Consideriamo un insieme di elementi, che indicheremo con X. Chiameremo permutazione di questo insieme una funzione f: X→X che opera sugli elementi di questo insieme in modo da ordinarli in successione, come nell'anagramma di una parola. Ad esempio, è possibile permutare gli elementi dell’insieme X formato dalle tre lettere A, B e C, ottenendo sei possibili configurazioni: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Quando abbiamo una permutazione f, abbiamo anche una permutazione inversa f−1 che riporta allo stato iniziale: se f(x)=y allora f−1(y)=x. Se ad esempio esiste la funzione f che trasforma ABC in BCA facendo slittare le lettere di un posto verso destra, esiste anche la funzione inversa f−1 che riporta BCA ad ABC facendo slittare le lettere di un posto verso sinistra. La funzione g che invece scambia di posto due lettere consecutive (da ABC a BAC) è diversa sia da f sia da f−1. La permutazione banale, vale a dire quella che non cambia niente, si chiama identità e viene indicata con Id.
Quando si hanno due permutazioni f e g dello stesso insieme, si può applicare prima f e poi g: si avrà così definita una permutazione composta che si indicherà g○f (o più semplicemente gf, partendo da destra), poiché gf(x)=g(f(x)). Si noti che comporre con l’identità è un’operazione neutra, perciò si dice che l’identità è l’elemento neutro.
Ora, seguendo Arthur Cayley, si può dare la seguente definizione:
Un gruppo è l’insieme di tutte le permutazioni d’uno stesso insieme X che si possono ottenere per composizione a partire da certe permutazioni preferite, chiamate generatori, o dalle loro inverse.
Ad esempio il gruppo generato dalla sola applicazione f è composto da tre permutazioni: f , f○f = f2 e Id = f3. In questo caso si riscontra che l’inverso di f è f2. Così come accade nella teoria degli insiemi, la cardinalità di un gruppo si definisce in base al numero dei suoi elementi: in questo la cardinalità del gruppo generato da f è 3.
Le permutazioni viste sopra, operate sull'insieme X = {A, B, C}, costituiscono quindi un gruppo.
Il concetto di gruppo consente di lavorare in maniera flessibile con oggetti matematici di natura e origine molto diverse tra loro, identificandone alcuni importanti aspetti strutturali comuni. Con i gruppi è possibile trattare con le stesse modalità le soluzioni di un'equazione polinomiale, le simmetrie di un ente geometrico (ad esempio il gruppo di simmetria di un poligono regolare con n lati, detto gruppo diedrale), oppure gli insiemi numerici, o ancora le matrici. I gruppi giocano un ruolo chiave anche in topologia e in aree esterne alla matematica, come ad esempio nella fisica quantistica, dove queste rappresentazioni spesso permettono di discriminare le teorie "possibili", o nella chimica e nella mineralogia, in cui sono utilizzati per classificare strutture cristalline, poliedri regolari e simmetrie delle molecole.
Un gioco di caselle
Ecco uno schema formato da tre righe e tre colonne, nel quale ogni casella è associata a una cifra da 1 a 9:
Ora permutiamo gli elementi dello schema, facendo slittare le righe o le colonne. Ad esempio, indichiamo con R
2 l’operazione che consiste nel far slittare la seconda riga
verso destra di un posto e portare l’ultimo elemento della riga in prima posizione, come mostrato nello schema:
Qui sotto rappresentiamo invece lo slittamento di un posto verso il basso della prima colonna, operazione che indichiamo con C1:
Che cosa succede se combiniamo queste due operazioni ? Ecco il risultato dell’azione di R2 seguita da quella di C1 (la prima azione si indica più a destra):
Ecco invece che cosa succede se invertiamo l’ordine delle due operazioni, eseguendo prima quella di C1 e poi quella di R2 :
Si può constatare che l’ordine in cui vengono eseguite le operazioni influisce sul risultato, che non è lo stesso. Si dice a questo proposito che le azioni non commutano: C1 R2 ≠ R2 C1.
Come già accennato, indichiamo con l’esponente –1 l’operazione inversa. Così C1–1 è l’operazione che fa slittare verso l’alto di un posto la colonna 1, e R2–1 quella che fa slittare la riga 2 di un posto verso sinistra.
Le traslazioni intere
Consideriamo ora come insieme X tutti i punti di una retta. Indichiamo con t la traslazione di lunghezza l verso destra : t(x) = x + l se si pensa la retta come l’insieme dei numeri reali. La permutazione inversa è la traslazione verso sinistra di identica lunghezza. Più in generale, la potenza n–esima di t opera sulla retta X come indicato da tn(x) = x + nl.
può essere indicato con Z, con lo stesso simbolo utilizzato per l’insieme degli numeri relativi, con il quale è in corrispondenza biunivoca (si tratta infatti di un numero infinito di traslazioni intere, con l’identità, elemento neutro, che funge da zero).
Come è facile verificare, in questo caso una traslazione t corrisponde a un’operazione di somma algebrica e gode delle sue stesse proprietà. Quindi l’ordine delle operazioni effettuate su X non influisce sul risultato: si tratta di un gruppo commutativo, o gruppo abeliano.
I commutatori
All'interno di un gruppo G è possibile calcolare come commutano due suoi elementi a e b, calcolando il loro commutatore, dato dalla relazione:
Un commutatore è diverso da zero quando la composizione di due operazioni non soddisfa la proprietà commutativa.
Tornando alle operazioni C1 e R2 viste in precedenza, possiamo ad esempio calcolare il commutatore di C1 e R2 , cioè [C1, R2] = C1R2 C1–1R2–1, ovvero l’azione inversa di R2 seguita dall'azione inversa di C1 seguita dall'azione di R2 poi da quella di C1, nell'ordine indicato dalla formula da destra verso sinistra. Troviamo allora:
Ci sono solo tre cifre permutate: (5,7,4).
Un gioco di versi
Un esperimento di utilizzo combinatorio dei gruppi consiste nell'associare ai quadrati di nove caselle i versi di una celeberrima poesia di Eugenio Montale, Spesso il male di vivere ho incontrato, tratta da Ossi di seppia (1925), con lo scopo di verificare l’effetto straniante dell’applicazione al testo di una permutazione composta non commutativa. Incominciamo con l’associare i versi (compresa la pausa tra le due quartine) con le caselle:
1. Spesso il male di vivere ho incontrato:
2. era il rivo strozzato che gorgoglia,
3. era l’incartocciarsi della foglia
4. riarsa, era il cavallo stramazzato.
5. –
6. Bene non seppi, fuori del prodigio
7. che schiude la divina Indifferenza:
8. era la statua della sonnolenza
9. del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato.
Ora applicheremo al testo così organizzato prima l’operazione R3–1, che consiste nel far slittare la terza riga verso sinistra di un posto, poi l’operazione C2, che provoca lo slittamento di un posto verso il basso della seconda colonna. Ecco il risultato:
Che modifica il testo in questo modo:
Spesso il male di vivere ho incontrato:
del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato,
era l’incartocciarsi della foglia
riarsa, era il cavallo stramazzato,
era il rivo strozzato che gorgoglia.
Bene non seppi, fuori del prodigio
era la statua della sonnolenza.
–
Che schiude la divina Indifferenza.
Ora invertiamo l’ordine delle due permutazioni:
Con il seguente risultato:
Spesso il male di vivere ho incontrato:
era la statua della sonnolenza,
era l’incartocciarsi della foglia
riarsa, era il cavallo stramazzato,
era il rivo strozzato che gorgoglia.
Bene non seppi, fuori del prodigio.
–
Del meriggio, e la nuvola, e il falco alto levato
che schiude la divina Indifferenza.
Calcoliamo infine il commutatore di R
3–1 e C
2, cioè [R
3–1, C
2] = C
2–1R
3 C
2 R
3–1, ovvero l’azione inversa di R
3 seguita dall’azione di C
2 seguita dall’azione di R
3 poi da quella inversa di C
2, nell’ordine indicato dalla formula da destra verso sinistra.
Con tre cifre permutate: (5, 8, 9).
Come la teoria degli insiemi e quella dei grafi, anche quella dei gruppi può esplorare le enormi possibilità della combinatoria applicata a un testo. La matematica può essere utilizzata per giocare a scombinare la struttura di un testo esistente, come ho fatto in questo caso, ma può anche servire per guidare e costruire la struttura di un testo da creare. La cosa più sorprendente è osservare come l’applicazione di regole auto–imposte (le contraintes dell’Oulipo), lungi da limitare la creatività di un autore, può essere un potente strumento per la sua manifestazione.
