Oltre Bolt (matematica e 100 metri piani)

Usain Bolt, il fenomenale velocista giamaicano, ha dichiarato di voler portare il suo attuale record mondiale dei cento metri piani, che è di 9.58 secondi (ottenuto a Berlino il 16 agosto 2009), a 9.40 secondi. Che cosa può dirci la matematica a proposito? 

Se raggiungesse questo obiettivo, la velocità media di Bolt sarebbe di 10,64 m/s o 38,304 km/h. In realtà egli raggiungerebbe velocità superiori, perché si parte da fermo e la prima parte della gara è dedicata ad accelerare fino alla velocità di punta. Tale record di 9.40 era impensabile prima di lui, ma da questo atleta ci si può aspettare di tutto. Michael Johnson, ex primatista della distanza, ha detto che “Nessuno può prevedere i limiti di Usain Bolt”. 

Per sapere se Bolt riuscirà nel suo proposito dobbiamo solo aspettare, ma l’ambiziosa prestazione solleva la domanda se esiste un limite invalicabile che nessun atleta potrà mai superare. Se questo limite esiste, dove si colloca? Ad esempio, ci sarà mai un record sotto i 9 secondi? 

Non esiste alcun dubbio che i record mondiali sono fatti per essere battuti. In qualche caso ciò è avvenuto in maniera spettacolare, come ha fatto lo stesso Bolt, oppure come fece il saltatore in lungo Bob Beamon alle Olimpiadi di Città del Messico nel 1968, quando migliorò il record mondiale di 55 cm, portandolo a 8,90 m, misura che è rimasta insuperata per 23 anni!

 

Più di frequente i record sono limati qua e là, pochi centimetri nelle gare di salto o di lancio, pochi centesimi di secondo nelle gare di velocità. 

Dal punto di vista matematico, la sequenza dei record mondiali in una disciplina atletica fornisce una successione decrescente di numeri reali che tende a un limite. Ciò perché anche Bolt, con tutti i superlativi accumulati, non può correre a velocità infinita. Una tale successione deve convergere a un limite matematico l: un numero al di sotto del quale essa non si spinge, ma al quale si avvicina sempre più. Formalmente:

   

Ciò tuttavia non risolve il problema, perché il ricorso a una proprietà dei numeri reali non dice dove si collochi questo limite, che potrebbe anche essere 0. Nel linguaggio di tutti i giorni ciò vorrebbe dire che non esistono limiti al record del mondo. Non c’è dubbio che i record sono migliorati e i tempi di gara sembrano avvicinarsi sempre più a un limite. Ma quando si parla di convergenza, queste conclusioni affrettate possono essere pericolose. Pensiamo ad esempio alla serie armonica

   

Per quanto ad ogni passo si sommino numeri sempre più piccoli, la serie continua a crescere senza un limite: è divergente. 

Facciamo finta che un immaginario record del mondo dei 100 metri fosse esattamente di 10 secondi nel 1970. Inoltre ipotizziamo che questo record si riduca di 1/10 di secondo nel decennio seguente, poi di ulteriori 5/100 di secondo nel decennio successivo, continuando con valori sempre più piccoli nei decenni ulteriori, basando l’intera costruzione sulla serie armonica. Paragoniamo queste riduzioni con quelle effettive del record del mondo ufficiale fino a oggi: 

il miglioramento del nostro record del mondo immaginario è più lento di quello reale, sicuramente dal 1990 in poi. Nel k-esimo decennio dopo il 1970, assumiamo che il nostro record del mondo “armonico” immaginario sia dato dall'espressione

   

La divergenza della serie armonica ci assicura che questo record del mondo continuerà a ridursi oltre ogni limite, sebbene ci vorrà un’eternità perché ciò avvenga. Per calcolare il numero di anni necessari per raggiungere un record di 9 secondi netti, possiamo usare l’approssimazione alla somma della serie armonica, e risolvere l’equazione

   

dove è la costante di Eulero-Mascheroni, il cui valore approssimato è 0,57721. Come previsto, dovremo aspettare a lungo per un record sotto i 9 secondi: ci vorranno 1.236 secoli! Se ci interessa sapere il tempo necessario per raggiungere un record di 0 secondi, ebbene si tratta di aspettare 1,5 × 10⁴² secoli. 

Questo tipo di calcoli potrebbe sembrare inutile, ma fornisce un dato interessante. Se la riduzione dell’effettivo record del mondo può uguagliare o migliorare le piccole riduzioni del record del mondo armonico, non ci saranno limiti al record effettivo. Questa riduzione potrebbe anche richiedere meno tempo, anche se sarà sempre misurato in millenni. 

Esiste pertanto la possibilità teorica che non ci sia un limite al record del mondo e i risultati cronometrici sono inesorabilmente destinati a scendere. I metodi di allenamento migliorano continuamente, atleti eccezionali appaiono sulla scena. L’alta quota e un vento favorevole alle spalle (entro il limite consentito di 2 m/s, che può contribuire a “limare” fino a 1/10 di secondo) possono dare una mano. Su tempi più lunghi, esiste anche un miglioramento della fisiologia umana secondo le linee tracciate dall’evoluzionismo. Gli uomini potrebbero un giorno correre i 100 metri i 5 secondi, ma saranno diversi dagli uomini così come sono ora. 

C’è un altro fattore da considerare. Sin dai tempi di leggende storiche come Jesse Owens, la misurazione dei tempi di gara si è fatta sempre più accurata. Con approssimazioni sempre più piccole (dal secondo, al decimo, al centesimo), oggi la frequenza di record migliorati si è accresciuta. La svolta nella tecnologia cronometrica avvenne negli anni ’60, quando l’americano Jim Hines per primo superò la barriera dei 10 secondi nei cento metri con il tempo di 9.95, alle Olimpiadi messicane. Il record è durato 15 anni, ma poi è stato migliorato 12 volte. 

Ciò che potrebbe impedire al record di avvicinarsi allo 0 potrebbe risiedere proprio nella fisiologia del genere umano. Se ciò fosse vero, ci si potrebbe chiedere dove potrebbe cadere il limite quando gli atleti non saranno più in grado di migliorare la prestazione cronometrica. Questo fatto interessa gli scienziati dello sport da generazioni, in quanto essi vedono cadere anno dopo anno i record atletici e si chiedono quando non non potrà più succedere. Sulla base della nostra esperienza, è impensabile immaginare un record di 5 secondi, che corrisponderebbe a una velocità media di 72 km/h, quella di uno scooter. Logicamente non possiamo escluderlo: semplicemente non lo sappiamo. 

Un utile approccio è fornito da un modello matematico. La maggior parte dei modelli in questo contesto tenta di adattare le coordinate dei record (in un diagramma anno/tempo in secondi, ad esempio) a delle curve e poi dedurre dalle proprietà asintotiche di queste curve dove si potrebbe collocare un limite inferiore. Una delle curve usate è la curva logistica, che sembra adattarsi molto bene ai valori a nostra a disposizione. Questa curva indica un limite inferiore per il record del mondo. La debolezza di questo adattare dati e curve risiede nel fatto che esse non fanno riferimento alle scienze sportive e la fisiologia è completamente trascurata. 

Nella figura, ad esempio, la linea blu rappresenta il record del mondo reale per i 100 metri maschili tra gli anni 1912 e 2002. La linea rossa è la curva logistica estrapolata fino al 2162: si tratta del grafico di una funzione del tipo

  

dove i parametri a, b e c sono scelti in modo che la curva si adatti il più possibile ai valori reali. In questo caso il limite inferiore indicato dalla curva logistica è di 9.48 secondi. Il grafico è stato realizzato dall'australiano Kevin Duffy nel 2002, quando il record del mondo era detenuto da Tim Montgomery con il tempo di 9.78. Oggi, dopo Bolt, i parametri utilizzati vanno rivisti. 

Ciò di cui abbiamo bisogno è una teoria scientifica completa che unisca la fisiologia alle velocità. In quale modo l’apporto di ossigeno, il ritmo cardiaco e i molteplici fattori che contribuiscono alla corsa si traducono nella velocità di un atleta? Senza una tale teoria tutte le previsioni di un limite al record del mondo sono pie illusioni. Il modello visto sopra prevede che il limite che gli esseri umani non potranno mai superare sia di 9.48 secondi. Ma è stato fatto nel 2002 e non sappiamo ancora ciò che è in grado di fare Usain Bolt. E, soprattutto, non sappiamo che cosa potranno fare gli uomini del futuro. 

Questo articolo è tratto in gran parte da No limits for Usain di Tony Crilly, Emeritus Reader in Scienze Matematiche alla Middlesex University, che si può trovare sul bellissimo sito allestito in occasione delle prossime Olimpiadi di Londra dall’Università di Cambridge, intitolato Maths and Sport: Countdown to the Games (clic sull'immagine sopra). Le risorse raggiungibili dalla homepage del sito, completamente gratuite, vanno da attività per studenti dai 5 ai 18 anni, in gran parte provviste di una guida per l’insegnante, e articoli rivolti a un pubblico più adulto, tutte con lo scopo di esaminare gli sport olimpici dal punto di vista matematico e scientifico in generale.

Formule complicate per numeri semplici

Capita certe volte che si facciano a qualcuno che sa di matematica delle domande sorprendenti o per lo meno inattese. È ciò che è capitato al matematico francese André Brouty, che insegna all'Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications (ENST), la più prestigiosa scuola di ingegneria nelle telecomunicazioni di Francia. Un giorno un’amica, per festeggiare i 50 anni di un suo collega, gli ha chiesto una formula matematica il più possibile complicata che valesse 50! Ora, una formula può essere resa complicata all’infinito, non esiste una formula che sia la più complicata possibile. Brouty ha interpretato la richiesta facendo ricorso a quel senso estetico che non manca mai ai matematici, scrivendo tre formule sufficientemente complicate che potessero anche soddisfare l’occhio. Ne riporto una:

nella quale si trovano i principali simboli della matematica superiore. 
Ma come nasce questa formula? Procedendo per gradi, si scompone il numero in modo conveniente e si sostituiscono i componenti con formule note di cui si conoscono i valori. Brouty ha fatto così:

In cui cominciano ad apparire logaritmi ed esponenziali. Ormai sulla buona strada, il matematico francese si è poi occupato del 2 che compare davanti al logaritmo:

 

Il π è il limite di numerose serie e di integrali, il che porta a giocare a complicare ancor di più la formula. Ad esempio si può scrivere, con la formula di Wallis per in numeratore e con l’integrale di Gauss per il denominatore:

 e

 

Sistemato il 49, cioè la parte della formula che precede il segno –, ora si considera l’1. Come non ricorrere alla bellissima identità di Eulero?

 da cui:

 Con un tocco di classe finale, Brouty scrive il π secondo la formula di Leibniz per π/8:

 

E così Brouty ha terminato la sua mostruosa costruzione per il piacere dell’amica. Come ho detto, ne ha concepite altre due, ma le risparmio al lettore. 

Colui o colei che mi ha seguito fin qui di certo perdonerà una mia chiosa finale. A novembre compirò, ahimè, 57 anni. Partendo dalla prima parte della formula di Brouty, quella che vale 49, voglio esprimere l’8 che manca in qualche maniera complicata, per scrivere un’espressione della mia età:

E, poiché

Ancora dalla funzione gamma di Eulero esplicitata per n=2 ottengo:

 

Mentre l’esponente 3 può essere reso moltiplicando per 3 la serie telescopica di Mengoli, che converge a 1 per k→∞:

 L’8 da aggiungere al 49 lo esprimo pertanto così:

 

E il 57 infine diviene:

 

Non so il lettore, ma io mi sono divertito, proprio per l’inutilità dell’esercizio, oppure per la sua assoluta necessità ‘patafisica. 

Questo articolo è dedicato agli amici Patrizia Barchi, Carmelo di Mauro e Moreno Colaiacovo.

Christopher e almeno una mucca

Sotto le palme di un atollo tropicale

oziava un ∃ (quantificatore esistenziale).

Sdraiato sull'erba 

risolveva un cruciverba 

con le lettere scritte al contrario del normale. 

Christopher è il bambino affetto dalla sindrome di Asperger, una forma di autismo, protagonista del delizioso romanzo Lo stano caso del cane ucciso a mezzanotte di Mark Haddon (Einaudi, 2005), che spesso riserva qualche considerazione matematica. Eccone una, che riporto dall’edizione originale accompagnata dalla mia traduzione: 

“And I realize that I told a lie in Chapter 13 because I said "I cannot tell jokes," because I do know 3 jokes that I can tell and I understand and one of them is about a cow, and Siobhan said I didn't have to go back and change what I wrote in Chapter 13 because it doesn't matter because it is not a lie, just a clarification.

And this is the joke. 

There are three men on a train. One of them is an economist and one of them is a logician and one of them is a mathematician. And they have just crossed the border into Scotland (I don't know why they are going to Scotland) and they see a brown cow standing in a field from the window of the train (and the cow is standing parallel to the train). 

And the economist says, "Look, the cows in Scotland are brown." 

And the logician says, "No. There are cows in Scotland of which one at least is brown." 

And the mathematician says, "No. There is at least one cow in Scotland, of which one side appears to be brown." 

And it is funny because economists are not real scientists, and because logicians think more clearly, but mathematicians are best”. 

(Mark Haddon, The Curious Incident of the Dog in the Night-time, Doubleday, 2002) 

“E mi rendo conto che ho raccontato una bugia nel Capitolo 13 perché ho detto “Non posso raccontare storielle”, perché io in realtà conosco 3 storielle che posso raccontare e io capisco e una di loro è su una mucca, e Siobhan* ha detto che non devo tornare indietro e cambiare quello che ho scritto nel Capitolo 13 perché non importa perché non è una bugia, solo una spiegazione. 

E questa è la storiella. 

Ci sono tre uomini su un treno. Uno di loro è un economista e uno di loro è un logico e uno di loro è un matematico. E loro hanno appena passato il confine con la Scozia (non so perché stanno andando in Scozia) e vedono dal finestrino del treno una mucca marrone ferma in un campo (e la mucca è ferma parallela al treno). 

E l’economista dice, “Guardate, le mucche in Scozia sono marroni”. 

E il logico dice, “No. Ci sono mucche in Scozia delle quali almeno una è marrone”. 

E il matematico dice, “No. C’è almeno una mucca in Scozia, della quale un fianco appare essere marrone” 

Ed è divertente perché gli economisti non sono veri scienziati, e perché i logici pensano più chiaramente, ma i matematici sono il meglio”. 

*Siobhan è la insegnante di Christopher, che lo sta aiutando a scrivere un libro. 

“At least one” (“almeno uno”) è il termine matematico che significa uno o più. Si usa nelle situazioni in cui l’esistenza può essere stabilita ma non si conosce come determinare il numero totale delle soluzioni. Se per un dato problema si può determinare almeno una soluzione, si può dire che esiste una soluzione per quel problema. In insiemistica e in logica ciò si indica con il quantificatore esistenziale ∃. Spesso i matematici cercano di provare l’esistenza di soluzioni (attraverso il cosiddetto teorema d’esistenza) e poi indagano sulla loro unicità (attraverso il cosiddetto teorema di unicità). Se si riesce a determinare che un dato problema ha una e una sola soluzione, si utilizza invece il quantificatore esistenziale di unicità ∃!. La forma di questi quantificatori è quella di una E maiuscola rovesciata, l’iniziale della parola inglese Exists (esiste). 

Come avrebbe potuto formalizzare la sua frase il matematico (e anche il logico, concediamolo) sul treno diretto in Scozia? 

Forse, usando il linguaggio dell’insiemistica, avrebbe fatto così: 

X = l’insieme delle mucche scozzesi 

x = una mucca 

m = ha un fianco marrone. 

∃ x ∈ X / m 

“Esiste almeno una mucca che appartiene all’insieme delle mucche scozzesi che ha un fianco marrone”. 

Sul fatto poi che gli economisti non siano dei veri scienziati, forse il nostro Christopher ha ragione.

Riferimento: Weisstein, Eric W. "At Least One." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.   http://mathworld.wolfram.com/AtLeastOne.html

La natura e il fanciullo

Oggi i bambini escono sempre meno di casa e la loro conoscenza del mondo naturale è frutto quasi esclusivamente della televisione. Così sanno magari molto sulla vita del leone o del coccodrillo, che hanno visto in uno dei tanti documentari naturalistici di cui sono pieni i palinsesti, ma non hanno mai visto una capra con i propri occhi e ignorano totalmente le pianticelle che crescono sui muri, nei campi o lungo le strade. Chissà che cosa direbbe oggi Pierina Boranga (1891-1983), valente maestra elementare, amante della natura e divulgatrice scientifica di prim’ordine, la cui opera fu fondamentale per far conoscere gli ambienti ecologici e indirizzare l'attenzione dei ragazzi all'osservazione scientifica. 

Negli anni Venti, Pierina Boranga incominciò una lunga collaborazione con l’editore Paravia, che si concretizzò inizialmente in una trilogia intitolata La natura e il fanciullo, con volumi dedicati rispettivamente ai muri, alla strada e alle siepi, pubblicati tra il 1925 e il 1926 e poi ristampati tra il 1952 e il 1954. Nella prefazione al primo volume, scriveva con rammarico che “non è possibile ancora affermare che in Italia si sia formato un vero senso di rispetto e d’amore alla natura. Troppe volte ancora si offre ai nostri occhi lo spettacolo disgustoso e malinconico di fronde strappate, di tappeti erbosi devastati, di fiori divelti e poi abbandonati, di prati insudiciati dai rifiuti delle colazioni (…); troppo ancora si permette lo sfruttamento delle nostre belle piante dei boschi e dei monti a scopo di lucro, fino alla distruzione di specie rare ricercatissime”. E non c’era ancora stato il sacco del territorio e il motorizzato e ciabattante turismo di massa! 

Per l’autrice la colpa dello scarso rispetto per la natura è dovuta allo “scarso spirito d’obbedienza che noi Italiani sfortunatamente abbiamo” che si aggiunge a una “insufficiente educazione, rilevata, purtroppo anche all'estero”, perché al nostro popolo “manca tuttora una preparazione, anche elementare, per intenderla”. E così prosegue, in un testo che, ripeto, compie quest’anno 87 anni: 

“Pensiamo alla vita di scuola dei nostri ragazzi di città e di campagna, al modo col quale i programmi di conoscenze naturali sono, in generale, svolti; allo scarso contatto degli scolari con la natura [sic!]; alla deficienza dei sussidi didattici, coi quali essi hanno fatto i primi passi nella conoscenza di questa nostra superba famiglia di piante e d’animali; si pensi inoltre che la maggior parte della nostra gente, dopo la scuola elementare, non sente parlare che di politica, d’interessi e di affari, e ci si potrà rendere ragione del disamore e degli atti vandalici deplorati. (…) 

A tutta prima sembrerebbe lecito dopo queste considerazioni, di ritenere responsabili di questo stato di cose i maestri di scuola. Ma a loro volta essi non possono dare ciò che non hanno avuto. Salvo qualche eccezione, noi siamo usciti dalla scuola che ci ha dato il titolo di insegnanti con una cultura, in fatto di botanica e di zoologia, limitata a nomi e definizioni apprese sempre sui libri, mai sugli organismi vivi; anche per noi sono esistiti due mondi: quello del libro e quello della natura del tutto separati, quasi che l’uno non sia al servizio dell’altro. (…) Ed è avvenuto quindi quello che si poteva prevedere. I maestri (…) hanno preferito, anche nelle scuole di campagna, fare lezioni di botanica fra le pareti dell’aula, anziché all’aperto, dove i mille perché dei ragazzi che sanno guardare, li avrebbero messi in imbarazzo. E quando per buona ventura essi accompagnano i ragazzi a fare una passeggiata in campagna, lungo il cammino, generalmente, anche oggi, parlano di tutto, fuorché di quelle meraviglie che passano dinanzi agli occhi dei fanciulli”. 

Un duro attacco contro la cultura libresca, dunque, che anticipa la parte propositiva, lo scopo dei tre volumi della Boranga: far conoscere ai bambini la natura guardando la natura, imparando ad amarla e rispettarla, perché “Nessun giocattolo li può appagare meglio, nessun divertimento li rende più docili e più calmi, così come nessuna lezione di morale va diritta al loro cuore quanto quella che silenziosamente impartisce loro la natura. (…) Ma se non è difficile per il fanciullo studiare la vita di relazione di piante e animali come avviene in natura, è invece assai difficile per l’educatore guidarlo in simile studio, perché egli non ebbe dalla scuola che doveva preparalo ad un simile insegnamento la cultura necessaria, e perché tuttora gli mancano i libri adatti a formarsela, senza eccessivo dispendio di tempo”. 

Gran parte dei libri di botanica e zoologia sono troppo specialistici o incompleti, perché poco spazio dedicano all’identificazione delle piante più comuni. “Ed ecco la ragione di questo libro, che non ha altro merito se non quello di rappresentare un modesto sforzo di volontà per cooperare a colmare una lacuna”. Un libro per i maestri, dunque, che istruisca gli educatori a conoscere la flora spontanea dal vivo e a saper rispondere ai mille perché dei bambini. 

Il primo volume de La natura e il fanciullo è dedicato ai muri, che, nuovi o in rovina, arsi dal sole o coperti di muschi e licheni, “danno danno ricetto a migliaia d’insetti e di piante, le quali, per vivere in tale ambiente, povero di mezzi necessari alla loro esistenza, vi si adattano in modo curioso e sorprendente”. Il nemico più grande delle piante che vivono sui muri è la siccità, alla quale la vegetazione cerca di porre rimedio in modi diversi, come lunghe radici filiformi o fusti e foglie in grado di immagazzinare riserve d’acqua. “Quasi tutte queste erbe hanno fiori senza profumo e spesso sono di colore non vivace, portati su peduncoli lunghi e sottili per essere maggiormente esposti alle scosse del vento, poiché in generale esse sono anemofile, cioè raggiungono la fecondazione incrociata per azione del vento”. Così Pierina Boranga presenta ad esempio, la Parietaria: 

Parietaria, o Erba vetriola o Muraiola (Paritaria officinalis): 

Anche questa è una pianta comunissima nei muri, ma si può trovare anche sulle macerie o lungo le vie. 

Si distingue per il colore dei fusticini e dei picciuoli che hanno l'aspetto di piccoli tubi di vetro rossastro, e dai fiorellini, raggruppati all'ascella delle foglie in glomeruli di un verde molto più chiaro delle foglie, leggermente ravvivati da punticini di colore rosso vivo che sono gli stigmi in forma di minuscoli ciuffetti. 

Questa particolarità si nota maggiormente nei fusti che hanno perduto molte foglie. 

È interessante osservare come la pianta si comporta sul muro per dare modo a tutte le sue foglioline di godere i beneficii dell'aria e del sole. Si ha un esempio di solidarietà perfetta e di rispetto reciproco dei diritti di ciascun membro per il bene di tutta la famiglia. 

Molte foglioline, per non recare danno alle più piccole sottostanti, quando non possono allungare di molto il picciuolo, arrivano persino al sacrificio di limitare il loro sviluppo. 

Si può far osservare anche un altro particolare, non comune, di questa pianta. 

In essa le foglie più larghe sono all'apice anziché alla base del fusto: per quale ragione? I ragazzi potranno rispondere a questa domanda osservando l'aspetto della pianta alla base, e lo scarso sviluppo del picciuolo in queste foglioline più basse. Sembra che la pianta, per eccitare i fusti ad allungarsi e a lasciare spazio anche a queste ultime, li abbia messi in gara, concedendo un premio a quello che arriverà più lontano. 

A questo punto riterrei utile, per lo scopo prefissoci nel far studiare le erbe dei muri, di far osservare ai ragazzi le bellezze di questa pianta che non risaltano facilmente come nella Linaria. La disposizione e la forma delle foglioline all'apice dei fusti sono un perfetto modello di sobrietà e di armonia di linee. Il loro colore, che va da un tono di verde intenso ad un giallo chiaro, è di un effetto stupendo. 

Ma v'è un'altra caratteristica interessante da rilevare nella Vetriola. È noto come nelle piante sia il fiore l'organo specifici) della riproduzione. Ma i fiori, per l'impollinazione incrociata, che è la più propizia ad una prole robusta, hanno frequentemente bisogno, come nel nostro caso, di speciali mezzi. 

Quale richiamo possono mai offrire questi fiorellini di un colore insignificante e poco distinguibile dalle foglie?

Ma la Provvidenza ha messo a disposizione di questa umile pianta accorgimenti speciali. 

Sopra ogni cespo, gli uni su gli altri, stanno tre specie di fiori: fiori che non hanno bisogno di ricevere il polline da altri, perché usufruiscono di quello prodotto dalle loro antere; fiori che invece producono polline senza riceverne ed infine fiori che hanno pistilli capaci di trattenerlo. Dai fiori più alti di ogni spiga sporgono soltanto gli stili con gli stimmi pronti a ricevere i granuli di polline «mentre i fiori da cui le correnti d'aria traggono il polline sono i più bassi e gli stimmi già disseccati. Il polline deve salire». (Kerner di Marilaun). 

Quando gli stami di questi ultimi, curvati in dentro e fissati con le antere sotto lo stimma fatto a pennello, sono maturi, si raddrizzano di scatto, le antere si aprono e spandono una nubecola che va ad impollinare i fiori circostanti. 

Lo scatto può essere provocato stuzzicando con una punta gli stami curvi, i quali, se sono prossimi alla maturazione, si drizzano istantaneamente lanciando il polline. 

Aiutiamo il fanciullo ad osservare bene i fiori con una lente. Stanno fitti fitti, formando un manicotto morbido attorno al fusticino all'ascella delle foglie. Che meravigliosa armonia di linee in ciascuno, anche se al guardarli ad occhio nudo sembrano insignificanti o brutti! 

Ma non si è ancora detto di questa pianta una cosa essenziale in rapporto all'ambiente in cui vive. Di quali mezzi essa dispone per salvarsi dalla siccità? 

Se ogni alunno potrà osservare da vicino un rametto gli sarà facile rilevare che il fusto, fragilissimo come vetro, donde il nome di Erba vetriola, oppure Erba cristallina, contiene molta acqua e che, specialmente se un po' grosso, è ricoperto da una epidermide spessa e pelosa. 

E le foglie, che non sono carnosette come quelle della Linaria e nemmeno otricelli come nella Pignola, sono rivestite da moltissimi peli lucidi e molli che formano un fitto strato lanoso sopra le due pagine. 

Questa abbondanza di peli non è ignota al fanciullo che si serve dei rametti della pianta per gioco, attaccandoli sulla schiena dei compagni o sul viso o sul dito della mano. Quando non ne sa il nome, la ricorda per questa particolarità e la chiama «erba che attacca». 

E qui conviene appunto parlare della funzione dei peli, che hanno il compito di impedire la eccessiva traspirazione. 

Le foglie della Parietaria non sono, dunque, serbatoi d'acqua, ma in compenso sono difese dalla perdita d'acqua da una fitta selva di peli che intimano l'alt all'umore prezioso affinché non se ne vada al richiamo del sole e dell'aria esterna. 

Invece i peli ispidi e setolosi che circondano i frutti hanno un altro compito: essi devono difenderli dalla avidità degli animaletti in viaggio sul muro in cerca di semi: chiocciole e formiche. 

Sarà buona cosa far toccare ai fanciulli una pianta cresciuta in un luogo umido ed una in un luogo arido per far notare la quantità differente di peli nell'una e nell'altra, poiché le piante, per un principio assoluto di economia, eliminano sempre tutto ciò che è loro superfluo. Si facciano anche sradicare alcune piante. La resistenza che esse opporranno potrà dare un'idea dello sviluppo della radice, munita di un fittone lungo talora tre o quattro volte più di alcuni fusti, che penetra validamente negli interstizi dei muri in cerca di umidità. 

La Parietaria dunque, non avendo come la Linaria e la Pignola, foglie capaci di serbare l'acqua, dispone, in compenso, d'una radice che può assolvere bene il compito di assicurare l'umidità necessaria alla pianta in quantità sufficiente, esplorando molto spazio del substrato. 

I ragazzi, nell'atto della sradicatura, vedranno cadere molto terriccio, che era stato trattenuto dai rami più bassi vicini al muro e dalle foglie appiccicaticce, perché i semi dei rami sovrastanti, cadendo, possano trovarvi subito possibilità di germinazione. 

Non è raro il caso di vedere rilucere sulle foglie di qualche pianta con semi già pronti, la bava argentea lasciata, sul loro passaggio, da queste ultime, evidente prova anche del servizio che certamente hanno recato alla pianta stessa. 

Ultime a cadere, nella Vetriola, sono le foglie all'apice dei fusticini, i quali, appunto verso la fine della stagione buona, rimangono provvisti di un ciuffetto caratteristico, simile ad una piccola stella verde. Si faccia cogliere e osservare una foglia fresca e bene sviluppata. Le sue nervature sono disposte in modo che pare di vedere infilata nel lembo una forchetta a tre punte. (Kerner di Marilaun) 

Quando incomincia a perdere la sua freschezza, questa pianta diventa arruffata e sudicia; le sue foglie appiccicaticce hanno trattenuto un po' di tutto: terriccio, peli, festuche, insetti morti; assomigliano alle tasche e ai cassetti di molti bambini!... 

La Vetriola è medicinale. Con essa si fanno infusi che hanno potere rinfrescante; una manciata di pianta fresca o secca (meglio se fresca) in un litro di acqua bollente, aromatizzata con scorza di limone, ha azione diuretica ed espettorante, combatte l'asma e la tosse. 

Con la pianta fresca, lavata, pestata si fanno cataplasmi da applicare sui tumori, sulle ferite e sui foruncoli. È adoperata pure per pulire bicchieri, bottiglie e vasi di vetro che lascia tersi e lucenti in virtù dei peli fitti di cui è tutta ricoperta e di una sostanza alcalina (potassica) che agisce da ottimo detersivo. 

Temi d'osservazione: 

- Osservare una pianta di Erba vetriola cresciuta sui muri ed una cresciuta in un luogo ombroso, e rilevare i caratteri uguali e quelli diversi. 

- Disegnare, per ciascuna delle due piante, il contorno di una foglia. 

Il secondo volume della Boranga è dedicato alla strada, e si apre con una capitolo dal bellissimo titolo Poesia e virtù delle erbacce. Nelle strade il traffico e la polvere distruggono la vegetazione spontanea: “quivi è il regno del lastricato e dell’asfalto”. Ma, non appena la manutenzione viene sospesa e la strada si inoltra nella periferia e poi nella campagna, subito appare “un tenue e bizzarro ricamo verde di pianti cine, le quali, sentita la possibilità di vivere, con la solerzia loro propria, inizierebbero gioiosamente il ciclo della loro esistenza”. (…) “Aspra e selvaggia talora, più spesso tenera e gaia, questa vegetazione che la natura fa crescere accanto all’uomo, sia nel luogo più umile che negli ambienti più rigogliosi, cela meraviglie e segreti degni di essere conosciuti”. 

Le siepi costituiscono l’argomento del terzo volume de La natura e il fanciullo. “La siepe, come mezzo di difesa dei campi, è creata dall’uomo, che pianta successivamente attorno alla sua proprietà uno o più specie di arbusti, in prevalenza spinosi e molto ramosi. Talvolta vi unisce alberelli, tenuti bassi da frequenti potature. Ma nella siepe si trovano anche altre piante generate spontaneamente da semi portati dal vento o dagli animali; piante che vi fissano dimora trovando in essa l’ambiente adatto per vivere e per crescere. Sono piante rampicanti, volubili e ombrofile. Alle prime la siepe offre appoggi e sostegni, alle altre l’ombra necessaria ai loro tessuti delicati. In questo consorzio vegetale le piante si aiutano a vicenda nella difesa dalla eccessiva insolazione e dalla siccità, comuni loro nemici. Ma uno ne hanno dal quale non possono difendersi da sole: il bruco vorace. Soltanto gli uccelli, e soprattutto quelli che amano costruirsi il nido tra gli arbusti della siepe o nei grovigli dei rami spinosi, possono salvare le piante dalla devastazione certa dell’inesorabile divoratore”. Tra le specie illustrate nel volume ho scelto il Rovo per terminare l’illustrazione di questa importante opera di divulgazione naturalistica italiana. 

Rovo (Rubus fruticosus L.). 

È il leone della siepe: domina e strazia. È perennemente in agguato con i suoi rami inarcati o tesi. Come il re della foresta, questo selvaggio esemplare del mondo vegetale, sfoggia sulla siepe elementi estetici di primo ordine, cosicché si potrebbe ritenerlo, a tutta prima, una pianta ornamentale e inerme. 

Invece fusti, foglie, grappoli di fiori, tutte le parti insomma della pianta, sono provviste di innumerevoli punte aguzze con le quali si difendono e offendono. Questo sanno benissimo i fanciulli che, avidi dei suoi frutti, le more selvatiche, ritornano dalla cerca con graffi e strappi. (…) 

Furono i Romani a dare a questa pianta e a quelle affini il nominativo di «rubus» da «ruber» che vuoi dire «rosso» dal colore del frutto e dei rami di alcune specie. Ma non le sarebbe tornato male anche l'appellativo di «robur», «forza», poiché tutta la pianta ne è una manifestazione. Una forza un po' prepotente, anche presa a prestito, perché questo frutice, se non trovasse sostegno nella siepe, dovrebbe rimanere sdraiato sul terreno ad allungare i suoi rami sull'erba. Somiglia un poco a certi messeri che tutti abbiamo conosciuti nella vita. Già: in questo mondo naturale che vive sotto i nostri occhi, v'è tutta una gamma di esemplari, riflettenti, qual più qual meno, le miserie e le grandezze umane: basta saper guardare! 

Ad affrontare le armi di questa pianta-leone occorre o il pungolo della gola, come nei fanciulli, o le robuste cesoie del potatore, manovrate con prudenza ed abilità. (…) 

L'avidità dei ragazzi per i frutti del Rovo trova una giustificazione nell'istintivo bisogno che essi hanno di ingerire elementi di prima necessità, come quelli contenuti nelle more: zucchero, acidi vegetali, sostanze minerali, sostanze peptiche che si trovano spesso riunite nei frutti selvatici. Le more del Rovo agiscono anche come purgante leggero. È pertanto errato vietare ai fanciulli di mangiarle. 

La farmacopea ufficiale non ha disdegnato di segnalare questo prodotto naturale per la preparazione di sciroppi e di marmellate rinfrescanti. Le foglie usate in decozione servono come astringente e trovano buon impiego nella cura del diabete. 

Ma che cosa è questo frutto del Rovo? Che cosa è mai questo piccolo, umile dono che il selvaggio Rovo offre ai fanciulli e agli uccelli verso la fine d'estate? 

I fanciulli lo sanno: è un insieme di piccole palline, prima verdi, poi rosse, ed infine nere che si chiamano drupe. Tutto il frutto è una drupa multipla. 

Oh, ammaliatrici more che sorridete, lustre e rubiconde, tra il fogliame, e inducete il fanciullo a non aver pietà né delle sue mani né delle sue vesti, attratto dal vostro richiamo prepotente! E forse è la stessa lotta che egli deve sostenere con i vostri rami, che s'attaccano spietati alla sua pelle e ai suoi indumenti, a incitarlo nella raccolta. Tutto ciò che è motivo d'ardimento e di lotta piace al fanciullo sano e normale. 

Egli sa anche come deve fare a cogliere le more: con un colpettino garbato stacca dal peduncolo il cono del frutto che è formato dal ricettacolo spugnoso, ricoperto dalle piccole drupe, un po' flaccide, se mature. Al peduncolo rimane attaccato il calice persistente. 

Peduncolo, ricettacolo: due nomi nuovi forse per il fanciullo. Ve chi ritiene di dovere evitare denominazioni scientifiche insegnando la storia naturale ai fanciulli, e non si capisce il perché. Il periodo della fanciullezza corrisponde al tempo più felice per la memoria; conviene approfittare inserendo nell'insegnamento quell'esercizio di nomenclatura esatta da affidare alla memoria, che farà guadagnare tempo in seguito. 

Nel succhiare il frutto, il fanciullo è qualche volta infastidito da peluzzi ruvidi che gli rimangono sulla lingua: si tratta dei resti dei filamenti di stami superstiti rimasti tra le drupe. Talvolta, accanto ad un frutto ricco di drupe, se ne trova un altro con un cuscinetto bruniccio di stami: è un fiore disseccato che non poté essere fecondato e non divenne frutto. 

Il grande numero degli stami è una caratteristica del fiore del Rovo e delle altre rosacee in genere. I suoi petali, quando i fiori sono maturi, ne sono per gran parte coperti; ma ciò non danneggia la visibilità agli insetti, anzi la favorisce, perché gli stami, essendo brunicci, danno maggior risalto al fiore. La corolla è l'unica parte debole e delicata di questa pianta. Ha vita brevissima: la sua esistenza si conclude in poche ore. 

Quando il bocciuolo biancastro si apre, i cinque petali appaiono raggrinziti come se entro l'astuccio del boccio fossero stati rinserrati senza cura. Qui veramente la natura ha commesso una in¬giustizia nel confronto con le altre innumeri corolle che si aprono sotto il sole. Si direbbero fatte di carta velina logora. I fiori sono anche sprovvisti di nettare. 

Caduti i petali, i sepali si abbassano e stanno come scodelline cave aderenti al gambo. 

Nel centro degli stami si sviluppano gli stili e quindi, tra il groviglio ed il seccume degli stami, ecco apparire le gaie perline. A mano a mano che il ricettacolo si gonfia e si allunga, tutte le successive drupe trovano spazio e posto per maturare al sole. 

Le foglie stanno a tre o cinque riunite insieme in foglia composta. Si faccia osservare come i picciuoli spesso presentino una speciale curvatura o torsione che è in relazione con lo spostamento al quale sono sottoposte, o tutta la foglia o le singole foglioline, in conseguenza della posizione di ciascuna e delle condizioni di illuminazione. Esse, pur mantenendosi quasi sullo stesso piano, possono così avvantaggiarsi nel miglior modo possibile dello spazio e della luce disponibili. 

Si osservino i rami protesi ad arco al di sopra della siepe e che, in bilico, oscillanti per il loro stesso peso, quasi animati da un senso di vita, sembrano lanciare ai passanti la sfida: «Chi vuole misurarsi con noi?». 

Essi sono muniti di cestole rossastre in rilievo, quasi muscoli tesi. Da esse affiorano in ordine sparso gli aculei del medesimo colore sanguigno dei rami e dei picciuoli, tutti rivolti verso il basso, pronti, come i canini degli animali da preda, ad afferrare ed a lacerare. Se i tralci, sotto la pressione del loro stesso peso, si abbassano fino a toccare terra, dalle loro gemme apicali si sviluppano radici. Ciò spiega il propagarsi rapido e invadente dei cespugli primitivi di Rovo, tanto che riesce quasi impossibile estirparli del tutto. 

Un'altra caratteristica di questa forte pianta è data dalla sua resistenza alle intemperie e al gelo. Sulle siepi spesso mantiene le foglie fino all'inizio d'inverno, anche nei climi freddi ed umidi. Quando la massa delle sue foglie si è notevolmente ridotta ed esse, intaccate e corrose, stanno per cedere alla morte, allora si colorano di un rosso-intenso e di violaceo come i frutti in via di maturazione. 

E intanto nel terreno, in vari punti vicini e lontani, i semi caduti attendono, s'è necessario anche più anni, le condizioni favorevoli per dare vita a nuove piante, avendo essi il privilegio di conservare a lungo il loro potere germinativo. 

È bene sapere che con le foglie e i getti giovani del Rovo si fa un decotto adoperato per gargarismi contro le infiammazioni di gola, delle gengive, delle tonsille.

Tecnici

Arriva il tecnico ad aggiustare la lavatrice. La smonta, la rimonta, la prova, la fa funzionare. Poi rassicurante sostiene: “Adesso è a posto. Ho sostituito la pompa e pulito lo scarico. Può subito fare un bucato”. Il giorno dopo la lavatrice non scarica e l’acqua è rimasta nel cestello. Un lavoraccio togliere il bucato fradicio e svuotare la macchina. 

Quel tecnico ha perso la mia fiducia: non lo chiamerò più. 

Il 29 febbraio 2012 il Primo Ministro tecnico, Mario Monti, assicura in un’intervista a Repubblica che “Lo spread non si allargherà di nuovo” dopo essere sceso a quota 338. Aggiunge : "L'imprevedibilità degli spread non è trascurabile ovviamente, ma nel caso dell'Italia stiamo assistendo a un costante e graduale declino nelle ultime settimane. E sinceramente non vedo nessun motivo per cui questa tendenza possa cambiare". Poco più di un mese dopo, durante il suo viaggio in Estremo Oriente, il tecnico Monti si sente di poter dire che "La crisi è superata, l'Italia è solida". Davanti alla platea del Boao Forum for Asia, la Davos d'Oriente, il 1 aprile il Presidente del consiglio fa sapere di non preoccuparsi perché "la crisi dell'Eurozona è superata" grazie al "più solido sentiero imboccato dall'Italia". L'Italia, quindi, prima "osservata come una possibile fiamma nell'incendio" si trova ora fuori pericolo. 

Mentre scrivo lo spread è a 424, in aumento, l’indice di borsa FTSE-MIB è negativo e la disoccupazione, soprattutto giovanile, ha raggiunto livelli davvero allarmanti, la riforma del mercato del lavoro ha di fatto aumentato la precarietà e cancellato le garanzie contro le discriminazioni politiche e sindacali. Il paese è in recessione. 

Perché dovrei fidarmi di questo tecnico? Quello delle lavatrici, tutto sommato, fa meno danni.

In hoc signo vinces (di Anna Maccagni)

"Buffone! Millantatore!" gridavano i senatori della Serenissima. Il frastuono delle voci era assordante, ma più terribile ancora era lo sguardo gelido del doge. "La sfrontatezza di quest'uomo è imperdonabile! – tuonò un anziano. – Sostiene di essere il vero erede dei Comneni e ci offre il gran magistero dell'Ordine Costantiniano in cambio di denaro. Ma con chi crede di parlare? Sono ormai tre secoli che circolano titoli e onorificenze costantiniane, più o meno false, dispensate da individui che affermano d'avere sangue imperiale nelle loro vene!" 

Per la prima volta in vita sua, Giovanni Comneno si sentì perduto. La loquacità, con cui aveva ammaliato e confuso mercanti e signori, villani e prelati di mezzo mondo, sembrava svanita di fronte allo sdegno di quei nobili padri. Forse questa volta aveva davvero esagerato! Si guardò attorno spaventato, cercando d'indovinare dove fosse la porta che conduceva alle segrete del palazzo. Aveva sentito parlare degli sventurati che marcivano in quell'oscurità senza tempo; bastava una semplice denuncia anonima per finire sepolti in una cella dagli umidi muri, ricamati dal flusso e riflusso delle maree. Forse anche lui… ma no, non poteva finire così! Non c'era nessuno in grado di smascherarlo: egli era Giovanni Andrea Angelo Flavio Comneno, duca di Tessaglia e di Moldavia, principe di Macedonia, conte di Drivasto e Durazzo. Non avrebbero osato fargli del male: era l'ultimo discendente di quella lunga serie di Flavi, Angeli, Comneni, Lescaris e Paleologi che avevano imperato sulle terre d'Oriente. C'erano i documenti a provarlo e l'elegante calligrafia del falsario di Smirne era ancora ben leggibile, nonostante fossero passati molti anni… Egli era il Gran Maestro del sacro Ordine equestre della milizia angelico-aurata Costantiniana e sfidava chiunque a dimostrare il contrario! 

"Via! Mandatelo via! Non m'importa chi sia: questo Consiglio non ha tempo da perdere né con visionari né con imbroglioni!" ordinò infine il doge. 

Le voci sul rifiuto del senato si diffusero ben presto. La famiglia del Comneni si ritrovò bandita dalla migliore società veneziana. Risate velenose e mormorii di disprezzo inseguivano l'erede dei Flavi lungo le calli, rimbalzando tra le case di campielli solitari. Imbroglione! Ciarlatano! gorgogliava l'acqua, sciabordando spinta dalla brezza di mare. 

Il Comneno, che aveva fatto conto sul denaro che la cessione del maestrato gli avrebbe fruttato, cominciò a sentire l'odore della povertà. Malediceva il giorno in cui aveva accettato di sposare la sorella del Mandricardi: le ricchezze che donna Virginia e il conte Giuseppe dicevano di possedere si erano rivelate del tutto illusorie e così, oltre a se stesso e alla figlia che aveva avuto da una precedente relazione, si trovava costretto a mantenere anche la moglie e il cognato. 

La situazione era quasi disperata, quando da un piccolo stato lombardo – in cui si diceva che la gente crescesse a butirro e formaggio  –  giunse un uomo interessato ad acquistare il titolo di Gran Maestro. Gli occhi di Giovanni Comneno tornarono ad illuminarsi della strana luce che sempre lo accendeva quando credeva di avere il mondo tra le mani. 

"Onori, ricompense, ricchezze! Ma ci pensate? E voi che non credevate alle mie parole…" 

"Già, già… Ma questa volta a trattare ci sarò io, caro cognato – lo tacitò il conte. – Se è vero che il Farnese può pagare simili somme, converrete con me che non è proprio il caso di rischiare un altro insuccesso! Innanzi tutto occorre la massima segretezza: non vorrei che a qualche spione venisse il ghiribizzo di riferire le parole dette in Gran Consiglio; allora sì che sarebbero guai!" 

Il Mandricardi, che aveva ereditato dagli avi di Zante l'arte sottile del mercanteggiare, giocò bene le sue carte. Agitando con sapienza lo spauracchio del doge, che l'emissario del Farnese temeva di veder rientrare nella partita, chiese ed ottenne più di quanto non avesse mai sperato. In poco tempo la famiglia del Comneno fu pronta a lasciare Venezia. 

Infuriava la guerra per la successione al trono di Spagna e sul piccolo ducato immiserito gravava il peso degli acquartieramenti delle truppe imperiali; ma furono tanti gli onori con cui furono accolti i profughi, che essi pensarono di aver trovato il paese della cuccagna. Subito vennero fatti i preparativi per la cerimonia che avrebbe visto il duca rivestito del nuovo titolo. 

"Io, Giovanni Andrea Angelo Flavio Comneno, rinuncio al gran maestrato dell'imperiale angelico-aurato Ordine Costantiniano sotto il titolo di San Giorgio martire e della regola di San Basilio, in favore del duca Francesco e dei figliuoli discendenti, eredi e successori di lui in perpetuo" affermò solennemente l'uomo che si proclamava nipote dei Cesari. 

Mancava soltanto l'approvazione del papa e dell'imperatore. E quando, dopo vari maneggi e con una copiosa profusione di denaro, essi riconobbero nel Farnese la nuova dignità, piovvero le ricompense. Al Mandricardi toccò la castellania di Bardi, mentre il Comneno, provvisto di una pingue pensione, divenne castellano di Piacenza tra lo sconcerto dei cittadini, che non sapevano spiegarsi perché fosse stato scelto proprio quello straniero dall'accento cantilenante. Ma tante erano le cose che i piacentini non sapevano; una di queste era che all'interno del convento dello Spirito Santo languiva suor Maria Costanza della Croce, la figlia di Giovanni Comneno, monacata a forza per ragioni di stato. 

Non appena a Piacenza cominciò a circolare lo scritto De fabula equestris Ordinis Constantiniani, gli avversari di Francesco Farnese gongolarono. La soddisfazione di possedere l'opera del marchese Maffei si tramutò ben presto in un atto di sfida, quando si sparse la voce che il duca stava facendo il possibile per requisire tutte le copie esistenti nelle terre d'Italia. 

"Che cosa pensa d'ottenere? – malignarono in molti. – Tutta l'Europa ormai sa del raggiro e ride della sua dabbenaggine. Lui fa finta di niente, mostrandosi severo e altezzoso, ma chissà come si rode il fegato!" 

Non avevano tutti i torti: il Farnese si stava davvero consumando dalla rabbia, anche se non lo dava a vedere per paura di offuscare la sua immagine di principe rigoroso e di cristiano irreprensibile. Rigido e bacchettone, mal sopportava i giochi e gli scherzi, i motti arguti e le schermaglie; odiava le allusioni, i doppi sensi e tutte quelle sottigliezze verbali che, essendo privo di vivacità e d'ironia, non comprendeva e temeva. Non aveva preso nulla dal padre, il prodigo, fastoso e splendido Ranuccio; non appena gli era succeduto, aveva licenziato musici, buffoni e nani, tutta quella gaia corte per la quale il genitore aveva dilapidato somme favolose. Francesco si compiaceva di quel nuovo rigore, senza rendersi conto che ogni cosa, attorno a lui, illanguidiva nella tristezza e nella mediocrità. 

Ma, tra l'impegno ad escogitare nuove tasse, come quella prescritta per l'uso di cuffie e parrucche, e il tentativo di destreggiarsi tra i contendenti della guerra che insanguinava la Lombardia, il duca aveva avuto il tempo di concedersi un piccolo regalo: il gran maestrato dell'Ordine Costantiniano. Sì, perché l'uomo intransigente, che amava le privazioni, aveva sempre coltivato la segreta ambizione di ottenere qualche alta onorificenza che gli desse prestigio, forse parendogli poca cosa l'essere duca di uno staterello. Non avrebbe mai ammesso con nessuno questa sua debolezza e meno che mai di essere disposto a pagare per soddisfarla. Così, con gran riserbo, si era accaparrato a peso d'oro il titolo di Gran Maestro, facendo credere d'esserne diventato cessionario per alti meriti. I crucci che lo avevano afflitto, giacché l'uomo che lesina su tutto difficilmente si priva del suo a cuor leggero, furono ben poca cosa rispetto alle sofferenze che stava patendo per l'opera dell'erudito veronese. 

"Imbroglio? Raggiro? Che ne sa quel Maffei? – andava rimuginando il duca. – Solo un veneto è capace di simili bassezze! Celebre letterato? Ma via, non diciamo sciocchezze!" E intanto cercava di capire chi avesse indotto il marchese a scrivere quell'orribile dissertazione che infangava la memoria del povero Comneno e screditava il nome dei Farnese. Scipione Maffei aveva pubblicato il testo a Parigi… Che c'entrasse la Francia? No, non era possibile! Francesco pensava piuttosto al governo della Serenissima che, dopo aver rifiutato il maestrato, ora si ribellava all'idea che fosse un altro a godere dei privilegi conferiti da quell'alta carica. Sì, più ci pensava e più era sicuro che l'ispiratrice dell'opera fosse Venezia. 

"On à supprimè la lettre que le Marquis Maffei, homme sovrainement habile, a ècrit l'an 1712 sur la fable des Chevaliers de Constantin; parceque se savant homme demontroit trop evidement ce qu'il avoit entrepris de prouver" 

Con un gesto di stizza, Francesco Farnese chiuse il volumetto e cominciò a misurare la stanza a grandi passi. Era furioso e nel pallore del viso risaltavano soltanto gli zigomi arrossati. 

"Via, non prendetevela!" – lo consigliò padre Tajani, chinandosi a raccogliere il libro che il duca aveva lasciato cadere. Era la famosa Dissertazione sopra il duello, che Jacopo Basnage aveva dato alle stampe l'anno precedente.

 "E' facile per voi parlare in questo modo! Sono quasi dieci anni che in Europa si ride di me, da quando quel Maffei ha osato mettere in dubbio la mia qualità di Gran Maestro; ed ora le sue calunnie vengono riprese da altri… Leggete, leggete pure! Uno acquista un libro per provare diletto, sfoglia le pagine ed ecco, a tradimento, quelle parole che feriscono come tante pugnalate. Mi pento di non aver dato retta a chi mi domandava l'autorizzazione d'uccidere il marchese!" 

"Duca, duca… Non dite così! Posso ricordarvi che cosa rispondeste in quell'occasione? La proposta che mi fate troppo si disdice a un principe e troppo più a un cristiano, così diceste. Ricordate? Sono queste le parole che il pontefice vuol sentire da voi". 

Francesco Farnese guardò il gesuita venuto da Roma. Era alto, belloccio, di quella bellezza un po' florida e molle che poteva far pensare a un carattere mite e benevolo; ma bastava osservare la bocca stretta e sottile, gli occhi piccoli e freddi per cogliere la vera natura del soldato della milizia di Sant'Ignazio. 

"Questo prete sarebbe capace di fare e di dire qualsiasi cosa nell'interesse del papa  – pensò il duca, sentendo il rancore montargli dentro.  –  Parla di carità e di bontà, quando sa benissimo che la clemenza di Roma nei miei confronti è stata pagata con moneta sonante". Teneva al titolo di Gran Maestro più di ogni altra cosa al mondo; l'aveva bramato e desiderato con quell'intensità che solo i fanciulli provano per un balocco che forse non possederanno mai. Aveva sborsato fior di quattrini per ottenerlo, ma era stata così grande la sua soddisfazione che si era quasi convinto di essere stato chiamato da una volontà superiore a guidare l'antico e sacro Ordine. Nonostante i dispiaceri causati dal Maffei, si era cullato in quel sogno e lo coltivava con amore. Era un giocattolo fragilissimo, effimero come la porcellana più fine; bastava il respiro di chi era a conoscenza della verità per farlo incrinare. No, non poteva gradire la presenza del gesuita, che in ogni momento gli ricordava cose che aveva deciso di dimenticare… 

Padre Tajani colse l'ombra che offuscava lo sguardo del duca e subito cercò di porvi rimedio, usando le parole che la sua grande abilità persuasiva man mano gli suggeriva. 

"Pensate davvero che il papa non vi abbia nel cuore? Non dimenticate che vi ha difeso dagli attacchi del principe di Zweibruecken; senza chiedere nulla in cambio, questo pontefice vi ha dato ragione e vi ha accordato rendite, privilegi e onori non certo disprezzabili!" 

Quelle parole agirono sul Farnese come un balsamo miracoloso, portando sollievo al suo animo piagato da mille sospetti. Ricordava ancora il ricorso presentato da Gustavo Leopoldo, principe di Zweibruecken, il quale pretendeva di essere il vero Gran Maestro della dorata milizia Costantiniana. Quante sofferenze, quanti dispiaceri! Gli era persino venuto il sospetto che Giovanni Comneno l'avesse ingannato. Oh, ma poi si era pentito di quei pensieri poco cristiani! La bolla solennissima di Clemente XI, che dichiarava insussistenti le pretese del tedesco e che riconosceva invece i suoi diritti, era la prova che non era stato raggirato. Erano piuttosto i suoi nemici a ordire trame, a macchinare in segreto per rovinarlo; egli era la vittima di un grande complotto che partiva da Venezia e arrivava chissà dove. Oh, ma aveva capito gli oscuri disegni che miravano a distruggere la sua credibilità! Era l'invidia ad animare quei signori, pura e semplice invidia per il gran magistero che l'ultimo e unico erede dei Comneni gli aveva ceduto. In hoc signo vinces erano state le parole che il grande Costantino aveva visto in cielo prima di sconfiggere Massenzio. In hoc signo vinces avevano proclamato solennemente i cavalieri del Sacro angelico imperiale Ordine Costantiniano; Federico Barbarossa, Riccardo Cuordileone, Filippo II di Francia, Casimiro di Polonia e tanti altri re ed imperatori sembravano a Francesco benevoli numi tutelari. In hoc signo vinces: era ormai sicuro che nessuno più avrebbe osato discutere la sua carica. 

All'illustrissimo Cardinale Legato di Bologna. 

Eccellenza, è con grande soddisfazione che posso annunciarvi che sono state ritrovate le tracce dell'uomo che il Santo Padre fa ricercare. Sembra che l'Alberoni abbia trovato ricetto nel Vostro distretto, dove vivono alcuni dei suoi più fedeli amici. Sono certo che troverete utile quest'informazione e che presto potrete procedere all'arresto del Cardinale. 

Non occorre che ricordi alla Signoria Vostra l'aiuto prezioso che il duca Francesco ci ha offerto in questo frangente e le indicibili diligenze che ha usato per scovare la dimora dell'Alberoni: l'arresto di certi fiorenzuolani e l'invio d'uffiziali a frugare nelle case di alcuni signori, con i quali il Cardinale ha avuto commercio di lettere, sono opera sua. Finché il gran maestrato rimane in cima ai suoi pensieri, ritengo che il duca continuerà a servire con coscienza gli interessi della Santa Chiesa Romana. Rammentate con quanta sollecitudine rispose all'invito di Sua Santità, che chiedeva a tutti i principi cristiani d'intervenire nel Peloponneso contro il turco Acmet? Persuaso che la Macedonia, la Moldavia e la Dalmazia fossero sue in virtù della cessione a lui fatta dal Comneno, in un batter d'occhio inviò in quelle provincie il battaglione Costantiniano di ben seicento fanti. Bastò fargli credere che, una volta liberati dai Mussulmani, quei luoghi sarebbero tornati in suo possesso perché accorresse per primo. 

Ho dovuto ripetere fatti già noti, e di questo chiedo perdono all'Eccellenza Vostra, ma sono convinto che una loro analisi permetta di comprendere a fondo il duca, che è e rimane una pedina molto importante. Egli, non dimentichiamolo, ha bisogno di noi per difendersi dagli attacchi che gli vengono mossi in merito all'Ordine Costantiniano. A questo proposito mi è giunta notizia che è stato pubblicato a Ratisbona l'albero genealogico di un certo Gian Antonio Lazier, da Perlò della Val d'Aosta, calzolaio di professione. Costui, che si fa chiamare Gian Antonio de Flavi, Angeli, Comneni, Lascaris, Paleologi, sembra che intenda provare la sua discendenza per retta linea maschile dall'imperatore Emanuele II Paleologo e conseguentemente gl'incontrastabili diritti suoi al gran maestrato dell'Ordine suddetto. Il nostro duca è andato su tutte le furie e pensa di ribattere per iscritto, anche se a me non pare buona cosa che un sovrano debba prendersi la briga di confutare le tesi di un ciabattino. Sarebbe una provvidenza che tale opera non vedesse la luce delle stampe, perché le ragioni che il Farnese adduce sono miserabili e ridicole insieme, e le ingiurie petulanti e maligne. 

Nell'attesa di poter fornire altre notizie, mi raccomando alla benevolenza della Signoria Vostra. 

Di Piacenza, nel giorno 25 di febbraio 1721 

padre Giuseppe Tajani S. J.

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Uno dei racconti piacentini ancora inediti di Anna. È tratto da una storia vera: l’Ordine Costantiniano, nato dall’invenzione di un impostore e dalla dabbenaggine di Francesco Farnese, è tuttora esistente e intrattiene rapporti ufficiali con il Presidente della Repubblica.

Marat, l’ottica e la Rivoluzione

Sembra piuttosto strano trovare fra i precursori del concetto di lente gravitazionale il nome di Jean-Paul Marat. Sì, proprio lui, l’inflessibile giacobino, colui che è stato accusato di aver ordinato i massacri del settembre 1792 e di aver portato alla ghigliottina il chimico Lavoisier; Marat, l’Amico del Popolo ucciso nella vasca da bagno da Charlotte Corday e ritratto in un famoso quadro di David.

Non tutti infatti sanno che Marat, oltre che giornalista e politico, fu sperimentatore di fisica. Nato nel 1743 a Neuchâtel, acquisì una cultura medica da autodidatta; a ventidue anni si trasferì in Gran Bretagna, dove diventò massone e ottenne nel 1775 la laurea in medicina nell’università scozzese di St. Andrews. Tornato in Francia l’anno successivo, fu nominato medico delle guardie del Conte d’Artois, il fratello del re. La sua abilità gli consentì una rendita cospicua, con la quale poté comprare la strumentazione scientifica per eseguire esperimenti su vari soggetti, in particolare sul fuoco, i fenomeni elettrici e quelli ottici.

Il periodo più intenso della sua attività sperimentale fu tra il 1778 e il 1782. Le sue principali opere sul calore (Recherches physiques sur le feu, 1780), la luce (Découvertes sur la lumière, 1780) e l’elettricità (Recherches physiques sur l’électricité, 1782) furono pubblicate in quegli anni. Marat godette di un certo  prestigio presso una parte della popolazione colta: i suoi libri furono tradotti e pubblicati in Germania, recensiti da giornali importanti e citati nelle opere di altri filosofi naturali e sperimentatori. Anche Alessandro Volta fece una visita al laboratorio di Marat, durante la quale espresse il suo scetticismo che adirò Marat e originò una mutua inimicizia.

L’Accademia delle Scienze parigina nominò per due volte delle commissioni affinché assistessero ai suoi esperimenti e ne facessero una relazione. Nel 1778, ai quattro accademici incaricati si aggiunse Benjamin Franklin, che partecipò a una serie di visite al laboratorio di Marat per verificare la sua teoria sulla natura del calore. Nella memoria che aveva presentato, Marat sosteneva che il fluido igneo – diverso dal fluido dell'elettricità e della luce – è costituito di corpuscoli pesanti e trasparenti, il cui movimento produce gli effetti del calore. Il rapporto ufficiale della commissione, pubblicato il 17 aprile 1779, fu abbastanza favorevole, anche se non si pronunciava sull'esistenza del fluido igneo.

Nel 1780, invece, quando la commissione fu chiamata a osservare il suo lavoro nel campo dell’ottica, il rapporto fu intenzionalmente redatto con mesi di ritardo, ed era breve ed evasivo. In Découvertes sur la lumière (Scoperte sulla luce), Marat esprimeva esplicitamente la sua intenzione di correggere un dogma fondamentale della teoria dei colori di Newton, il che equivaleva a un atto di lesa maestà, perché l’autorità dell’inglese era indiscussa. I membri dell’Accademia serrarono i ranghi contro di lui, rifiutando di prendere in considerazione le sue idee. Il fatto che, con il senno di poi, sia risultato che Marat avesse torto non giustifica una chiusura così preconcetta alla luce delle conoscenze che si avevano allora di ottica. Le indagini di Marat sulla curvatura della luce quando passa vicino alla superficie degli oggetti, fenomeno riportato per primo dal gesuita italiano Francesco Grimaldi in un’opera postuma nel 1665, ponevano l’attenzione su una classe di fenomeni poco indagati, che avrebbero potuto dimostrarsi di importanza cruciale per lo sviluppo della disciplina.

L’osservazione comune che un’intensa sorgente di luce disegna un’ombra ben definita porta naturalmente all’idea che i raggi di luce viaggino lungo linee perfettamente rette. Negli esperimenti condotti in una camera oscura, tuttavia, Grimaldi scoprì una leggerissima deviazione della luce quando passa accanto ai bordi degli oggetti. Una lama di coltello posta tra la finestrella e il disco di luce produce un’ombra sul disco. Ci si aspetterebbe, se il senso comune non inganna, che una linea perfettamente retta colleghi la fessura, l’estremità della lama del coltello e l’estremità dell’ombra della lama stessa. Uno sperimentatore accurato, però, proverà  che non succede così. L’ombra risulterà leggermente spostata dalla sua posizione prevista. Inoltre, l’ombra non sarà definita distintamente, ma, contrariamente alle previsioni, si mostrerà come una serie di frange sovrapposte.

Grimaldi aveva chiamato “diffrazione” questo comportamento inatteso della luce, dicendo che ciò comportava che la luce è un fenomeno ondulatorio. Forse ancor più sorprendente fu la sua osservazione di bande di colori appena percettibili nelle frange delle ombre proiettate sulle pareti della sua camera oscura. Nel 1672, sette anni dopo la pubblicazione del libro di Grimaldi, Robert Hooke osservò la stessa particolare deviazione della luce e le frange colorate, senza tuttavia conoscere l’opera dell’italiano.

Nel frattempo, Newton aveva iniziato le sue osservazioni ottiche. La sua attenzione principale era diretta verso la produzione di colori nel passaggio della luce solare attraverso un prisma. Alla fine di una serie di esperimenti con la camera oscura, annunciò che i diversi colori dello spettro erano tutti presenti originariamente in un raggio di luce solare; essi erano separati e dispersi dal prisma in una banda iridata perché ogni colore e rifratto un po’ più o un po’ meno degli altri. Egli chiamò questo fenomeno “rifrangibilità differenziale”.

Sebbene Newton avesse posto la rifrazione al centro della sua dottrina dei colori, mostrò anche un certo interesse per la inaspettata curvatura della luce intorno agli oggetti. Invece di utilizzare il termine utilizzato da Grimaldi, “diffrazione”, egli preferì il termine “inflessione” per descriverlo. In una comunicazione comparsa sulle Transactions della Royal Society nel 1672, in cui annunciava la sua teoria ottica, egli ammise di non essere sicuro di come essa potesse conciliarsi con il resto delle sue scoperte e lasciò il problema insoluto per i fisici del futuro. Tuttavia, le prime indagini sulla diffrazione di Grimaldi, Hooke e Newton non ebbero alcun seguito degno di nota fino a che Marat incominciò a occuparsi del fenomeno.

Secondo Marat, i colori non sono originati dalla diffrazione della luce solare, come riteneva Newton, bensì dalla curvatura della luce ai margini degli oggetti. La separazione dei colori non avveniva nel prisma di Newton, ma soprattutto ai bordi della fessura attraverso la quale la luce solare entrava nella stanza: il prisma serviva solamente ad amplificare il fenomeno.  Inoltre Newton aveva commesso un altro errore: i colori dell’iride non sono sette, ma solamente tre. Essi “si limitano al giallo, al rosso e al blu, perché quando si scompongono i raggi di luce ai quali è esposto un corpo isolato, essi si limitano a questi soli tre colori differenti, sia in una camera oscura sia all’esterno, per la luce solare o quella di una candela”. (…) “Anche il prisma dà non più di tre colori inalterabili; tutti gli altri sono decomposizioni di questi”. 

Che cosa attirava la luce verso i bordi della fessura? Secondo Marat, “Da questi esperimenti e da altre centinaia simili, concludiamo che i corpi attraggono la luce”. Marat si dimostrò piuttosto ambiguo sui motivi e sulle modalità di questa attrazione e sembrava propenso a darne più una spiegazione chimica (“un facteur d’affinité”) che gravitazionale, anche se la matematica fa pendere la bilancia verso la seconda ipotesi (“en raison du carré inverse de la distance”).  Egli riteneva che la terminologia dell’ottica dovesse riconoscere questo fenomeno, importante quanto la riflessione e la rifrazione. Ai termini accettati di catottrica (i fenomeni di riflessione) e diottrica (i fenomeni di rifrazione), egli proponeva che si affiancasse anche quello di periottrica, a designare “la parte dell’ottica che riguarda la deviazione della luce ai margini dei corpi”.

La commissione prese le distanze da queste conclusioni, argomentando che gli esperimenti di Marat erano stati talmente numerosi che c’era stata la possibilità di verificarli tutti con la necessaria precisione. Inoltre essi non erano sufficienti a provare quanto sostenuto da Marat, che, essendo in contrasto con quanto era generalmente conosciuto sul soggetto, non poteva ottenere l’approvazione richiesta all’Accademia. Insomma gli illuminati membri dell’Accademia utilizzavano il principio di autorità: Marat andava contro Newton, ma ipse dixit.

La reazione di Marat fu di profonda delusione, ma non esprimeva l’astio che più tardi manifestò contro l’Accademia. La rabbia maturò per un altro episodio, avvenuto tre anni più tardi, che inacidì lo sperimentatore e compromise definitivamente i suoi rapporti con l’istituzione, portando a reciproche accuse di ciarlataneria.

Nella seconda metà del 1783, su iniziativa di un suo nobile ammiratore,  Philippe Roume de Saint Laurent, si prospettò la nomina di Marat a presidente dell’Accademia delle Scienze spagnola, ma le cose girarono diversamente. L'ambasciatore spagnolo a Parigi, incaricato di raccogliere informazioni sul suo conto, riferì che gli accademici francesi avevano scarsissima considerazione di Marat, sia sul piano scientifico che su quello politico: lo si definiva un sovversivo. La candidatura fu abbandonata e, poiché quelle notizie raggiunsero la corte, egli perse il suo incarico presso il conte d'Artois. Improvvisamente impoverito, colpito da una malattia della pelle che non l’avrebbe più abbandonato, egli tuttavia continuò la sua attività scientifica, che espose in alcuni opuscoli di discreta qualità, nei quali descriveva accuratamente gli esperimenti e la strumentazione usata e cercava di dare una spiegazione teorica alle sue osservazioni. Nelle accademie della provincia Marat poteva contare su amici influenti e continuò a intrattenere relazioni produttive con alcune di esse fino alla fine del decennio.

Un episodio del marzo 1783, che fece molto rumore nella comunità scientifica parigina, testimonia il carattere difficile e irruento di Marat. Egli venne infatti alle mani con il fisico Jacques Charles, che allora era poco noto, ma in seguito lo divenne per l’introduzione dell’idrogeno al posto dell’aria calda nei palloni aerostatici. Più tardi divenne membro dell’Accademia (da lui prende il nome la legge che mette in relazione il volume di un gas con la temperatura assoluta). In una conferenza pubblica, Charles aveva fortemente criticato gli esperimenti ottici di Marat e la sua pretesa di confutare Newton. Venutolo a sapere, questi affrontò il collega. Ne seguì un alterco che degenerò in una violenta lite, durante la quale fu rotta la spada di Marat. Ne seguì una sfida a duello, fortunatamente impedito dall’intervento preventivo della polizia. 

Marat fu uno dei primi (e fedeli) traduttori in francese della Opticks di Newton, pubblicata nel 1787 dopo essere stata approvata dalla Accademia, alla quale Marat fece arrivare prudentemente una copia in cui non compariva il suo nome. La sua ultima pubblicazione scientifica, le Mémoires académiques (una collezione di quattro saggi di ottica che aveva inviato alle accademie provinciali), fu pubblicata nel 1788, solo un anno prima della Rivoluzione. Egli stava preparando anche un nuovo Traité d’optique, il cui manoscritto incompleto è conservato alla Bibliothèque Nationale di Parigi, ma la politica interruppe il suo lavoro scientifico.

L’antagonismo che si era sviluppato tra Marat e l’Accademia era basato soprattutto su un diversità di opinioni scientifiche, che successivamente si trasformò in inimicizia personale e politica. Come si è visto, l’Accademia delle Scienze all’inizio non fu affatto ostile agli esperimenti di Marat, ma fu poi disturbata dai suoi tentativi di creare un quadro teorico che si opponeva alle  spiegazioni newtoniane ortodosse. Egli maturò un’avversione nei confronti di molti dei suoi membri, che finì per identificare con l’istituzione nel suo complesso. L’Accademia rappresentava l’elite scientifica dell’Ancien Régime e, quando le vicende politiche gliene fornirono l’occasione, Marat non si lasciò sfuggire l’occasione di un violento attacco, nella forma di un lungo pamphlet pubblicato nel 1791 e intitolato Les Charlatans modernes. Il suo rancore non era totalmente  immotivato. Egli sapeva che era stato l’intervento dei capi dell’istituzione a far fallire l’ipotesi di diventare presidente dell’Accademia spagnola. La sua traduzione dell’Ottica di Newton nel 1786 era stata bene accolta, fino a che non si seppe che era opera sua. C’era qualcosa nell’istituzione che sembrava averlo in antipatia. Più tardi egli la identifico nella “classe dei geometri e degli astronomi, che ha formato una terribile cabala contro di me”. Gli esponenti più in vista di questo supposto gruppo ostile erano Laplace, Lavoisier, Condorcet, Lalande, e Bailly.

Il violento attacco contro Lavoisier nell’opuscolo Les Charlatans modernes e in altri scritti ha portato alla leggenda che vuole Marat nemico della scienza moderna impersonata da Lavoisier e sostenitore di una “scienza giacobina”. Secondo questo schema, Marat e gli altri esponenti dell’ala più radicale dei rivoluzionari furono implacabilmente nemici della scienza. In primo luogo essi avrebbero condiviso l’idea di Rousseau secondo la quale la crescita della conoscenza scientifica non aveva portato a un miglioramento della condizione umana, ma, al contrario, aveva portato la società moderna ad essere meno virtuosa e meno felice. Pertanto, una volta preso il potere, essi avrebbero agito in modo da distruggere l’Accademia della Scienze, portando alla morte del suo più alto esponente, Condorcet, e all’esecuzione dello scienziato francese più importante del tempo, Lavoisier. In realtà le vicende furono molto complicate, e alcuni membri dell’Accademia rivestivano ruoli istituzionali e politici che potrebbero aver decretato la loro fine, non in quanto scienziati.

Lavoisier fu giustiziato l’8 maggio 1794, dieci mesi dopo che Marat era stato ucciso nel suo bagno dal pugnale della Corday. Gli attacchi di Marat possono al massimo farlo considerare un mandante morale, non certo colui che ne ordinò l’esecuzione. In realtà Lavoisier non fu l’unico bersaglio dei suoi strali, che furono lanciati contro dozzine di scienziati coinvolti con la monarchia. Ad esempio egli attaccò anche Jean Sylvain Bailly che, in qualità di Sindaco di Parigi, avrebbe dato l’ordine di sparare sui dimostranti durante il “massacro del Campo di Marte” del luglio 1791 (in realtà l’ordine venne dal Marchese de La Fayette). Lavoisier non era solo uno scienziato, ma da decenni rivestiva importanti incarichi politici e amministrativi. Marat non lo attaccò per le divergenze sulla natura del flogisto o della luce, ma perché egli ricopriva il lucroso incarico di Fermier Général (esattore privato di tasse e imposte), in pratica uno tra gli strumenti più odiati del potere monarchico, al punto che i suoi membri erano comunemente definiti “sanguisughe”.

Tra i membri della odiata casta degli gabellieri, Lavoisier ebbe il torto di essere uno dei più in vista, anche se non era affatto tra i più ricchi. A metà degli anni ’80 aveva fatto erigere un muro lungo 18 chilometri e alto 3 metri intorno a Parigi, in modo da controllare e tassare adeguatamente le merci in ingresso dalle 54 porte sorvegliate dai soldati. Chi non pagava subiva dure pene, in qualche caso la pena capitale.  Quando, nel 1794, gli eventi precipitarono, Lavoisier, essendo uno dei 28 esattori francesi che non avevano lasciato il territorio nazionale, fu catturato, processato come traditore e ghigliottinato a Parigi, all'età di 51 anni. Marat giaceva da quasi un anno nella tomba al Club dei Cordiglieri, dove era stato sepolto quattro giorni dopo il suo assassinio del 13 luglio 1793.

Fonti principali:

Clifford D. Conner, Jean Paul Marat: Tribune of the  French Revolution, Pluto Press, London, May 2012

David Valls-Gabaud (2012). The conceptual origins of gravitational lensing. Albert Einstein Century International Conference, AIP Conference Proceedings, Volume 861, pp. 1163-1171 (2006) -  arXiv: 1206.1165v1