Euclide in miniera: la geometria sotterranea nel Seicento

 

Nelle regioni minerarie della Germania, che hanno una ricca tradizione tecnica e scientifica, la professione di geometra sotterraneo esiste sin dal tardo Medioevo. Tra i tanti stati tedeschi, la disciplina si era sviluppata soprattutto nel sud dell'Elettorato di Sassonia, nel cuore dei Monti Metalliferi (Erzgebirge), noti per i vari complessi idrotermali, dalle cui vene mineralizzate si sono estratti per secoli oro, argento, piombo, rame e tungsteno (e poi uranio: il radio scoperto dai Curie veniva da lì). In questa regione nel 1765 fu fondata la prima Accademia mineraria europea, nella città di Freiberg. 

La professione di geometra sotterraneo (Markscheider) è quella di un tecnico che deve fornire, attraverso la conoscenza del rilevamento e della geometria, la soluzione a problemi estremamente vari. È il principale responsabile dell'elaborazione dei piani minerari e della pianificazione dello scavo di pozzi. Deve anche studiare la topografia generale delle regioni minerarie per costruire gallerie di deflusso, assolutamente indispensabili per evacuare l'acqua dalle miniere, che altrimenti verrebbero rapidamente allagate, e percorrono percorsi tortuosi di diversi chilometri nel sottosuolo (le prime macchine a vapore ideate da Thomas Newcomen nel secolo successivo erano destinate proprio a questa funzione). Infine, in qualità di rilevatore e calcolatore, il geometra può essere incaricato di vari lavori di sterro o costruzione di bacini idrici. Dal punto di vista del diritto minerario, esistevano innumerevoli regolamenti e giurisprudenza per limitare le concessioni e risolvere le controversie sulla proprietà. Il geometra deve far rispettare questi limiti nel sottosuolo, utilizzando un elaborato sistema di segnaletica.

Molto prima della fondazione delle accademie alla fine del XVIII secolo, la geometria sotterranea esisteva già come corpo di conoscenze trasmesse da maestro ad allievo. La conoscenza dei segreti del mestiere rimase essenzialmente orale o manoscritta e i metodi migliori erano gelosamente custoditi, con l’unica eccezione del De Re Metallica (1556), un testo a stampa sulle scienze minerarie scritto dal medico e filosofo naturale sassone Georg Agricola. I manoscritti non erano destinati alla stampa e, anzi, la loro distribuzione era accuratamente ristretta. Ogni geometra sotterraneo aveva una copia personale, dettata o talvolta prestata agli studenti, che potevano farne una copia, ma poi dovevano "tenerne il possesso e non renderlo pubblico o venderlo a nessuno, per denaro o per qualsiasi altro motivo". Nel 1692 Nicolaus Voigtel (1658-1713) si rammaricò che “questa arte è stata tenuta segreta dalla maggior parte dei geometri sotterranei, al punto che se avevano fatto la promessa a qualcuno di insegnarla, non l'hanno comunque rispettata completamente, e anzi hanno sempre conservato qualche segreto”. 

Questo autore conosceva bene quel mondo, poiché la Geometria Subterranea da lui pubblicata nel 1686 fu la prima opera sull'argomento scritta da un tecnico. Per scriverlo, aveva attinto ampiamente alle conoscenze acquisite in Sassonia durante il suo apprendistato con Adam Schneider (1634-1707). Un manoscritto attribuito a quest’ultimo, iniziato nel 1669 e intitolato Neu Markscheide-Buch (Nuovo libro della geometria sotterranea), è ancora oggi conservato nella biblioteca dell'Accademia mineraria di Freiberg. 

Adam Schneider (1634-1707) fu un geometra sotterraneo sassone attivo durante la seconda parte del XVII secolo. Nel 1669 si recò ad Altenberg, nei Monti Metalliferi della Sassonia, per studiare diritto minerario, meccanica e geometria sotterranea con Balthasar Rößler (1604-1673), che dal 1663 era direttore delle miniere (Bergmeister) e geometra (Markscheider) di questo distretto. 

Il manoscritto di Schneider fu iniziato probabilmente nel 1669, ma diverse notizie e riferimenti che si trovano nella sua seconda parte sono chiaramente successivi a tale data. Testimoniano varie integrazioni fatte tra il 1671 e il 1693, come registrazioni di misurazioni o riferimenti a libri pubblicati, dimostrando che si tratta in realtà di un documento di lavoro. La maggior parte dei manoscritti di geometria sotterranea conservati fino ad oggi consistono spesso in una prima parte strutturata, integrata da varie aggiunte successive. 

La prima parte del manoscritto contiene diciotto proposizioni, che espongono altrettanti problemi che il geometra sotterraneo deve essere in grado di risolvere. Può trattarsi di «dirigi l'estremità di una galleria verso un pozzo minerario, e nello stesso tempo segna la fine della galleria» (proposizione 2) oppure di «stila la pianta delle strutture della miniera, mettila su carta. Segna crepe e vene. Segna anche i luoghi più importanti. Indica l'altezza di un luogo rispetto a un altro» (proposizione 17). 

Una seconda parte del lavoro descrive i consueti strumenti della geometria sotterranea - la livella, il goniometro graduato, la corda e una delle prime descrizioni della bussola sospesa (Hängekompass), ma anche gli strumenti teorici, come le tavole trigonometriche dei seni. Poi c'è un'introduzione all'aritmetica, inclusa la descrizione dell'uso delle tabelle per risolvere i triangoli, cioè il calcolo delle lunghezze e degli angoli ricercati. Il testo prosegue con una parte pratica, spiegando come misurare e raccogliere i dati in forma tabellare. La fine del manoscritto riprende i problemi dall'inizio per spiegare, spesso passo dopo passo, la loro risoluzione, esponendo sia metodi matematici che procedure di estrazione consuetudinarie o legali. 

Ogni geometra sotterraneo nel XVII secolo era responsabile di tutte le demarcazioni da effettuare nel suo distretto, per garantire il rispetto dei limiti di concessione. Una delle sue attività tipiche era quindi quella di determinare la posizione di un punto interrato, rispetto all'ingresso della miniera o rispetto alla superficie. Poiché queste strette gallerie erano ben lungi dall'essere scavate in linea retta, il geometra doveva ricostruire la linea poligonale che dalla bocca conduceva al punto considerato. Per fare ciò, doveva procedere alla risoluzione dei triangoli successivi utilizzando le misure degli angoli e dei lati. Adam Schneider vedeva in questi termini il "fondamento" della sua disciplina, a cui l’uso di termini in un latino zoppicante  conferisce un tono vagamente esoterico: 

“Fondamentum, che riguarda la soletta di galleria e la profondità perpendicolare. Il vero fondamento di quest'arte consiste in un triangulo rectangulo, che si chiama magister matheseos, che mi è dato in qualsiasi momento dalla livella sospesa, o dal quadrante col suo perpendiculo, il cui gradus è tagliato dal filo piccolo, o salendo (davanti a lui) o scendendo (dietro di lui). Un tale triangolo si risolve con l'aiuto delle seguenti tabulas sinuum, e troviamo così la soletta e la profondità perpendicolare. E questo accade quando si conoscono un lato del triangolo e un angolo”. 

Gli strumenti descritti nel manoscritto sono utilizzati principalmente per misurare gli angoli: la misurazione delle lunghezze viene solitamente eseguita con una semplice corda graduata in tese, unità di misura su cui torneremo. Lunga sei tese (una dozzina di metri), questa corda è tirata in linea retta lungo la galleria, fino a incontrare un ostacolo. Poi si riorienta e si ripete l'operazione per ottenere una linea spezzata, di cui si devono poi determinare gli orientamenti successivi. 

Il primo strumento che vi si appende, è il goniometro graduato (letteralmente "bilancia ad acqua", Wasserwaage), un "semicerchio che serve a rilevare i gradi di pendenza di gallerie e altre strutture sotterranee”. Se di solito si usa un goniometro per verificare, mediante un filo a piombo, l'orizzontalità di una struttura, qui viene utilizzata per misurare l'inclinazione della galleria, cioè l'angolo verticale dato dal filo. Per questo, era dotato di ganci che ne consentivano il fissaggio alla corda. 

Per misurare gli angoli orizzontali, Adam Schneider utilizzava una bussola sospesa. La bussola sospesa, o bussola da miniera (Hängekompass), è sospesa tra cerchi di metallo. Questo ingegnoso sistema assicura, per il solo gioco di gravità, che la bussola rimanga permanentemente orizzontale. È quindi possibile collegare lo strumento a una corda per misurare l'angolo orizzontale che segue la vena del minerale. La sapiente combinazione del goniometro, della bussola sospesa e della corda consente quindi di ottenere rapidamente, per ogni segmento della linea spezzata, la lunghezza del segmento e i due angoli verticale e orizzontale. Se il principio della bussola sospesa aveva già potuto essere utilizzato in astronomia o navigazione, la sua introduzione nella geometria sotterranea sembra avvenuta nella seconda metà del XVII secolo. L'invenzione è generalmente attribuita a Balthasar Rößler, maestro di Schneider, la cui opera non fu, tuttavia, pubblicata durante la sua vita. Questo manoscritto presenta una delle prime illustrazioni di questo strumento di misura. 

L'immagine sotto illustra la misurazione degli angoli verticale (usando il goniometro) e orizzontale (con la bussola sospesa) da parte del geometra sotterraneo. Se in realtà i due strumenti erano fissati su una stessa corda, tesa "nella direzione" della galleria, l'autore qui rappresenta due fili, uno orizzontale e l'altro verticale, a simboleggiare la scomposizione della misura bidimensionale. 

Notiamo subito che la bussola da miniera non è divisa in gradi. In effetti, si tratta di un sviluppo di vecchi strumenti (Setzkompass) usati dai minatori, il cui uso è stato documentato fin dal XV secolo in diverse opere. Seguendo la tradizione mineraria, la direzione delle vene del minerale viene misurata dividendo un cerchio in due parti di dodici ore ciascuna. Quando Adam Schneider scrisse il suo manoscritto alla fine del XVII secolo, la costruzione di strumenti di misura guadagnò in precisione, tanto che ogni ora era divisa in ottavi, che potevano essere opzionalmente suddivisi in quarti (non visibili nella figura), per una visione teorica dell'ordine di mezzo grado. 

Nella geometria sotterranea, le relazioni tra un'unità di misura e le sue suddivisioni sono spesso potenze di due, per la ragione principale che la divisione dicotomica caratterizza innumerevoli sistemi di misura per la sua semplicità. La bisezione dell'angolo era anche un processo ampiamente utilizzato dai produttori di strumenti per costruire graduazioni regolari sul cerchio.

A differenza degli angoli orizzontali, gli angoli verticali vengono misurati utilizzando una classica graduazione a semicerchio di 180 gradi, come si può vedere sul goniometro. Ciò significa che nel XVII secolo coesistevano due sistemi di misurazione degli angoli con unità diverse. Il sistema di misurazione dell'angolo verticale è stato probabilmente introdotto come un secondo passo, dopo che l'uso della sola bussola si è rivelato insufficiente. 

Le lunghezze sono da parte loro misurate in tese (Lachter). Nella vita civile, una tesa è uguale a sette piedi, la cui lunghezza variava da una città all'altra. Corrisponde approssimativamente alla lunghezza ottenuta da un adulto allungando le braccia, cioè poco meno di due metri. Nelle miniere, le suddivisioni sono diverse: una tesa è divisa in otto ottavi, ogni ottavo stesso è suddiviso in dieci pollici, un pollice in dieci primi, ecc. L'utilizzo di un sistema non decimale per la misura della lunghezza rende qualsiasi operazione, anche elementare, alquanto noiosa. Quando Adam Schneider vuole aggiungere [1.6.50] e [0.5.43], vale a dire una tesa, sei ottavi e cinque pollici a cinque ottavi, quattro pollici e tre primi, esegue il calcolo seguente: 

Si noti che i primi (decimi di pollice) vengono utilizzati nel calcolo ma arrotondati per ottenere il risultato finale [2.3.9], mentre il passaggio dagli ottavi alle tese avviene senza riporto ma spiegando il rapporto tra le due unità (11/8), che si potrebbe leggere così: "cinque ottavi più sei ottavi danno undici ottavi, sapendo che ci vogliono otto ottavi per fare una unità". Per comprendere il lavoro del geometra nella sua forma più concreta, vediamo ora come erano registrati e utilizzati i dati. Come tecnici, Adam Schneider e i suoi contemporanei adottarono un approccio molto empirico ai problemi della geometria sotterranea. Tornando alla definizione data sopra, un ruolo quasi mistico era dato al triangolo rettangolo, indicato come il maestro della matematica (magister matheseos). 

Tuttavia, questo triangolo non è solo un oggetto matematico: è saldamente ancorato al mondo reale della miniera. La corda, oggetto fisico che serve per misurare i segmenti, è spesso paragonata alla "linea inclinata" che rappresenta, a sua volta confusa con l'"ipotenusa" del triangolo rettangolo; Schneider usa i tre termini in modo intercambiabile. Allo stesso modo, la "base" del triangolo è associata alla "soletta", cioè al pavimento della galleria della miniera: è questa distanza orizzontale che si utilizzerà poi per costruire le mappe. Il cateto è spesso chiamato "profondità perpendicolare". Il termine cathetus è spesso usato nel XVII secolo per designare, in geometria pratica, il lato del triangolo rettangolo che è in posizione verticale. 

La misura del geometra ha valore legale, e deve quindi essere registrata per iscritto per essere discussa, corretta o utilizzata come prova. Data la pericolosità delle operazioni di misura, è comunque impensabile effettuare i calcoli direttamente in miniera. Il geometra, quindi, rileva prima gli angoli verticali e orizzontali nonché la lunghezza della linea e li registra in un "libro delle misure" sotto forma di tabella. Il seguente esempio fu eseguito da Adam Schneider il 9 febbraio 1669 nel cosiddetto pozzo minerario "del vecchio" a Zinnwald: 

Ciascuna riga della tabella registra le informazioni relative a una parte del pozzo minerario. Quindi la seconda riga [S. st. 2. 6. _. 1. 7], può essere interpretata come segue: angolo verticale ascendente di due gradi, distanza percorsa di sei tese; angolo orizzontale di uno e sette ottavi nel meridiano della bussola. 

Tuttavia, questi dati devono ancora essere elaborati, in particolare per svolgere due compiti fondamentali del geometra sotterraneo: trovare la posizione di un punto su un piano e individuare un punto sulla superficie perpendicolare a un punto della miniera. Sebbene vi siano molte variazioni a seconda dei casi, l'operazione più comune è risolvere il triangolo di cui questo segmento costituisce l'ipotenusa o, utilizzando i termini dei geometri sotterranei, determinare la lunghezza del plinto e la profondità perpendicolare. Citiamo ancora una volta Adam Schneider: 

“Siccome la bussola [sospesa] alla corda dà sempre un triangulum rectangulum, per il quale si conoscono due angoli, cioè in primo luogo il retto, che quindi cade sempre a 90°, ed uno acutus, che il goniometro dà sempre con la sua misura, poi il suo complimentum, si può scoprire il terzo angolo: e poi la corda inclinata o ipotenusa, alla quale è sospesa la bussola. Così scopriamo da questi dati, o cose conosciute, i due lati ancora sconosciuti, cioè il cateto o profondità perpendicolare e la base o soletta, secondo la quarta proposizione del sesto libro di Euclide, la quale quindi è enunciata: 

Æquiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera, quæ circum æquales angulos, e Homologa sunt latera quæ æqualibus angulis subtenduntur cioè: I triangoli, i cui angoli sono uguali [uno] all'altro, hanno anche i lati proporzionali tra loro, cioè quelli che sono intorno agli stessi angoli, così come le linee che li sorreggono, sono tra loro nella stessa proporzione”. 

In pratica, il geometra sotterraneo deve quindi utilizzare tavole trigonometriche, molte delle quali sono riprodotte nel Neu Markscheide-Buch di Schneider. Ciò indica che si attiene a Balthasar Rößler, il quale a sua volta ha utilizzato il lavoro del matematico e ingegnere fiammingo Simon Stevin (1548-1620). Questa operazione, che oggi può sembrare elementare, va apprezzata nel contesto della geometria pratica del Seicento, quando la trigonometria cominciava appena ad essere introdotta nelle operazioni di rilevamento. Non è possibile ottenere la miglior precisione in queste misure sotterranee, che per definizione non possono essere corrette da più osservazioni (come si potrebbe fare nella triangolazione superficiale), ma è indispensabile farne ricorso. 

Per rendere il metodo accessibile a tutti, l'uso delle tabelle è presentato sotto forma di una serie di istruzioni. Per evitare di dover eseguire regole di tre noiose operazioni quando il sistema utilizzato non è decimale, l'autore fornisce direttamente i valori delle basi e delle profondità perpendicolari (coseni e seni) per lunghezze che vanno da 1/8 tese a 20 tese. Combinando le solette e gli angoli orizzontali, è possibile rappresentare la misura come un piano geometrico, che Schneider fa nell'esempio appena illustrato. Sebbene la tecnica cartografica che utilizza non sia necessariamente leggibile per un lettore moderno, la sua ricostruzione utilizzando un software di geometria dinamica ne conferma la relativa accuratezza. 

I problemi della geometria sotterranea enumerati da Schneider sono varianti di un principio generale: stabilire la posizione relativa di punti e linee spezzate nello spazio. I compiti sono tuttavia relativamente vari, a causa del contesto complesso, sia geologicamente che giuridicamente. La geometria sotterranea, come disciplina matematica pratica, deve infatti risolvere problemi concreti, il che implica l'incorporazione di un patrimonio di conoscenze dalle scienze della terra e dal diritto minerario. 

Per pianificare lo scavo dei pozzi, il geometra deve tenere conto della configurazione degli strati geologici. È per questo motivo che il Neu Markscheide-Buch è costellato di digressioni sui diversi tipi di vene, sui loro nomi e sul loro andamento. I metodi proposti devono essere non solo matematicamente precisi, ma anche fattibili in situazioni concrete. Oltre ai vincoli fisici, esiste un quadro giuridico altamente sviluppato che regola l'istituzione di concessioni e condizioni operative. Il geometra agisce quindi come un professionista, la cui competenza si basa sulla padronanza della geometria e dell'aritmetica. È quindi necessario analizzare i suoi metodi tenendo conto di questi molteplici vincoli. Un esempio aiuterà a comprendere meglio lo stretto intreccio di conoscenze giuridiche e matematiche. Vediamo la prima proposizione del manoscritto di Schneider: 

"Segna qualsiasi punto alla luce, sia dall'imboccatura di una galleria, sia da un pozzo minerario o da un pozzo aperto, e questo può essere fatto in tre modi diversi: 

1. dai suoi angoli. 

2. da una linea retta. 

3. dalla corda persa". 

L'operazione di marcatura consiste nel trovare il luogo in superficie situato perpendicolarmente al punto considerato nella miniera. I tre metodi di risoluzione sono abbastanza diversi: il primo ("dagli angoli") corrisponde all'uso della tabella sopra descritta . Il secondo ("da una retta") consiste nel tracciare le misure su un piano geometrico prima di tracciare una linea retta dall'imboccatura del pozzo al punto da raggiungere e misurarne la direzione e la lunghezza. Mentre queste due procedure sono abbastanza simili, la terza, quella della "corda persa", è molto più rudimentale: una corda viene portata dalla bocca al fondo della miniera, prima di essere riportata in superficie. 

Questo terzo metodo sembra a prima vista strano perché molto meno preciso. Tuttavia, corrisponde a un contesto diverso. Quando viene scoperta una nuova vena, l'operatore chiede una concessione al capo minatore. I limiti vengono quindi fissati approssimativamente dal maestro minerario o dal geometra. Al fine di contenere i costi, viene quindi effettuata una misurazione “a corda persa”, priva di valore legale. Se l'operazione è ritenuta redditizia e nuovi investitori vogliono acquistare le concessioni circostanti, allora viene effettuata una misurazione ufficiale, solo dal geometra sotterraneo: questa è la Erbbereiten o misurazione solenne. Questa utilizza uno dei primi due metodi, è registrata per iscritto e ha valore legale. 

Scienziati e tecnici che hanno visitato le miniere nel XVII e XVIII secolo sembrano spesso ignorare, o meglio non cogliere, queste distinzioni. Tuttavia, testimoniano la natura fondamentalmente pratica della geometria sotterranea e delle sue radici sociali. Il requisito fondamentale è proporzionare gli sforzi ei metodi all'obiettivo da raggiungere. Potremmo quindi dire che il metodo della “corda perduta” è volutamente rapido e impreciso, proprio per negarle ogni valore giuridico. 

Infine, a differenza della maggior parte dei rami della geometria pratica, dove si cerca soprattutto una stima, la precisione della misura è nella maggior parte dei casi assolutamente decisiva, anche se le condizioni di osservazione sono molto difficili. L'impiegato delle miniere Adolf Beyer (1709-1768) esprime nel 1748 questo fatto con una certa enfasi: 

“E direi quasi che tra le discipline della misurazione, nessuna dovrebbe raggiungere il punto [mirato] così esattamente, e che, al contrario in nessun altro, gli errori sono così percettibili - agli occhi come alla borsa -, come per la geometria sotterranea. Quando un geometra indica dieci o venti pertiche di troppo o meno, il danno non è così grande come quando il Markscheider sbaglia di qualche centimetro. Quando un astronomo dà qualche zero di troppo o di meno, nessuno può salire lassù e controllare comunque. Quando un ingegnere o un artigliere fa un buco in aria, cioè quando manca il bersaglio che aveva misurato, è facile ripetere la misurazione o il tiro; un falegname può accorciare ciò che è troppo lungo, o usare legname tagliato troppo corto per qualcos'altro, finché non ottiene ciò che ha sul suo piano. Ma quando il geometra sotterraneo commette un errore nello scavare un pozzo, fare una svolta o simili, il caso è più grave e le conseguenze di una misurazione errata non possono essere corrette”. 

La geometria sotterranea sviluppata da Adam Scheider nel suo Neu Markscheide-Buch continuerà la sua silenziosa evoluzione nel XVIII secolo. Disciplina eminentemente pratica, dove le considerazioni geometriche si fondono con lo studio del territorio sotto il costante vincolo dell'economia e del diritto minerario, rimane pressoché sconosciuta agli scienziati e ai matematici dell'epoca. L'uso delle conoscenze geometriche per lo sfruttamento delle miniere di metalli non diventerà un oggetto definito fuori dalla Germania fino alla metà del secolo. Una delle prime definizioni è proposta da Diderot nell'Encyclopédie, che ha un articolo intitolato "Géométrie souterreine". La sua descrizione testimonia lo spirito di sintesi enciclopedica, ma trascura tutte le specificità legate alle condizioni di pratica di quest'arte: 

“La dimensione delle vene, la loro inclinazione all'orizzonte e la loro direzione rispetto ai punti cardinali del mondo, costituiscono il primo [oggetto della geometria sotterranea]; la distanza da misurare da qualsiasi punto di una galleria a qualsiasi punto della superficie o dell'interno della terra, o viceversa la distanza da misurare da qualsiasi punto della superficie o dell'interno della terra in qualsiasi punto di una galleria, è il secondo; la descrizione iconografica, ortografica e scenografica di una miniera è la terza”. 

Se i termini "geometria sotterranea" e "geometra sotterraneo" prevalgono e sono comunemente usati fino alla metà del XX secolo, la disciplina sarà spesso considerata un'applicazione volgare della geometria elementare. Nel suo Dizionario Universale di Matematica e Fisica (1753), il matematico francese Alexandre Saverien non esita a criticare "i Geometri minori [sic], che si credevano grandi Dottori, quando avevano disegnato il fondo di una miniera". 

I pochi studiosi che mostrano una sincera curiosità per la geometria sotterranea sono quelli che sono stati loro stessi nelle miniere. Quando il fisico e naturalista svizzero Jean-André de Luc visitò le montagne dell'Harz nel 1777, scoprì con stupore i lavori di scavo della galleria di drenaggio Tiefer-Georg. Accuratamente pianificati, seguivano senza dubbio per due decenni un piano accuratamente stabilito, mobilitando dozzine di lavoratori in una trentina di officine di perforazione. La galleria è lunga oltre dieci chilometri, con una pendenza di appena 1/480. Di fronte a questa impresa tecnica, impareggiabile in Inghilterra o in Francia, dove non esiste né la disciplina né la professione di geometra sotterraneo, De Luc descrive alla Regina inglese “una delle più belle applicazioni della Geometria; e quando il minatore è glorioso della sua Arte, non saprei stupirmene”. 

I metodi dei geometri sotterranei, come quelli di altre professioni matematiche pratiche, devono essere compresi nel loro contesto. Non si tratta qui di operazioni o esperimenti accuratamente preparati e svolti da scienziati o accademici, ma di compiti di routine, per i quali il geometra, che ha studiato raramente all'università, deve conciliare i valori di praticabilità e utilità con l'esigenza di precisione. Proprio come una scienza, è davvero un'arte nel senso del XVII secolo, vale a dire una "massa di precetti, regole, invenzioni ed esperienze, che osservate, fanno venir bene le cose che si intrapendono” (Furetière, 1690). L'apparente facilità di questa disciplina era in realtà, sul campo, un lavoro meticoloso ed estenuante. 

Riferimento principale: 

Thomas Morel — «Les manuscrits de géométrie souterraine au XVIIe siècle» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

La moltiplicazione delle geometrie (1): Gauss, Lobacevskij, Bolyai

I dubbi sul quinto postulato - Euclide (III sec. a. C.) pose all'inizio dei suoi Elementi una serie di "definizioni" (es.: "Un punto è ciò che non ha parti") e "nozioni comuni" (es.: "Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità) uguali le somme sono uguali") e cinque "richieste” (postulati). Questi enunciati dovevano fornire tutte le informazioni necessarie per inferire i teoremi e risolvere i problemi della geometria: essi dovevano essere in ogni caso essere accettati, o le dimostrazioni non sarebbero state valide.

Tuttavia, il quinto postulato sembra più un atto di fede che un fatto evidente. Il testo di Euclide può essere reso come segue: "Se una linea retta [c] che cade su due linee rette [a e b] rende gli angoli interni sullo stesso lato meno di due angoli retti, le due linee rette [a e b], se prolungate indefinitamente, si incontrano su quel lato su cui si trovano gli angoli inferiori ai due angoli retti"). La frase sembra oracolare, tuttavia può essere facilmente parafrasata come una ricetta per costruire triangoli, (Figura 1). Ogni triangolo è formato da tre linee rette complanari che si incontrano, a coppie, in tre punti. Dato qualsiasi segmento PQ, si traccia una linea retta a che passa per P e una linea retta b che passa per Q, in modo che a e b giacciano sullo stesso piano; si verifica che gli angoli che a e b formano con PQ su uno dei due lati di PQ hanno una somma inferiore a due angoli retti; se questa condizione è soddisfatta, dovrebbe essere garantito che a e b si incontrano in un punto R sullo stesso lato di PQ, formando così il triangolo PQR. Se il postulato viene rifiutato, diciamo, perché crediamo che il mondo sia finito, e che non ci sia spazio per accogliere il vertice R se gli angoli interni in questione si sommano a poco meno di due angoli retti, allora gran parte del sistema di Euclide della geometria non sarà valido.

Nelle epoche che seguirono, il senso di libertà matematica di Euclide andò perduto e i matematici si aspettavano che la geometria poggiasse su basi evidenti. Le ricerche sul postulato delle parallele iniziarono già al tempo dei greci antichi, continuarono nel mondo islamico e furono riprese in Occidente agli inizi dell’era moderna. Ora, se a è perpendicolare e b è quasi perpendicolare a PQ, a e b si avvicinano molto lentamente su un lato di PQ e non è scontato che alla fine si incontrino da qualche parte su quel lato. Dopo tutto, l'iperbole si avvicina indefinitamente ai suoi asintoti e tuttavia, in modo dimostrabile, non li incontra mai. Nel corso dei secoli, diversi autori hanno tentato una dimostrazione del postulato di Euclide. John Wallis (1616-1703) la derivò dicendo che, dato un triangolo qualsiasi, si può sempre costruirne un altro simile (cioè con gli stessi angoli), di grandezza arbitraria, ma questa ipotesi ha bisogno a sua volta di una prova. Girolamo Saccheri (1667-1733), dalla negazione del postulato di Euclide dedusse una lunga serie di proposizioni, finché non ne raggiunse una che giudicò "ripugnante alla natura della linea retta". Ma la comprensione di Saccheri di questa "natura" era radicata nella geometria euclidea e il gesuita ligure dovette ammettere il suo insuccesso. Anche il matematico alsaziano Johann Heinrich Lambert (1728–1777), dopo aver dimostrato l’irrazionalità di π, aveva affrontato il problema delle parallele e aveva pensato a una specie di geometria sferica, ma era rimasto sconcertato da un concetto che faceva a pugni con l’intuizione comune e con l’ombra dello spazio unico e a priori dell’amico e corrispondente Kant, che bloccò ogni sua possibile speculazione su possibili geometrie non euclidee.

Fu solo agli inizi dell’Ottocento che diventò più facile immaginare che gli Elementi potessero non essere il solo possibile sistema di geometria metrica. Tra i fattori che possono essere indicati per spiegare come l’impensabile divenne pensabile anche al di fuori della comunità dei matematici, fu l’accumularsi di sfortunati tentativi basati su assiomi diversi dal quinto postulato per tentare di dimostrarlo. Il loro fallimento portò alcuni a prendere in considerazione l’idea che in effetti potesse esserci una geometria diversa da quella di Euclide.

Il segnale di questo mutamento fu ad esempio il professore di legge Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859), il quale, nel 1818, tramite Gerling, suo collega all'Università di Marburgo, inviò a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) una nota su una geometria molto diversa da quella euclidea. Lo scritto di Schweikart fu approvato da Gauss, che rispose che tutte le proprietà della nuova geometria potevano essere derivate una volta che fosse stato assegnato un valore a una costante che compariva nella relazione di Schweikart. Ma ciò che Gauss aveva accettato, e su quali basi, è meno chiaro. Egli aveva già trovato errori in numerose difese degli Elementi di Euclide (compreso quello contenuto negli Eléments de Géométrie del “mostro sacro” Legendre) e, con il passare degli anni diventò completamente fiducioso che esistesse una nuova geometria bidimensionale diversa da quella piana euclidea. Questa geometria poteva essere descritta da formule che egli doveva aver considerato simili a quelle della geometria sferica. Tuttavia non descrisse una geometria tridimensionale di questo tipo, lasciando aperta la possibilità che la geometria bidimensionale che si delineava fosse un qualche tipo di stranezza formale senza senso.

D’altra parte, nella corrispondenza con l’amico Heinrich Olbers, chiarì di non poter attribuire alla geometria euclidea la stessa certezza dell’aritmetica, che considerava un a priori, mentre la geometria era piuttosto come la meccanica, cioè una scienza sperimentale. In altri scritti, vedeva nell'impossibilità di decidere se la geometria euclidea fosse un a priori “la più chiara dimostrazione che Kant aveva torto ad affermare che lo spazio è solo una forma della nostra intuizione”. Anche il nipote di Schweikart, Franz Taurinus (1794-1874), pubblicò nel 1825 un’opera, Theorie der Parallellinien, che contribuì ad alimentare una diffusa incertezza sulla necessità a priori della geometria euclidea.

Il Theorema egregium - Molte di tali questioni epistemologiche ebbero uno sviluppo accelerato con l’opera Disquisitiones generales circa superficies curvas, vera pietra miliare nella storia della geometria differenziale, che Gauss pubblicò nel 1828. Gauss rifletté profondamente su cosa significasse definire una superficie, e scoprì che sono possibili tre definizioni di generalità successive. Si può supporre che almeno localmente la superficie possa essere data nella forma, z = f (x, y) per alcune funzioni f di x e y. Questo è vero per le regioni della sfera, ma non per tutte. Più in generale, si può assumere che la superficie sia costituita da quei punti (x, y, z) che soddisfano un'equazione della forma f (x, y, z) = 0, come la sfera.

L’oggetto principale dell’indagine di Gauss era tuttavia lo studio delle proprietà che sono indipendenti dalle varie forme che può assumere la superficie (oggi diremmo che cercava le proprietà invarianti per trasformazioni isometriche). Più generalmente, sosteneva Gauss, potrebbe essere che una superficie sia data localmente da tre funzioni, ciascuna di due variabili curvilinee u e v. Queste due variabili devono essere pensate come le coordinate dei punti di un piano e le funzioni x (u, v), y (u, v) e z (u, v) insieme danno le coordinate dei punti sulla superficie nello spazio. A questo punto era fondamentale definire l’elemento ds, cioè la lunghezza di un arco infinitesimo di linea di superficie. Essa si poteva esprimere nella forma:

deove E, F e G sono determinati dalle funzioni di u e v e dalle loro derivate parziali prime e seconde, e soddisfano EG ‒ F2 > 0. Questa formula, detta oggi prima forma fondamentale della superficie permise a Gauss di definire una misura della curvatura della superficie in un punto, e dimostrava che la misura della curvatura dipende solo da E, F e G e dalle loro derivate rispetto a u e v, ma non direttamente dalle funzioni x (u, v), y (u, v) e z (u, v).

L'implicazione, come lo stesso Gauss sottolineò, è che la sua misura della curvatura di una superficie in un punto è intrinseca, perché è interamente determinata dalle misurazioni nella superficie e non coinvolge in alcun modo una terza dimensione normale ad essa. Così le superfici non andavano più considerate come immerse nello spazio tridimensionale, ma piuttosto “non come contorni di corpi, ma come corpi di cui una dimensione è infinitamente piccola”, una specie di velo “flessibile ma inestensibile”.

Per definire la curvatura di una superficie, Gauss si avvalse della rappresentazione sferica. Egli associava a ciascun punto di una superficie S un punto di una superficie sferica di raggio unitario e centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali. Per ogni regione U di S, egli definiva la “curvatura integrale” come l’area della corrispondente regione f(U) sulla sfera. La misura della curvatura k della superficie in un punto P di U era allora il limite del rapporto:

Sulla figura 2, la regione f(U) sulla sfera è più grande della regione U sulla superficie, anche quando quest’ultima si restringe attorno a P. Ne deriva che il quoziente delle aree e il suo limite sono superiori a 1: la superficie è in effetti “molto curva”. Come si può constatare, più la superficie è “curva” o “appuntita” nell'intorno di P, più l’area di f(U) è maggiore in rapporto all'area U. La maggior parte delle superfici hanno una curvatura non nulla, maggiore o minore di 1. Al contrario, se la superficie S è un piano, tutti i vettori ad esso ortogonali sono paralleli tra di loro; la regione f(U) si riduce allora a un punto, quindi la sua area è nulla e il denominatore della formula è sempre nullo. Di conseguenza, la curvatura di un piano è nulla in tutti i suoi punti P.

Si davano allora tre diversi tipi di punti, a seconda che k fosse maggiore, uguale o minore di zero. La curvatura positiva era quella di un colle, quella negativa quella di una sella, quella nulla corrispondeva al piano.

Fondamentalmente, per definire la curvatura di una superficie in uno dei suoi punti, usiamo l'applicazione di Gauss che trasporta i vettori ortogonali alla superficie fino a una sfera ausiliaria di raggio uguale a 1. Così come ci vogliono solo due coordinate per localizzare qualsiasi punto sul piano euclideo, bastano due coordinate (u, v) per localizzare qualsiasi punto Q della superficie vicino a P. Tuttavia, è anche necessario avere una terza coordinata per rappresentare i vettori ortogonali sulla superficie e definire la regione f(U) che entra nella definizione geometrica della curvatura. Sembra impossibile parlare di curvatura limitata a due soli gradi di libertà interna di cui gode la superficie; la terza dimensione e l'immersione della superficie nello spazio sembrano assolutamente indispensabili; un supporto esterno sembra necessario sia per la comprensione intuitiva della curvatura sia per la sua definizione. Quindi, a prima vista, la curvatura è una nozione "estrinseca", cioè esterna alla superficie, non appartenente alla sua essenza interna e sembra dipendere fondamentalmente dalla sua forma nello spazio. Ma la grandezza di Gauss sta nell’aver saputo intuire la natura "intrinseca" nascosta in questa nozione di curvatura: infatti, grazie alla formula egregia (*), la curvatura della superficie S, i cui punti arbitrari sono identificati da due coordinate (u, v), può essere colta intrinsecamente e bidimensionalmente, senza sfera ausiliaria, senza vettori normali sulla superficie, senza terza dimensione: tale è il notevole paradosso. Ci volle tutta la perseveranza del “principe dei matematici” per compiere la scoperta della curvatura delle superfici sviluppando una formula complessa come (*), attraverso la quale il concetto di curvatura è possibile senza ricorrere a una terza dimensione spaziale.

Gauss studiò anche quando una superficie può essere mappata su un'altra in modo tale che le distanze non siano alterate: se due punti P e Q su una superficie sono distanti una distanza d, allora lo sono anche le loro immagini sull'altra superficie. Egli fu in grado di dimostrare che una condizione necessaria affinché ciò accada è che le curvature nei punti corrispondenti siano le stesse. Ad esempio, il cilindro e il piano sono localmente isometrici; sebbene curvo, il cilindro ha una curvatura zero nel senso di Gauss, proprio come il piano, ed è per questo che è possibile stampare da un tamburo rotante. Si tratta del Theorema egregium, che, detto con le parole di Gauss è:

Se si trasforma una superficie S in un'altra superficie S’ in modo che le lunghezze infinitesime di tutte le curve tracciate sulle superfici siano conservate, allora la curvatura in un punto P della prima superficie, S, è uguale a quella nel punto P’ che corrisponde ad essa sulla seconda superficie S'.

Non si capì subito che l'approccio di Gauss consentiva di definire superfici come regioni del piano con una particolare metrica, che non necessariamente devono essere ottenute dalle superfici nello spazio tridimensionale euclideo. Naturalmente, se si definisce una superficie come l'immagine di una mappa da una regione di R² a R³, ovviamente essa è in R³. Ma se si definisce una superficie come una regione di R² con una particolare metrica, allora non ci può essere superficie in R³ a cui corrisponde. La prima persona ad apprezzare questo fatto sembra essere stato Riemann, che, come vedremo, estese questa idea a qualsiasi numero di dimensioni.

L’opera di Gauss si conclude con un’analisi dei triangoli sulle varie superfici, in cui consegue un risultato che esporrà più tardi e che è diventato uno dei suoi teoremi più famosi:

La somma degli angoli di un triangolo formato da linee geodetiche su qualsiasi superficie, è maggiore di 180° se questa superficie è concavo-concava, e meno di 180° se questa superficie è concavo-convessa, di una quantità che ha come misura l'area del triangolo sferico corrispondente ad esso, secondo le direzioni delle normali, contando l'area totale della sfera come 720°.

La geometria iperbolica - Le prime descrizioni completamente matematiche dello spazio in termini diversi da quello di Euclide furono opera di János Bolyai in Ungheria (Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens, 1832) e, indipendentemente, da Nicolai Ivanovich Lobacevskij in Russia (Neue Anfangsgründe der Geometrie, 1835, e Geometrische Untersuchungen, 1840).

Dal 1790 Gauss aveva lavorato sull'argomento nella stessa direzione, ma si astenne dal pubblicare i suoi risultati per paura delle reazioni (“le strida dei beoti”) e, forse, perché non si era mai accorto della portata delle sue scoperte finché non venne a conoscenza delle opere di Bolyai e Lobacevskij.

Bolyai cancellò il postulato dal sistema di Euclide; la rimanente parte è la "geometria assoluta", che può essere ulteriormente specificata aggiungendovi il postulato di Euclide o la sua negazione. Tra il 1820 e il 1823, egli preparò, ma non pubblicò immediatamente, un trattato su un sistema completo di geometria non euclidea, che chiamò "geometria immaginaria" (ora conosciuta come geometria iperbolica), la geometria degli spazi curvi su una superficie a forma di sella, dove la somma degli angoli di un triangolo è inferiore a 180° e le rette apparentemente parallele non sono in realtà parallele. Nello spazio curvo, la distanza più breve tra due punti a e b è in realtà una curva, o geodetica, e non una linea retta. Pertanto, gli angoli di un triangolo nello spazio iperbolico sommano a meno di 180° e due linee parallele nello spazio iperbolico divergono effettivamente l'una dall'altra. Sebbene sia facile visualizzare una superficie piatta e una superficie con curvatura positiva (ad esempio una sfera, come una Terra), è impossibile visualizzare una superficie iperbolica con curvatura negativa, a meno che si tratti di una piccola area localizzata. Quindi il concetto stesso di superficie iperbolica sembrava andare contro ogni senso della realtà. In una lettera a suo padre, Bolyai si mostrava meravigliato di se stesso: "Dal nulla ho creato uno strano nuovo universo". Il suo lavoro fu pubblicato solo nel 1832, solo come una breve esposizione (26 pagine) nell'appendice al libro di suo padre intitolato Tentamen, quindi viene spesso chiamato semplicemente Appendice. Leggendolo, Gauss riconobbe chiaramente il genio delle idee del giovane Bolyai, ma rifiutò di incoraggiarlo, e tentò persino di rivendicare le sue idee come proprie. Sebbene avesse un'eccellente educazione nei fatti di base della matematica, la familiarità di Jànos Bolyai con la letteratura specialistica era scarsa, e egli aveva solo una conoscenza piuttosto incompleta delle conquiste contemporanee. Anche dei risultati di Gauss gli era nota solo una piccola parte; per esempio, non aveva mai sentito parlare delle indagini di Gauss sulla teoria delle superfici contenute nelle Disquisitiones generales circa superficies curvas. Né era a conoscenza del lavoro svolto da Saccheri, Lambert, Schweikart e Taurinus. Conobbe le idee di Gauss solo dopo la pubblicazione dell'Appendice, e lesse una (singola) opera di Lobacevskij molto più tardi, nel 1848. Inoltre, scoraggiato dalla notizia che Lobacevskij aveva pubblicato qualcosa di molto simile due anni prima, Bolyai si isolò dal mondo matematico e non pubblicò più nulla. Anche se in vita pubblicò solo le 24 pagine dell'appendice, Bolyai lasciò più di 20.000 pagine di manoscritti matematici quando morì (compreso lo sviluppo di un rigoroso concetto geometrico di numeri complessi come coppie ordinate di numeri reali).

Anche Lobacevskij costruì sulla negazione del postulato di Euclide un sistema alternativo di geometria, che egli soprannominò "immaginario" e tentò vanamente di verificare su scala astronomica calcolando la somma degli angoli interni dei triangoli formati da tre corpi celesti (in particolare la Terra, il Sole e Sirio). Questo tentativo di verifica sperimentale era coerente con le sue idee: la “verità” sulla geometria poteva “essere controllata in modo simile alle atre leggi fisiche, soltanto da esperienze”. Egli sosteneva che “nella natura noi abbiamo cognizione, propriamente, soltanto del movimento, senza il quale le sensazioni sensoriali sono impossibili”, perciò i concetti geometrici non sono altro che “creazioni artificiali della nostra mente, tratte dalle proprietà del movimento; ecco perché lo spazio in sé, separatamente per noi non esiste”: da far rabbrividire Kant! Da queste premesse traeva un’idea di sorprendente modernità: “talune forze della natura seguono una geometria, altre un’altra loro particolare geometria”.

Lobacevskij sosteneva che “Le linee che escono da un punto, o intersecano una data retta nel medesimo piano, oppure non si incontrano mai con essa, per quanto vengano prolungate”. Tra queste figuravano le parallele alla retta data, che costituivano così il passaggio tra le rette secanti e quelle divergenti. Poi introduceva il concetto di angolo di parallelismo μ relativo a un segmento p di perpendicolare, definito come “l’inclinazione di una linea rispetto alla perpendicolare a un’altra, parallela alla prima”.

La costruzione presentata sopra per spiegare il quinto postulato di Euclide può anche essere usata per chiarire la sua negazione. Si disegna la retta a attraverso il punto P ad angolo retto con il segmento PQ. Se il postulato di Euclide viene negato, ci sono innumerevoli linee rette che passano per Q, complanari con a, che formano angoli acuti con PQ ma che non incontrano mai a. Consideriamo l'insieme di numeri reali che corrispondono alla grandezza di questi angoli acuti. Lasciamo che il massimo limite inferiore di questo insieme sia μ. Evidentemente, μ>;0. Ci sono esattamente due linee rette attraverso Q, complanari con a, che formano un angolo di dimensione μ con PQ. (Figura 3) Chiamiamole b₁ e b₂. Né b₁ né b₂ incontrano a, ma a incontra ogni retta che passa per Q che è complanare con a e forma con PQ un angolo inferiore a μ. Gauss, Lobacevskij e Bolyai, all'insaputa l'uno dell'altro, concordarono nel chiamare b₁ e b₂ le parallele ad a passanti per Q. μ l’angolo di parallelismo per il segmento PQ. La sua dimensione dipende dalla lunghezza di PQ e diminuisce all'aumentare di quest’ultimo.

Supponiamo che l'angolo di parallelismo per PQ sia di mezzo angolo retto. In questo caso, b₁ e b₂ formano un angolo retto in Q e quindi abbiamo due linee rette reciprocamente perpendicolari sullo stesso piano di a, che non incontrano a.

L’angolo di parallelismo era fondamentale: se era retto, si aveva l’ordinaria geometria; se invece era minore di un retto si aveva la geometria “immaginaria”. In questa seconda ipotesi, “possiamo rappresentarci una curva, che chiameremo oriciclo”, per la quale due parallele qualsiasi a una retta data sono inclinate dello stesso angolo rispetto a una corda. In pratica, l’oriciclo può essere considerato come una curva ortogonale a un fascio di rette parallele: nella geometria ordinaria tale curva è una retta, mentre in quella “immaginaria” si può pensare come il limite di un cerchio quando il suo centro si allontana all'infinito lungo la direzione delle rette del fascio (Figura 4). Allora, per due oricicli relativi al medesimo fascio di parallele, “il rapporto di loro due archi s e s’, compresi tra due parallele, dipende dalla loro distanza, in modo che s = s’e^x”. Se e=1 abbiamo la geometria euclidea, dove le parallele sono equidistanti in quanto s = s’; nella geometria lobacevskiana invece vale e maggiore di 1. Con queste considerazioni, egli poteva definire in modo puramente geometrico un’unità di misura assoluta dei segmenti, che corrisponde alla distanza x tra due oricicli relativi allo stesso fascio di parallele, con il rapporto tra s e s’ uguale alla base e dei logaritmi naturali.

In modo analogo, Lobacevskij introduceva la nozione di orisfera come "il limite al quale tende la sfera all’aumentare del suo raggio”. Se gli angoli di parallelismo sono retti (come nel caso euclideo), l’orisfera è un piano, altrimenti essa è una superficie curva, sui cui la geometria è tuttavia una geometria sferica standard. Basandosi su questo, Lobacevskij sosteneva che ogni contraddizione che fosse sorta nella sua geometria sarebbe inevitabilmente stata accompagnata da una contraddizione nella geometria euclidea.

La geometria di Lobacevskij abbonda di teoremi sorprendenti (molti dei quali erano già stati trovati da Saccheri). Eccone alcuni: i tre angoli interni di un triangolo si sommano a meno di due angoli retti. La differenza o "difetto" è proporzionale all'area del triangolo. Quindi, nella geometria lobacevskiana, triangoli simili sono congruenti (Figura 5). Inoltre, se un triangolo è diviso in triangoli più piccoli, il difetto dell'insieme equivale alla somma dei difetti delle parti. Poiché il difetto non può essere maggiore di due angoli retti, l'area dei triangoli ha un limite finito. Se un quadrilatero, per costruzione, ha tre angoli retti, il quarto angolo è necessariamente acuto. Quindi, nella geometria lobacevskiana, non ci sono rettangoli. Tutta la teoria euclidea della similitudine decadeva.

Naturalmente è vero che nessun insieme di deduzioni consistenti nella nuova geometria escludeva la possibilità che esistesse una contraddizione, ma l’affascinante relazione della nuova geometria con quella euclidea sferica, e l’esistenza di formule trigonometriche per i triangoli, suggeriva con forza che la nuova geometria fosse come minimo consistente.

Non c’era solo il fatto che esistevano le formule della geometria sferica, ma esse implicavano una formulazione alternativa della geometria, della quale quella descritta da Euclide negli Elementi avrebbe potuto essere un caso particolare. Se ci potesse essere stato un altro modo di definire la geometria, che portava a queste formule in diversi casi, si sarebbe aperta la via a ripensare tutte le domande sulla geometria sollevate dall'esame critico. La persona più adatta per far ciò negli anni ‘30 e ‘40 era Gauss. Egli conosceva benissimo l’opera di Bolyai e Lobacevskij, e la sua geometria differenziale gli forniva i mezzi per procedere, ma, curiosamente, egli non lo fece. Nei primi anni ‘40 scrisse alcune note che mostrano che poteva mettere in relazione la nuova geometria bidimensionale con la geometria di una superficie a curvatura negativa costante, ma egli non trasse nulla di questa osservazione, o almeno non la pubblicò.

La nuova geometria poneva una sfida radicale a quella euclidea, perché negava ad essa la sua miglior pretesa di certezza, cioè che era l'unico sistema logico per discutere della geometria in generale. Essa sfruttò anche la tensione nota agli esperti tra i concetti di più diretto e di più breve. Ma per altri versi era convenzionale. Non offriva nuove definizioni di concetti familiari come rettilinearità o distanza, concordava con la geometria euclidea sugli angoli, offriva semplicemente un'intuizione diversa sulle linee parallele basata su un’idea differente del comportamento su lunghe distanze delle linee rette. I suoi sostenitori non offrirono una conclusione scettica. Bolyai e Lobacevskij non dissero: "Esistono due geometrie logiche ma incompatibili, quindi non potremo mai sapere cosa è vero". Mantennero invece la speranza che gli esperimenti e le osservazioni avrebbero dato una risposta. Il prezzo epistemologico che si sarebbe dovuto pagare se le osservazioni astronomiche fossero state a favore della nuova geometria sarebbe stato, in un certo senso, lieve: sarebbe stato necessario dire che le rette hanno una proprietà dopo tutto inaspettata, ma rilevabile solo su lunghe distanze o con potenti strumenti, non disponibili allora, per ridurre gli errori di misurazione. Sicuramente molti dei teoremi della geometria bidimensionale avrebbero dovuto essere rielaborati, e le loro familiari controparti euclidee sarebbero apparse solo come ottime approssimazioni. Ma ciò è ampiamente paragonabile alla situazione in cui la meccanica newtoniana si trovò dopo l'avvento della relatività speciale.

La geometria descritta da Gauss, Lobacevskij e Bolyai ricevette poca attenzione prima della fine degli anni '60 del XIX secolo. Quando i filosofi se ne accorsero, le loro opinioni furono divise. Alcuni la consideravano un esercizio formale di deduzione logica, senza alcun significato fisico o filosofico, che impiegava parole ordinarie (come "retta" o "piano") con un significato nascosto. Altri la accolsero come una prova sufficiente che, contrariamente alla tesi allora dominante di Kant, la geometria euclidea non fornisce alcun pre-requisito dell'esperienza umana e che la struttura geometrica dello spazio fisico è aperta alla ricerca sperimentale. Altri ancora concordavano sul fatto che le geometrie non euclidee fossero alternative legittime, ma sottolinearono che la progettazione e l'interpretazione degli esperimenti fisici presuppongono generalmente una geometria definita e che questo ruolo era stato anticipato dal sistema di Euclide. Per i matematici la nuova geometria sarebbe probabilmente stata solo una strana curiosità, se non si fosse trovata una nicchia all'interno delle geometrie proiettiva e differenziale, le due correnti principali della ricerca geometrica del diciannovesimo secolo.

Un sonetto per János Bolyai

L’ungherese János Bolyai (1802 – 1860) fu, con Lobachevskij, Gauss e Riemann, uno degli scopritori della geometria non-euclidea, un’assiomatizzazione diversa dalla classica geometria euclidea, basata sulla contestazione del postulato sulle parallele. Questa scoperta di una visione alternativa dello spazio, logicamente consistente, aprì la strada per l’esplorazione di nuovi mondi geometrici, che avrebbero portato alla nascita di straordinarie interpretazioni di come è fatto l’universo.

Annunciando la scoperta della geometria iperbolica, Bolyai scriveva il 3 novembre 1823 al padre Farkas, anch’egli matematico, e compagno di studi di Gauss, da Temesvár (Timişoara), allora parte dell’Impero Austro-Ungarico:

“Ho raggiunto risultati così straordinari da restare attonito io stesso, e sarebbe un gran peccato che ciò vada perduto. Quando li vedrete, caro padre, anche voi capirete. Ora posso solo dire che ho creato un nuovo, diverso, mondo partendo dal nulla.”.

Quest’ultima frase fu posta in epigrafe al sonetto che il grande poeta ungherese Mihály Babits scrisse sulla rivista Nyugat nel 1911, subito dopo la solenne traslazione delle salme dei due Bolyai.

Ora, il sonetto è scritto in ungherese, lingua quanto mai ostica che non conosco, e ne sono venuto a conoscenza tramite una versione inglese molto infedele, e a un più accessibile adattamento spagnolo, di cui è bene non fidarsi, oltre che alla solitamente inattendibile traduzione diretta di Google Translator. Chi redige queste righe non conosce a livello professionale alcuna di queste lingue, ma in base al titolo dell’opera, alla presentazione in inglese e ai molti vocaboli comprensibili del testo s’è persuaso di potersene proporre come adattatore.

Qui di seguito la versione originale in ungherese di Mihály Babits, seguita dal mio adattamento, frutto, come si è detto, di un lavoro di traduzione di traduzioni degno di Vincenzo Monti, traduttore dei traduttor di Omero.

Semmiből egy új, más világot teremtettem.......

– Bolyai János levele apjához –................

Isten elménket bezárta a térbe.

Szegény elménk e térben rab maradt:

a kapzsi villámölyv, a gondolat,

gyémántkorlátját még csak el sem érte.

Én, boldogolván azt a madarat

ki kalitjából legalább kilátott,

a semmiből alkottam új világot,

mint pókhálóból sző kötélt a rab.

Új törvényekkel, túl a szűk egen,

új végtelent nyitottam én eszemnek;

király gyanánt, túl minden képzeten

kirabolván kincsét a képtelennek

nevetlek, mint Istennel osztozó,

vén Euklides, rab törvényhozó.

Ho creato un universo nuovo, partendo dal niente

(lettera di János Bolyai a suo padre)

Dio ha chiuso nello spazio la nostra mente.

E in tale prigione rimase, ignava.

Falco bramoso, il pensiero beccava

i suoi muri di diamante inutilmente.

Io, felice come un uccello che ingabbiato

vede il sole, recluso che fila tenacemente,

un universo intero dal niente ho creato

con una rete di ragnatele consistente.

Con nuove leggi, oltre lo stretto me

ho aperto un infinito non pensato.

Non fecero di meglio i più grandi re.

Un tesoro impossibile ho trafugato

e con Dio, vecchio Euclide, rido di te,

poiché il tuo carcere ti sei creato.

Euclide in Cina

Nel 1582 un gruppo di missionari gesuiti condotto da Matteo Ricci (1552-1610) entrò in Cina, con lo scopo di evangelizzare quel lontano paese. I cinesi non erano tuttavia molto propensi a convertirsi a questa nuova e straniera religione e i missionari scoprirono che questi presunti "pagani" erano un popolo altamente civilizzato. L'obiettivo della conversione sarebbe stato lungo e difficile. I missionari si stabilirono, impararono la lingua cinese e adottarono molti costumi locali. Anche se non erano interessati al sapere religioso che questi europei portavano con sé, i dirigenti cinesi furono incuriositi dalle abilità tecniche e scientifiche possedute dai gesuiti.

Pur essendo istruito in teologia, ciascun gesuita possedeva anche una formazione accademica nelle arti e nelle scienze del tempo. Accettati come sapienti, i Gesuiti furono ammessi nel 1601 nei circoli della corte dei Ming, dove insegnarono ai cinesi in vari campi, tra cui la riforma del calendario, l'astronomia, la cartografia, la gittata dei cannoni e la matematica. Matteo Ricci tradusse in cinese i testi della matematica occidentale che aveva portato con sé. Assistito da Xu Guangqi, alto funzionario della burocrazia imperiale, nonché scienziato, studioso di agricoltura ed astronomo, nel 1607 Ricci iniziò a tradurre gli Elementi di Euclide. Il testo che utilizzarono fu il commentario latino redatto nel 1574 da Cristoforo Clavio, maestro di Ricci al Collegio Romano, gli Euclidis elementorum libri XV, che era il testo euclideo più facilmente reperibile in Europa. Ricci e Xu intrapresero la traduzione e la trascrizione dei primi sei libri degli Elementi. La loro opera, Yuan rong jioa yi (Trattato sulla Geometria), fu pubblicata a Pechino nel 1607. Nella sua prefazione, Ricci si indirizzava al pubblico cinese, dicendo:

"[Gli Elementi] procedono dai dettagli evidenti a quelli particolari, dal dubbio alla certezza. Ciò che appare inutile è utilissimo, in quanto è il fondamento di tutto. [Gli assiomi e i postulati] sono la forma fondamentale delle miriadi di forme, il risultato di cento scuole di sapienza".

Il testo conteneva diciotto proposizioni. La sfera e il suo volume erano trattati come un esempio della perfezione divina. I gesuiti sostenevano ancora il concetto di un universo strutturato in sfere concentriche e tentarono di promuovere questa idea tra i cinesi, ma gli astronomi di corte la rifiutarono. Notando che tutto sulla Terra ha una forma, il testo proseguiva spiegando le proprietà di cerchi, poligoni, rettangoli e del triangolo equilatero. La sfera era promossa come l'oggetto geometrico che possiede il volume più grande. Mentre alcuni studiosi cinesi trovarono affascinante è utile il metodo deduttivo di ragionamento, il Trattato sulla Geometria ebbe solo un impatto limitato sulla matematica cinese. Xu voleva tradurre tutta l'opera di Clavio, preoccupato per la gravità della crisi degli studi matematici cinesi iniziata alla fine del XIV secolo. Due secoli dopo, molti dei principali risultati della ricerca matematica risultavano incomprensibili alla maggior parte degli intellettuali cinesi. Xu attribuiva le cause di questa situazione all’abbandono delle pratiche del calcolo da parte degli studiosi, al legame fortissimo che nella cultura popolare intercorreva tra matematica e pratiche divinatorie, per cui la numerologia mistica squalificava tutta la scienza matematica, e, infine, alla difficoltà dei testi della letteratura matematica, che usavano un linguaggio assai lontano da quello contemporaneo. Ricci, tuttavia, forse volendo prima vedere l'effetto del loro lavoro, si rifiutò, sperando che qualcun altro completasse il progetto. La traduzione fu completata solo nel 1875, quando l'erudito Li Shanlan e un traduttore occidentale, Alexander Wyle, tradussero i libri rimasti degli Elementi.

Xu, nel testo “Varie riflessioni sugli Elementi di Geometria”, mostrò tutto il suo entusiasmo per la riscoperta di questa scienza e la comprensione del suo carattere e significato. Egli elogiò la sua lucidità e la sua coerenza logica, la modestia intellettuale e le virtù morali. Inoltre replicava a coloro che lamentavano lo stile asciutto della traduzione consigliando di studiarla con impegno per dieci giorni e prediceva che entro cento anni tutto il mondo l’avrebbe studiata. Xu informava nelle note che, dopo la pubblicazione del 1607, circolavano due copie riviste in manoscritto, la seconda delle quali redatta da Ricci prima della morte. Questa copia, rivista da Xu e dai gesuiti Diego Pantoja e Sabatino De Ursis, fu stampata a Pechino intorno al 1611.

Nel 1644 cadde la dinastia Ming, sostituita dai Qing, fondata dai manciuriani invasori. Una missione gesuita rimase alla corte imperiale. L’imperatore Kangxi era interessato alla civiltà dell’Occidente, particolarmente alla scienza e alla matematica. Scelse allora due missionari francesi, Jean Francois Gerbillon e Joachim Bouvet, il futuro corrispondente di Leibniz sul sistema binario e lo I-Ching, per insegnargli queste discipline. Essi pensarono che la Geometria di Xu e Ricci fosse troppo complicata per fini didattici e intrapresero una loro personale traduzione degli Elementi.

Per questo scopo utilizzarono gli Elements de geometrie (1671) del gesuita francese Ignace Gaston Pardies (1636-1673). Costui aveva rotto con la tradizione e, in aggiunta all’opera di Euclide, aveva introdotto nel suo testo anche idee di Archimede e Apollonio. La traduzione di Gerbillon e Bouvet, Ji he yuan ben [Gli Elementi di Geometria], fu completata nei primi anni ‘90 del Seicento.