invano, di convincermi di aver rappresentato una superficie di Riemann. Dubito che abbiano ragione – sebbene sia vero che una delle particolarità di questo tipo di superficie sembra essere che il centro rimane vuoto. In ogni caso, Riemann è al di là delle mie conoscenze, così come la matematica teoretica, per non parlare della geometria non euclidea. Volevo semplicemente occuparmi di una dilatazione o rigonfiamento, che dir si voglia, di forma chiusa o anulare, senza un inizio o una fine”
Nonostante la ritrosia del grande artista, altri eminenti Professori di matematica olandesi hanno deciso di tornare a studiare La Galleria di stampe. Nell’aprile 2003, sul numero 4 di Notices of the AMS, B. de Smit e H. W. Lenstra Jr. hanno cercato di trovare una superficie matematica ideale che si avvicinasse il più possibile al reticolo di Escher, stabilendo che si tratta di una superficie riemanniana ellittica nel campo dei numeri complessi. Essa contiene una copia di se stessa, ruotata in senso orario di 157, 6255960832… gradi e scalata di un fattore di 22, 5836845…! Essa realizza il desiderio di Escher di realizzare una mappa conforme che conservasse gli angoli. La figura qui sopra illustra questo reticolo ideale. Come si vede, anche gli eminenti Professori hanno conservato la macchia centrale: non si possono fare Strane Ciambelle senza buco.