La macchina di Atwood

 

George Atwood (1745-1807) era il primo figlio del curato della parrocchia di St. Clement Danes, a Westminster. Dopo aver frequentato la Westminster School, a partire dal 1759, entrò al Trinity College di Cambridge nel 1765 come pensionante (cioè si pagava da solo il mantenimento), ma gli fu poi concessa una borsa di studio l’anno successivo. Si laureò con un baccalaureato nel 1769, e conseguì il dottorato nel 1772. Nel 1773, divenne esercitatore. Le sue lezioni erano molto seguite, grazie alle spettacolari dimostrazioni sperimentali. Pubblicò le descrizioni delle sue dimostrazioni nel 1776, anno in cui fu eletto Fellow della Royal Society. 

Atwood è ora conosciuto soprattutto per un libro di testo sulla meccanica newtoniana, A Treatise on the Rectilinear Motion and Rotation of Bodies, pubblicato nel 1784, dove descrive in dettaglio una macchina per esperimenti ora conosciuta come macchina di Atwood. Nello stesso anno pubblicò anche una seconda opera, An Analysis of a Course of Lectures on the Principles of Natural Philosophy, che è una versione ampliata del suo corso a Cambridge. 

La maggior parte delle altre opere pubblicate da Atwood consiste nella trattazione matematica di problemi pratici. Una menzione meritano i suoi lavori sulla stabilità delle navi, dove estese le teorie esistenti per rendere conto della stabilità dei corpi galleggianti con ampio angolo di rollio, e per i quali, nel 1796, fu insignito della Medaglia Copley della Royal Society. Atwood morì nel luglio 1807 e fu sepolto nella chiesa di St. Margaret a Westminster, dove suo fratello minore Thomas era succeduto al padre come curato.

Il nome di Atwood è quasi interamente legato alla macchina dinamica da lui inventata tra il 1776 e il 1779. Il suo scopo, secondo i testi apparsi dalla fine del ‘700 fino a tempi recenti, era quello di condurre esperimenti che dimostrassero le leggi dei moti rettilinei (e rotazionali) dei corpi, con particolare riferimento ai moti regolati dalla gravità.  Tale scopo della macchina di Atwood si affermò solo dopo il generale accoglimento della meccanica newtoniana, ma nella Cambridge degli anni Settanta e Ottanta del Settecento servì proprio a realizzare definitivamente tale risultato davanti a giovani studenti e studiosi che in seguito diffusero il paradigma newtoniano. 

I dispositivi dimostrativi, che andavano dai planetari e i globi astronomici alle tavole con le quali si insegnavano i principi della meccanica, costituivano il corredo essenziale per i fabbricanti di strumenti di filosofia naturale nella Gran Bretagna di fine Settecento. Questi strumenti erano utilizzati in conferenze e lezioni pubbliche, che diventavano veri spettacoli per coinvolgere il pubblico utilizzando stratagemmi per mostrare le dottrine sulla natura. Ad esempio, le pulegge e i pesi in caduta coinvolti negli strumenti della meccanica newtoniana erano progettati ingegnosamente per minimizzare l'attrito e distinguere l'inerzia dalla gravità. Lo scopo della dimostrazione era di far sembrare inevitabile e credibile una certa interpretazione dei fenomeni naturali. Ciò richiedeva da parte del dimostratore un lungo allenamento, che a sua volta necessitava di essere attentamente gestito per non dirigere l’attenzione solamente sulla macchina utilizzata per la dimostrazione. Così essa richiedeva tattiche per rendere naturali i gesti e un po’ di doti teatrali. 

Newton aveva scritto che il fatto cruciale che tutta la materia gravita in proporzione alla sua massa “si può dimostrare solo con gli esperimenti”. Le macchine per gli esperimenti erano progettate proprio per dimostrare queste idee. Atwood sostenne che la sua macchina era uno strumento che poteva davvero produrre tali certezze, e non semplicemente un dispositivo per dimostrare principi che gli studenti potevano già aver compreso sul piano teorico. La sfida degli esercitatori e dei divulgatori newtoniani consisteva anche nel fatto che non potevano permettersi di opporre dogmatismo a dogmatismo: le loro dimostrazioni dovevano convincere. 

La macchina è descritta nel Trattato di Atwood del 1784, ma la sua diffusione fuori dall'Inghilterra risale già alla fine degli anni '70 del Settecento.  Essa è costituita solo da due cilindri bilanciati collegati da una corda di seta sospesa (considerata inestensibile e priva di peso) su una puleggia, dove possono essere attaccati (e rimossi) pesi aggiuntivi a uno dei due cilindri in modo da fornire una (o nessuna) forza che agisce sul sistema. Il grande merito del filosofo naturale inglese è quello di aver trasformato una normale puleggia in un dispositivo capace di eseguire esperimenti e dimostrazioni raffinate, adatti a essere trattati con gli strumenti dell’analisi matematica. 

È abbastanza istruttivo seguire da vicino come Atwood abbia ideato la sua macchina ingegnosa, partendo dalle sue prime considerazioni sul problema classico della sperimentazione sulla caduta libera dei corpi. 

"Il metodo più ovvio sarebbe quello di osservare l'effettiva discesa di un corpo pesante, mentre cade verso terra per la sua naturale gravità: ma in questo caso è evidente che, a causa della grande velocità generata in pochi secondi di tempo, l'altezza dalla quale cade il corpo osservato deve essere considerevole.  […] Se per rimediare a questo inconveniente si fanno scendere dei corpi lungo piani inclinati, secondo gli esperimenti del celebre autore [Galileo] di questa teoria, variando la proporzione dell'altezza del piano alle loro lunghezze, la forza dell'accelerazione può essere diminuita in qualsiasi rapporto, in modo che i corpi discendenti si muovano sufficientemente lenti da permettere che i tempi di movimento dalla quiete siano accuratamente osservati;  e gli effetti della resistenza dell'aria a corpi che si muovono con queste piccole velocità saranno assolutamente trascurabili: la principale difficoltà però che qui si verifica, deriva dalla rotazione dei corpi discendenti, che non può essere impedita senza aumentare il loro attrito ben oltre quanto l'esperimento consenta" (pp.295-6). 

In particolare, qui la "difficoltà principale" sta nel fatto che l'accelerazione di un corpo rotante mentre scende lungo un piano inclinato è ridotta rispetto al caso in cui la rotazione non si verifica, quando la gravità è l'unica causa di tale effetto.  Il problema previsto da Atwood non è la considerazione dell'effetto di rotazione (conosceva i corretti fattori di riduzione: 5/7 per una sfera e 2/3 per un cilindro), ma semplicemente la sovrapposizione di due effetti (rotazione e gravità) che avrebbero potuto causare una non univoca accettazione del paradigma newtoniano.   

"Non ci sono mezzi per separare la massa mossa dalla forza in movimento; non possiamo quindi applicare forze diverse per muovere la stessa quantità di materia su un dato piano, né la stessa forza a quantità diverse di materia.  Inoltre, essendo la forza accelerante costante e inseparabile dal corpo mosso, la sua velocità sarà continuamente accelerata, in modo da rendere impossibile l'osservazione della velocità acquisita in un dato istante" (p.298). 

Il primo problema è che, con un piano inclinato, non è possibile studiare la dipendenza della forza che agisce sul corpo dalla sua massa, dimostrando così la seconda legge del moto di Newton. Il secondo problema sperimentale più complesso è invece l'impossibilità di misurare la velocità del corpo in un qualsiasi istante di tempo desiderato, poiché cambia continuamente, e quindi l'impossibilità di provare la legge del tempo per la velocità nel moto uniformemente accelerato. 

Qual era, allora, l'obiettivo di Atwood?  I termini del problema sono ben delineati: come è possibile congegnare una serie di esperimenti con un'unica macchina con cui si affrontano forza, massa, velocità, distanze e tempi?  Senza precedenti suggerimenti di altri autori, Atwood concentra la sua attenzione sulle pulegge, già conosciute da molti secoli.  Ma qui il cambio di prospettiva è cruciale: un dispositivo convenzionale impiegato in statica come una semplice macchina si trasforma nelle mani di Atwood in un dispositivo dinamicamente ridimensionato con cura, in grado di essere sottoposto ad analisi matematica per l'illustrazione del pensiero newtoniano. In questa luce, infatti, si può dare un'interpretazione coerente ad una serie di problemi cinematici e dinamici - solo esercizi teorici, non direttamente collegati alla sua macchina - che compaiono nel Trattato, la maggior parte dei quali non sono affatto considerati nei successivi libri di testo sul dispositivo. 

"Nello strumento costruito per illustrare sperimentalmente questo argomento, A, B rappresentano due pesi uguali fissati alle estremità di un filo di seta molto sottile e flessibile: questo filo è teso su una ruota o puleggia fissa abcd, mobile attorno ad un asse orizzontale: i due pesi A, B sono esattamente uguali e agendo l'uno contro l'altro, restano in equilibrio; e quando il minimo peso viene aggiunto a uno dei due (mettendo da parte gli effetti dell'attrito) prevarrà" (p. 299). 

I problemi generali sopra previsti (tempi di caduta troppo brevi - in caduta libera o su un piano inclinato - richiedono distanze molto grandi percorse dal corpo in caduta, sul quale agisce però una forza di attrito non trascurabile, e il corpo raggiunge anche velocità troppo grandi in prossimità  della fine del suo moto) scompaiono subito: un piccolo squilibrio di massa induce piccole accelerazioni e velocità, impedendo così inutili grandi altezze di caduta e, quindi, trascurando l'azione della resistenza dell'aria.  Ma l'obiettivo di Atwood è una precisa conferma delle leggi di Newton, e se la realizzazione di pesi accuratamente bilanciati, oltre che di piccoli pesi aggiuntivi rimovibili, è lasciata all'arte di abili artigiani, il possibile attrito sviluppato dall'asse della puleggia merita un’appropriata considerazione.

"Quando l'asse è orizzontale è assolutamente necessario che sia appoggiato su ruote di attrito, le quali diminuiscono molto, o impediscono del tutto, la perdita di moto che sarebbe causata dall'attrito dell'asse, se ruotasse su una superficie immobile". 

Un tale meccanismo, introdotto in precedenza probabilmente dall'orologiaio francese Henry Sully, fu installato da Atwood sulla sommità della colonna cilindrica della sua macchina, sulla quale è montato anche un orologio a peso per effettuare misurazioni del tempo, mentre un righello con "una scala di circa 64 pollici di lunghezza graduata in pollici e decimi di pollice" è aggiunto su un'altra colonna verticale per consentire la misurazione delle distanze percorse dai corpi sospesi sulla corda.  L'assemblaggio con le ruote è, curiosamente, un pezzo rimovibile della macchina: Atwood stava, infatti, creando un dispositivo in grado di studiare i movimenti rettilinei e la rotazione dei corpi, a cui è dedicata quasi la metà del suo Trattato.  Il riconoscimento di questa importante seconda parte della meccanica andrà perso nelle successive descrizioni della macchina di Atwood (e le successive copie della macchina stessa non mostreranno più l’ingranaggio rimovibile con le ruote di frizione) ma non dovrebbe cadere nell'oblio il fatto che In origine Atwood mirava a concepire una macchina "universale" adatta allo studio del moto sia rettilineo sia rotatorio. 

Ciò è chiaramente testimoniato da una serie di interessanti esperimenti, proposti nel suo Trattato, da realizzare con l'ausilio di ulteriori accessori.  Tuttavia, mentre la parte principale della macchina "fu eseguita con grande perizia meccanica, in parte dal signor L. Martin, e in parte dal signor G. Adams, costruttori di strumenti matematici a Londra", tali accessori non furono mai realizzati, probabilmente per il mutamento degli interessi dell’autore.  Pertanto, la macchina di Atwood è stata successivamente associata solo agli studi sul moto rettilineo sotto l'azione di una forza costante. 

In che modo Atwood ha ottenuto un'illustrazione soddisfacente del paradigma newtoniano con la sua macchina?  Il primo passo è, ovviamente, riprodurre la legge di proporzionalità di Galilei tra le distanze percorse s e il quadrato del tempo trascorso t nel moto uniformemente accelerato: s ∝ t².  Sotto “l'azione della forza costante m" (m, qui la forza mobile netta, corrisponde al peso di 1/4 di oncia di materia; è considerata una quantità standard negli esperimenti di Atwood), 

"Se i tempi di movimento sono 1 secondo, 2 secondi e 3 secondi, gli spazi descritti da fermo dal peso discendente A in quei tempi saranno rispettivamente 3 pollici, 3×4 = 12 pollici e 3×9 = 27 pollici; gli spazi descritti essendo in un rapporto duplicato dei tempi di moto" (p. 318). 

Il secondo passo è studiare la dipendenza di s dall'accelerazione a del corpo discendente, qui ottenuta, in unità del valore di caduta libera g, dal rapporto tra la massa instabile e la massa totale dei corpi sulla puleggia (in termini moderni, a/g = ∆m/m_tot):   

"Risulta da questi esperimenti, che quando i tempi sono gli stessi, gli spazi descritti dal riposo sono come la forza di accelerazione" (p. 320) (“forza di accelerazione” significa qui accelerazione).  Vale a dire, s ∝ a.  Cos'altro sull'equazione del moto per quanto riguarda la distanza percorsa?  Ovviamente, che a ∝ 1/t². 

"L'ultima parte dell'esperimento mostra che se lo spazio descritto rimane lo stesso, mentre la descrizione del tempo è diminuita, la forza di accelerazione deve essere aumentata in una proporzione duplicata della diminuzione dei tempi" (p. 321). 

Da questi esperimenti, quindi, è completamente derivata la legge del tempo che, in termini moderni, scriviamo come s = 1/2 at². 

Atwood considera poi esperimenti idonei ad ottenere la legge della velocità, la cui misura con la macchina è particolarmente interessante. Supponiamo infatti con Atwood che la velocità istantanea del corpo discendente sia richiesta quando passa ad una certa altezza. Quindi, a tale altezza viene posizionato un anello sulla colonna con il righello, il cui anello è progettato per rimuovere la massa aggiuntiva e sbilanciata (la cui lunghezza supera il diametro dell'anello) consentendo il passaggio del corpo principale su cui è apposto.  In tal modo, e d'ora in poi, la puleggia è completamente equilibrata, ed i due corpi continuano a muoversi con velocità costante, il cui valore è facilmente ricavabile dal rapporto della distanza percorsa in un dato tempo.  Con questo trucco, la legge per la velocità può essere verificata sperimentalmente anche applicando una forza costante al corpo, e il primo risultato che si ottiene è la proporzionalità tra la velocità istantanea e il tempo trascorso: v∝t. 

"Durante i diversi tempi di 1 secondo, 2 secondi, 3 secondi, ecc. le velocità generate saranno rispettivamente di 6 pollici, 12 pollici e 18 pollici in un secondo, essendo nella stessa proporzione con i tempi in cui agisce la forza data" (pag. 324). 

Pertanto: 

"Sembra quindi che se forze diverse accelerano lo stesso corpo dalla quiete durante un dato tempo, le velocità generate saranno nella stessa proporzione con queste forze". (“forze”, è bene ribadirlo, significa “forze acceleranti” o, semplicemente, accelerazione), cioè v ∝ a, in un tempo costante.  Infine, come sopra, la legge completa v = at si ottiene mediante le proporzioni: 

"Se i corpi sono azionati da forze di accelerazione, che sono nella proporzione di 3:4, e per tempi, che sono come 1:2, le velocità acquisite saranno nel rapporto di 1 × 3 a 2 × 4, o come 3 a 8" (pag. 326).

Vengono poi descritti altri due esperimenti per dimostrare che, per corpi accelerati attraverso lo stesso spazio s, allora v∝√a (p. 327) e, viceversa, sotto l'azione della stessa accelerazione a, v∝ √s (p. 328).  Vale a dire, in termini moderni, v = √2as. 

Infine, e soprattutto, "la forza in movimento deve essere nello stesso rapporto delle quantità di materia spostate", che è la seconda legge della dinamica di Newton. Gli esperimenti per illustrare questa conclusione possono essere compresi nella tabella. 

Dalle prime tre colonne risulta evidente che la “forza mobile” è uguale al prodotto della “quantità di materia mossa” per la “forza accelerante”, o, nelle notazioni moderne, F = ma.   

L'accuratezza delle conclusioni raggiunte da Atwood dipende ovviamente dalla sensibilità della sua macchina e da eventuali errori sistematici legati principalmente all'attrito e alla prontezza dello sperimentatore per le misurazioni del tempo. Quest'ultimo punto è stato considerato solo a grandi linee da Atwood, che ha appena avvertito possibili altri sperimentatori di allenarsi con l'attivazione "simultanea" dell'orologio a pendolo con la partenza del corpo discendente. Questa è evidentemente la principale fonte di imprecisione. Il problema dell'attrito, inclusa la resistenza dell'aria, era già stato affrontato, ma vale la pena ricordare il fatto che Atwood non si era limitato ad affermare semplicemente che “gli effetti dell'attrito sono quasi del tutto rimossi dalle ruote di attrito” (p. 316), anzi, aveva quantificato tale affermazione facendo un esperimento preliminare: 

"Se i pesi A e B sono messi in perfetto equilibrio, e l'intera massa consiste di 63 m, secondo l'esempio già descritto, un peso di 11 grani, o al limite 2 grani, aggiungendo 2 ad A o B, comunicherà il movimento al tutto, il che mostra che gli effetti dell'attrito non saranno così grandi come un peso di 11 o 2 grani" (p. 316). 

Si noti che una massa di 1 m corrispondeva a ¼ di oncia, mentre 480 grani rappresentavano 10 once (e quindi 2 grani ≃ 1/240 oz), quindi la sensibilità della puleggia era estremamente alta.  Con il suo dispositivo, Atwood è stato quindi in grado di misurare accelerazioni fino a 1/64 del valore di caduta libera, una precisione senza precedenti in tali studi. Questo fatto fu anche il motivo della successiva fortuna della macchina di Atwood in tutta Europa.

La diffusione della macchina di Atwood fuori dall'Inghilterra avvenne ben prima della comparsa del Trattato, dove veniva descritta insieme agli esperimenti da eseguire con essa.  Infatti, alcuni studiosi che ebbero l'opportunità di assistere alle dimostrazioni di Atwood a Cambridge alla fine degli anni Settanta del Settecento, intuirono subito l'importanza della macchina e ne diffusero la notizia, anche sottoscrivendo l'acquisizione di sue copie. Fu così il portoghese Magallanes il primo a pubblicare (nel 1780) un opuscolo in cui veniva ampiamente descritta la macchina, insieme a una serie di esperimenti sul moto uniforme e accelerato, sotto forma di lettera indirizzata a Volta a Pavia.  L’italiano Giuseppe Saverio Poli riportò (nel 1781) per la prima volta un'illustrazione della nuova macchina, realizzata sulla copia commissionata al liutaio Ramsden, in una pubblicazione dove sono descritti anche alcuni esperimenti. 

Il modello prodotto da Ramsden (il secondo mai realizzato, compreso quello originale di Atwood) introdusse un dispositivo aggiuntivo, suggerito da Poli, per innescare l'attivazione simultanea dell'orologio a pendolo e l'inizio della massa discendente.  Chiaramente finalizzata ad un miglior funzionamento della macchina e, di conseguenza, ad una riduzione degli errori di misura, questa leva aggiuntiva fu sempre inclusa nelle copie successive nel corso del XIX secolo, a prescindere dalla “semplificazione” della macchina di Atwood (il gruppo asportabile di cinque ruote di frizione fu sostituito da un gruppo fisso di ruote o anche solo una semplice puleggia). 

Tali modifiche avvenute sono emblematiche del diverso uso che se ne faceva.  Una volta che la meccanica di Newton fu definitivamente accettata nei corsi accademici come l'unica teoria del moto possibile, la macchina di Atwood non servì più come dispositivo di dimostrazione del successo del paradigma newtoniano.  Il suo uso cambiò di conseguenza e divenne uno strumento didattico che consentiva diversi esperimenti illustrativi sulla caduta dei corpi, o anche solo sul moto uniforme o uniformemente accelerato (ma anche su altri fenomeni come la legge di Stokes).  

Riferimento principale: 

Salvatore Esposito, Edvige Schettino, Spreading scientific philosophies with instruments: the case of Atwood’s machine, arXiv:1204.2984v1 [physics.hist-ph], 13 April 2012

Darwin sperimentatore e la nascita della statistica dei dati biologici

 

Anche se aveva molti talenti, Charles Darwin non era un gran matematico. Nella sua autobiografia scrive di aver studiato matematica da giovane, ma ricorda anche che "mi ripugnava", pur riconoscendo che avrebbe voluto aver appreso i principi di base della matematica, "perché gli uomini così dotati sembrano avere un senso in più". 

Darwin non amava le complesse dimostrazioni e scrisse al secondo cugino William Darwin Fox il 23 maggio 1855: "Non ho fiducia in niente che non sia la misurazione effettiva e la Regola del Tre” (cioè le proporzioni semplici). Scrivendo a T. H. Huxley il 7 maggio 1860, confermava che “Dato che sembravi in qualche modo interessato ai cambiamenti nelle proporzioni dei piccioni, ti dirò i risultati generali dopo aver rielaborato l'intero argomento in ogni modo possibile e con l'aiuto di circa (più o meno) diecimila calcoli con la regola delle tre”. 

Fu un fiore selvatico, la linaiola comune (Linaria vulgaris), a cambiare le sue opinioni. Come riferisce in The Effects of Cross and Self-Fertilisation in the Vegetable Kingdom (1876), per i suoi esperimenti Darwin coltivò la pianta, che ha piccoli fiori ermafroditi, incrociò accuratamente alcuni fiori e ne autofecondò degli altri. Quando coltivò i semi, scoprì che gli ibridi erano più grandi e più forti di quelli provenienti dalla stessa parentela. 

“Alla fine, fui portato a fare gli esperimenti registrati nel presente volume dalla seguente circostanza. Allo scopo di determinare certi punti riguardo all'eredità, e senza pensare agli effetti di un ravvicinato incrocio, coltivai vicini due grandi letti di pianticelle autofecondate ed incrociate della stessa pianta di Linaria vulgaris. Con mia sorpresa, le piante incrociate, quando erano completamente cresciute, erano chiaramente più alte e più vigorose di quelle autofecondate. Le api visitano incessantemente i fiori di questa Linaria e portano il polline dall'una all'altra; e se si escludono gli insetti, i fiori producono pochissimi semi; cosicché le piante selvatiche da cui sono cresciute le mie piantine devono essere state incrociate durante tutte le generazioni precedenti. Sembrava quindi del tutto incredibile che la differenza tra i due letti di pianticelle potesse essere dovuta ad un solo atto di autofecondazione; e attribuii il risultato al fatto che i semi autofecondati non fossero ben maturati, per quanto improbabile fosse che tutti avrebbero dovuto essere in questo stato, o a qualche altra causa accidentale e inesplicabile. L'anno successivo, coltivai per lo stesso scopo di prima due grandi letti ravvicinati di piante autofecondate e incrociate del garofano, Dianthus caryophyllus. Questa pianta, come la Linaria, è quasi sterile se si escludono gli insetti; e possiamo trarre la stessa deduzione di prima, cioè che le piante madri devono essere state incrociate durante ogni o quasi ogni generazione precedente. Nondimeno le pianticelle autofecondate erano chiaramente inferiori in altezza e vigore a quelle incrociate”. 

Era stupito. Sebbene avesse sempre sospettato che la consanguineità fosse dannosa per le piante, non aveva mai pensato che potesse avere un effetto significativo entro una singola generazione. “In modo che le piante naturalmente incrociate erano in altezza rispetto alle piante autofecondate spontaneamente in un rapporto di almeno fino a 100 a 1”. 

Così ripeté l'esperimento con altri sette tipi di piante, compreso il mais, per una decina di generazioni per tipo. Aveva una idea brillante e, a quel tempo, nuova. Poiché lievi differenze nel suolo o nella luce o nella quantità di acqua potrebbero influenzare i tassi di crescita, piantò i semi in coppia: un seme impollinato in modo incrociato e un seme autoimpollinato in ogni vaso. Poi li fece crescere e ne misurò l'altezza. 

Il metodo adottato da Darwin era quello di confrontare ogni pianta autofecondata a una incrociata, in condizioni il più possibile uguali. Le coppie così scelte per il confronto erano germogliate nello stesso momento, e le condizioni del terreno in cui crescevano erano ampiamente rese uguali piantando nello stesso vaso. Necessariamente non erano della stessa discendenza, poiché sarebbe difficile nel mais autofecondare due piante nello stesso momento in cui nasce una progenie incrociata dalla coppia. Tuttavia, i genitori provenivano presumibilmente dallo stesso lotto di semi. L'evidente scopo di queste precauzioni era di aumentare la sensibilità dell'esperimento, facendolo dipendere il meno possibile dalle circostanze ambientali, e quindi il più possibile dalle differenze intrinseche dovute all’origine delle piante. 

Il metodo dell'accoppiamento, molto utilizzato nel lavoro biologico moderno, illustra bene come un appropriato disegno sperimentale riesca a conciliare due desideri, che a volte appaiono in conflitto. Da un lato si richiede la massima uniformità del materiale biologico, oggetto dell'esperimento, per aumentare la sensibilità di ogni singola osservazione; e, dall'altro, si vogliono moltiplicare le osservazioni in modo da dimostrare per quanto possibile l'affidabilità e la coerenza dei risultati. 

Come previsto, in media, gli ibridi erano più alti. Tra le sue 30 piante di mais, ad esempio, gli esemplari autofecondati erano alti solo l'84% degli ibridi. Ma Darwin era abbastanza esperto da non fidarsi semplicemente dell'altezza media di così poche piante. "Posso premettere - scriveva - che se prendessimo per caso una dozzina o una ventina di uomini appartenenti a due nazioni e li misurassimo, presumo sarebbe molto avventato formulare un giudizio da un numero così piccolo sulla loro altezza media. Ma il caso è alquanto diverso nelle mie piante incrociate ed autofecondate, poiché erano esattamente della stessa età, furono sottoposte dalla prima all'ultima alle stesse condizioni, e discendevano dagli stessi genitori. Quando sono state misurate solo da due a sei paia di piante, i risultati sono manifestamente di poco o nessun valore, tranne in quanto confermano e sono confermati da esperimenti fatti su scala più ampia con altre specie”. Poteva essere, si domandò, che le differenze di altezza nelle piante fossero solo variazioni casuali? Il suo risultato poteva essere più significativo, ma voleva essere in grado di stabilire di quanto. 

Per farlo, tuttavia, era necessaria la matematica. Perciò si rivolse a suo cugino, Francis Galton, che era un leader nel campo emergente della statistica. Galton aveva recentemente inventato la deviazione standard o scarto quadratico medio, che è un indice di dispersione statistico, vale a dire una stima della variabilità di una popolazione di dati o di una variabile casuale. 

“Poiché veniva misurato solo un numero modesto di piante incrociate e autofecondate, per me era di grande importanza sapere fino a che punto le medie fossero affidabili. Chiesi quindi al signor Galton, che ha molta esperienza in ricerche statistiche, di esaminare alcune delle mie tabelle di misura, in numero di sette, cioè quelle di Ipomoea, Digitalis, Reseda lutea, Viola, Limnanthes, Petunia e Zea”.

Galton non fu però di grande aiuto. Poteva calcolare la deviazione standard, ma non poteva usare quel numero per dire quanto fosse probabile che la differenza di altezza non fosse casuale. Inoltre, era abbastanza sicuro che ci fossero troppo poche piante per dirlo. Così rispose a Charles Darwin: 

“La determinazione della variabilità (misurata da quello che tecnicamente viene chiamato 'errore probabile') è un problema di maggior delicatezza di quello di determinare le medie, e dubito, dopo molte prove, che sia possibile trarre conclusioni utili da queste poche osservazioni. Dovremmo avere misure di almeno cinquanta piante per ogni caso, per poter dedurre risultati affidabili. Un fatto, tuttavia, relativo alla variabilità, è molto evidente nella maggior parte dei casi, anche se non in Zea mays, cioè che le piante autofecondate comprendono il maggior numero di esemplari eccezionalmente piccoli, mentre quelle incrociate sono più generalmente completamente cresciute. 

Se si arrivasse a conoscere che una serie segue la legge dell'errore o qualsiasi altra legge, e se d’altra parte si conoscesse il numero degli individui della serie, sarebbe sempre possibile ricostruire l'intera serie quando ne è stata data una frazione. Ma non ritengo che tale metodo sia applicabile in questo caso. Il dubbio sul numero delle piante in ogni riga [della tabella ricavata, NdR] è di minore importanza; la vera difficoltà sta nella nostra ignoranza della legge precisa seguita dalla serie. L'esperienza delle piante in vaso non ci aiuta a determinare tale legge, perché le osservazioni di tali piante sono troppo poche per permetterci di stabilire con precisione più che i termini medi della serie a cui appartengono, mentre i casi che stiamo ora considerando si riferiscono ai termini estremi di questa serie”. 

E la questione rimase a quel punto, in una frustrante incertezza, per 40 anni. 

Per risolvere l'impasse, ci voleva una Guinness. Nei primi anni del Novecento, la società produttrice di birra dublinese si dotò di un gruppo di ricerca per studiare in modo scientifico i parametri che influenzano la qualità della birra, applicando procedimenti che oggi prendono il nome di controllo di qualità. Un dipendente della Guinness, William Sealy Gosset, laureato in chimica e matematica, sviluppò un metodo di confronto fra campioni statistici che viene ampiamente usato ancora oggi in ogni campo, per esempio negli studi clinici di efficacia dei farmaci. 

A Gosset, tuttavia, non fu consentito di pubblicare il metodo con il proprio nome, perché Guinness voleva mantenere segreto il fatto che le statistiche potessero aiutare a produrre una birra migliore. Egli lo fece sotto lo pseudonimo di "Student", nel 1908. La tecnica è quindi diventata nota come “Student’s t-test”, un test statistico di tipo parametrico che ha lo scopo di verificare se il valore medio di una distribuzione si discosta significativamente da un certo valore di riferimento. 

Lo Student’s t-test fece ciò che Galton non sapeva come fare: data la deviazione standard calcolata da Galton, diceva quanto fosse probabile che la differenza di altezza tra gli ibridi e gli autofecondati fosse casuale. La risposta fu che la possibilità era di circa il 5%. Per gli standard statistici, è a malapena significativo. 

Ci vollero altri dieci anni e l'intervento di un altro genio statistico per la successiva svolta sul problema. Ronald Aylmer Fisher (1890-1962), un poliedrico biologo britannico che fu attivo come matematico, statistico e genetista. Per la sua opera nella statistica, è stato definito "la figura più importante nella statistica del XX secolo". In biologia, il suo lavoro utilizzò la matematica per combinare la genetica mendeliana e la selezione naturale; ciò contribuì alla rinascita del darwinismo nella revisione della teoria dell'evoluzione nota come sintesi moderna. Per i suoi contributi alla biologia, Fisher fu anche definito "il più grande successore di Darwin". 

Da studente universitario, Fisher venne a conoscenza dell’opera di Gregor Mendel sulla genetica e di quella di Darwin sull'evoluzione, ma la teoria che collegava le due non era ancora stata sviluppata. Fisher decise di creare la base statistica per rendere possibile la connessione. L'esperimento di Darwin con gli ibridi era proprio il tipo di problema che Fisher doveva essere in grado di risolvere. Notò qualcosa che Galton aveva ignorato: il metodo intelligente di Darwin per accoppiare le piante. Aveva calcolato la deviazione standard delle piante come un unico grande gruppo. 

Fisher rifece l'analisi ma calcolò la deviazione standard della differenza di altezza tra le coppie di piante in ogni vaso. Di colpo, invece di una possibilità del 5% che il risultato non significasse nulla, ottenne una possibilità dello 0,01%. In altre parole, era quasi certo che gli ibridi diventassero davvero più alti degli autofecondati. 

Fisher notò che lo Student’s t-test aveva un possibile difetto: presumeva che le altezze delle piante variassero in modo prevedibile (secondo una distribuzione normale, per essere precisi). Nel caso in cui tale ipotesi fosse stata sbagliata, escogitò un altro modo di analizzare i dati e confermò il risultato. Studiò la progettazione di esperimenti introducendo il concetto di randomizzazione e l'analisi della varianza, procedure oggi utilizzate in tutto il mondo. L'idea di Fisher era quella di organizzare un esperimento come un insieme di sotto-esperimenti suddivisi che differiscono l'uno dall'altro per l'applicazione di uno o più fattori o trattamenti. I sub-esperimenti sono progettati in modo tale da consentire di attribuire differenze nei loro risultati ai diversi fattori o combinazioni di fattori mediante analisi statistiche. Questo è stato un notevole progresso rispetto all'approccio allora esistente di variare solo un fattore alla volta in un esperimento, che era una procedura relativamente inefficiente. 

Fisher pubblicò il frutto della sua ricerca in due libri fondamentali, Statistical Methods for Research Workers e The Design of Experiments. Quest'ultimo introdusse diverse idee fondamentali, tra cui l'ipotesi nulla H₀ e la significatività statistica, che gli scienziati di tutto il mondo usano ancora oggi. 

L'analisi di Fisher fu possibile solo perché Darwin aveva progettato così bene i suoi esperimenti. In effetti, Fisher era spesso frustrato dalla qualità degli esperimenti di altre persone. "Chiamare lo statistico dopo che l'esperimento è terminato", disse in una conferenza a Calcutta nel 1938, "potrebbe essere nient'altro che chiedergli di eseguire un esame post mortem: potrebbe essere in grado di dire di cosa è morto l'esperimento". 

Secondo Fisher, “Il principale contributo di Darwin, non solo alla Biologia ma all'intera scienza naturale, fu l'aver portato alla luce un processo per cui a contingenze improbabili a priori viene data, nel corso del tempo, una probabilità crescente, fino a quando non è la loro mancata occorrenza, e non il loro verificarsi, che diventa altamente improbabile”. 

Ciò che poterono fare gli statistici con i dati di Darwin fu semplicemente una conseguenza dello sviluppo nel tempo della loro scienza, ma nessuno mai mise in dubbio la raffinatezza della sua procedura sperimentale.