mercoledì 18 aprile 2012

Aritmetica col trucco



ResearchBlogging.org“Tre cavalli stanno galoppando a 27 chilometri all’ora. Qual è la velocità di un cavallo solo?”


Questo è un esempio dei problemi di aritmetica che Anna Khovanova somministra ai suoi giovani allievi nella scuola media dove lavora come istruttrice per le gare di matematica. Per quanto possa essere sorprendente, dato che la Khovanova ha che fare con gli studenti più preparati di una delle migliori scuole del Massachusetts, in molti si fanno ingannare. L’insegnante ha una sua teoria per spiegare questo fatto: sono pochi i ragazzi che a scuola sono davvero abituati a pensare. Essi sono invece addestrati a utilizzare modelli (operazioni, formule, algoritmi, ecc.). A una prima frettolosa occhiata, il problema suona come una semplice divisione, così essi dividono. Una volta sorpresi e gabbati, essi incominciano a prestare più attenzione all’enunciato, e poi ci pensano un poco prima di rispondere. Nessuno ama essere ingannato: ecco perché questi simpatici quesiti sono di grande importanza per motivare gli studenti a prestare attenzione e a riflettere davvero.

La Khovanova, convinta, a ragione, del grande valore didattico di questi problemi e indovinelli, ne ha collezionati un certo numero che ha pubblicato sul suo sito web e sul suo blog. Ecco alcuni di quelli che lei considera i più belli, da infilare qua e là in mezzo alle domande più “serie”:

1. Un bastone ha due estremità. Se ne taglio via una, quante ne rimangono?

2. Anna è madre di due figli. Uno è cresciuto ed è andato ad abitare da solo. Quanti figli ha ora Anna?

3. Un quadrato ha quattro angoli. Se ne tagli uno, quanti angoli avrà la figura restante?

4. A un mercatino di agricoltori ti fermi davanti a una bancarella di mele, dove vedi 20 bellissime mele. Ne compri 5. Quante mele hai ora?

5. La signora Casali ha 2 figli, 3 figlie, 2 gatti e 1 cane. Quanti bambini ha?

6. Il lampadario della mia sala da pranzo ha 5 lampadine. Durante un temporale 2 si sono bruciate. Quante lampadine ci sono ora sul lampadario?

7. Il mio cane Lillo ama i libri. Al mattino ha portato due libri nel suo angolino e tre altri libri alla sera. Quanti libri leggerà stanotte?

8. Ci sono cinque ciotole piene di caramelle sul tavolo. Andrea ne mangia una ciotola di caramelle e Sara ne mangia due. Quante ciotole ci sono ora sul tavolo?

9. Nico aveva 10 mucche. Tutte sono morte tranne nove. Quante mucche sono rimaste?

10. Un paziente ha bisogno di fare tre punture con un intervallo di 30 minuti tra una e l’altra. Supponendo che le punture si facciano istantaneamente, quanto tempo richiederà la procedura?



11. Stai facendo una gara di corsa e superi la persona che era seconda. Che posto occupi ora?

12. Un bruco vuol vedere il mondo e decide di scalare un palo alto 12 metri. Parte tutte le mattine e scala 4 metri in mezza giornata. Poi si addormenta per la seconda metà della giornata, durante la quale scivola giù di 3 metri. Quanto tempo ci metterà il bruco per giungere in cima?

13. Gli esseri umani hanno 10 dita sulle mani. Quante dita ci sono su 10 mani?

14. Quante persone ci sono in due volte due coppie di gemelli?

15. Ci vogliono 3 minuti per far bollire un uovo. Quanto tempo ci mettono a bollire 5 uova?

16. Due amici sono andati a fare una passeggiata e hanno trovato 20 €. Quanti soldi avrebbero trovato se fossero stati in quattro?

17. L’uno per cento dei pesci in un laghetto sono alborelle. Tiro fuori dal laghetto il 10% delle alborelle. Che percentuale di alborelle contiene ora il laghetto?

18. I Martinelli hanno 5 figli. Ogni figlio ha una sorella. Quanti bambini ci sono nella famiglia?

19. Sulla staccionata ci sono dieci corvi. Il contadino spara e ne colpisce uno. Quanti ne rimangono sulla staccionata?

20. Venti ragazzi della tua scuola sono andati in gita a Roma. Durante la gita hanno visitato 20 musei. Quanti musei ha visitato ogni ragazzo?

Molto opportunamente, l’autrice, invece di fornire la risposta corretta a ogni domanda, elenca le risposte sbagliate più frequenti tra i suoi allievi che hanno calcolato prima di pensare.

1. 1 estremità.
2. 1 figlio.
3. 3 angoli.
4. 15 mele.
5. 8 bambini.
6. 3 lampadine.
7. 5 libri.
8. 2 ciotole.
9. 1 mucca.
10. un’ora e mezza.
11. primo.
12. 12 giorni.
13. 100 dita.
14. 16 persone.
15. 5 minuti.
16. 40 €.
17. 90% di alborelle.
18. 10 bambini.
19. 9 corvi
20. 1 museo.

Anna Khovanova sostiene di accorgersi che i ragazzi stanno sbagliando proprio quando li vede mettere mano alla penna e alla calcolatrice, soprattutto quando devono risolvere questo problema:

In media, i conigli incominciano a riprodursi quando hanno 3 mesi e fanno 4 cucciolate al mese. Se metto una coniglietta di un giorno in una gabbia e la tengo un anno, quante cucciolate farà?


Sono convinto che queste domande, che possono essere ripetute dai ragazzi a casa e con gli amici, costituiscono una risorsa didattica da non sottovalutare, anche per il loro carattere ludico. Qualche collega della secondaria di primo grado le utilizza già? Oppure vuol sperimentarle in classe? Qualche lettore conosce altri problemini col trucco da aggiungere all’elenco?

Tanya Khovanova (2012). Tricky Arithmetic talk at the Gathering for Gardner, 2012 arXiv: 1204.3112v1

23 commenti:

  1. il prossimo fine settimana ne provo con mio figlio (8 anni), poi vi faccio sapere.

    RispondiElimina
  2. La risposta "8 bambini" per me non è sbagliata: dipende da chi si considera il proprio bambino! io per esempio sarei arrivata fino a 9, contando mio marito! ;-)

    RispondiElimina
  3. Carina soprattutto la domanda sulla povera coniglietta solitaria...

    RispondiElimina
  4. Veramente interessanti!!!
    Buona serata

    RispondiElimina
  5. beh, c'è quello classico: un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. quanto pesa il mattone?

    RispondiElimina
  6. Lucia: che è un'ottima maniera di introdurre le equazioni...

    RispondiElimina
  7. Ma al numero 10 la risposta non è un' ora? Se la prima puntura la faccio al minuto 0, la seconda al 30, la terza al 60. In tutto fa un' ora...

    RispondiElimina
  8. Ho provato a sottoporre i problemi a mia figlia, ci siamo divertiti parecchio. davvero stimolante.

    RispondiElimina
  9. non ho capito bene quella della coniglia:
    1) se la metti in gabbia da sola difficile che ...
    2) il tempo di gestazione è di 29-31 giorni, perciò è improbabile 36 cucciolate

    dov'è che non ho capito?

    RispondiElimina
  10. Olympe: la prima che hai detto!

    RispondiElimina
  11. Alcune domande sembrano anche buone per discutere dei risultati, oltre che del problema. Ad esempio c'è forse evidenza che i corvi (sordi) stecchiti non cadono mai dalla staccionata? O che i cani non sappiano leggere neppure libri scritti da altri cani (io un test con qualche autore di best-seller ben scelto lo farei prima di rispondere)?

    E qui si torna alla solita difficoltà dei quiz. Se chi li fa vuole stimolare il ragionamento dei ragazzini sono utili, ma se chi li ""somministra"" intende solo comparare risposte prestampate e risultati crocettati senza mai usare il cervello (es. automaticamente) i quiz possono scartare chi usa la testa e far trionfare chi è competente ed allenato in "quizzologia statunitense applicata".

    RispondiElimina
  12. Anonimo: a parte il mio termine "somministra" che può dare adito a qualche equivoco, dal contesto mi pare chiaro che i risultati sono e devono essere discussi con i ragazzi. Sul valore discutibile dei quiz come strumento di valutazione di saperi e competenze mi trovi completamente d'accordo.

    RispondiElimina
  13. Un tempo le raccoglievo anch'io, poi qualcuno ha perso il mio quaderno (io) e ora me ne ricordo solo un paio, che vi sottopongo immantinente:
    quante volte si può togliere una mela da mille mele?
    pesa di più mezzo pollo vivo o mezzo pollo morto?

    RispondiElimina
  14. Secondo il giusto suggerimento dell'autrice, "infilando qua e là in mezzo alle domande più “serie”" ho sottoposto ai ragazzi questo pomeriggio, qualcuno dei quesiti.
    Ragazzi dal livello più elevato: no, non ci cascano e ragionano! (pfiùùù! :-))
    Quelli dal livello medio e medio/basso: gabbati! Ma molti di questi, al secondo problemino, anche cambiando contesto, si difendono meglio!
    Da cui la validità di "infilare qua e là...": se proposti uno di seguito all'altro, davvero non ci cascherebbero più.
    grazie, Pop! :-)
    g

    RispondiElimina
  15. Profeta: non ho mai visto mezzo pollo vivo (questa è assai carina). Sulle mele: se ti riferisci a una precisa mela, chiamiamola "Marlene Sulzenbacher", la posso togliere una volta sola.

    Giovanna: sono contento del tuo esperimento, che dimostra (se ce ne fosse ancora bisogno) come la scuola italiana insegna a pensare (almeno i migliori) e non è un semplice allenamento per superare dei test.

    RispondiElimina
  16. Risposte esatte!
    Riguardo alle mele la risposta ufficiale era: "una volta, la seconda la togli da 999 mele"

    RispondiElimina
  17. Per la N. 1 è difficile stabilire se la risposta giusta sia 2 o 4 :)

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Per come è posta la domanda direi 2. A scuola l'ho proposta in una versione differente: "Un bastone ha due estremità. Se ne taglio via una, quante estremità ho?" Uno su 23 ha risposto correttamente: 4.

      Elimina
  18. Bellissimi questi problemi, non ottengo mai la risposta sbagliata, ma la cosa non mi rassicura ...
    Sono però dei problemi di logica, non di matematica.
    Sono valide più risposte?, per esempio, come fa notare Martino, il soggetto della prima frase della domanda 1 é "Un bastone" si può pensare che la seconda frase (cioé la domanda) sia riferita a quel bastone originario (problema di logica o di grammatica?)

    RispondiElimina
  19. Fra i "Problemi capziosi" proposti da Peano nei suoi Giochi di aritmetica, il più carino (e ingannevole) per me resta quello del tarlo:

    In uno scaffale sono disposti (in ordine) i tre volumi della Commedia di Dante, ognuno di 100 fogli. Un tarlo rode dal primo foglio del primo volume fino all'ultimo foglio dell'ultimo volume (procedendo diritto, ovviamente). Quanti fogli ha roso il tarlo?

    La risposta prima risposta di tutti coloro a cui l'ho posto è 300. E però è sbagliata. Quella corretta è 102... :)

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Anonimo, questo tarlo continua a rodermi in testa senza che riesca a capire come fa.

      Elimina
  20. Sul problema 17:
    "One hundred percent of the fish..."
    "Il 100% dei pesci..."
    (altra prova che il 17 porta sfortuna)

    RispondiElimina