giovedì 7 febbraio 2013

Palle da cannone e pacchetti di sfere

La leggenda vuole che la notte precedente il 29 ottobre 1618, prima di essere decapitato per una presunta congiura contro re Giacomo I, dopo una dura detenzione durata quasi tre lustri, Sir Walter Raleigh abbia scritto la poesia The Lie, di cui questa è una strofa: 

Tell men of high condition, 
That manage the estate, 
Their purpose is ambition; 
Their practice only hate. 
And if they once reply, 
Then give them all the lie. 

In realtà l’opera era già comparsa in una raccolta miscellanea nel 1608 (e in un manoscritto del British Museum datato 1596), e probabilmente non è neanche sua. Mi piace tuttavia l’attribuzione romantica a un personaggio come Raleigh, favorito di Elisabetta I d’Inghilterra, esploratore, poeta, spia, corsaro, nonché colui che introdusse in Gran Bretagna la patata e il tabacco. 

Un’altra attribuzione a Raleigh, questa più veritiera, è quella di aver posto per primo il problema delle palle da cannone, il prototipo di quello generale dell’impacchettamento delle sfere.. Durante la sfortunata spedizione per insediare una colonia inglese sull’isola di Roanoke, vicino alla Virginia, tra il 1585 e il 1586, Raleigh chiese al matematico Thomas Harriot, che sulla nave fungeva da naturalista, astronomo e interprete (di lingua algonchina!), se era possibile sapere quante palle di cannone vi fossero in una piramide a base quadrata da esse formata, senza contarle una ad una. A quei tempi si costruiva un telaio di legno di forma triangolare o quadrata dentro il quale si impilavano le palle a piramide. In entrambi i casi si tratta di una struttura cubica centrata sulle facce, orientata diversamente rispetto al piano orizzontale. 

Harriot era il tipico intellettuale polivalente dell’epoca: matematico, fisico, astronomo, etnografo, fu in corrispondenza con Keplero. La relazione del viaggio in Virginia, in cui forniva anche gli elementi fondamentali della lingua dei nativi algonchini, uscì nel 1588 e resta l’unico testo pubblicato mentre egli era in vita. Alla sua morte lasciò ai suoi esecutori testamentari il compito di pubblicare un suo testo d’algebra, ma essi lo fecero rimaneggiandolo e togliendo le parti più innovative. Così l’Artis Analyticae Praxis, uscito postumo nel 1631, fu privato di inedite intuizioni sulle radici dei numeri negativi e sui numeri complessi. Il resto della sua opera scientifica, più di 400 fogli vergati con minuscola grafia, non fu stampato, finché non fu riscoperto tra il XIX e il XX secolo. Gli appunti astronomici di Harriot offrono la testimonianza delle sue precoci osservazioni telescopiche: essi contengono una mappa della Luna disegnata intorno al 1611, osservazioni dei satelliti di Giove fatte nello stesso periodo di quelle che Galileo pubblicò nel Sidereus Nuncius del marzo 1610, e appunti sulle osservazioni delle macchie solari che egli fece con il telescopio il 18 dicembre 1610, cioè qualche mese prima di quanto dichiarato da Galileo. 


Harriot non ebbe difficoltà a risolvere il problema posto da Raleigh. Se k è il numero di palle da cannone poste lungo il lato della piramide a base quadrata, il loro numero totale n è dato da:

 
Ad esempio, se k = 6, allora n = 91. I numeri che rappresentano le soluzioni dell’equazione sono chiamati numeri piramidali quadrati. I primi sono 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819 (Sequenza A000330 della OEIS-On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). 

Un’altra versione, più specifica, del problema delle palle da cannone chiede qual è il più piccolo numero di palle che può essere disposto in un quadrato n × n su cui poi si impilano altri quadrati di palle a formare una piramide alta k palle. In pratica, qual è il più piccolo quadrato che è anche un numero piramidale? La risposta è la soluzione più piccola dell’equazione diofantea:

   

Da cui risulta che k = 24, n = 70, che corrisponde a 4.900 palle. Nel 1875 Edouard Lucas congetturò che questa è anche l’unica soluzione possibile, e, nel 1918, George Neville Watson provò che aveva ragione. 



Più in generale, ci si può chiedere che cosa succede se la base della piramide è un poligono regolare qualsiasi. In pratica, quali sono i numeri piramidali triangolari, pentagonali, esagonali, ecc.? La formula generale, per una base a forma di poligono regolare con r lati è data da:

 

Nel caso particolare di una piramide a base triangolare (tetraedro), la formula diventa:


L’interesse di Thomas Harriot per le sfere non si limitava solo alle palle da cannone. Egli era un atomista nel senso classico del termine (come Democrito e Lucrezio), e pensava che la comprensione di come si impacchettano le sfere era fondamentale per capire come sono disposti i costituenti fondamentali della natura. Egli svolse numerosi esperimenti di ottica e divenne un’autorità in questo campo. Così, quando, nel 1609, Keplero gli scrisse per avere informazioni per dare maggiori base scientifiche alle sue teorie ottiche, l’inglese non solo gli inviò dati sul comportamento dei raggi luminosi che passano attraverso il vetro, ma gli espose anche le sue idee sul problema della disposizione delle sfere. 

L’effetto di queste idee deve essere stato notevole, visto che il tedesco pubblicò nel dicembre 1611 un libretto dal titolo Strena sue de nive sexangula (Sul fiocco di neve a sei angoli), che avrebbe influenzato la scienza della cristallografia nei due secoli successivi e che conteneva la cosiddetta congettura di Keplero sul modo più efficace di impacchettare le sfere. Egli sosteneva che non esiste alcun modo di sistemare delle sfere nello spazio con densità media superiore a quella dell'impacchettamento cubico a facce centrate o a quella dell'impacchettamento esagonale. La densità η di questi due modi di sistemare le sfere vale:

 

Secondo Keplero, nessun altro impacchettamento di sfere può avere una densità superiore.

Per quanto sia di facile comprensione, la congettura di Keplero si è dimostrata di assai difficile dimostrazione, resistendo ai tentativi di Gauss (1831) e di molti altri. Nel 1900 Hilbert la pose nella sua famosa lista dei 23 problemi non risolti della matematica. Nel 1953 l’ungherese Fejes Tóth dimostrò che il problema di determinare la massima densità di tutte le disposizioni di sfere, regolari ed irregolari, poteva essere ridotto a un numero finito, anche se molto grande, di calcoli, aprendo la strada a una dimostrazione per esaustione attraverso l’uso del computer. Tale dimostrazione è stata trovata da Thomas Hales nel 1998, applicando sistematicamente i metodi della programmazione lineare: essa consisteva di 250 pagine di annotazioni e 3 Gigabyte di programmi, dati e risultati. Molti matematici storcono tuttavia il naso quando sentono parlare di dimostrazioni ottenute grazie alle capacità di calcolo dei computer (lo abbiamo visto a proposito del problema dei quattro colori). I referee (presieduti dal figlio di Tóth) annunciarono nel 2003 che la commissione era “certa al 99%” che la dimostrazione fosse corretta, ma che non poteva garantire l’esattezza di tutti i calcoli fatti al computer. Hales si è allora impegnato a fornire una dimostrazione formale, che ancora deve arrivare.

3 commenti:

  1. Nella prima formula si è perso per strada un fattore k.

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  2. Mario Menin.
    La congettura di Keplero può essere affrontata in vari modi:impillamento libero o contenuto.
    Due sono essenzialmente i modi di impacchettamento: a base quadrata e a base triangolare..
    I due modi sono diversi e diversa la densità di impacchettamento.
    Una cassetta di 200x200x200 mm contiene 1186 sfere di d=20 mm impilate su base quadrata e
    1086 sfere dello stesso diametro impilate a base triangolare.
    Il volume della sfera è : V=4.186 mm^3, il Volume della cassetta è V=8.000.000 ; quindi la
    densità per l'impaccettamento a base quadrata è Vq= $.186x1.186=4.965.386/8.000.000=0,620;
    per l'impacchettamento a base triangolare é: Vt=4.186x1.086=4.545.996/8.000.000=0,568.
    Carta matita e compasso.

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