Popinga: La trisezione del quadrato

giovedì 6 gennaio 2011

La trisezione del quadrato

I problemi geometrici sono tra le prime sfide matematiche intraprese dall’umanità. Quello di suddividere un quadrato in tre quadrati più piccoli, fra loro congruenti, che è collegato alla risoluzione del teorema di Pitagora, è fra questi. Per quanto sia risolvibile con il semplice uso di carta, penna, compasso e forbici, e sia abbastanza semplice da essere compreso da un bambino, esso ha occupato i matematici per secoli.

Il problema si inquadra in quello più generale di suddividere il quadrato in n quadrati congruenti utilizzando il minor numero di pezzi. Il caso più semplice si ha per n = 4, mostrato nella figura 1, dove è sufficiente tracciare le linee che uniscono i punti mediani del lati opposti.

Fig. 1

Il passo successivo è quello per n = 2. La prima soluzione che viene in mente è quella di disegnare le diagonali e poi unire a due a due i triangoli rettangoli ottenuti, come si vede in figura 2. Una seconda soluzione possibile consiste nel costruire un quadrato più piccolo con i vertici nei punti mediani dei lati. Il secondo quadrato, identico al primo, si ottiene assemblando i quattro triangoli rimanenti (fig. 3). La prima soluzione è preferibile, perché utilizza quattro pezzi invece di cinque.

Figura 2

Il caso n = 3 può essere così formalizzato: fornire una soluzione per la divisione di un quadrato in un numero minimo di poligoni più piccoli che possano essere riassemblati per dare tre quadrati identici più piccoli, la cui superficie sia un terzo di quella del quadrato di partenza.

Figura 3

Il problema fu soltanto sfiorato dai matematici della tarda antichità e del Medioevo che si occuparono della dimostrazione del teorema di Pitagora: il cinese Liu Hui (III sec. e. v.), l’astronomo e matematico arabo Thābit ibn Qurra' (826 – 901) e l’indiano Bhaskara Achārya (1114 – 1185). Furono tuttavia i musulmani, la cui religione dalle prescrizioni iconoclaste proibisce di rappresentare la figura umana nei luoghi di preghiera e conduce a un’arte sacra non figurativa e tendente alla stilizzazione e all'astrazione, i primi ad affrontare problemi di dissezione nella progettazione dei preziosi e complicati motivi geometrici a mosaico utilizzati per la decorazione delle moschee. Tra questi, come assemblare tre quadrati identici per costruirne uno più grande, utilizzando il minimo numero di partizioni.

Il persiano Abu l-Wafā al-Būzjānī (940 – 998), astronomo e grande innovatore della trigonometria sferica, fu il più grande geometra della sua epoca. Nel trattato in 13 capitoli Kitāb fīmā yahtāju ilayhi al-sani’ min al-a’māl al-handasiya (“Libro sulle costruzioni geometriche necessarie al lavoro degli artigiani”), redatto dopo il 990, egli si occupò della progettazione e collaudo degli strumenti da disegno, della costruzione di angoli retti, della trisezione degli angoli, della costruzione di parabole, dei poligoni regolari e dei metodi per inscriverli a o circoscriverli con circonferenza date, della divisione di superfici sferiche in poligoni sferici regolari. A proposito della suddivisione dei poligoni piani, scrisse:

“Ero presente a una riunione alla quale partecipava un certo numero di geometri e artigiani. Stavano discutendo sulla costruzione di un quadrato a partire da tre quadrati. I geometri tracciarono facilmente un segmento tale che il suo quadrato è uguale ai tre quadrati, ma nessuno degli artigiani era soddisfatto. Essi volevano dividere quei [tre] quadrati in pezzi dai quali si potesse assemblare un quadrato [più grande] (…) Alcuni degli artigiani posero uno di questi quadrati al centro e divisero il successivo lungo la sua diagonale e divisero il terzo quadrato in un triangolo isoscele rettangolo e due trapezoidi congruenti e li unirono assieme”.

Figura 4

La costruzione descritta dal matematico persiano è analizzata nella figura 4. Se assegniamo al piccolo quadrato centrale un lato unitario, allora il quadrato grande avra lato 1 + √2, che è più piccolo di √6, la diagonale di un quadrato di area 3. Pertanto la costruzione è sbagliata. Abu l-Wafā, spiegando che gli artigiani e anche i geometri (muhandis) spesso sbagliavano nell’assemblaggio dei pezzi dei quadrati più piccoli, affermò che i primi mancano di basi scientifiche, mentre i secondi mancano della pratica di cantiere. Egli diede la prima soluzione corretta del problema per n = 3 (figura 5), generalizzando la soluzione per dimostrare il teorema di Pitagora.

Figura 5

Una rappresentazione della sua generalizzazione si può vedere in molti dei mosaici della moschea Jameh di Isfahan, la più grande dell’Iran (Fig. 6).

Figura 6

Secondo Alpay Özdural (Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World. Historia Mathematica 2000; 27: 171-201), Abu l-Wafā al-Būzjānī fornì anche le soluzioni per n = 2, 5 e 9 (fig.7).

Figura 7

Figure 8-9

Più tardi il problema della trisezione del quadrato trovò ben due soluzioni, una con 8 e una con 9 pezzi. Si trovano in un manoscritto anonimo degli inizi del XIV secolo, intitolato A`mâl wa ashkâl, che si trova alla Biblioteca Nazionale di Teheran rilegato assieme a una copia del trattato di Abu l-Wafā della metà del XII secolo. L’opera, che è assai disorganizzata, apparendo più una collezione di appunti sparsi che un vero trattato di geometria, attribuisce il merito delle due soluzioni ad Abu Bakr al-Khalil al-Tajir al-Rasadi, anch’egli astronomo, matematico e geometra con forti legami con il mondo degli artigiani e dei costruttori. Le due soluzioni sono riprodotte nelle figure 8 e 9.

Figure 10-11

Figura 12

La suddivisione del quadrato tornò ad interessare i matematici solo tra il diciottesimo e il diciannovesimo secolo, con gli studi dello storico delle matematiche francese Jean–Ètienne Montucla (che nel 1799 propose e risolse il problema di suddividere un rettangolo in parti tali da poter essere ricomposte a formare un quadrato, e viceversa), dall’inglese Philip Kelland (che nel 1855 pubblicò la suddivisione in 4 pezzi di uno gnomone, cioè di una figura a L formata da tre quadrati identici), dal belga Paul–Jean Busschop (trisezione vera e propria con 8 pezzi, nel 1876) e, soprattutto, dal colonnello francese del genio M. De Coatpont (trisezione con 7 pezzi, nel 1876: vedi figura 10) e dal grande divulgatore e matematico ricreativo francese Edouard Lucas, l’inventore del rompicapo della Torre di Hanoi (trisezione con 7 pezzi, nel 1876: vedi figura 11).

Figura 13

Il matematico dilettante Henry Perigal (1801-1898) trovò intorno al 1840 la prima soluzione della trisezione del quadrato che utilizza solo sei pezzi (figura 12), ma pubblicò la sua procedura solo nel 1875 e la soluzione solo nel 1891. La sua soluzione è simile a quella proposta da Abu Bakr al-Khalil. La sua versione è asimmetrica, ma, traslando la diagonale lungo il taglio, ottiene due pezzi in meno, così come aveva fatto Kelland per la dissezione dello gnomone. Perigal riscoprì la stessa dissezione di Abu l-Wafā nel 1873 per dimostrare il teorema di Pitagora. Egli ritenne che la sua dimostrazione fosse la migliore, al punto da far preparare un’incisione da mettere sulla propria tomba (fig. 13).

Le due soluzioni di Perigal e quella di Abu l-Wafā si possono trovare nella visualizzazione interattiva Three Hinged Dissections of Squares di Izidor Hafner da “The Wolfram Demostration Project”, basata sull’opera di Greg N. Frederickson (richiede il download del software gratuito Wolfram Mathematica Player e poi del documento).

Figure 14-15

Nel corso del ventesimo secolo, sia Henry Dudeney, sia Samuel Loyd, entrambi matematici ricreativi, hanno pubblicato la soluzione di Perigal con sei pezzi. Più recentemente, Greg N. Frederickson ha trovato una soluzione simmetrica con 7 pezzi (figura 14) e Nobuyuki Yoshigahara ha trovato una dissezione con 9 pezzi utilizzando esattamente tre volte tre pezzi identici (che in realtà è una soluzione con 7 pezzi; figura 15). Ancor più recentemente nuove soluzioni sono state pubblicate su diverse pubblicazioni matematiche.

L’ultima soluzione in ordine di tempo è stata presentata da Christian Blanvillain e Jànos Pach dell’Istituto Federale Svizzero di Tecnologia di Losanna. I due ricercatori fanno notare come la soluzione di Perigal della trisezione con 6 pezzi non sia simmetrica, contrariamente a tutte quelle precedenti. Così hanno deciso di tentare una soluzione simmetrica utilizzando 6 pezzi. Essi hanno iniziato ad esaminare la soluzione errata di figura 16, utilizzata dagli artigiani prima che Abu l-Wafā proponesse la sua soluzione. Il problema in questa soluzione errata è che l’area dei due mezzi quadrati negli angoli è troppo grande. Ma se, come fecero gli artigiani del X secolo, una piastrella quadrata fosse tagliata usando la soluzione, l’errore sarebbe approssimativamente due volte l’1,7% dai due lati della banda centrale, cioè a malapena visibile.

Figure 16-17-18-19-20

Blanvillain e Pach si sono proposti di ridurre leggermente la lunghezza dei due spigoli dei due mezzi quadrati. La loro idea è stata quella di inclinare la banda mediana, senza preoccuparsi degli altri pezzi, fino a che essa raggiungesse i due tratti rossi, in modo che essa diventasse abbastanza grande perché il quadrato centrale fosse della giusta ampiezza (fig. 17). Poiché l’intera area occupata da un mezzo quadrato per rotazione della banda centrale è data dall’altro mezzo quadrato, questa trasformazione conserva la proprietà che interessa: l’unione dei due mezzi quadrati forma un quadrato di area pari a esattamente 1/3 di quella di partenza. Successivamente, per costruire un quadrato con la banda centrale, si è dovuto semplicemente traslare la parte complementare al centro (fig. 18), creando così il secondo piccolo quadrato.

La sua area equivale a 1/3 di quella e non si sovrappone al centro del quadrato più grande (fig. 19). Per simmetria, infine, si è potuto costruire il terzo quadrato ed ottenere la soluzione simmetrica con 6 pezzi mostrata dalla figura 20.

Lo stesso risultato può essere ottenuto, come dimostrano Blanvillain e Pach nel loro articolo, utilizzando per la costruzione il solo righello oppure il solo compasso. Il pregio di questa soluzione per la trisezione del quadrato consiste non solo nel basso numero di parti utilizzate, ma anche nella sua simmetria. Inoltre essa può essere la capostipite di un’infinita famiglia di soluzioni equivalenti. Non ultima considerazione è che tutti i sei pezzi hanno la stessa area, fatto finora unico (fig.21).

Figura 21

Come appendice all’articolo segnalo la curiosa visualizzazione interattiva Stepwise Trisection of a Square di Michael Schreiber da “The Wolfram Demostration Project”, nella quale un quadrato è trisecato da una serie geometrica di valori ripetuta dimezzando continuamente le dimensioni di tre dei quattro quadrati ottenuti congiungendo i punti mediani dei lati. Il quadrato rimanente è progressivamente riempito all’aumentare dei termini della serie. Al limite il quadrato è riempito completamente da tre poligoni equivalenti a forma di scala (fig. 22).