domenica 30 gennaio 2011

Carnevale della Fisica n.15


Puntuale, il 30 di ogni mese, torna il Carnevale della Fisica. Questa edizione è ospitata per la prima volta da Aldo Gagliano sul sito tvSpace. Aldo presenta i contributi giunti in modo chiaro e sintetico, con una scelta espositiva che favorisce l’accesso agli articoli che il lettore trova interessante esplorare. Buona lettura!

mercoledì 26 gennaio 2011

Galileo e le guerre dei telescopi

Galileo non fu il solo astronomo a puntare verso il cielo il telescopio nei primi anni dopo la sua invenzione in Olanda nel 1608. In realtà tutte le scoperte astronomiche ottenute con il nuovo strumento, per le quali è famoso lo scienziato pisano, furono fatte nello stesso periodo anche da altri osservatori, le cui storie spesso si incrociano in un periodo in cui la corrispondenza tra gli uomini di scienza e la loro mobilità erano assai più intense di quanto oggi siamo portati a pensare.

Queste scoperte parallele portarono spesso ad accese dispute di priorità tra Galileo e gli altri astronomi che le rivendicavano. Un esempio famoso è la battaglia a colpi di pamphlet a proposito delle macchie solari tra Galileo e l’astronomo gesuita tedesco Christopher Scheiner.

Christopher Scheiner era nato nel 1575 in Svevia e aveva aderito alla Compagnia di Gesù all’età di vent’anni. Studiò a Ingolstadt, dove più tardi divenne insegnante di matematica dal 1610 al 1616. In quel periodo fece le sue prime osservazioni astronomiche. Si trasferì poi a Innsbruck, su invito dell’Arciduca Massimiliano del Tirolo, attratto dalla sua fama crescente. Nella città alpina aveva continuato le sue ricerche, ma si era dedicato anche agli studi di ottica e fisiologia dell’occhio, ipotizzando che la retina sia la sede della visione. Nel 1624 fu chiamato a Roma, dove rimase fino al 1633 come insegnante di matematica. Tornato in Germania per dirigere il collegio gesuita di Niesse, morì il 18 giugno 1650.

La sua controversia con Galileo sulla priorità della scoperta della macchie solari fu un fattore importante, sebbene non l’unico, a provocare il degrado dei rapporti tra Galileo e i membri romani dei Gesuiti. Secondo il suo racconto, Scheiner aveva iniziato a osservare le macchie sulla superficie del Sole nel marzo o nell’aprile del 1611, assieme al suo assistente Johann Baptist Cysat. Le prime note pubbliche sulle sue osservazioni compaiono nelle Tres epistolae de maculis solaribus, datate 11 novembre 1611 e indirizzate al magistrato di Augusta Mark Wesler. Esse furono pubblicate nella stessa città bavarese nel gennaio 1612. Le tre lettere furono seguite da altre tre nel settembre 1612, pubblicate ancora per l’interessamento di Mark Wesler. Scheiner, a suo dire, pubblicò questi documenti sotto lo pseudonimo di Apelles latens post tabulam (Apelle nascosto dietro il dipinto), con riferimento all’aneddoto secondo il quale il grande pittore greco si nascondeva dietro i suoi quadri per ascoltare le critiche espresse dal pubblico. Ciò su richiesta dei suoi superiori, per evitare un eventuale disagio dei Gesuiti qualora le sue scoperte si fossero provate false o errate.


L’opinione iniziale di Scheiner era che le macchie solari erano piccoli pianeti che orbitavano vicino al Sole, un’ipotesi fortemente contestata da Galileo nel suo Istoria e dimostrazioni intorno alle macchie solari del 1613, che contiene le tre lettere che Galileo inviò allo stesso Wesler in risposta a quelle di Scheiner. Nel suo libello, Galileo identificava correttamente le macchie solari, da lui osservate a partire dal 1611, come irregolarità della superficie solare e non come pianetini interni all’orbita di Mercurio. Studiando la posizione delle macchie solari in giorni successivi, il Toscano deduceva inoltre che il Sole ruota su se stesso, e calcolò il periodo di rotazione come assai prossimo a un mese lunare.

Diversamente da Galileo, Scheiner continuò l’osservazione delle macchie solari per più di 15 anni, nel corso dei quali mise a punto tecniche che migliorarono di molto l’accuratezza dell’osservazione delle posizioni delle macchie e disegnò strumenti specializzati per l’osservazione del Sole. I risultati delle sue osservazioni furono pubblicati tra il 1626 e il 1630 nel Rosa Ursina, un tomo di 730 pagine che nella prima parte è quasi interamente dedicato ad attaccare le posizioni di Galileo. Il volume non ebbe un gran successo, proprio a causa dell’astio che caratterizza il suo primo Libro, tuttavia non è del tutto senza meriti. L’opera contiene infatti un utilissimo catalogo delle osservazioni delle macchie solari in quei tre lustri. Queste osservazioni consentivano inoltre a Scheiner di dimostrare che l’asse di rotazione del Sole è inclinato rispetto al piano di rotazione terrestre. Questa scoperta fu rivendicata come propria da Galileo nel Dialogo sopra i due massimi sistemi (1632), nel quale la utilizzò come ulteriore dimostrazione dell’ipotesi eliocentrica. L’ovvia reazione del gesuita fu l’accusa di plagio contenuta nella sua opera successiva, Prodromus pro Sole Mobile, una critica rabbiosa che non ottenne l’autorizzazione alla pubblicazione durante la vita del suo autore, probabilmente perché considerata sgradevole dai suoi stessi superiori.


Il fatto curioso di tutte queste polemiche, che ebbero molta risonanza in tutta la comunità scientifica, è che era stato invece l’inglese Thomas Harriot (1560–1621) il primo ad aver lasciato traccia documentata delle sue osservazioni delle macchie solari.

Harriot fu il tipico intellettuale polivalente dell’epoca: matematico, fisico, astronomo, etnografo. Fu in corrispondenza con Keplero e viaggiò nelle nuove colonie inglesi del Nuovo Mondo, organizzando e partecipando alla spedizione che sir Walter Raleigh intraprese sull’isola Roanoke lungo le coste della Virginia tra il 1585 e il 1586. La relazione del viaggio, in cui forniva anche gli elementi fondamentali della lingua dei nativi algonchini, uscì nel 1588 e resta l’unico testo pubblicato mentre egli era in vita. Su richiesta di Raleigh, si occupò anche di come accumulare in modo razionale le palle di cannone sul ponte delle navi, da cui ricavò una teoria sull’impacchettamento compatto delle sfere che anticipa alcune scoperte della teoria atomica. Alla sua morte lasciò ai suoi esecutori testamentari il compito di pubblicare un suo testo d’algebra, ma essi lo fecero rimaneggiandolo e togliendo le parti più innovative. Così l’Artis Analyticae Praxis, uscito postumo nel 1631, fu privato di innovative intuizioni sulle radici dei numeri negativi e sui numeri complessi. Il resto della sua opera scientifica, più di 400 fogli vergati con minuscola grafia, rimase inedito, finché non fu riscoperto tra il XIX e il XX secolo.

Gli appunti astronomici di Harriot offrono la testimonianza delle sue precoci osservazioni telescopiche: essi contengono una mappa della Luna disegnata intorno al 1611, osservazioni dei satelliti di Giove fatte nello stesso periodo di quelle che Galileo pubblicò nel Sidereus Nuncius del marzo 1610, e appunti sulle osservazioni delle macchie solari che egli fece con il telescopio il 18 dicembre 1610, cioè qualche mese prima di quanto dichiarato da Galileo e Scheiner nella loro lunga disputa.

Ma non ci fu solo Harriot a precedere i due litiganti. Il primo a pubblicare le osservazioni del fenomeno ottenute con il telescopio fu Johann Fabricius, figlio maggiore del pastore di un villaggio frisone, David Goldsmid, latinizzato in Fabricius, astronomo dilettante e astrologo, che 1596 aveva scoperto la variabilità della stella Mira Ceti. Da allora Fabricius senior era entrato in corrispondenza con Tycho Brahe, allora a Praga alla corte dell’imperatore Rodolfo II, che invano tentò di convincerlo a raggiungerlo nella capitale a fargli da assistente. Poco prima della morte del grande astronomo danese nel 1601, era stato a Praga a conoscere Tycho, ma non aveva incontrato il nuovo assistente di quest’ultimo, Giovanni Keplero. Aveva invece conosciuto Simon Marius (Mayr), un’altro astronomo tedesco che ritroveremo più tardi in questa cronaca, il quale stava facendo presso Tycho quello che oggi chiameremmo un tirocinio di studio semestrale finanziato dal suo signore, il Margravio di Ansbach.

Johann Fabricius (1587-1616), era nato a Resterhave (Frisia tedesca) ed era stato introdotto alla matematica e all’astronomia dal padre. Aveva studiato medicina in varie università tedesche finché nel 1609 approdò a Leida, all’epoca una delle più importanti sedi di studi scientifici. Qui conobbe il telescopio grazie a Rudolph Snel, il cui padre Willibrod avrebbe dato il proprio nome alla legge sulla rifrazione. Rudolph Snel era professore di matematica e già nel 1610 teneva lezioni sul nuovo dispositivo ottico. Tornato a casa nell’inverno di quell’anno, Johann incominciò a puntare il suo telescopio verso il cielo, alternandosi al padre nella visione. Il 27 febbraio 1611 osservò per la prima volta delle macchie sulla superficie del Sole. L’osservazione diretta era tuttavia difficoltosa e dolorosa, perciò i due decisero di fare una serie di osservazioni sistematiche attraverso una camera oscura, un metodo collaudato di osservazione solare introdotto da Keplero. Essi interpretarono correttamente il moto giornaliero delle macchie solari come un’indicazione della rotazione del Sole sul proprio asse.

Nel giugno 1611 il giovane Johann diede alle stampe i risultati delle loro osservazioni in un opuscolo di 22 pagine intitolato De Maculis in Sole observatis, et apparente earum cum Sole conversione, Narratio, etc. Witebergae, Anno MDCXI. Nella loro disputa, sia Galileo che Scheiner ignoravano la pubblicazione di Fabricius, di cui non potevano essere consapevoli data la sua scarsa circolazione. Johann si laureò a Wittemberg il 24 settembre 1611. Continuò a studiare per conseguire il dottorato in medicina, ma morì in circostanze misteriose il 19 marzo 1616. Suo padre, che aveva smesso di osservare le macchie solari, fu ucciso il 7 maggio 1617, da un parrocchiano che si riteneva ingiustamente accusato dal pulpito di aver rubato un’oca e un pollo.

L’ultimo protagonista di queste dispute telescopiche è Simon Marius (Mayr), che abbiamo già incontrato a Praga presso Tycho Brahe nel 1601, ai tempi del viaggio di David Fabricius. Mayr era nato nel 1573 in un villaggio presso Norimberga e si era inizialmente rivelato per la sua bellissima voce, al punto da ricevere un sussidio per gli studi musicali dal Margravio di Ansbach. Ben presto rivelò anche un talento matematico e astronomico: nel 1596 pubblicò la sua prima opera scientifica riguardante le osservazioni sulla cometa comparsa in quell’anno, seguita tre anni dopo da una raccolta di tavole astronomiche. Fu così che ebbe l’opportunità del soggiorno di studio a Praga. Terminata questa esperienza, il suo protettore lo inviò per studiare medicina all’Università di Padova, dove Galileo Galilei era professore di matematica. Il fatto che sia Marius sia il giovane Fabricius alternassero gli studi astronomici e quelli medici non deve sorprendere: agli esordi dell’epoca moderna, la medicina astrologica era considerata indispensabile al fine di una corretta diagnosi e cura delle malattie. Non sappiamo se a Padova Marius incontrò Galileo, ma di sicuro fu in quella sede che iniziarono i loro forti dissapori.


Il primo motivo del contendere riguardava il cosiddetto compasso geometrico e militare, uno strumento, antenato del regolo calcolatore, che permetteva di eseguire agilmente calcoli aritmetici e operazioni geometriche. Progettato a Padova da Galileo intorno al 1598, lo strumento incontrò subito un grande successo, che forniva anche sostanziosi profitti. Egli si risolse perciò a redigere nel 1606 un manuale d’uso, Le operazioni del compasso geometrico e militare, edito in sessanta copie manoscritte, che veniva venduto assieme allo strumento. Nel 1607, sempre a Padova, il ricco studente milanese Baldassarre Capra pubblicò con il proprio nome la versione latina del manuale di istruzioni di Galileo. Ciò provocò un grande scandalo nell’Ateneo veneto: Capra fu espulso. Si parlò inoltre di una certa responsabilità nella frode anche di Simon Marius, che era tornato in Germania l’anno precedente, in quanto era stato il consulente e il supervisore di Capra negli studi astronomici sulla supernova del 1604 e non poteva ignorarne gli intenti. La reputazione di Marius in Italia era rovinata.


In Germania, Marius pubblicò nel 1609 la prima traduzione dal greco dei primi sei libri degli Elementi di Euclide. Ma la sua ricerca più controversa riguarda il telescopio. Basandosi sulla descrizione di un esemplare di telescopio visto da un ricco conoscente alla Fiera di Francoforte nell’autunno del 1608 (prima ancora che l’invenzione venisse presentata ufficialmente all’Aja), egli si ingegnò di riprodurne una copia, senza tuttavia ottenere risultati soddisfacenti. Con l’aiuto del ricco amico riuscì poi a ottenere un esemplare dall’Olanda, che migliorò dopo essersi procurato delle lenti speciali da Venezia. Alla fine del 1609 egli era così in possesso di uno dei telescopi migliori dell’epoca. Con il suo telescopio, Marius scoprì nel dicembre di quell’anno le lune di Giove e si impegnò a studiarne le caratteristiche e i periodi.

Diversamente da Galileo, che aveva pubblicato immediatamente le sue osservazioni sugli “astri medicei” nel Sidereus Nuncius nel marzo 1610, Marius rese noti i risultati della sua attività di osservazione solo nel 1614, quando fu dato alle stampe il Mundus Iovialis anno MDCIX Detectus Ope Perspicilli Belgici (“Il mondo di Giove, scoperto nel 1609 grazie al telescopio olandese”). La data dell’osservazione indicata dal tedesco portò a una nuova disputa con Galileo, il quale accusò Marius nel Saggiatore (1623) di essere un bugiardo e di aver copiato i suoi lavoro, per cui il Mundus Iovialis non era altro che un plagio:

“Io potrei di tali usurpatori nominar non pochi; ma voglio ora passarli sotto silenzio, avvenga che de' primi furti men grave castigo prender si soglia che de i susseguenti. Ma non voglio già più lungamente tacere il furto secondo, che con troppa audacia mi ha voluto fare quell'istesso che già molti anni sono mi fece l'altro, d'appropriarsi l'invenzione del mio compasso geometrico, ancor ch'io molti anni innanzi l'avessi a gran numero di signori mostrato e conferito, e finalmente fatto publico colle stampe: e siami per questa volta perdonato se, contro alla mia natura, contro al costume ed intenzion mia, forse troppo acerbamente mi risento ed esclamo colà dove per molti anni ho taciuto. Io parlo di Simon Mario Guntzehusano, che fu quello che già in Padova, dove allora io mi trovava, traportò in lingua latina l'uso del detto mio compasso, ed attribuendoselo lo fece ad un suo discepolo sotto suo nome stampare, e subito, forse per fuggir il castigo, se n'andò alla patria sua, lasciando il suo scolare, come si dice, nelle peste; contro il quale mi fu forza, in assenza di Simon Mario, proceder nella maniera ch'è manifesto nella Difesa ch'allora feci e publicai. Questo istesso, quattro anni dopo la publicazione del mio Nunzio Sidereo, avvezzo a volersi ornar dell'altrui fatiche, non si è arrossito nel farsi autore delle cose da me ritrovate ed in quell'opera publicate; e stampando sotto titolo di Mundus Iovialis etc., ha temerariamente affermato, sé aver avanti di me osservati i pianeti Medicei, che si girano intorno a Giove. Ma perché di rado accade che la verità si lasci sopprimer dalla bugia, ecco ch'egli medesimo nell'istessa sua opera, per sua inavvertenza e poca intelligenza, mi dà campo di poterlo convincere con testimoni irrefragabili e manifestamente far palese il suo fallo, mostrando ch'egli non solamente non osservò le dette stelle avanti di me, ma non le vide né anco sicuramente due anni dopo: e dico di più, che molto probabilmente si può affermare ch'ei non l'ha osservate già mai”.

Simon Marius era poco noto, mentre l’autorità di Galileo era riconosciuta in tutto il mondo scientifico. Pochi credettero al tedesco, soprattutto in Italia dopo l’episodio del maldestro plagio di Baldassarre Capra. Inoltre Marius era un luterano militante, di cui erano note le relazioni epistolari con uomini di scienza luterani. Egli inoltre difendeva il sistema misto del luterano Tycho Brahe sia sul piano scientifico che su quello scritturale. Galileo e l’acerrimo rivale, il gesuita Christopher Scheiner, e la cosa è abbastanza paradossale, si trovarono per una volta dalla stessa parte nel dare torto a Marius anche perché protestante. Così prosegue Galileo:

“Io scrissi nel mio Nunzio Sidereo d'aver fatta la mia prima osservazione alli 7 di gennaio dell'anno 1610, seguitando poi l'altre nelle seguenti notti: vien Simon Mario, ed appropriandosi l'istesse mie osservazioni, stampa nel titolo del suo libro, ed anco per entro l'opera, aver fatto le sue osservazioni fino dell'anno 1609, onde altri possa far concetto della sua anteriorità: tuttavia la più antica osservazione ch'ei produca poi per fatta da sé, è la seconda fatta da me; ma la pronunzia per fatta nell'anno 1609, e tace di far cauto il lettore come, essendo egli separato dalla Chiesa nostra, né avendo accettata l'emendazion Gregoriana, il giorno 7 di gennaio del 1610 di noi cattolici è l'istesso che il dì 28 di decembre del 1609 di loro eretici”.

Galileo ricorda che i protestanti adottavano ancora il calendario giuliano. La conversione della data indicata da Marius per la prima osservazione dei satelliti di Giove nel nuovo calendario gregoriano (il 29 dicembre 1609 diventa l’8 gennaio 1610) fa sì che Galileo abbia preceduto il tedesco di un solo giorno. Così, almeno per una volta, al grande scienziato pisano fece comodo essere cattolico. Marius morì nel 1624 ad Ansbach, considerato come una specie di criminale scientifico. La sua opera fu rivalutata solo dopo un paio di secoli. Sic transit gloria mundi.

domenica 23 gennaio 2011

Carnevale della Chimica n. 1


Nel primo mese di quello che l’ONU, con il supporto dell’UNESCO e della IUPAC, ha decretato come Anno Internazionale della Chimica, grazie alla partecipazione di 31 diversi autori di blog ed altri siti di divulgazione scientifica, per un contribuito totale di 67 articoli, nasce nella sua prima edizione in lingua italiana il Carnevale della Chimica n. 1, colmando una lacuna disciplinare e aggiungendosi agli omologhi carnevali della Matematica, della Fisica e della Biodiversità.

Lo coordina e ospita con grande professionalità Franco Rosso sul sito Chimicare, dove si parla di chimica anche e soprattutto a chi chimico non è, con un linguaggio facilmente accessibile ed un’impronta interdisciplinare.

Ci sono anch'io.

venerdì 14 gennaio 2011

Carnevale della Matematica n. 33


In evidenza sui nostri schermi è oggi il Carnevale della Matematica n. 33, che torna ad essere ospitato dal sempre bravo Maurizio Codogno nel blog personale Notiziole di .mau.. Il tema di questo appuntamento è “il Calendario”, ma sono comunque presenti articoli che trattano di argomenti diversi, tra cui il mio La trisezione del quadrato.

Il livello e l’interesse degli articoli presentati è sempre elevato, anche per merito dei contributi di alcuni nuovi partecipanti.

Il prossimo mese il Carnevale sarà ospitato per la prima volta da Peppe Liberti, nel suo Rangle. Partecipate numerosi!

giovedì 6 gennaio 2011

La trisezione del quadrato


I problemi geometrici sono tra le prime sfide matematiche intraprese dall’umanità. Quello di suddividere un quadrato in tre quadrati più piccoli, fra loro congruenti, che è collegato alla risoluzione del teorema di Pitagora, è fra questi. Per quanto sia risolvibile con il semplice uso di carta, penna, compasso e forbici, e sia abbastanza semplice da essere compreso da un bambino, esso ha occupato i matematici per secoli.

Il problema si inquadra in quello più generale di suddividere il quadrato in n quadrati congruenti utilizzando il minor numero di pezzi. Il caso più semplice si ha per n = 4, mostrato nella figura 1, dove è sufficiente tracciare le linee che uniscono i punti mediani del lati opposti.  

Fig. 1
Il passo successivo è quello per n = 2. La prima soluzione che viene in mente è quella di disegnare le diagonali e poi unire a due a due i triangoli rettangoli ottenuti, come si vede in figura 2. Una seconda soluzione possibile consiste nel costruire un quadrato più piccolo con i vertici nei punti mediani dei lati. Il secondo quadrato, identico al primo, si ottiene assemblando i quattro triangoli rimanenti (fig. 3). La prima soluzione è preferibile, perché utilizza quattro pezzi invece di cinque.

Figura 2

Il caso n = 3 può essere così formalizzato: fornire una soluzione per la divisione di un quadrato in un numero minimo di poligoni più piccoli che possano essere riassemblati per dare tre quadrati identici più piccoli, la cui superficie sia un terzo di quella del quadrato di partenza.

Figura 3

Il problema fu soltanto sfiorato dai matematici della tarda antichità e del Medioevo che si occuparono della dimostrazione del teorema di Pitagora: il cinese Liu Hui (III sec. e. v.), l’astronomo e matematico arabo Thābit ibn Qurra' (826 – 901) e l’indiano Bhaskara Achārya (1114 – 1185). Furono tuttavia i musulmani, la cui religione dalle prescrizioni iconoclaste proibisce di rappresentare la figura umana nei luoghi di preghiera e conduce a un’arte sacra non figurativa e tendente alla stilizzazione e all'astrazione, i primi ad affrontare problemi di dissezione nella progettazione dei preziosi e complicati motivi geometrici a mosaico utilizzati per la decorazione delle moschee. Tra questi, come assemblare tre quadrati identici per costruirne uno più grande, utilizzando il minimo numero di partizioni.

Il persiano Abu l-Wafā al-Būzjānī (940 – 998), astronomo e grande innovatore della trigonometria sferica, fu il più grande geometra della sua epoca. Nel trattato in 13 capitoli Kitāb fīmā yahtāju ilayhi al-sani’ min al-a’māl al-handasiya (“Libro sulle costruzioni geometriche necessarie al lavoro degli artigiani”), redatto dopo il 990, egli si occupò della progettazione e collaudo degli strumenti da disegno, della costruzione di angoli retti, della trisezione degli angoli, della costruzione di parabole, dei poligoni regolari e dei metodi per inscriverli a o circoscriverli con circonferenza date, della divisione di superfici sferiche in poligoni sferici regolari. A proposito della suddivisione dei poligoni piani, scrisse:

“Ero presente a una riunione alla quale partecipava un certo numero di geometri e artigiani. Stavano discutendo sulla costruzione di un quadrato a partire da tre quadrati. I geometri tracciarono facilmente un segmento tale che il suo quadrato è uguale ai tre quadrati, ma nessuno degli artigiani era soddisfatto. Essi volevano dividere quei [tre] quadrati in pezzi dai quali si potesse assemblare un quadrato [più grande] (…) Alcuni degli artigiani posero uno di questi quadrati al centro e divisero il successivo lungo la sua diagonale e divisero il terzo quadrato in un triangolo isoscele rettangolo e due trapezoidi congruenti e li unirono assieme”.

Figura 4
La costruzione descritta dal matematico persiano è analizzata nella figura 4. Se assegniamo al piccolo quadrato centrale un lato unitario, allora il quadrato grande avra lato 1 + √2, che è più piccolo di √6, la diagonale di un quadrato di area 3. Pertanto la costruzione è sbagliata. Abu l-Wafā, spiegando che gli artigiani e anche i geometri (muhandis) spesso sbagliavano nell’assemblaggio dei pezzi dei quadrati più piccoli, affermò che i primi mancano di basi scientifiche, mentre i secondi mancano della pratica di cantiere. Egli diede la prima soluzione corretta del problema per n = 3 (figura 5), generalizzando la soluzione per dimostrare il teorema di Pitagora.
 
Figura 5

Una rappresentazione della sua generalizzazione si può vedere in molti dei mosaici della moschea Jameh di Isfahan, la più grande dell’Iran (Fig. 6).
 
Figura 6
Secondo Alpay Özdural (Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World. Historia Mathematica 2000; 27: 171-201), Abu l-Wafā al-Būzjānī fornì anche le soluzioni per n = 2, 5 e 9 (fig.7).

Figura 7


Figure 8-9

Più tardi il problema della trisezione del quadrato trovò ben due soluzioni, una con 8 e una con 9 pezzi. Si trovano in un manoscritto anonimo degli inizi del XIV secolo, intitolato A`mâl wa ashkâl, che si trova alla Biblioteca Nazionale di Teheran rilegato assieme a una copia del trattato di Abu l-Wafā della metà del XII secolo. L’opera, che è assai disorganizzata, apparendo più una collezione di appunti sparsi che un vero trattato di geometria, attribuisce il merito delle due soluzioni ad Abu Bakr al-Khalil al-Tajir al-Rasadi, anch’egli astronomo, matematico e geometra con forti legami con il mondo degli artigiani e dei costruttori. Le due soluzioni sono riprodotte nelle figure 8 e 9.  

Figure 10-11


Figura 12

La suddivisione del quadrato tornò ad interessare i matematici solo tra il diciottesimo e il diciannovesimo secolo, con gli studi dello storico delle matematiche francese Jean–Ètienne Montucla (che nel 1799 propose e risolse il problema di suddividere un rettangolo in parti tali da poter essere ricomposte a formare un quadrato, e viceversa), dall’inglese Philip Kelland (che nel 1855 pubblicò la suddivisione in 4 pezzi di uno gnomone, cioè di una figura a L formata da tre quadrati identici), dal belga Paul–Jean Busschop (trisezione vera e propria con 8 pezzi, nel 1876) e, soprattutto, dal colonnello francese del genio M. De Coatpont (trisezione con 7 pezzi, nel 1876: vedi figura 10) e dal grande divulgatore e matematico ricreativo francese Edouard Lucas, l’inventore del rompicapo della Torre di Hanoi (trisezione con 7 pezzi, nel 1876: vedi figura 11).

Figura 13

Il matematico dilettante Henry Perigal (1801-1898) trovò intorno al 1840 la prima soluzione della trisezione del quadrato che utilizza solo sei pezzi (figura 12), ma pubblicò la sua procedura solo nel 1875 e la soluzione solo nel 1891. La sua soluzione è simile a quella proposta da Abu Bakr al-Khalil. La sua versione è asimmetrica, ma, traslando la diagonale lungo il taglio, ottiene due pezzi in meno, così come aveva fatto Kelland per la dissezione dello gnomone. Perigal riscoprì la stessa dissezione di Abu l-Wafā nel 1873 per dimostrare il teorema di Pitagora. Egli ritenne che la sua dimostrazione fosse la migliore, al punto da far preparare un’incisione da mettere sulla propria tomba (fig. 13).

Le due soluzioni di Perigal e quella di Abu l-Wafā si possono trovare nella visualizzazione interattiva Three Hinged Dissections of Squares di Izidor Hafner da “The Wolfram Demostration Project”, basata sull’opera di Greg N. Frederickson (richiede il download del software gratuito Wolfram Mathematica Player e poi del documento).

Figure 14-15

Nel corso del ventesimo secolo, sia Henry Dudeney, sia Samuel Loyd, entrambi matematici ricreativi, hanno pubblicato la soluzione di Perigal con sei pezzi. Più recentemente, Greg N. Frederickson ha trovato una soluzione simmetrica con 7 pezzi (figura 14) e Nobuyuki Yoshigahara ha trovato una dissezione con 9 pezzi utilizzando esattamente tre volte tre pezzi identici (che in realtà è una soluzione con 7 pezzi; figura 15). Ancor più recentemente nuove soluzioni sono state pubblicate su diverse pubblicazioni matematiche.
 
L’ultima soluzione in ordine di tempo è stata presentata da Christian Blanvillain e Jànos Pach dell’Istituto Federale Svizzero di Tecnologia di Losanna. I due ricercatori fanno notare come la soluzione di Perigal della trisezione con 6 pezzi non sia simmetrica, contrariamente a tutte quelle precedenti. Così hanno deciso di tentare una soluzione simmetrica utilizzando 6 pezzi. Essi hanno iniziato ad esaminare la soluzione errata di figura 16, utilizzata dagli artigiani prima che Abu l-Wafā proponesse la sua soluzione. Il problema in questa soluzione errata è che l’area dei due mezzi quadrati negli angoli è troppo grande. Ma se, come fecero gli artigiani del X secolo, una piastrella quadrata fosse tagliata usando la soluzione, l’errore sarebbe approssimativamente due volte l’1,7% dai due lati della banda centrale, cioè a malapena visibile.

Figure 16-17-18-19-20
Blanvillain e Pach si sono proposti di ridurre leggermente la lunghezza dei due spigoli dei due mezzi quadrati. La loro idea è stata quella di inclinare la banda mediana, senza preoccuparsi degli altri pezzi, fino a che essa raggiungesse i due tratti rossi, in modo che essa diventasse abbastanza grande perché il quadrato centrale fosse della giusta ampiezza (fig. 17). Poiché l’intera area occupata da un mezzo quadrato per rotazione della banda centrale è data dall’altro mezzo quadrato, questa trasformazione conserva la proprietà che interessa: l’unione dei due mezzi quadrati forma un quadrato di area pari a esattamente 1/3 di quella di partenza. Successivamente, per costruire un quadrato con la banda centrale, si è dovuto semplicemente traslare la parte complementare al centro (fig. 18), creando così il secondo piccolo quadrato.
 
La sua area equivale a 1/3 di quella e non si sovrappone al centro del quadrato più grande (fig. 19). Per simmetria, infine, si è potuto costruire il terzo quadrato ed ottenere la soluzione simmetrica con 6 pezzi mostrata dalla figura 20. 

Lo stesso risultato può essere ottenuto, come dimostrano Blanvillain e Pach nel loro articolo, utilizzando per la costruzione il solo righello oppure il solo compasso. Il pregio di questa soluzione per la trisezione del quadrato consiste non solo nel basso numero di parti utilizzate, ma anche nella sua simmetria. Inoltre essa può essere la capostipite di un’infinita famiglia di soluzioni equivalenti. Non ultima considerazione è che tutti i sei pezzi hanno la stessa area, fatto finora unico (fig.21).

Figura 21

Come appendice all’articolo segnalo la curiosa visualizzazione interattiva Stepwise Trisection of a Square di Michael Schreiber da “The Wolfram Demostration Project”, nella quale un quadrato è trisecato da una serie geometrica di valori ripetuta dimezzando continuamente le dimensioni di tre dei quattro quadrati ottenuti congiungendo i punti mediani dei lati. Il quadrato rimanente è progressivamente riempito all’aumentare dei termini della serie. Al limite il quadrato è riempito completamente da tre poligoni equivalenti a forma di scala (fig. 22).
Figura 22
Riferimenti:
ResearchBlogging.org

Christian Blanvillain, & János Pach (2010). Square Trisection ArXiv arXiv: 1012.0827v1





domenica 2 gennaio 2011

La bilia


(Sonetto marxista con incipit foscoliano)
 
“Né mai più toccherò le sacre sponde”,
dice la bilia che va in pensione.
“Non sono d’accordo – l’altra risponde –
meglio l’ozio che colpi di bastone”.

“Il tuo ideal sempre ti confonde:
sei rossa, vuoi la rivoluzione,
ti dici sfruttata, però, d’altronde,
sei bilia, come Natura dispone”.

“Su, ammetti, ti vuoi consolare,
ma stai sol facendoti del male:
guarda quanti hai fatto arricchire:

tutta un’esistenza a rimbalzare
per gli interessi del capitale”.
“Calma e gesso: ma ti vuoi far sentire?”