Di demoni, entropia, chimica e informazione

"Teaching thermal physics
is as easy as a song:
You think you make it simpler
when you make it slightly wrong."

(Mark Zemansky)

 

La Seconda legge della termodinamica e l’entropia - La prima definizione della seconda legge della termodinamica era stata formulata nel 1850 dal fisico tedesco Rudolph Clausius, il quale dimostrò l'impossibilità del passaggio spontaneo del calore da un corpo freddo a un corpo caldo. Nel 1865 Clausius introdusse il concetto di entropia, una proprietà termodinamica che prevede che alcuni processi spontanei siano irreversibili o impossibili. Per definirlo, si basò sulle interazioni tra le molecole di un gas, descritte da un modello puramente probabilistico delle loro collisioni. Osservando che il calore tendeva a indebolire il legame tra le particelle e ad accrescere le distanze medie tra di loro, introducendo questa nuova grandezza espresse il grado di dispersione delle molecole e quindi l'effetto del calore come tendenza ad aumentare il disordine. In questa ottica, è facile spiegare i passaggi di stato di una sostanza a pressione costante: all’aumento della temperatura, che è una misura macroscopica del moto delle particelle, cioè della loro energia cinetica, cresce il loro grado di libertà e i loro vincoli si allentano. Così un solido diventa un liquido e poi un gas.  

 

L’entropia S è perciò una proprietà fisica di un sistema termodinamico, correlata al suo grado di ordine. Una variazione dell’ordine è una variazione del numero di modi in cui possono essere disposte le particelle che costituiscono il sistema ed è un fattore determinante nella previsione della direzione in cui avviene una trasformazione spontanea. In generale, ogni processo spontaneo aumenta il grado di disordine del sistema, cioè tutti i sistemi tendono spontaneamente a un aumento del proprio disordine. Più formalmente, possiamo dire che la variazione di entropia ∆S di un sistema isolato durante un processo spontaneo è sempre maggiore o uguale a zero:

L'entropia predice la direzione dei processi spontanei e determina se sono irreversibili o impossibili, anche se obbediscono al requisito fondamentale di conservazione dell'energia come espresso nella prima legge della termodinamica (l'energia totale di un sistema isolato è costante; l'energia può essere trasformata da una forma all'altra, ma non può essere né creata né distrutta).

 

La seconda legge può essere formulata anche dicendo che l'entropia dei sistemi isolati lasciati all'evoluzione spontanea non può diminuire, in quanto essi giungono sempre ad uno stato di equilibrio termodinamico, dove l'entropia è massima. Se tutti i processi nel sistema sono reversibili, l'entropia è costante e la sua variazione è nulla. Un aumento dell'entropia spiega l'irreversibilità dei processi naturali macroscopici, spesso citata nel concetto di freccia del tempo (le leggi che governano lo scorrere del tempo in meccanica quantistica sono molto più complesse, e, la fisica quantistica ammette anche sovrapposizioni tra processi in cui il tempo può scorrere in avanti o all’indietro, per cui la freccia del tempo termodinamica diventa indefinita: con valori di entropia bassi, il tempo può procedere anche dal futuro al passato).

 

La prospettiva dell'entropia statistica fu introdotta nel 1870 dal fisico austriaco Ludwig Boltzmann, che stabilì un nuovo campo della fisica che forniva il collegamento descrittivo tra l'osservazione macroscopica della natura e la visione microscopica basata sul trattamento rigoroso di un grande insieme di microstati che costituiscono i sistemi termodinamici. Boltzmann definì l'entropia come una misura del numero di possibili stati microscopici (microstati) di un sistema in equilibrio termodinamico, coerente con le sue proprietà termodinamiche macroscopiche, che costituiscono il macrostato del sistema. Un'illustrazione utile è l'esempio di un campione di gas in un contenitore. I parametri facilmente misurabili volume, pressione e temperatura del gas descrivono la sua condizione macroscopica (stato). A livello microscopico, il gas è costituito da un grande numero di atomi o molecole in movimento libero, che si scontrano casualmente tra loro e con le pareti del contenitore (microstati). Le collisioni con le pareti producono la pressione macroscopica del gas, che illustra la connessione tra fenomeni microscopici e macroscopici.

 

Un microstato del sistema è una descrizione delle posizioni e dei momenti di tutte le sue particelle. Il gran numero di particelle del gas fornisce un numero infinito di possibili microstati per il campione, ma collettivamente esiste una configurazione media ben definita, che vediamo come macrostato del sistema, in cui ogni singolo contributo di microstato è trascurabile. L'insieme dei microstati comprende una distribuzione statistica di probabilità per ogni microstato, e il gruppo di configurazioni più probabili fornisce lo stato macroscopico. Pertanto, il sistema può essere descritto nel suo insieme solo da alcuni parametri macroscopici, chiamati variabili termodinamiche: l'energia totale E, il volume V, la pressione P, la temperatura T e così via. Tuttavia, questa descrizione è relativamente semplice solo quando il sistema è in uno stato di equilibrio.

L'equilibrio può essere illustrato con un semplice esempio di una goccia di colorante gettata in un bicchiere d'acqua. Il colorante si diffonde in modo complicato, difficile da prevedere con precisione. Tuttavia, dopo che è trascorso un tempo sufficiente, il sistema raggiunge un colore uniforme, uno stato molto più facile da descrivere e spiegare.

 

Nel 1873 Boltzmann formulò una semplice relazione tra l'entropia e il numero di possibili microstati di un sistema, che indicò con il simbolo W. L'entropia S è proporzionale al logaritmo naturale di questo numero:

 

dove:

 

k è la costante di Boltzmann, il fattore di proporzionalità che mette in relazione l'energia cinetica media delle particelle in un gas con la sua temperatura termodinamica. La costante di Boltzmann ha dimensioni di un'energia divisa per la temperatura assoluta, le stesse dell'entropia;

 

ln W è il logaritmo naturale di W, in cui W è la Wahrscheinlichkeit, la probabilità (termodinamica), cioè il numero di stati in cui il sistema può trovarsi. Più precisamente, W indica il numero di possibili microstati corrispondenti allo stato macroscopico di un sistema: il numero di "vie" (microscopiche, non osservabili) nello stato termodinamico (osservabile) di un sistema, che si può comprendere assegnando posizioni e momenti differenti alle varie particelle (atomi o molecole). Poiché W è un numero naturale (1,2, 3...), l’entropia vale zero o oppure è positiva (ln 1 = 0, ln W ≥ 0).

 

In pratica, l’equazione di Boltzmann (riprodotta anche sulla sua lapide funeraria) stabilisce un legame di proporzionalità tra l’entropia e la quantità di possibili interazioni dei componenti del sistema (che dipende dal loro numero, dal tipo delle loro relazioni, dalla loro energia, dalle dimensioni del sistema, ecc.). 

 

L'entropia di Boltzmann descrive il sistema quando tutti i microstati accessibili sono ugualmente probabili. È la configurazione corrispondente al massimo di entropia all'equilibrio. La casualità o il disordine sono massimi, così come la mancanza di distinzione (o informazione) di ogni microstato.

 

Disordine e reazioni chimiche - Possiamo affermare che in un sistema composto da oggetti differenti è molto più probabile realizzare uno stato disordinato anziché uno stato ordinato: tale probabilità, inoltre, aumenta con l’aumentare del numero degli oggetti che compongono il sistema. Prendiamo alcuni esempi dalla chimica:

Se, nel corso di una reazione, una molecola si scinde, dando luogo a molecole più piccole, aumenta il grado di disordine; nella decomposizione termica (endotermica) del tetrossido di diazoto (N₂O₄) si ottengono due molecole di diossido di azoto (NO₂):

Naturalmente avviene il contrario nelle reazioni in cui molecole più piccole si combinano tra di loro per dare molecole più grandi, per cui aumenta l’ordine del sistema, ma la probabilità è contraria allo svolgersi della reazione: nella difficoltosa sintesi (endotermica) dell’ammoniaca (NH₃) a partire da idrogeno (H₂) e azoto (N₂) si passa da un sistema con quattro molecole a uno, più ordinato ma meno probabile, con due: 

Se, in una reazione, a partire da reagenti allo stato solido oppure liquido, si formano prodotti tutti o in parte allo stato aeriforme, il grado di disordine aumenta: nella decomposizione termica di una molecola di carbonato di calcio (CaCO₃) allo stato solido, si formano una molecola di ossido di calcio (CaO), solido, e una molecola di diossido di carbonio (CO₂), allo stato gassoso, dando luogo a un sistema più disordinato:

Il fattore probabilistico è invece sfavorevole in una reazione in cui il numero di molecole allo stato gassoso diminuisce, per cui il sistema è più ordinato; ciò avviene ad esempio nella formazione di ossido di mercurio (HgO), allo stato solido, a partire da mercurio (Hg), liquido, e ossigeno (O₂), gassoso:

Entropia e informazione - In altri termini, come vedremo, l’entropia dipende dall’informazione ricavabile dal sistema: in teoria dell'informazione, l'entropia di una variabile casuale è il livello medio di "informazione", "sorpresa" o "incertezza" inerente ai possibili esiti della variabile. Il concetto di entropia dell'informazione fu introdotto da Claude Shannon nel suo articolo del 1948 "A Mathematical Theory of Communication", ed è indicato anche come entropia di Shannon. Quando l'entropia è zero bit non c'è alcuna incertezza, nessuna libertà di scelta, nessuna informazione. Altri valori danno entropie diverse, tra zero e un bit. L’entropia dell'informazione di un sistema è, dato il macrostato, la quantità di informazione "mancante" necessaria per determinare un microstato. Secondo il fisico e statistico Edwin Thompson Jaynes (1957), l'entropia termodinamica, come spiegato dalla meccanica statistica, dovrebbe essere vista come un'applicazione della teoria dell'informazione. L'entropia termodinamica è interpretata come proporzionale alla quantità di ulteriori informazioni necessarie per definire il dettaglio dello stato  microscopico del sistema, che rimane non comunicato da una descrizione unicamente in termini di variabili macroscopiche della termodinamica classica, con la costante di proporzionalità che è proprio la costante di Boltzmann. 

Secondo Shannon, l'entropia H di una sorgente X è riferita all'informazione media contenuta in ogni messaggio emesso. Se la sorgente X è una variabile aleatoria discreta espressa con base di numerazione b (2 nel caso di codice binario), N il numero degli eventi, il valore atteso si riduce ad una media dell'informazione di ogni evento x_i pesata con la propria probabilità P(x_i):

il cui dominio è 0 ≤ H(X) ≤ log_b N. Matematicamente H può anche essere vista come un'informazione media, perché quando un certo messaggio si verifica con probabilità P(x_i), si otterrà la quantità di informazioni − log_b P(x_i) detta contenuto informativo o autoinformazione. 

Se si generalizza l'entropia termodinamica come fece il chimico americano J. Willard Gibbs, si vede chiaramente come essa sia simile all'entropia dell'informazione di Claude Shannon. L’entropia di Gibbs vale:

in cui k_b è la costante di Boltzmann e la seconda parte del membro, adimensionale come il lnW di Boltzmann, è la sommatoria delle probabilità termodinamiche p_i espresse in percentuale moltiplicata per il loro logaritmo naturale. Questa definizione rimane significativa anche quando il sistema è lontano dall'equilibrio. Se tutti i microstati sono equiprobabili, l'entropia termodinamica statistica si riduce alla forma data da Boltzmann.

 

È facile vedere l’equivalenza di forma delle due espressioni (anche se sono dimensionalmente disuguali: energia/temperatura assoluta contro unità di informazione). Più i microstati sono coerenti con il macrostato osservato, maggiore è l'entropia di Shannon e Gibbs. Il concetto si applica sia agli stati di non equilibrio che agli stati di equilibrio. Ne consegue ciò che affermò prima di Shannon il chimico Gilbert Lewis: "Guadagno di entropia significa sempre perdita di informazione, e niente di più". Lo stato di equilibrio è il macrostato a cui mancano più informazioni sui microstati sottostanti.

 

Il demone di Maxwell - Anche quando un sistema è completamente isolato dalle influenze esterne, il suo microstato è in continua evoluzione. Ad esempio, le particelle di un gas sono in continuo movimento, e quindi occupano una posizione diversa in ogni momento; anche i loro momenti cambiano continuamente mentre si scontrano tra loro o con le pareti del contenitore. Supponiamo di preparare artificialmente il sistema in uno stato di equilibrio altamente ordinato. Ad esempio, immaginiamo di dividere un contenitore con una partizione e posizionare un gas su un lato della partizione, con il vuoto sull'altro lato. Se rimuoviamo la partizione e osserviamo il successivo comportamento del gas, troveremo che il suo microstato si evolve secondo uno schema caotico e imprevedibile, e che in media questi microstati corrispondono a un macrostato più disordinato di prima. È possibile, ma estremamente improbabile, che le molecole di gas rimbalzino l'una sull'altra in modo tale da rimanere in una metà del contenitore. È estremamente probabile che il gas si diffonda per riempire uniformemente il contenitore, che è il nuovo macrostato di equilibrio del sistema.

 

Il demone di Maxwell è un esperimento mentale che ipoteticamente violerebbe la seconda legge della termodinamica. Fu proposto dal grande fisico scozzese James Clerk Maxwell in una lettera al collega Peter Guthrie Tait l'11 dicembre 1867. Apparve di nuovo in una lettera al fisico e chimico John William Strutt nel 1871, prima di essere presentato al pubblico nel libro di Maxwell del 1872 sulla termodinamica intitolato Theory of Heat (Teoria del calore). La sua descrizione dell'esperimento era la seguente:

 

“... se concepiamo un essere le cui facoltà sono così acute da poter seguire ogni molecola nel suo corso, un tale essere, i cui attributi sono essenzialmente finiti come i nostri, sarebbe in grado di fare ciò che è impossibile per noi. Infatti, abbiamo visto che le molecole in un recipiente pieno d'aria a temperatura uniforme si muovono con velocità per nulla uniformi, sebbene la velocità media di un gran numero di esse, scelte arbitrariamente, sia quasi esattamente uniforme. Supponiamo ora che un tale recipiente sia diviso in due porzioni, A e B, da una divisione in cui vi sia un piccolo foro, e che quell’essere, che può vedere le singole molecole, apra e chiuda questo foro, in modo da permettere solo alle molecole più veloci di passare da A a B, e solo alle molecole più lente di passare da B ad A. Egli così, senza dispendio di lavoro, aumenterà la temperatura di B e abbasserà quella di A, in contraddizione con la seconda legge di termodinamica”.

 

In altre parole, Maxwell immaginò un contenitore diviso in due parti, A e B. Entrambe le parti sono riempite con lo stesso gas a temperature uguali e poste l'una accanto all'altra. Osservando le molecole su entrambi i lati, un essere immaginario custodisce una botola tra le due parti. Quando una molecola di A più veloce della media si avvicina verso la botola, l’essere la apre e la molecola passerà da A a B. Allo stesso modo, quando una molecola di B più lenta della media si avvicina verso la botola, l’essere la fa passare da B ad A. La velocità media delle molecole in B sarà aumentata mentre in A avranno mediamente rallentato. Poiché la velocità molecolare media corrisponde alla temperatura, la temperatura diminuisce in A e aumenta in B. Poiché la temperatura cinetica di un gas dipende dalle velocità delle sue molecole costituenti, le azioni del demone fanno sì che una camera si riscaldi e l'altra si raffreddi. Ciò diminuirebbe l'entropia totale dei due gas, senza applicare alcun lavoro, violando così la seconda legge della termodinamica.

 

L’essere deve permettere alle molecole di passare in entrambe le direzioni per produrre solo una differenza di temperatura; il passaggio unidirezionale solo di molecole più veloci della media da A a B causerà lo sviluppo di temperatura e pressione più elevate sul lato B.

Nei suoi scritti, Maxwell descrisse l'entità che apre la porta tra le camere come un "essere finito". William Thomson (Lord Kelvin) fu il primo ad usare la parola "demone" per il concetto di Maxwell sulla rivista Nature nel 1874, intendendolo come un δαίμων (daimon) della mitologia greca, un essere soprannaturale a metà strada tra l’umano e il divino, non un essere malevolo nell’accezione cristiana. Fu da allora che l’essere senziente e acuto divenne un demone, quando non un diavoletto, come accade in Italia, travisando il senso originario del nome.

Il demone di Maxwell suscitò un forte dibattito nella filosofia della scienza e nella fisica teorica, che continua fino ai giorni nostri, stimolando il lavoro sulla relazione tra termodinamica e teoria dell'informazione. La maggior parte degli scienziati sostiene, su basi teoriche, che nessun dispositivo pratico può violare la seconda legge in questo modo. Altri ricercatori hanno realizzato esperimenti con forme del demone di Maxwell, anche se in una certa misura differiscono tutti dall'esperimento mentale e nessuno ha dimostrato di violare la seconda legge.

 

Diversi fisici hanno presentato calcoli che mostrano che, se si fa un'analisi più completa dell'intero sistema, compreso il demone, la seconda legge della termodinamica non sarà effettivamente violata. L'essenza dell'argomento fisico è mostrare che il demone genera più entropia scegliendo e spostando le molecole di quanta ne possa mai eliminare. Ci vorrebbe più lavoro termodinamico per misurare la velocità delle molecole e consentire loro di passare selettivamente attraverso l'apertura tra A e B rispetto alla quantità di energia guadagnata dalla differenza di temperatura.

 

Nel 1929 l’ungherese Leó Szilárd, e, negli anni ‘50, il francese Léon Brillouin, sottolinearono che un demone di Maxwell nella vita reale avrebbe bisogno di alcuni strumenti per misurare la velocità molecolare e che l'atto di acquisire informazioni richiederebbe un dispendio di energia. Poiché il demone e il gas interagiscono, dobbiamo considerare assieme l'entropia del gas e del demone. Il dispendio di energia da parte del demone provocherà un aumento dell'entropia del demone, che sarà maggiore dell'abbassamento dell'entropia nel gas.

 

Il fisico dell’IBM Rolf Landauer sollevò un’obiezione a questo argomento. Nel 1961 scoprì il principio che porta il suo nome, secondo cui, in qualsiasi operazione logicamente irreversibile che manipola l'informazione (come la cancellazione di un bit di memoria) l'entropia aumenta e una quantità associata di energia viene dissipata sotto forma di calore. Egli sapeva che alcuni processi di misurazione possono non aumentare l'entropia termodinamica perché sono termodinamicamente reversibili. Suggerì che queste misurazioni "reversibili" potrebbero essere utilizzate per ordinare le molecole, violando la seconda legge. Tuttavia, a causa della connessione tra l'entropia termodinamica e l'entropia dell'informazione, ciò significa anche che la misurazione registrata non deve essere cancellata. In altre parole, per determinare se far passare una molecola, il demone deve acquisire una informazione sullo stato della molecola e scartarla o conservarla. Scartare l’informazione porta all'immediato aumento dell'entropia, ma il demone non può conservarla a tempo indeterminato. Nel 1982, il fisico e teorico dell’informazione Charles Bennett dimostrò che, per quanto ben acuto, alla fine il demone finirà lo spazio di archiviazione delle informazioni e dovrà iniziare a cancellare le informazioni che ha raccolto in precedenza. La cancellazione delle informazioni è un processo termodinamicamente irreversibile che aumenta l'entropia di un sistema. Bennett giunse quindi alla stessa conclusione di Szilard, ma con argomentazioni diverse.

 

I filosofi della scienza dell’università di Pittsburg, John Earman e John D. Norton hanno sostenuto nel 1998-99 che le spiegazioni di Szilárd e Landauer del demone di Maxwell si basano sull’assunto che la seconda legge della termodinamica non può essere violata dal demone, e derivano ulteriori proprietà del demone da questa ipotesi, inclusa la necessità di consumare energia quando si cancellano informazioni, ecc. Invocare queste proprietà derivate per difendere la seconda legge dall'argomento del demone sarebbe quindi un ragionamento circolare:

 

“La strategia che dovrebbe essere perseguita dall'abile demone è aspettare uno stato improbabile. Se è consentito un sufficiente tempo di attesa, una violazione spontanea della Seconda Legge è (quasi) sicuro che si verificherà, senza bisogno di un demone per l'elaborazione delle informazioni; a maggior ragione, nulla del costo termodinamico della cancellazione di memoria può impedire la violazione. Forse allora l'obiettivo del gioco non è proteggere la Seconda Legge contro violazioni dirette, ma piuttosto proteggerla da violazioni abbellite, in cui il lavoro viene continuamente estratto da un sistema macroscopico. La nostra idea, per ripeterlo ancora una volta, è che tale protezione dalla violazione può essere offerta solo se il Demone è assimilato a un sistema termico canonico e che la prova non utilizza né beneficia di concetti teorici dell'informazione. E se il Demone non è così assimilato, allora dobbiamo ancora vedere una dimostrazione che deve fallire nei suoi sforzi per violare la Seconda Legge”.

 

Bennett, nel 2003, riconobbe la validità dell'argomentazione di Earman e Norton, pur sostenendo che il principio di Landauer ha ancora un notevole potere pedagogico ed esplicativo, specialmente nel contesto di altre idee influenti nella fisica del XIX e XX secolo.

 

Il dibattito sul demone di Maxwell continua, anche in campi apparentemente lontani dalla termodinamica e dalla fisica. Ad esempio, nel 2018, un neurologo di Harvard, Ya Wen, ha pubblicato un articolo chiedendosi se i mitocondri non siano il demone di Maxwell all'opera in natura. L'idea è che i mitocondri producano energia dall'elaborazione delle informazioni, o meglio, convertano le informazioni in energia: “I sistemi viventi utilizzano l'informazione e l'energia per mantenere uno stato altamente ordinato e un'entropia stabile. È possibile che il cambiamento dello stato dell'informazione possa influenzare lo stato dell'energia e viceversa. Lo squilibrio informazione-energia potrebbe essere la causa fondamentale delle malattie. Se consideriamo che l'informazione e l'energia sono due aspetti diversi della stessa cosa, allora dovrebbero essere intercambiabili. Pertanto, lo squilibrio informazione-energia potrebbe essere corretto. (…) I mitocondri ci forniscono un modello eccellente per conoscere la relazione tra informazione ed energia. Lo sviluppo della teoria della conversione informazione-energia aprirà una nuova era nella biologia: la biologia teorica che richiede il lavoro di squadra di biologi e fisici”.

 

In effetti, recenti applicazioni della teoria dell’informazione alla medicina e alla biologia hanno riconosciuto il possibile ruolo di strutture di memorizzazione delle informazioni non tradizionali, inclusi lipidi e gradienti ionici, nonché la trasmissione di informazioni tramite flusso molecolare attraverso le membrane cellulari. Rimangono molte sfide affascinanti, inclusa la definizione delle dinamiche di informazione intercellulare degli organismi multicellulari e il ruolo nelle malattie dell'archiviazione disordinata delle informazioni e del loro flusso.

Maxwell, tra nodi e vortici, tra campi e rime

Gin a body meet a body

Come si sa, un corpo rigido è, in fisica, un modello ideale di corpo esteso, utilizzato per studiare le leggi della meccanica nel caso in cui non sia verosimile l’approssimazione al punto materiale. Un corpo rigido è indeformabile: le distanze tra i suoi punti non cambiano nel tempo. 

Rigid Body Sings è il titolo della più famosa delle poesie dello scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879), uno dei più grandi fisici dell’Ottocento, celebre per le sue eleganti equazioni che descrivono il campo elettromagnetico o per le sue idee innovative sulla teoria cinetica dei gas e la termodinamica. Egli è senza dubbio anche il più noto degli scienziati-poeti dell’epoca. La sua attività di valido poeta dilettante, cultore di canzoni popolari, poco conosciuta in Italia, abbracciò temi e tecniche diverse. In realtà il corpo rigido della fisica c’entra poco con il contenuto della poesia, che Maxwell usava cantare accompagnandosi con la chitarra: 

Gin a body meet a body 

Flyin' thro the air, 

Gin a body hit a body, 

Will it fly? And where? 

Ilka impact has its measure 

Ne'er a' ane hae I 

Yet a' the lads they measure me, 

Or, at least, they try. 

Gin a body meet a body 

Altogether free, 

How they travel afterwards 

We do not always see. 

Ilka problem has its method 

By analytics high; 

For me, I ken na ane o' them, 

But what the waur am I? 

Se un corpo incontra un corpo 

volando in mezzo all'aria, 

se un corpo urta un corpo 

Volerà? E dove? 

Ogni impatto ha la sua misura, 

io non ne ho mai avuto uno, 

eppure, tutte le donne mi misurano, 

o, almeno, ci provano. 

Se un corpo incontra un corpo, 

tutti insieme in libertà, 

come viaggiano in seguito 

non sempre lo si vedrà. 

Ogni problema ha il suo metodo 

secondo le analitiche altezze; 

da parte mia, non ne conosco alcuno, 

ma sono così sventurato?

La poesia è sottotitolata In Memory of Edward Wilson, Who Repented of What Was In His Mind to Write after Section (“In memoria di Edward Wilson, che si pentì di ciò che aveva in mente di scrivere dopo la riunione”) e sembra una presa in giro dei problemi con il gentil sesso di un collega della sezione di fisica e matematica della British Association. La stranezza di molti dei termini usati è dovuta al fatto che la lingua è l’inglese degli scozzesi, lo Scots (ad esempio gin = if; ilka = each; ken = know). 

La parodia poetica era una passione di molti scienziati anglosassoni, e anche Rigid Body Sings lo è. Maxwell si riferisce infatti alla celeberrima Comin’ thro’ the Rye del poeta scozzese Robert Burns (1759-1796), il “poeta contadino”, le cui strofe centrali recitano: 

Gin a body meet a body 

Comin thro' the rye, 

Gin a body kiss a body, 

Need a body cry? 

 Se una persona incontra una persona 

che arriva attraverso la segale, 

se una persona bacia una persona, 

deve una persona piangere? 

I versi di Robert Burns non hanno ispirato solo Maxwell. Il titolo originale del famoso e stupendo romanzo “Il giovane Holden” di Jerome D. Salinger è The catcher in the rye e allude alla storpiatura che il protagonista opera in uno dei passaggi fondamentali del romanzo (capitolo XXII), quando la saggia sorellina Phoebe lo interroga su che cosa vuol fare da grande:

“Ad ogni modo, mi immagino sempre tutti questi ragazzi che fanno una partita in quell'immenso campo di segale eccetera eccetera. Migliaia di ragazzini, e intorno non c'è nessun altro, nessun grande, voglio dire, soltanto io. E io sto in piedi sull'orlo di un dirupo pazzesco. E non devo fare altro che prendere al volo tutti quelli che stanno per cadere nel dirupo, voglio dire, se corrono senza guardare dove vanno, io devo saltar fuori da qualche posto e acchiapparli. Non dovrei fare altro tutto il giorno. Sarei soltanto il ricevitore nella segale (the catcher* in the rye) e via dicendo. So che è una pazzia, ma è l'unica cosa che mi piacerebbe veramente fare. Lo so che è una pazzia”. 

* il catcher è un ruolo del baseball: si tratta del giocatore che deve afferrare al volo la palla colpita con la mazza dal battitore della squadra avversaria prima che vengano occupate le basi del campo da gioco che assegnano i punti.

La canzone del ripiglino

La filastrocca (Cats) Cradle Song, by a Babe in Knots è, a parer mio, una delle opere poetiche più belle di J. C. Maxwell per ritmo, sonorità ed efficacia delle allitterazioni. È chiaramente ispirata alle Nursery Rhymes, le filastrocche per bambini tanto importanti nella tradizione inglese, dalle quali il fisico-poeta ha anche tratto il nome di uno dei personaggi, Little Jack Horner, mentre il nome del protagonista, Peter the Repeater, è solo un comune gioco di parole.

Come altre poesie di Maxwell, anche questa merita un piccolo apparato di note, che il lettore troverà ai piedi del mio adattamento. Non si tratta infatti di una traduzione, ma di un adattamento “a senso”, con il quale ho cercato di conservare le rime e la musicalità del testo.

Il titolo merita subito una spiegazione: Cats Cradle può significare “culla dei gatti, cuccia”, e sicuramente Maxwell ha voluto giocare sul fatto che la poesia ha il ritmo di una filastrocca per bambini (A Cradle Song è anche una poesia di William Blake), ma la locuzione indica, nel suo contesto, più propriamente la prima figura del gioco del ripiglino, che si fa tra due o più persone usando la mano ed una cordicella. Il gioco, diffuso in tutti i continenti, consiste nel formare figure intrecciando a turno la cordicella intorno alle proprie dita. Ciascuno dei partecipanti "ripiglia" il filo dalle mani del precedente ottenendo un nuovo intreccio a partire dalla prima figura, che si chiama, appunto, “culla”.

(Cats) Cradle Song, by a Babe in Knots 

Peter the Repeater, 

Platted round a platter 

Slips of slivered paper, 

Basting them with batter. 

Flype ’em, slit ’em, twist ’em, 

Lop-looped laps of paper; 

Setting out the system 

By the bones of Neper. 

Clear your coil of kinkings 

Into perfect plaiting, 

Locking loops and linkings 

Interpenetrating. 

Why should a man benighted, 

Beduped, befooled, besotted, 

Call knotful knittings plighted, 

Not knotty but beknotted? 

It’s monstrous, horrid, shocking,

Beyond the power of thinking, 

Not to know, interlocking 

Is no mere form of linking. 

But little Jacky Horner 

Will teach you what is proper, 

So pitch him, in his corner, 

Your silver and your copper. 

La Canzone del Ripiglino, di un Bimbo nei Nodi 

Pietro l’Ostinato, 

intrecciò attorno alla scodella

fettine di foglio tritato 

imbastendole con pastella. 

Li rovesciò, li tagliò, li intrecciò, 

girò la carta a mo’ di zero; 

e il sistema determinò 

coi bastoncini di Nepero. 

La tua spira di nodi ricama 

in un perfetto tessuto, 

legando ordito e trama 

intrecciati dal tuo aiuto. 

Perché nel buio malaccorti 

truffati, frodati, inebriati 

chiamiamo gli intrecci ritorti, 

non intricati ma annodati? 

È orrendo, brutto, da far paura, 

al di là del potere del pensare 

non sapere che l’annodatura 

non è un mero modo di collegare. 

Ma Giannino il birbone 

ti dirà che cosa è onesto, 

così gettagli nel suo cantone 

il tuo soldo e anche il resto.

La poesia si occupa di nodi, una delle ossessioni dei fisici del tempo, soprattutto dello stesso Maxwell e di Peter Guthrie Tait, che è indiscutibilmente il Peter the Repeater al quale la poesia è dedicata. Tait, quando fu scritta l’opera, si stava occupando infatti della classificazione dei nodi, alla ricerca di una conferma dell’ipotesi degli atomi-vortice di Kelvin, cioè di una relazione tra le classi di configurazione dei nodi e le tipologie degli atomi che individuano i diversi elementi chimici e i loro composti. Nelle relazioni che egli diede delle sue ricerche, Tait aveva stabilito un nuovo vocabolario per l’ambito della sua ricerca, introducendo per esempio il termine flype dell’inglese parlato in Scozia e prima sconosciuto sotto il Vallo d’Adriano, che significa più o meno “rovesciare, capovolgere”. 

Tait cercava di dare alle sue ricerche una struttura matematica: è a ciò che si riferisce l’accenno ai bones of Neper, i bastoncini di Nepero, lo strumento di calcolo inventato nel 1617 da John Napier, costituito da asticelle, spesso d’avorio (da cui il loro nome inglese di ossa di Nepero), su ciascuna delle quali erano incisi i primi multipli di un numero, con le decine e le unità divise da una barra obliqua. Accostando i bastoncini corrispondenti a diverse cifre fino a comporre un certo numero e sommando le cifre che risultavano adiacenti nelle diverse righe, si otteneva la tabellina dei multipli del numero in questione. 

Era certo per chi si occupava della classificazione dei nodi che la modalità con la quale un filo si annoda in modi diversi ha importanti conseguenze di natura fisica. Non si trattava di uno studio di mera natura geometrica: interlocking / Is no mere form of linking. 

Fu proprio l’opera di classificazione da parte di Tait a far emergere una delle prime difficoltà della teoria degli atomi-vortice: l’enorme numero di configurazioni non equivalenti trovate rispetto alla varietà degli elementi chimici noti (con dieci intrecci si hanno 165 nodi diversi, con tredici più di diecimila). Ma, pur evidenziando uno dei limiti del modello, le ricerche in questo ambito costituirono il primo esempio dell’interesse per le possibili implicazioni fisiche di quel settore della matematica che era stato chiamato topologia da Johan Benedict Listing nel 1847 e che dalla fine dell’Ottocento avrebbe acquisito lo status di settore autonomo della matematica. 

Di Little Jacky Horner si è già detto. Ma chi era nella realtà quella persona che poteva dare un giudizio competente (Will teach you what is proper) sulle ricerche in corso, tali da essere premiato con silver e copper, cioè monete d’argento e di rame? Jacky è un diminutivo di John e Jacob. Potrebbe essere l’allora giovane fisico Joseph John Thomson, che da lì a pochi anni (1883) avrebbe pubblicato A Treatise on the Motion of Vortex Rings, e più tardi avrebbe scoperto l’elettrone e vinto per questa scoperta il Premio Nobel nel 1906. Potrebbe essere anche il fisico e ingegnere William John Macquorn Rankine, anch'egli poeta dilettante, che, verso la fine degli anni Quaranta, aveva proposto una teoria della materia per interpretare le proprietà termodinamiche dei gas, nella quale le molecole erano spiegate come piccoli nuclei di atmosfere eteree rotanti nello spazio con velocità proporzionale alla temperatura. Non è tuttavia necessario trovare sempre delle corrispondenze reali. Può anche darsi che Giannino non sia altro che il bambino dell’omonima filastrocca: 

Little Jack Horner 

Sat in the corner, 

eating a Christmas pie; 

He put in his thumb, 

And pulled out a plum, 

And said 'What a good boy am I”. 

Il piccolo Giannino 

sedeva in un angolino 

mangiando il panettone: 

ci mise dentro un dito, 

ci estrasse un candito 

e disse “Sono un cannone!”

L’Ode paradossale 

La storia dell’ultimo componimento di Maxwell merita un approfondimento. Egli scrisse la Paradoxical Ode durante i suoi ultimi mesi di vita, nel 1878. Si tratta di un’opera enigmatica, che contiene vari riferimenti alla topologia, la cosmologia e l’evoluzione. La poesia riflette infatti i più profondi pensieri dello scienziato in merito al rapporto tra scienza e religione, tra scelta e caso, tra morte ed eternità. 

La Paradoxical Ode fu composta per Peter Guthrie Tait, suo amico intimo, noto tra l’altro per aver scritto il ponderoso Trattato di filosofia naturale assieme a William Thompson, lord Kelvin. Maxwell e Tait si conoscevano sin dai tempi della scuola a Edimburgo. Nel 1867 Tait aveva dimostrato nel suo laboratorio la mutua relazione degli anelli di fumo, scoperta che a Kelvin ispirò la teoria degli atomi vortice, formati da un'onda intrecciata in un nodo chiuso.  La teoria fu presto falsificata, ma contribuì alla nascita della teoria dei nodi, la branca della topologia che si occupa delle curve chiuse intrecciate nello spazio, con applicazioni in fisica subatomica, chimica molecolare e biologia. 

L’Ode si ispira al dramma in versi Prometeo liberato composto nel 1820 dal poeta romantico Percy Bysshe Shelley. Fu pubblicata nella biografia di Maxwell scritta nel 1882 da Lewis Campbell e William Garnett. La riporto qui sotto, con la mia traduzione. Le parole in grassetto fanno riferimento alle note.

To Hermann Stoffkraft, Ph.D. 

A PARADOXICAL ODE 

After Shelley 

I 

My soul’s an amphicheiral knot

Upon a liquid vortex wrought 

By Intellect in the Unseen residing, 

While thou dost like a convict sit 

With marlinspike untwisting it 

Only to find my knottiness abiding; 

Since all the tools for my untying 

In four-dimensioned space are lying, 

Where playful fancy intersperses 

Whole avenues of universes; 

Where Klein and Clifford fill the void 

With one unbounded, finite homaloid, 

Whereby the Infinite is hopelessly destroyed. 

II 

But when thy Science lifts her pinions 

In Speculation’s wild dominions, 

I treasure every dictum thou emittest; 

While down the stream of Evolution 

We drift, and look for no solution 

But that of the survival of the fittest. 

Till in that twilight of the gods 

When earth and sun are frozen clods, 

When, all its energy degraded, 

Matter in æther shall have faded, 

We, that is, all the work we’ve done, 

As waves in æther, shall for ever run 

In swift-expanding spheres, through heavens 

beyond the sun. 

III 

Great Principle of all we see, 

Thou endless Continuity! 

By thee are all our angles gently rounded; 

Our misfits are by thee adjusted, 

And as I still in thee have trusted, 

So let my methods never be confounded! 

O never may direct Creation 

Break in upon my contemplation, 

Still may the causal chain, ascending, 

Appear unbroken and unending, 

And, where that chain is lost to sight 

Let viewless fancies guide my darkling flight 

Through Æon haunted worlds, in order infinite. 

dp/dt 

Al dottor Hermann Stoffkraft 

UN’ODE PARADOSSALE 

al modo di Shelley

I

La mia anima è un nodo riflessibile, 

allacciato su un vortice liquido 

dall'Intelletto che abita l’Invisibile, 

mentre tu siedi come un collegiale 

con un attrezzo intento a scioglierlo, 

solo per trovare la mia nodità costante;

 perché tutti gli attrezzi per slegarmi 

giacciono nello spazio quadridimensionale 

dove sparge giocosa l’immaginazione 

interi viali di universi,

dove Klein e Clifford riempiono il vuoto 

con uno sciolto, finito, spazio piano, 

dove l’infinito è distrutto senza speranza. 

II 

Ma quando la tua scienza leva le sue ali 

nei selvaggi domini della Speculazione, 

faccio tesoro di ogni tua sentenza; 

quando lungo il flusso dell’Evoluzione 

siamo condotti e non troviamo soluzione 

se non la sopravvivenza del più adatto. 

Fino a che il quel crepuscolo degli Dei 

quando la Terra e il Sole sono zolle gelate, 

quando, tutta la sua energia degradata, 

la Materia nell'Etere sarà svanita, 

noi, cioè, tutto il nostro lavoro fatto, 

come onde nell'Etere, per sempre correrà 

in sfere in rapida espansione, 

attraverso i cieli al di là del Sole. 

III 

Grande Principio di tutto ciò che vediamo, 

tu Continuità senza fine! 

Da te tutti i nostri angoli sono delicatamente smussati, 

i nostri errori da te riparati, 

e, poiché in te ho sempre creduto, 

fa’ che mai i miei metodi siano confusi! 

O, che mai possa la Creazione diretta 

intervenire nella mia contemplazione, 

possa la catena delle cause, salendo, 

apparire senza soluzione e senza fine. 

E, laddove quella catena è persa alla vista, 

che gli spiriti invisibili guidino il mio cieco volo 

attraverso mondi abitati dall'Eone, infiniti in successione. 

dp/dt

NOTE:

Amphicheiral knot/nodo riflessibile: un oggetto o un sistema di oggetti è “chirale” se è distinguibile dalla sua immagine speculare; cioè, non può essere sovrapposto ad essa. Viceversa, un'immagine speculare di un oggetto achirale, come una sfera, non può essere distinta dall'oggetto. Un oggetto chirale e la sua immagine speculare sono chiamati enantiomorfi (dal greco, "forme opposte") o, quando si riferiscono a molecole, enantiomeri. Un oggetto, come un nodo, non chirale è chiamato achirale (a volte anche anfichirale, o riflessibile) e può essere sovrapposto alla sua immagine speculare. Il termine “chirale” deriva dal greco χειρ (kheir), "mano," che è l’oggetto più comune che non può essere sovrapposto alla sua immagine speculare. Wikipedia in inglese sostiene che il termine “chiralità”, fu utilizzato per la prima volta da Lord Kelvin in una conferenza tenuta a Oxford nel 1893, ma la parola, che indubbiamente nasce nell’ambiente dei fisici scozzesi di cui egli faceva parte. è attestata per la prima volta proprio in questa poesia di Maxwell.

Liquid vortex/vortice liquido: è chiaro il riferimento alla teoria di Lord Kelvin degli atomi vortice, a sua volta ispirata a un articolo del 1858 di Herman von Helmholtz che si occupava delle equazioni idrodinamiche di un fluido in presenza di vortici.

Unseen/Invisibile: si tratta del primo di molti riferimenti al testo The Unseen Universe, pubblicato da Tait assieme all’altro fisico scozzese Balfour Stewart nel 1875. Nell'opera essi affermavano che i miracoli e la fede nell'Aldilà sono compatibili con la scienza moderna, invocando un “Principio di Continuità” per il quale le idee umane, condizionate dal reale, possono svilupparsi verso l’incondizionato, l’assoluto. Il libro era una risposta alle posizioni razionaliste del fisico irlandese John Tyndall, che l’anno precedente, nel Belfast Address, aveva dichiarato che le idee religiose devono essere sottoposte al vaglio della scienza.

Marlinspike/attrezzo: Nell'Inghilterra vittoriana i collegiali erano puniti con il compito sgradevole di recuperare la canapa dalle funi logore e incatramate. I marinai utilizzavano un attrezzo appuntito chiamato marlinspike (caviglia) per sfilacciare la corda, i collegiali dovevano farlo a mano.

Knottiness/nodità: Maxwell si paragona a un nodo intrecciato che aspira ad essere sciolto. Dalla corrispondenza tra Tait e Maxwell si sa che quest’ultimo era coinvolto nella nascente teoria dei nodi, sebbene non abbia pubblicato alcun articolo sull’argomento. Fu Maxwell ad informare Tait dell’attività di Listing, un allievo di Gauss che aveva inventato il termine “topologia” nel 1848 e aveva intrapreso lo studio delle proprietà dei nodi.

Four-dimensioned space/spazio quadridimensionale: L’Ottocento aveva già visto la nascita delle geometrie non-euclidee, della topologia e l’elaborazione teorica di spazi con più di tre dimensioni.

Klein and Clifford: Felix Klein aveva dimostrato pochi anni prima della composizione dell’Ode che qualsiasi nodo può essere sciolto in uno spazio quadridimensionale. William K. Clifford aveva ferocemente criticato il libro di Tait e Stewart da posizioni dichiaratamente atee. Egli era affascinato dall'idea di un universo non euclideo.

Homaloid/spazio piano: Rubo la definizione al grande fisico Hermann von Helmholtz, che scrisse che quando la "misura di curvatura dello spazio ha dappertutto un valore nullo, un tale spazio soddisfa dappertutto gli assiomi di Euclide. In questo caso lo possiamo chiamare spazio piano (omaloide), per distinguerlo da altri spazi costruibili analiticamente, che si potrebbero chiamare curvi perché la loro misura di curvatura è diversa da zero". Si tratta di una conseguenza del Theorema Egregium di Gauss.

Infinite/Infinito: Maxwell contrappone lo spazio di Clifford, finito perché creazione umana, all'Infinito, cioè a Dio. Maxwell era credente e più di una volta aveva sostenuto la tesi che scienza e religione costituiscono due dimensioni separate. In una bozza della lettera di risposta che intendeva inviare al Victoria Institute, un’associazione che intendeva riconciliare la scienza e il cristianesimo, scrisse “Penso che si debbano considerare i risultati ai quali perviene ciascuna persona nei suoi tentativi di armonizzare la sua scienza con il suo cristianesimo come aventi significato solo per la persona stessa (…) e non debbano ricevere nessun sigillo sociale”.

Survival of the fittest/sopravvivenza del più adatto: Il fondamentale lavoro di Charles Darwin On the Origin of Species through Natural Selection (L’origine delle specie) era stato pubblicato nel 1859. Risultato accessibile anche ai non specialisti, suscitò un grande interesse e accese polemiche. Ebbe in pochi anni numerose edizioni, rivedute dall'autore per rispondere alle critiche nel frattempo mossegli. Nell'edizione del 1871, la sesta, Darwin adottò il concetto di “sopravvivenza del più adatto”, che era stato introdotto dal filosofo ed economista Herbert Spencer, il quale aveva usato la frase "selezione naturale, o la sopravvivenza del più adatto" nel suo lavoro Social Statistic del 1851, dunque prima della pubblicazione dell’opera di Darwin.

Energy degraded/energia degradata: Il secondo principio della termodinamica e il concetto correlato di degradazione dell’energia erano stati formulati, in varie forme e da vari autori, tra cui Kelvin e Tait, proprio in quel periodo.

Waves in æther/onde nell'Etere: L'etere era l'ipotetico mezzo attraverso il quale si pensava si propagassero le onde elettromagnetiche. Nel 1862, esponendo la sua teoria generale dell'elettromagnetismo, Maxwell formulò l'ipotesi che la luce sia formata da onde elettromagnetiche. Tale ipotesi presupponeva l'etere come mezzo in perfetta quiete nell'universo, avente il ruolo di sistema di riferimento privilegiato rispetto al quale le radiazioni elettromagnetiche si devono propagare con velocità c costante. L’idea di etere fu abbandonata solo agli inizi del Novecento.

Continuity/Continuità: Il riferimento è al “Principio di Continuità” teorizzato da Tait e Stewart in The Unseen Universe.

dp/dt: James Clerk Maxwell (JCM), su suggerimento di Tait, firmava spesso le sue lettere agli amici col rapporto differenziale dp/dt, contenuto nella formulazione di Tait della seconda legge della termodinamica: dp/dt = JCM. Nel gruppo di fisici di Cambridge, Kelvin (Thompson) era T, Tait era T’, l’avversario Tyndall era T’’ (cioè uno scienziato di secondo ordine), Clausius era C, Hamilton era H e Helmoltz H².

L’Ode è dedicata al dottor Hermann Stoffkraft, che in realtà è un personaggio fittizio. Si tratta infatti del protagonista di Paradoxical Philosophy, il libro pubblicato in quello stesso 1878 da Tait e Stewart come seguito di Unseen Universe. Stoffkraft rappresenta i razionalisti che avevano criticato la visione cristiana del primo libro dei due fisici, ma alla fine viene convinto della correttezza delle posizioni dei credenti. A lui si rivolge Maxwell nella poesia. 

Le riflessioni di Maxwell sulla religione e sull'aldilà non furono un esercizio erudito. Il grande fisico soffriva di un tumore addominale diagnosticatogli da pochi mesi e sapeva di aver poco da vivere. La Paradoxical Ode fu la sua ultima composizione poetica. Morì nel novembre 1879, a soli 48 anni.