Il sonetto illustrato di Giovanni Battista Palatino, alle origini del rebus

Il rossanese Giovanni Battista Palatino (ca. 1510 – ca. 1575), insigne calligrafo, antiquario e letterato, pubblicò tra il 1540 e il 1545 un celebre testo sui tipi di modelli calligrafici (oggi li chiameremmo font) più usati nella sua epoca. Il libro è considerato uno dei più belli e completi del suo genere. In suo onore, alla fine degli anni ’40 del secolo scorso, si inventò il font Palatino Linotype, considerato da molti uno dei più leggibili ed eleganti. 

Diventato cittadino romano attorno al 1538, Palatino, pubblicò nel 1540 il “Libro nuovo d'imparare a scrivere tutte sorte lettere antiche et moderne di tutte nationi, con nuove regole misure et essempi, con un breve et utile trattato de le cifre”, che apparve a Roma, editore Benedetto Giunti, tipografo Francesco Cartolari, che ebbe presto altre edizioni rivedute e ampliate. Oltre a una bella rassegna dei caratteri alfabetici e numerici, il volume conteneva anche un curioso sonetto illustrato, uno dei primi, ingenui e tuttavia sagaci, esempi di rebus in lingua italiana. Il sonetto tratta del rimpianto per una bella e intelligente donna morta precocemente. La metrica pare zoppicare e lo stile non è dei migliori, ma l’idea è senza dubbio geniale.

Dove son gli occhi, et la serena forma,
del santo alegro, et amoroso aspetto?
Dov’è la man eburna, ov’è ‘l bel petto
Ch’appensarvi hor in fonte mi trasforma?

Dov’è del fermo pié, quella sant’orma
col ballar pellegrin pien di diletto?
Dov’è ‘l soave canto, et l’intelletto,
che fu d’ogni valor prestante norma?

Dov’è la bocca e l’aure viole,
l’abito vago, et l’alme treccie bionde,
che facean nel fronte un nuovo sole?

Lasso che poca terra hoggi l’asconde
non la retruova il mondo, amor si duole
ch’ardendo io chiami ogn’hor chi non risponde.

Due rime matematiche con contraintes

Ancora due poesiole di ispirazione matematica, questa volta costruite alla maniera dell’Oulipo, con delle restrizioni supplementari (contraintes). Il primo si ispira al romanzo lipogrammatico La disparition di Georges Perec (1969), trecento pagine scritte interamente senza usare la lettera “e”, che è la lettera più frequente della lingua francese. La mia sfida è stata quella, molto meno ardita, di creare un limerick che fosse allo stesso tempo un lipogramma in “e” (scritto appunto senza usare quella vocale) e parlasse della e matematica, base dei logaritmi naturali e della funzione esponenziale y = e^x: 

 La scomparsa 

(omaggio a Georges Perec) 

Sono alcuni logaritmi privi di sostanza 

quando di tal cosa provano la mancanza: 

la quinta a partir da “a” 

dà la forma, lo si sa, 

alla curva di cui conosci l’importanza. 

Il secondo limerick trae spunto dai rebus descritti di Edoardo Sanguineti, di cui mi sono occupato in un precedente articolo. Anche Sanguineti giocava con le restrizioni formali autoimposte, ed è stato per lungo tempo, e fino alla morte, il presidente dell'Oplepo, il sodalizio italiano figlio dell’Oulipo. Un rebus descritto utilizza le parole e non il disegno, ma segue le stesse regole del rebus classico. Sulla base del testo e delle lettere inserite in maiuscolo, il lettore deve trovare la soluzione, della quale è fornita la chiave sotto il titolo. Anche in questo caso l’oggetto della poesiola è una famosa costante matematica, di cui si esplicita una proprietà. 

Viaggio in Grecia 

(Chiave: 2, 2, 5, 1, 2, 6, 12) 

Sul traghetto IL che a Paros vien da Santorini 

l’iniziale è scritta a loro modo: tre trattini. 

Sigla d’Europa, N. Con esso conti, 

naturale, reale, complesso, e dai ponti 

guardi oltre l’umano, infinito, di là dai confini.

Sull’altra sponda

Io sono un cetriolo, provengo da una stirpe di cetrioli. Trascorro le giornate pacifico nel mio orto, e faccio il cetriolo. La mattina sorge il sole, la sera tramonta, e quando il sole tramonta vuoi dire che il giorno è finito, lo so. C'è la notte, anche questo lo so. tanto poi torna il sole. Non pensiamo molto, non diamo problemi, noi cetrioli. Un po' d'acqua, la luce, concime naturale qualche volta: non ci serve davvero molto per fare i cetrioli. 

Stamattina un tizio che si chiama Pierluigi, che dice di voler mettere d’accordo tutti, è venuto nell'orto, si è guardalo un po' attorno, e mi ha scelto. Mi prende, mi pulisce dalla terra con un panno e mi mette sul carro. Sul carro ci sono quattro posti: per Pierluigi, per un imprenditore, per un lavoratore e per me, che naturalmente faccio il cetriolo. 

Chi traina il carro? Un qualsiasi animale che l’imprenditore non mangi, o il gioco non funziona, diciamo una pariglia di ippogrifi. Pierluigi ha un bastone per picchiare l’imprenditore, che vuole mangiare il lavoratore, che vuole mangiare me, che sono un cetriolo e che non voglio mangiare nessuno perché sono pacifico e pacificamente mi nutro di acqua e di sole. Sul carro ci guardiamo tutti sospettosi (l’imprenditore, il lavoratore, il cetriolo), tranne Pierluigi, che sorride e ammicca. Nessuno parla: con tutto questo appetito in giro l'atmosfera è un po' tesa. 

C'è una strada, la strada porta al fiume, sul fiume si trova una barca. Chi vuole attraversare il fiume deve prendere la barca, ma la barca è piccola, ci si sta al massimo in due: Pierluigi con l’imprenditore, o con il lavoratore, o con me, che sono il cetriolo. Pierluigi deve fare attenzione all’imprenditore, che sennò mangia il lavoratore, che sennò mangia il cetriolo. Il cetriolo sono io, e comincio ad avere nostalgia del mio orto. 

Pierluigi prende il lavoratore, lo mette sulla barca e la porta sull'altra sponda. L’imprenditore mi annusa e stabilisce che non sono di suo gradimento. 

Pierluigi ritorna, prende l’imprenditore, lo mette sulla barca e lo porta sull’altra riva del fiume. Sono rimasto solo. 

Pierluigi ritorna con il lavoratore, lo fa scendere a terra, prende me e mi porta sull'altra sponda. Pierluigi mi lascia con l’imprenditore, l’imprenditore mi annusa e, abituato com’è a cibi ben più prelibati, decide anche stavolta che non vale la pena mangiarmi. Ora non sono più solo, ma mi annoio lo stesso. Sono un cetriolo. 

Pierluigi ritorna con il lavoratore. Finalmente siamo tutti sull’altra sponda. Pierluigi posa il bastone per stringere la mano all’imprenditore, ma improvvisamente questi colpisce Pierluigi, che cade a terra tramortito. Ottenuto il passaggio, Pierluigi non gli serve più.  

Quello che l'imprenditore fa con me al lavoratore non lo dico.

Crittografia e trigonometria nello Scarabeo d’oro di Poe

Come ho riportato nella prima parte, dopo il successo dei suoi articoli sulla crittografia e la pubblicazione di un piccolo saggio sullo stesso argomento, Edgar Allan Poe decise di scrivere un racconto che contenesse un messaggio segreto e la sua decifrazione. Nel 1843 uscì Lo scarabeo d’oro (The gold bug), che ebbe subito un grande riscontro di pubblico e viene considerato come un classico esempio della scrittura dell’autore americano.

La storia, per chi non la conoscesse, si può sintetizzare come una caccia al tesoro sulla base di un messaggio cifrato. Il personaggio principale della storia è William Legrand, un uomo che vive in solitudine sull’isola di Sullivan, presso Charleston, nella Carolina del Sud. Provato da una serie di disgrazie e impoverito, Legrand, dal carattere misantropico e facile all’alternarsi di entusiasmi e depressioni, ha deciso di separasi dal mondo, accettando la compagnia del solo Jupiter, un ex schiavo liberato dalla sua famiglia e rimasto ad accudirlo per fedeltà e riconoscenza. Un giorno Legrand trova uno scarabeo di color oro brillante, ma lo presta a un militare. Quando il suo amico, il narratore della vicenda, lo va a trovare nella sua capanna la sera stessa, Legrand gli racconta del ritrovamento e disegna su un pezzo di carta l’aspetto dello straordinario insetto, ma l’amico non vede altro che un teschio. 

Per una serie di circostanze fortuite, Legrand scopre che il foglio, trovato nella sabbia da Jupiter e usato per avvolgere lo scarabeo, non è di carta, ma di pergamena. Esso contiene un messaggio cifrato scritto con l’inchiostro simpatico. Riscaldato leggermente, mostra questo aspetto: 

Circa un mese più tardi, Legrand manda Jupiter dall’amico, per recapitargli una lettera nella quale gli chiede di raggiungerlo immediatamente. Ne segue una spedizione notturna dei tre sulla terraferma, sulla quale tornerò più tardi, che porta alla scoperta del tesoro di Capitan Kidd, impiccato per omicidio e pirateria a Londra nel 1701, che una leggenda voleva avesse sepolto un tesoro sulla costa atlantica degli Stati Uniti. 


Tornati alla baracca di Legrand, questi spiega all’amico le circostanze del ritrovamento del messaggio e come era riuscito a decifrarlo e comprendere che esso forniva le indicazioni per localizzare il tesoro sepolto. Il teschio in alto a sinistra, simbolo della pirateria, costituisce una specie di sigillo, mentre il capretto è una specie di firma-rebus o geroglifica: kid, capretto; Kidd, il nome del pirata. Il testo tra i due simboli, comparso avvicinando la pergamena al fuoco, ha rivelato il suo segreto. Ascoltiamo le parole del protagonista: 

(…) «La soluzione non è per nulla difficile come la prima, frettolosa occhiata a questi segni potrebbe indurvi a credere. Questi segni, come ognuno può facilmente arguire, costituiscono un crittogramma: vale a dire, hanno un senso (…) e dubito che l'ingegnosità umana possa costruire un enigma che l'ingegnosità umana, applicandosi a fondo, non possa risolvere». (…) 

«Nel caso in questione, anzi, in tutti i casi di scrittura segreta, il primo problema riguarda la lingua del cifrato, poiché i criteri della soluzione, specie per quanto riguarda le cifre più semplici, dipendono dal genio del particolare idioma e variano a seconda di esso. (…) Ma, per quanto riguarda il nostro cifrato, la firma risolve ogni difficoltà. Il gioco di parole basato su Kidd non ha senso in nessuna lingua, tranne l'inglese». (…)

«Come potete osservare, non ci sono divisioni tra parola e parola. Se ce ne fossero state, il compito sarebbe stato relativamente facile. In tal caso, avrei cominciato con il confronto e l'analisi delle parole più brevi e, se fosse capitata una parola di una sola lettera, come è più che probabile (a o I, per esempio), avrei considerato la soluzione come certa. Ma, mancando una divisione, mio primo passo fu di accertare quali lettere ricorressero con maggiore frequenza e quali con minore frequenza. Fatti i conti, compilai la seguente tabella:

     Il carattere 8 ricorre 33 volte

»      »        ;     »      26   » 

»      »       4     »      19   » 

»      »       ‡     »      16   »   

»      »       )     »      16   » 

»      »      *     »      13   » 

»      »      5     »      12   » 

»      »      6     »      11   »

»      »      †     »       8   » 

»     »       1     »       8   » 

»     »       0     »       6   » 

»     »       9     »       5   » 

»     »       2     »       5   » 

»     »       :      »       4   » 

»     »       3     »       4   » 

»     »     3”     »       4   » 

»     »      ?      »       3   »

»     »      q     »        2   »

»     »      -      »       1   »
»     »      .      »       1   » 

«Ora, in inglese la lettera che ricorre più frequentemente è la e. Seguono nell'ordine a o i d h n r s t u y c f g l m w b k p q x z. In ogni caso, la e predomina a tal punto, che è raro trovare una frase, di qualsiasi lunghezza, in cui essa non sia la lettera più frequente». 

(…) «Poiché il segno predominante è 8, presupporremo, tanto per cominciare, che corrisponda alla e dell'alfabeto. Per verificare tale presupposto, vediamo se 8 si trova spesso in coppia, giacché in inglese le coppie di e sono assai frequenti, come per esempio nelle parole meet, fleet, speed, seen, been, agree ecc. In questo caso, lo ritroviamo raddoppiato ben cinque volte, sebbene il crittogramma sia breve». 

«Prendiamo dunque 8 come e. Ora, fra tutte le parole della lingua inglese, l'articolo the è la più frequente; vediamo perciò se non si presenti la ripetizione di tre caratteri, nello stesso ordine, l'ultimo dei quali sia 8. Se scopriamo tali ripetizioni, così ordinate, molto probabilmente rappresentano la parola the. Ora, se esaminiamo il cifrato, troviamo non meno di sette volte la serie ;48. Pertanto possiamo supporre che il segno ; rappresenti la lettera t, 4 la lettera h, e 8 la lettera e. Conferma, quest'ultima, della nostra ipotesi: e con ciò abbiamo fatto un gran passo avanti». 

«Ma avendo stabilito una parola, siamo in grado di stabilire un punto di estrema importanza: vale a dire, la fine e l'inizio di parecchie altre parole. Prendiamo, ad esempio, il penultimo caso in cui si presenta la serie ;48, non lontano dalla fine del testo. Noi sappiamo che il segno ; che segue immediatamente è l'inizio di una parola, e dei sei segni che seguono questo ;48 ne conosciamo cinque. Trascriviamo questi segni così, con le lettere che sappiamo li rappresentano, lasciando uno spazio vuoto per la lettera incognita: 

t eeth. 

Qui possiamo scartare subito il th che non fa parte della parola che incomincia con la prima t; giacché, provando con tutto l'alfabeto alla ricerca di una lettera che possa colmare la lacuna, ci accorgiamo che è impossibile comporre una parola di cui questo th faccia parte. Dovremo dunque limitarci a: 

t ee, 

e, ripassando l'alfabeto, se necessario, come già abbiamo fatto, arriviamo alla parola tree ("albero") come unica versione possibile. In tal modo otteniamo un'altra lettera, r, rappresentata da più due parole giustapposte: the tree». 

«Se guardiamo un po' più avanti, dopo queste parole, ritroviamo la combinazione ;48, che usiamo come terminazione di quanto immediatamente precede. Ne risulta, in quest'ordine: 

the tree;4(‡?34 the 

o, sostituendo le lettere rispettive quando esse ci siano note:

the tree thr...‡? 3h the. 

«Ora, se al posto dei segni che non conosciamo, lasciamo degli spazi vuoti, o mettiamo dei puntini, leggiamo: 

the tree thr... h the, 

da cui risulta evidente la parola through ("attraverso"). Ma questa scoperta ci fornisce tre nuove lettere: o, u, e g, rappresentate da ‡, ?, e 3».   

«Se ora esaminiamo attentamente il testo, in cerca di combinazioni di segni già noti, troviamo, non molto dopo l'inizio, questa serie: 

83(88, cioè egree, 

che è, ovviamente, la terminazione della parola degree ("grado") e che ci dà un'altra lettera, d, rappresentata da t». 

«Quattro lettere dopo la parola degree, troviamo la serie 

;46(;88

Traducendo i segni noti, e rappresentando i segni ignoti con puntini, come in precedenza, leggiamo: 

th. rtee., 

serie che immediatamente ci suggerisce la parola thirteen ("tredici") e che ci fornisce altre due lettere, i e n, rappresentate da 6 e da *».  

«Riportandoci ora all'inizio del crittogramma, troviamo la combinazione 

53 ‡‡† 

Traducendo come prima, otteniamo good ("buono"), che ci dà la certezza che la prima lettera è a, e che le due prime parole sono A good ("Un buon")». 

«Ad evitare confusioni, dobbiamo ora disporre per ordine in una tabella tutte le "chiavi" finora trovate. E la tabella è questa: 

5 rappresenta a 

†        »          d 

8        »          e

3        »          g 

4        »          h

6       »          i 

*        »          n

‡        »          o 

(        »           r 

;        »           t

?       »           u 

«Vi troviamo rappresentate non meno di undici delle lettere più importanti; mi sembra perciò superfluo, per quanto riguarda la soluzione, entrare in altri dettagli. Ho detto abbastanza per convincervi che crittogrammi di questa natura sono di agevole soluzione, e per darvi un'idea del carattere razionale del procedimento. Ma tenete presente che il crittogramma che abbiamo davanti appartiene alla specie più semplice. Non mi resta ora che darvi la traduzione completa del testo della pergamena, come l'ho decifrato. Eccolo: 

"A good glass in the bishop's hostel in the devil's seat twenty-one degrees and thirteen minutes northeast and by north main branch seventb limb east side shoot from the left eye of the death's head a beeline from the tree through the shot fifty feet out" 

"Un buon vetro nell'ostello del vescovo sulla sedia del diavolo ventuno gradi e tredici minuti nord-est quarta di nord tronco principale settimo ramo lato est calare dall'occhio sinistro della testa di morto una linea d'ape dall'albero attraverso la palla cinquanta piedi in là"».

Con un procedimento analogo all’analisi della frequenza delle lettere, Legrand ricostruisce anche la punteggiatura della frase, sull’assunto che i caratteri sono più accostati dove l’autore sta pensando a una pausa. La frase diventa: 

"Un buon vetro nell'ostello del vescovo sulla sedia del diavolo - quarantun gradi e tredici minuti - nord-est quarta di nord - tronco principale settimo ramo lato est - calare dall'occhio sinistro della testa di morto - una linea d'ape dall'albero attraverso la palla cinquanta piedi in là." 

Ora il problema non è più di crittografia, ma di interpretazione del linguaggio. Legrand comprende che “vetro” indica un cannocchiale, mentre gli altri termini oscuri sono nomi locali per indicare alcune caratteristiche topografiche, che gli consentono di individuare l’area tra i boschi dell’entroterra dove cercare, sulla base delle coordinate, un albero tra i cui rami è nascosto un teschio. Dalla verticale dell’occhio sinistro del teschio, individuata facendo cadere una palla da fucile, si deve tracciare una "linea d'ape", cioè una linea retta, dal punto più vicino del tronco attraverso la "palla", e di qui prolungata per cinquanta piedi. Quello è il luogo in cui scavare. 

Facciamo, come promesso, un passo indietro, a prima dell’illustrazione da parte di Legrand di come ha decifrato il codice segreto del pirata. La narrazione della localizzazione del sito dove scavare nel bosco è condotta da Poe con maestria. C’è persino un primo scavo inutile, dovuto a un errore del povero Jupiter, che, montato sull’albero e trovato il tronco con il teschio, confonde la destra con la sinistra e fa cadere lo scarabeo, usato come filo a piombo, dall’occhio sbagliato. L’impresa sembra fallire, ma un ripensamento di Legrand lo conduce a trovare l’errore del suo servitore. Un nuovo tentativo, questa volta condotto davvero dall’occhio sinistro, porta poi al successo del secondo scavo e al ritrovamento del tesoro. Poe drammatizza l’errore del servitore, che è costato un inutile scavo di oltre due ore ai tre cercatori. Ma siamo sicuri che sia stato così grave? 

Non ne è affatto convinto Eric Talvila, del Dipartimento di Matematica e Statistica della canadese University of the Fraser Valley, Abbotsford, il quale sostiene, in un articolo che comparirà su Mathematical Gazette, che semplici considerazioni trigonometriche dimostrano che i due luoghi di scavo potevano tranquillamente sovrapporsi.

Nel luogo indicato dalla mappa, Legrand ha individuato con il cannocchiale il grande albero, un liriodendro (albero dei tulipani), sul quale c’è un teschio. Legrand ordina a Jupiter di salire. Arrampicandosi fino a 70 piedi, egli giunge al settimo ramo sul lato est dell’albero, dove i pirati avevano fissato un teschio umano. Jupiter fa cadere lo scarabeo d’oro attraverso l’orbita dell’occhio destro. Allora i tre scavano in un punto situato a 50 piedi di distanza dall’albero nella direzione indicata dall’allineamento albero-scarabeo. Lo scavo ha un diametro di 4 piedi ed è profondo 5. Ma non trovano alcun tesoro. Legrand si accorge dell’errore del servitore e fa ripetere l’operazione facendo cadere lo scarabeo dall’occhio sinistro, che giunge a terra a 2 pollici e mezzo di distanza dalla precedente posizione. La nuova direzione porta a individuare un nuovo luogo di scavo. 

Nonostante Poe affermi che i due luoghi di scavo erano distanti diverse iarde, Talvila sostiene che con un po’ di trigonometria si giunge invece alla conclusione che i due scavi fossero parzialmente sovrapposti. Facciamo riferimento alla figura.

I punti indicati nella figura sono O (centro dell’albero), a (punto di caduta attraverso l’occhio sinistro), b (punto di caduta attraverso l’occhio destro), A (primo luogo di scavo), B (secondo luogo di scavo). Le distanze sono r (raggio del tronco dell’albero), L (distanza di ciascun occhio del teschio dal tronco), r_A (raggio del primo scavo), r_B (raggio del secondo scavo). Tutte le distanze sono indicate in piedi, come nel racconto (un piede equivale a 30,48 cm, si indica con ft oppure con ′, ed è suddiviso in 12 pollici, in oppure ′′, e corrisponde a 1/3 di iarda, yd). L’angolo AOB è 2θ. 

Legrand afferma che i punti a e b sono distanti 2.5′′, cioè 5/24′. Le distanze aA e bB misurano 50′. Notiamo che sen θ = 5/[48(r + L)]. La distanza tra i centri degli scavi è: 

AB = 2(r + L + 50) sen θ = 5(r + L + 50) / 24(r + L) 

La condizione che I due scavi non si sovrappongano è che AB >  r_A + r_B. Perciò:

r + L < 250 / 24(r_A + r_B) − 5 

Sappiamo dal racconto che r_A = 2′. Il narratore afferma che r_B è poco di più. Anche ponendo che r_B = 2′, per non avere sovrapposizione degli scavi bisognerebbe ottenere r + L < 250/91'' = 2′ 9′′. Ciò è chiaramente impossibile. Poe ha scritto un bellissimo racconto, ha usato le sue conoscenze crittografiche, ma, per il matematico canadese, non ha fatto i compiti di trigonometria, perché i due scavi sono talmente vicini da sovrapporsi.

Erik Talvila (2012). Trigonometry of The Gold-Bug to be published in Mathematical Gazette arXiv: 1206.1761v1

Poe e la crittografia (1): A Few Words on Secret Writing

In un precedente articolo, dedicato al cosiddetto “paradosso di Olbers” (perché il cielo notturno è buio nonostante esista un’infinità di stelle?), facevo notare come Edgar Allan Poe avesse dichiarato di non amare la scienza, pur avendo una discreta conoscenza delle più recenti scoperte delle sua epoca. Nel 1848, nel suo visionario “poema in prosa” Eureka, dedicato ad Alexander Von Humboldt, aveva addirittura, in anticipo sui tempi, sostenuto l’idea di un universo non eterno, non infinito e in continua evoluzione. La cosmologia non fu il solo campo di interesse dello scrittore americano, visto che il detective Dupin da lui creato ispirò i metodi di indagine oggettiva di Sherlock Holmes, spesso basati sulle conoscenze scientifiche, e visto che Poe fu un vero e proprio esperto di crittografia e codici segreti. 

Nel dicembre 1839 Poe scrisse un articolo per il settimanale di Philadelphia Alexander's Weekly Messenger nel quale sfidava i lettori a inviagli dei messaggi cifrati che egli avrebbe decrittato. Inizialmente giunsero crittogrammi solo dai dintorni della città, ma presto incominciarono ad arrivare da tutti gli Stati Uniti. Poe pubblicò molti dei crittogrammi con le loro soluzioni per quindici numeri del giornale. 

L’anno successivo Poe pubblicò a commento di questa esperienza un articolo-saggio intitolato A Few Words on Secret Writing (“Qualche parola sulla scrittura segreta”), in cui affrontava con toni molto divulgativi il tema della codifica e decodifica di un messaggio inviato per lettera. Così scriveva: 

A pochi può essere fatto credere che non è affatto una cosa facile inventare un metodo di scrittura segreta che possa confondere l’indagine. Eppure si può sostenere con forza che l’ingegno umano non può architettare un codice che l’ingegno umano non possa risolvere. Sulla facilità con la quale una tale scrittura venga decifrata, tuttavia, esistono differenze assai degne di nota in diversi intelletti. Spesso, nel caso di due persone di riconosciuta parità riguardo alle capacità mentali ordinarie, si troverà che, mentre uno non è in grado di penetrare il più semplice codice, l’altro è solo minimamente confuso dal più astruso. In genere si può osservare, che in tali indagini è fortemente chiamata in causa l’abilità analitica; e, per questo motivo, le soluzioni crittografiche dovrebbero essere introdotte nelle accademie con grande vantaggio, come metodo per tonificare il più importante dei poteri della mente. 

Poniamo il caso di due individui, totalmente digiuni di crittografia, desiderosi di tenere una corrispondenza per lettera che sia inintelligibile a tutti tranne che a loro stessi. È molto probabile che essi dovrebbero subito pensare ad un alfabeto particolare, del quale entrambi dovrebbero possedere la chiave. All’inizio potrebbe, forse, essere concordato che la A sta per Z, B per Y, C per X, D per W, ecc., il che vuol dire che sarebbe ribaltato l’ordine delle lettere. In un secondo momento, poiché questa disposizione appare troppo banale, bisognerebbe adottare un sistema più complesso. Le prime tredici lettere dovrebbero essere scritte sotto le ultime tredici, in modo che: 

N O P Q R S T U V W X Y Z 

A B C D E F G H I J K I M 

Così sistemate, A potrebbe strare per N e viceversa, O per B e viceversa, il tutto con un’aria di regolarità che l’alfabeto chiave potrebbe essere costruito assolutamente a caso. Così, 

A potrebbe voler dire P 

B potrebbe voler dire X 

C potrebbe voler dire U 

D potrebbe voler dire O, 

ecc. 

I due corrispondenti, a meno di essere convinti del loro errore dalla [eventuale] decifrazione del loro codice, senza dubbio vorrebbero restare in quest’ultima sistemazione, che offrirebbe piena sicurezza. Ma, in caso contrario, essi probabilmente escogiterebbero il piano di simboli arbitrari usati al posto di quelli usuali. Ad esempio: 

. potrebbe voler dire B 

: potrebbe voler dire C 

; potrebbe voler dire D 

) potrebbe voler dire E, 

ecc. 

Una lettera composta di tali simboli avrebbe senza dubbio un aspetto intricato. Se, ancora, tuttavia, essa non dà piena soddisfazione, potrebbe essere concepita e poi realizzata l’idea di un alfabeto perpetuamente in movimento. Prepariamo due pezzi circolari di cartone, il primo di diametro circa mezzo pollice più piccolo dell’altro. Disponiamo il centro del più piccolo sul centro del più grande, assicurandoli per un momento dallo scivolamento mentre disegniamo i raggi dal centro comune alla circonferenza del cerchio più piccolo e poi a quella del cerchio più grande. Tracciamo 26 di questi raggi, che formano su ciascun cartone ventisei settori. In ciascuno di questi spazi sul cerchio inferiore scriviamo una lettera dell’alfabeto, meglio se in ordine casuale. Facciamo la stessa cosa sul cerchio superiore. Ora facciamo passare uno spillo attraverso il centro comune, e facciamo girare il cerchio superiore mentre teniamo stretto quello inferiore. Ora fermiamo la rotazione del cerchio superiore e, mentre entrambi sono fermi, scriviamo la missiva desiderata, utilizzando al posto della A quella lettera nel cerchio più piccolo che corrisponde alla A in quello più grande, al posto della B quella lettera nel cerchio più piccolo che corrisponde alla B in quello più grande, ecc. Per far sì che una missiva scritta in questo modo possa essere letta dalla persona che si desidera, è necessario solo che egli possegga dei cerchi costruiti nella maniera appena indicata e che conosca due qualsiasi dei caratteri (uno nel cerchio inferiore e uno in quello superiore) che erano giustapposti quando il suo corrispondente ha scritto la lettera cifrata. Su quest’ultimo punto egli viene informato guardando alle due lettere iniziali del documento, che fanno da chiave. Così, se vede una M all’inizio, deduce che, facendo girare i suoi cerchi in modo da mettere questi caratteri in corrispondenza, egli arriverà all’alfabeto impiegato. 

A uno sguardo frettoloso, questi diversi modi di costruire un testo cifrato sembrano avere intorno a sé un’aria di inscrutabile segretezza. Sembra quasi impossibile scoprire ciò che è stato messo insieme con un metodo così complesso. E per alcune persone la difficoltà potrebbe essere enorme; ma per altri – quelli pratici di decifrazione – tali enigmi sono davvero molto semplici. Il lettore deve tenere presente che le basi dell’intera arte della soluzione, per quanto riguarda questi argomenti, si trova nei principi generali della formazione stessa del linguaggio, e quindi è del tutto indipendente dalle leggi particolari che regolano un qualsiasi codice, o la costruzione della sua chiave. La difficoltà di leggere un enigma crittografico non è affatto sempre in accordo con la fatica o l’ingegno con i quali è stato congegnato. Il solo uso di una chiave, infatti, è per coloro che sono in confidenza con il codice; nella sua lettura attenta da parte di un terzo, non si dispone di alcun riferimento. La serratura del segreto è forzata. Nei diversi metodi di crittografia prima trattati, si osserverà che esiste una complessità gradualmente crescente. Ma questa complessità è solo un’ombra. Non possiede alcuna sostanza. Appartiene solamente alla formazione, e non ha alcuna importanza sulla soluzione, il codice. L’ultimo metodo menzionato non è in ultimo grado più difficile da decifrare che il primo – qualsiasi possa essere la difficoltà di entrambi. 

Dopo aver illustrato altri metodi, via via più complessi, tra i quali l’uso di alfabeti dove uno stesso carattere può rappresentare più di una lettera, oppure l’uso di chiavi in lingue diverse da quella dei corrispondenti, lo scrittore spiegava tramite alcuni esempi come la decifrazione di un messaggio segreto possa partire dall’analisi della frequenza dei caratteri, parole o gruppi di parole che, per una data lingua, si presenta con caratteristiche abbastanza riconoscibili. Ad esempio, oggi si sa che in un testo inglese sufficientemente lungo la lettera E è la più frequente, presentandosi nel 12,31% dei casi, seguita dalla T con il 9,59%. 

Avendo in questo modo riconosciuto una lettera scritta, mentre la parola chiave è sconosciuta, la persona che tentasse la sua decifrazione si potrebbe immaginare che si chieda, o in altro modo tenti di convincere se stesso, che un determinato carattere (ad esempio I) possa rappresentare la E. Controllando tutto il testo per trovare una conferma alla idea, egli non potrebbe incontrare altro che una negazione di essa. Egli vedrebbe il carattere in situazioni in cui esso non potrebbe in alcun modo rappresentare la E. Potrebbe, per esempio, essere sconcertato da quattro I che formano da sole una sola parola, senza che ci sia alcun altro carattere; in questo caso, naturalmente, non potrebbero essere tutte E. (…)

Durante il XIX secolo, la maggior parte delle persone considerava la crittografia come una misteriosa arte esoterica, e il merito dello scrittore fu di suscitare nel pubblico un grande interesse verso queste discipline. Grazie alle pubblicazioni di Poe, i rompicapo crittografati divennero molto popolari su quotidiani e riviste. Ispirato dal successo dei crittogrammi e dall’interesse per il suo saggio, egli decise di scrivere una short story che coinvolgesse la crittografia. Il risultato fu un racconto dal titolo Lo scarabeo d’oro (The Golden Bug), con il quale vinse un concorso letterario guadagnando 100 dollari. Il testo fu pubblicato il 21 giugno 1843 sul Philadelphia's Dollar Newspaper ed ebbe un immediato successo, che dura tuttora. Lo scarabeo d’oro fu la prima pubblicazione non professionale a contenere non solo un testo crittografato nella trama, ma anche una dettagliata descrizione di come decodificarlo attraverso l’analisi della frequenza delle lettere. Nella seconda parte di questo articolo prenderò in esame il messaggio cifrato contenuto nel racconto. Un po’ di pazienza, ché prima ci sarà il Carnevale della Matematica, sabato prossimo, qui.

La Regina Azteca

Gli anglosassoni designano con vanishing puzzles quelle figure che, opportunamente tagliate e risistemate, producono l’illusione che una parte sia scomparsa. Qui riporto il classico esempio del triangolo rettangolo che perde un quadratino, ma, per una galleria più approfondita, rimando all’articolo che ha loro dedicato l’amico Mariano Tomatis, matematico e illusionista di gran vaglia.

Molto bello è l’enigma dei quindici nani ("leprechaun") creato dall'artista canadese Jeanette Louise "Pat" Patterson Lyons, i quali, dopo taglio e ricomposizione, diventano 14:

Uno dei maestri di questi affascinanti rompicapi fu l’americano Sam Loyd (1841-1911), provetto scacchista e grande esperto di enigmi, che ne pubblicò alcuni diventati famosi. Quello che egli stesso definì il suo capolavoro fu il Get Off the Earth Puzzle, pubblicato nel 1896, che rappresenta tredici guerrieri cinesi che circondano il globo terrestre. Ruotando il globo, uno di essi sembra scomparire, senza che si riesca a capire chi sia e dove sia finito.

Ai vanishing puzzles e a Sam Loyd si è ispirato Claude Berge (1926-2002), matematico e oulipiano di cui mi sono occupato già alcune volte (qui e qui). Infatti Berge pubblicò nel 1983, nella Biblioteca Oulipiana (BO n. 22), l’opera La reine aztèque, ou contraintes pour un sonnet à longueur variable, un sonetto di 14 versi (A), che può essere riorganizzato in una poesia di 15 versi (B) con le stesse parole, conservando anche la metrica. L’operazione si attua dividendo il sonetto nei punti indicati con un taglio verticale e all’altezza della riga bianca tra le strofe con un taglio orizzontale. Poi si scambiano di posto i due pezzi di destra, facendo in modo che il primo verso della seconda strofa diventi il primo della prima. In realtà l’operazione comporta un trucchetto, ma lascio al lettore il piacere di scoprirlo.

La Reine Aztèque (A)


Tandis qu’en frissonnant elle | égrenait des vers
L’| Aztèque imperturbable à la touque imprécise
Serrait sa souveraine une blonde | aux yeux verts
D’un lien | libidineux que la froidure attise
Dans l’Ouest enfoui dit-elle à son amant | pervers,
C’est là que l’art | jaillit, que l’Inca prosaïse,
Et que la pyramide abolit l’univers | !
Nul n’entend le muet qui | tout doucement s’enlise…


Comme le perspicace inouï | conjecturait,
Jeune | ami présomptueux plus fou qu’il ne paraît,
N’offre pas de pactole à ton gardien | farouche
Si le verbe | à la fois oppresseur et charmant
D’un tel triomphateur ne trouble le diamant | …
Même Xipe Totec | fuit et détruit sa souche


La Reine Aztèque (B)


Tandis qu’en frissonnant elle | conjecturait,
L’| ami présomptueux plus fou qu’il ne paraît,
Serrait sa souveraine une blonde | farouche
D’un lien | à la fois oppresseur et charmant
Dans l’Ouest enfoui dit-elle à son amant | …
C’est là que l’art | fuit et détruit sa souche
Et que la pyramide abolit l’univers !|
Nul n’entend le muet qui | égrenait des vers
Aztèque imperturbable à la touque imprécise
Comme le perspicace inouï | aux yeux verts
Jeune | libidineux que la froidure attise
N’offre pas de pactole à ton gardien | pervers,
Si le verbe | jaillit, que l’Inca prosaïse,
D’un tel triomphateur ne trouble le diamant | !
Même Xipe Totec | tout doucement s’enlise…

Siccome non l’ha mai fatto nessuno, ho provato ad adattare il sonetto in italiano, cercando almeno di conservare le rime, dato che mantenere la metrica è operazione troppo problematica. Anche in lingua originale il testo è piuttosto oscuro e contiene riferimenti non facili da individuare (qualcuno ci ha visto un velato accenno alla circoncisione). In ogni caso, Xipe Totec ("Nostro Signore lo Scorticato"), era un dio azteco dell'agricoltura, omologo della greca Prosepina, che presiedeva alla morte e alla rinascita, all'occidente e alla primavera. Si tolse la pelle per dare nutrimento all'umanità, simboleggiando il seme del mais, che perde il tegumento esterno per poter germogliare. Veniva raffigurato senza pelle, come un dio dorato, oppure con una seconda pelle. A lui si dedicavano sacrifici umani con relativo scorticamento.

La regina azteca (A)

Rabbrividendo lei | sgranava il suo verso
L’| Azteca imperturbabile che all’errore tende
Stringeva la sua sovrana una bionda | d’occhio terso
D’un legame | libidinoso che il freddo accende
Nell’ovest fuggito lei dice all’amante | perverso,
È là che l’arte | fiorisce, che l’Inca prosa stende,
E che la piramide abolisce l’universo | !
Nessuno sente il muto che | pian piano discende…

Come il perspicace inaudito | supponeva,
Giovane | amico borioso matto più che pareva,
Non offre del denaro al tuo guardiano | feroce
Se il verbo | insieme oppressivo e affascinante
D’un tal vincitore che oscura il diamante / …
Persino Xipe Totec / fugge, la stirpe va in croce.

La regina azteca (B)

Rabbrividendo lei | supponeva,
L’| amico borioso matto più che pareva,
Stringeva la sua sovrana una bionda | feroce
D’un legame | insieme oppressivo e affascinante
Nell’ovest fuggito lei dice all’amante | …
È là che l’arte | fugge, la stirpe va in croce.
E che la piramide abolisce l’universo ! |
Nessuno sente il muto che | sgranava il suo verso
Azteca imperturbabile che all’errore tende
Come il perspicace incredibile | | d’occhio terso
Giovane | libidinoso che il freddo accende
Non offre del denaro al tuo guardiano | perverso
Se il verbo | fiorisce, che l’Inca prosa stende,
D’un tal vincitore che oscura il diamante / !
Persino Xipe Totec / pian piano discende…

Giocare con i polimini

Una poliforma è una figura piana che è composta da due o più copie connesse di una dato poligono di base, che è quasi sempre (ma non necessariamente) un poligono convesso che può dare una tassellazione regolare del piano. Si possono costruire poliforme, ad esempio, con i quadrati, con i triangoli isosceli, con quelli rettangoli con angoli di 30-60-90 gradi, con gli esagoni regolari, ecc. Esiste tutta una nomenclatura ufficiale per denominare tali figure. Ad esempio, unendo quadrati uguali si ottiene un polimino (con due quadrati si ha il domino), mentre con triangoli isosceli si ottiene un poliante (ovvio che due triangoli equilateri diano un diamante); con i triangoli rettangoli si ottengono le polisquadre (polydrafter in inglese).

Le regole per collegare i poligoni possono essere diverse, e devono pertanto essere dichiarate per ciascun tipo distinto di poliforma, Di solito, tuttavia, si applicano le seguenti:

1. Due poligoni di base devono essere uniti solo con un lato comune;

2. Due poligoni di base non devono mai sovrapporsi;

3. Una poliforma deve essere connessa (cioè deve costituire un pezzo solo);

4. L’immagine speculare di una poliforma asimmetrica non è considerata una poliforma distinta.

Le poliforme sono una ricca fonte di problemi, rompicapi e giochi, in gran parte basati sulla possibilità di tassellare figure assegnate o l’intero piano. La storia di questi passatempi logico-matematici attraversa tutta la storia del Novecento, e coinvolge figure straordinarie di esperti di matematica ricreativa e creatori di rompicapi, dall’inglese Henry Dudeney nella prima metà del secolo fino all’americano Martin Gardner nella seconda.

Tra le poliforme la più utilizzata è senza dubbio il polimino, cioè la figura piana formata dall’unione per il lato di due o più quadrati uguali. Fu il californiano Solomon W. Golomb (l’inventore dell’omonimo regolo) ad assegnare il nome a questa famiglia di figure, in una conferenza che tenne nel 1953. Il termine fu poi reso popolare da Martin Gardner, che volle sostituire il termine diomino, adottato da Golomb per quello formato da due quadrati, con il più corretto domino. Qui sotto sono illustrati i polimini da 1 a 4 quadrati.

Come molti rompicapi della matematica ricreativa, i polimini sono interessanti dal punto di vista combinatorio. Lo studio dei polimini consiste nello stabilire il numero di differenti tipi che si possono ottenere in funzione del numero n di celle formate dal quadrato di base e delle regole di costruzione. Purtroppo non esiste una formula generale per farlo, anche se esistono diversi algoritmi che permettono una stima affidabile. In generale si è stimato che il numero di n-polimini cresce esponenzialmente all’aumentare di n. Esistono anche diversi polimini con buchi, che di solito sono però ignorati perché si considerano solo quelli semplicemente connessi.

Esistono tre diversi modi di distinguere i polimini:

- I polimini liberi sono quelli che non derivano da alcuna trasformazione rigida (traslazione, rotazione, riflessione o antitraslazione) di altri polimini (si tratta di figure che possono essere sollevate e capovolte).

- I polimini a una sola faccia sono quelli che non derivano da traslazione o rotazione di un altro polimino.

- I polimini fissi, infine, sono quelli che non derivano da una traslazione di un altro polimino (sono figure che non possono essere capovolte o ruotate). La tabella elenca i diversi polimini con n celle fino a 6:

Di giochi con i polimini si ha notizia già nel 1907, quando Dudeney ne pubblicò uno nei Canterbury Puzzles: era un gioco con i pentamini, ma allora fu presentato come un problema di dissezione di un rettangolo. Problemi con pezzi formati da 1 a 6 celle furono pubblicati sul bimestrale enigmistico Fairy Chess Review tra il 1937 e l’anno della sua chiusura, nel 1957. I compiti richiesti al giocatore vanno dal tassellare regioni assegnate al ribaltare un polimino per creare altre figure.

Martin Gardner rese popolare il rompicapo del pentamino, che è il polimino composto da cinque quadrati identici connessi tra di loro lungo dei lati, chiedendo di riempire diversi rettangoli di area 60 utilizzando un insieme di tutti i 12 pentamini liberi esistenti (che sono identificati con le lettere dell'alfabeto più vicine alla loro forma). Il più tipico rompicapo di questo tipo consiste nel tassellare un rettangolo di 6×10 quadrati: esistono 2339 soluzioni. Anche per i rettangoli 4×15 e 5×12 ne esistono molte (368 nel primo caso e 1010 nel secondo). I rettangoli 5×12 e 6×10 possono essere divisi in rettangoli più piccoli di dimensioni 5×6: in questo caso esistono 8 soluzioni. È invece impossibile il rettangolo 2×30, perché almeno uno dei pentamini è di lunghezza 3 in due direzioni.

Assai più difficile è il rettangolo 3×20, problema così duro e affascinante da essere ampiamente citato nel racconto di Terra imperiale del grande scrittore di SF Arthur C. Clarke. In questo racconto i pentamini sono uno dei giochi più popolari tra gli abitanti di Titano, il satellite di Saturno, colonizzato dall'uomo nel XXII secolo. Il gioco viene regalato a Duncan, ultimo discendente (per clonazione) dei Mackenzie, la più grande dinastia di mercanti d’idrogeno di Titano, per mettere alla prova la sua abilità logica. Secondo Clarke, lo studio di queste dodici figure e delle loro possibili combinazioni è per Duncan la rivelazione dell'infinito. In effetti, per pavimentare con l’insieme dei dodici pentamini il rettangolo 3×20 esistono solo due soluzioni.

Anche in 2001, Odissea nello spazio, racconto di Clarke da cui Stanley Kubrick trasse uno dei suoi capolavori, doveva comparire un gioco con i pentamini, nella scena in cui gli astronauti giocano a scacchi con HAL. Kubrick decise però che quel gioco era troppo oscuro per lo spettatore medio e modificò la sceneggiatura.

Il matematico R. M. Robinson dell'Università di Berkley suggerì il cosiddetto problema della triplicazione, che consiste nel costruire un modello di ogni pentamino tre volte più grande, usando nove dei pentamini di base. Nella figura a fianco è riportato l'ingrandimento del pentamino C.

Martin Gardner, ancora lui, fu invece l’inventore del rompicapo nel quale si chiede di ricoprire, con i dodici pentamini, una scacchiera 8×8. Poiché i polimini possono ricoprire soltanto 12×5 = 60 quadretti, ne rimangono quattro vuoti in posizioni diverse, raggruppati o separati. Una delle possibili disposizioni è riportata nella figura qui sotto.

Un altro gioco con la scacchiera fu proposto da Golomb, I due giocatori sono dotati di tessere a forma di pentamini, che devono disporre a turno sulla scacchiera fino a che uno dei due non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri. Il gioco viene oggi commercializzato con il nome di Quintillions. Una variante è rappresentata da Blokus, ora disponibile anche in numerose versioni elettroniche, nel quale si utilizzano tutti i polimini liberi fino ai pentamini, con lo scopo di giungere a una configurazione in cui l’avversario non può più sistemare i suoi pezzi.

Il tetramino, che è il polimino composto da quattro quadrati identici connessi tra di loro, offre minori possibilità di gioco. Esistono cinque tetramini liberi, ma sfortunatamente, per quanto essi coprano un’area totale di 20 quadrati, essi non possono uniti a formare un rettangolo. Se guardiamo la figura in cui i tetramini sono stati colorati si può comprendere il perché. I primi quattro coprono due quadrati bianchi e due neri, ma l’ultimo ne copre tre di un colore e solo uno dell’altro. Poiché ogni rettangolo di area 20 deve avere 10 rettangoli bianchi e 10 neri, non si può costruire alcun rettangolo con un solo insieme di tetramini liberi. Con due insiemi si può invece riempire un rettangolo di 5×8 celle. Essi possono essere uniti per formare alcune figure interessanti, come ad esempio dei rettangoli di 3×7 con un quadrato escluso. 

La rivincita dei tetramini si ha però nel notissimo Tetris (creato nel 1984 dal russo Alexey Pajitnov nell’allora Unione Sovietica: una grande conquista proletaria), dove i diversi tetramini cadono uno alla volta mentre il giocatore deve ruotarli e/o muoverli in modo che creino una riga orizzontale di blocchi senza interruzioni. Quando la riga è stata creata, i mattoni spariscono e i pezzi sovrastanti (se ce ne sono) cadono a formare nuove linee. Poiché nel gioco è ammessa solo la rotazione dei pezzi e non il ribaltamento, ai cinque tetramini liberi sono aggiunti i simmetrici di quelli a forma di L e di Z , in modo da poter disporre di tutte le configurazioni che si possono ottenere componendo simmetrie su un tetramino.

Giocare con i primi giochi elettronici comparsi negli anni ’80, dopo essersi abituati ai giochi di ruolo ambientati in scenografie di qualità cinematografica fa una strana impressione. Ma il fascino di questi programmi risiede proprio nella loro semplicità. Credo che una buona maniera per concludere questa rassegna sia il proporvi una partitina a Tetris.(► e ◄ per spostare a destra e sinistra, ▲ e ▼ per ruotare). Che ne dite?

Geometria dei cruciverba

Come tantissimi, sono un appassionato dei cruciverba, nelle loro varie declinazioni: a schema fisso o libero, senza schema, crittografate, sillabiche, a gruppi variabili, bifrontali, ad anelli, la ricerca di parole crociate, gli incroci obbligati e le cornici concentriche, e chi più ne ha più ne metta. La Settimana Enigmistica, “il settimanale che vanta più tentativi di imitazione” è una costante presenza in casa mia, e ogni pagina presenta enigmi che spesso devo accanitamente disputare con mia moglie (al punto che in alcuni casi ci facciamo le fotocopie).

Le parole crociate vantano una storia relativamente recente: la prima griglia definita comparve il 21 dicembre 1913 nel supplemento domenicale Fun del New York World. L’aveva inventata l’inglese, poi americanizzato, Arthur Wynne, che adottò uno schema a losanga, o a diamante. Ancora non c’erano le caselle nere per separare le parole della stessa riga o colonna, ma lo stesso Wynne provvide poi a creare questa convenzione, che decretò il successo del gioco ampliandone enormemente le possibilità e le dimensioni. Il sistema delle caselle nere pian piano impose schemi quadrati o rettangolari, che sono oggi praticamente universali.

Il gioco si diffuse nel giro di un decennio in tutte le parti del mondo e in molte lingue, adattando le sue convenzioni all’idioma locale (in italiano e francese non si tiene conto degli accenti, in tedesco le vocali miste si scrivono separate, ecc.). Il primo cruciverba inglese è del novembre 1924, mese in cui fu pubblicato anche il primo schema francese. In Italia il primo “Indovinello delle parole crociate” comparve l’8 febbraio 1925 sulla Domenica del Corriere e nel 1929 è attestata per la prima volta la parola “Cruciverba”, forse inventata dall’editore e scrittore Valentino Bompiani. C’è da dire che il nostro paese vanta un precedente poco conosciuto: il lecchese Giuseppe Airoldi aveva pubblicato un primo piccolo schema di "Parole incrociate" il 14 settembre 1890 su Il Secolo Illustrato della Domenica, rivista edita da Edoardo Sonzogno. Il gioco consisteva in una griglia di dimensioni 4×4 nel quale ogni riga e colonna aveva una propria definizione. La paternità di Airoldi non viene riconosciuta perché nel gioco mancavano le caselle nere e, soprattutto, perché il suo schema non ebbe seguito.

I cruciverba hanno solleticato anche la creatività degli artisti più giocosi e provocatori. Lo scrittore oulipiano Georges Perec ha inventato il cruciverba più piccolo del mondo, con uno schema composto da una sola casella. Le definizioni sono:

1 orizzontale: Vocale

1 verticale: Consonante

Nella casella si deve mettere una I, considerata in francese una semiconsonante, o yod.

Il nostro Paolo Albani si è invece divertito a prendere in giro sia i cruciverba sia lo stile pittorico di Man Ray:

L'amico Profeta Incerto ha invece inventato il cruciverba di Turing, o crucituring, una varietà di cruciverba il cui schema è costituito da un’unica riga orizzontale di lunghezza infinita, esattamente come il nastro di una Macchina di Turing. Nelle caselle del Crucituring si possono inserire sia lettere che numeri, separati da una casella nera. Ecco le tre definizioni di questo schema:
1) Lo dice chi acconsente.
2) I decimali del pi greco.
3) Amò Tristano. 

A Lvov, in Ucraina, che noi conosciamo come Leopoli, un brutto palazzo è stato impreziosito con la collocazione su un lato di uno schema gigante di parole crociate, alto trenta metri, che rimane vuoto con la luce diurna, ma di notte si illumina con luci fluorescenti fornendo la soluzione delle definizioni collocate durante il giorno in vari punti di interesse della città, come monumenti, teatri, fontane, ecc.: una forma di incentivo enigmistico al turismo culturale e all’intelligenza degli abitanti:

Il francese Jacques Quesnel ha messo in discussione la forma quadrilatera dello schema, proponendone uno circolare per bambini (griglia dell'orologiaio):

Dicevo della forma degli schemi, in genere, e con pochissime eccezioni, quadrata o rettangolare, di varie dimensioni. In fondo si tratta di riempire con lettere e caselle nere una semplice griglia.

In geometria, una griglia non è altro che una tassellatura del piano fatta con quadrati: si parte da uno e si costruiscono gli altri per traslazione a partire dal primo (è il principio base delle tassellature regolari). Si può vedere la cosa anche da un'altra prospettiva: ogni quadrato si ottiene dal precedente per una rotazione di 90°. La ripetizione dell’operazione consente di ritornare al quadrato di partenza. Se volessimo avere tasselli di forme diverse dal quadrato, ma tutti uguali, cioè caselle a forma di poligono regolare, è facile osservare che lo possiamo fare in soli 3 modi: con il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare, che hanno rispettivamente angoli di 60° (360°/6), 90° (360°/4) e 120° (360°/3).

Se tentassimo di ricoprire il piano con caselle pentagonali (5 lati e 5 angoli uguali di 108°), dopo aver ruotato di 108° il primo pentagono per tre volte si arriva a 108° × 3 = 324°. Una quarta rotazione porterebbe a superare i 360°, con il nuovo pentagono parzialmente sovrapposto al primo, e addio tassellatura. Ciò perché la misura degli angoli del tassello non è un divisore intero di 360°, come avviene invece per i tre poligoni indicati sopra. 

La tassellatura con poligoni regolari si può fare solo se è possibile ritornare, dopo un certo numero di rotazioni, sulla figura di partenza (si dice che la tassellatura manda in sé).

Si possono allora fare schemi di parole crociate con caselle triangolari, quadrate o esagonali, quest’ultime disposte come le celle di un favo: gli incroci sono un po’ più complicati. C’è chi ci ha pensato, ma senza grande successo.

E se volessimo prescindere dal fatto che le caselle dello schema sia uguali tra loro? Con diverse configurazioni di poligoni regolari potremmo ottenere curiosi schemi, casi di tassellature semiregolari, che però sarebbero assai poco funzionali al gioco. In questi casi la disposizione dei poligoni attorno a ciascun vertice deve essere la stessa. Ne esistono otto tipi:

Anche il ricorso a poligoni non regolari o a figure non poligonali può consentire di ricoprire il piano, ma non è il caso di complicare la vita a un semplice solutore di cruciverba (e la redazione dei periodici di enigmistica dovrebbe essere affollata di matematici). Che ne dite ad esempio di un cruciverba di Penrose?