venerdì 29 giugno 2012

Oltre Bolt (matematica e 100 metri piani)


Usain Bolt, il fenomenale velocista giamaicano, ha dichiarato di voler portare il suo attuale record mondiale dei cento metri piani, che è di 9.58 secondi (ottenuto a Berlino il 16 agosto 2009), a 9.40 secondi. Che cosa può dirci la matematica a proposito? 

Se raggiungesse questo obiettivo, la velocità media di Bolt sarebbe di 10,64 m/s o 38,304 km/h. In realtà egli raggiungerebbe velocità superiori, perché si parte da fermo e la prima parte della gara è dedicata ad accelerare fino alla velocità di punta. Tale record di 9.40 era impensabile prima di lui, ma da questo atleta ci si può aspettare di tutto. Michael Johnson, ex primatista della distanza, ha detto che “Nessuno può prevedere i limiti di Usain Bolt”

Per sapere se Bolt riuscirà nel suo proposito dobbiamo solo aspettare, ma l’ambiziosa prestazione solleva la domanda se esiste un limite invalicabile che nessun atleta potrà mai superare. Se questo limite esiste, dove si colloca? Ad esempio, ci sarà mai un record sotto i 9 secondi? 

Non esiste alcun dubbio che i record mondiali sono fatti per essere battuti. In qualche caso ciò è avvenuto in maniera spettacolare, come ha fatto lo stesso Bolt, oppure come fece il saltatore in lungo Bob Beamon alle Olimpiadi di Città del Messico nel 1968, quando migliorò il record mondiale di 55 cm, portandolo a 8,90 m, misura che è rimasta insuperata per 23 anni!

 

Più di frequente i record sono limati qua e là, pochi centimetri nelle gare di salto o di lancio, pochi centesimi di secondo nelle gare di velocità. 

Dal punto di vista matematico, la sequenza dei record mondiali in una disciplina atletica fornisce una successione decrescente di numeri reali che tende a un limite. Ciò perché anche Bolt, con tutti i superlativi accumulati, non può correre a velocità infinita. Una tale successione deve convergere a un limite matematico l: un numero al di sotto del quale essa non si spinge, ma al quale si avvicina sempre più. Formalmente:
   
Ciò tuttavia non risolve il problema, perché il ricorso a una proprietà dei numeri reali non dice dove si collochi questo limite, che potrebbe anche essere 0. Nel linguaggio di tutti i giorni ciò vorrebbe dire che non esistono limiti al record del mondo. Non c’è dubbio che i record sono migliorati e i tempi di gara sembrano avvicinarsi sempre più a un limite. Ma quando si parla di convergenza, queste conclusioni affrettate possono essere pericolose. Pensiamo ad esempio alla serie armonica

   

Per quanto ad ogni passo si sommino numeri sempre più piccoli, la serie continua a crescere senza un limite: è divergente

Facciamo finta che un immaginario record del mondo dei 100 metri fosse esattamente di 10 secondi nel 1970. Inoltre ipotizziamo che questo record si riduca di 1/10 di secondo nel decennio seguente, poi di ulteriori 5/100 di secondo nel decennio successivo, continuando con valori sempre più piccoli nei decenni ulteriori, basando l’intera costruzione sulla serie armonica. Paragoniamo queste riduzioni con quelle effettive del record del mondo ufficiale fino a oggi: 


il miglioramento del nostro record del mondo immaginario è più lento di quello reale, sicuramente dal 1990 in poi. Nel k-esimo decennio dopo il 1970, assumiamo che il nostro record del mondo “armonico” immaginario sia dato dall'espressione

   

La divergenza della serie armonica ci assicura che questo record del mondo continuerà a ridursi oltre ogni limite, sebbene ci vorrà un’eternità perché ciò avvenga. Per calcolare il numero di anni necessari per raggiungere un record di 9 secondi netti, possiamo usare l’approssimazione alla somma della serie armonica, e risolvere l’equazione

   

dove è la costante di Eulero-Mascheroni, il cui valore approssimato è 0,57721. Come previsto, dovremo aspettare a lungo per un record sotto i 9 secondi: ci vorranno 1.236 secoli! Se ci interessa sapere il tempo necessario per raggiungere un record di 0 secondi, ebbene si tratta di aspettare 1,5 × 1042 secoli. 

Questo tipo di calcoli potrebbe sembrare inutile, ma fornisce un dato interessante. Se la riduzione dell’effettivo record del mondo può uguagliare o migliorare le piccole riduzioni del record del mondo armonico, non ci saranno limiti al record effettivo. Questa riduzione potrebbe anche richiedere meno tempo, anche se sarà sempre misurato in millenni. 

Esiste pertanto la possibilità teorica che non ci sia un limite al record del mondo e i risultati cronometrici sono inesorabilmente destinati a scendere. I metodi di allenamento migliorano continuamente, atleti eccezionali appaiono sulla scena. L’alta quota e un vento favorevole alle spalle (entro il limite consentito di 2 m/s, che può contribuire a “limare” fino a 1/10 di secondo) possono dare una mano. Su tempi più lunghi, esiste anche un miglioramento della fisiologia umana secondo le linee tracciate dall’evoluzionismo. Gli uomini potrebbero un giorno correre i 100 metri i 5 secondi, ma saranno diversi dagli uomini così come sono ora. 

C’è un altro fattore da considerare. Sin dai tempi di leggende storiche come Jesse Owens, la misurazione dei tempi di gara si è fatta sempre più accurata. Con approssimazioni sempre più piccole (dal secondo, al decimo, al centesimo), oggi la frequenza di record migliorati si è accresciuta. La svolta nella tecnologia cronometrica avvenne negli anni ’60, quando l’americano Jim Hines per primo superò la barriera dei 10 secondi nei cento metri con il tempo di 9.95, alle Olimpiadi messicane. Il record è durato 15 anni, ma poi è stato migliorato 12 volte. 


Ciò che potrebbe impedire al record di avvicinarsi allo 0 potrebbe risiedere proprio nella fisiologia del genere umano. Se ciò fosse vero, ci si potrebbe chiedere dove potrebbe cadere il limite quando gli atleti non saranno più in grado di migliorare la prestazione cronometrica. Questo fatto interessa gli scienziati dello sport da generazioni, in quanto essi vedono cadere anno dopo anno i record atletici e si chiedono quando non non potrà più succedere. Sulla base della nostra esperienza, è impensabile immaginare un record di 5 secondi, che corrisponderebbe a una velocità media di 72 km/h, quella di uno scooter. Logicamente non possiamo escluderlo: semplicemente non lo sappiamo. 

Un utile approccio è fornito da un modello matematico. La maggior parte dei modelli in questo contesto tenta di adattare le coordinate dei record (in un diagramma anno/tempo in secondi, ad esempio) a delle curve e poi dedurre dalle proprietà asintotiche di queste curve dove si potrebbe collocare un limite inferiore. Una delle curve usate è la curva logistica, che sembra adattarsi molto bene ai valori a nostra a disposizione. Questa curva indica un limite inferiore per il record del mondo. La debolezza di questo adattare dati e curve risiede nel fatto che esse non fanno riferimento alle scienze sportive e la fisiologia è completamente trascurata. 

Nella figura, ad esempio, la linea blu rappresenta il record del mondo reale per i 100 metri maschili tra gli anni 1912 e 2002. La linea rossa è la curva logistica estrapolata fino al 2162: si tratta del grafico di una funzione del tipo
  
dove i parametri a, b e c sono scelti in modo che la curva si adatti il più possibile ai valori reali. In questo caso il limite inferiore indicato dalla curva logistica è di 9.48 secondi. Il grafico è stato realizzato dall'australiano Kevin Duffy nel 2002, quando il record del mondo era detenuto da Tim Montgomery con il tempo di 9.78. Oggi, dopo Bolt, i parametri utilizzati vanno rivisti. 

Ciò di cui abbiamo bisogno è una teoria scientifica completa che unisca la fisiologia alle velocità. In quale modo l’apporto di ossigeno, il ritmo cardiaco e i molteplici fattori che contribuiscono alla corsa si traducono nella velocità di un atleta? Senza una tale teoria tutte le previsioni di un limite al record del mondo sono pie illusioni. Il modello visto sopra prevede che il limite che gli esseri umani non potranno mai superare sia di 9.48 secondi. Ma è stato fatto nel 2002 e non sappiamo ancora ciò che è in grado di fare Usain Bolt. E, soprattutto, non sappiamo che cosa potranno fare gli uomini del futuro. 


Questo articolo è tratto in gran parte da No limits for Usain di Tony Crilly, Emeritus Reader in Scienze Matematiche alla Middlesex University, che si può trovare sul bellissimo sito allestito in occasione delle prossime Olimpiadi di Londra dall’Università di Cambridge, intitolato Maths and Sport: Countdown to the Games (clic sull'immagine sopra). Le risorse raggiungibili dalla homepage del sito, completamente gratuite, vanno da attività per studenti dai 5 ai 18 anni, in gran parte provviste di una guida per l’insegnante, e articoli rivolti a un pubblico più adulto, tutte con lo scopo di esaminare gli sport olimpici dal punto di vista matematico e scientifico in generale.

19 commenti:

  1. Mi ricorda un pochino la faccenda del "cavallo sferico", ma quanto sono ottimisti i matematici? meglio così...

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  2. attorno al 1970, agli anni dell'università, tenevo registrati e aggiornati TUTTI i risultati di atletica leggera maschile. ero abbonato a rivista di tutti i continenti, e avevo un archivio "cartaceo" di migliaia di atleti. Nessuno correva i 100 metri in 10"4 senza che io lo venissi a sapere; o saltare 2,18 in alto, e così via.
    La rocerca di una qualche formula per "predire" i risultati futuri, e i record, era un mio rovello.
    La mia strategia era differente: registravo anno per anno i risultati, e mettevo in grafico il risultato migliore dell'anno, poi la media dei primi 2, quella di primi 4-8-16-32 atleti in ogni specialità.
    La stessa cosa poteva esser fatta non "anno per anno", ma con i risultati "all time".
    Era facile vedere che il comportamento del "record" era imprevedibile: a volte stava fermo per anni e decenni, poi schizzava improvvisamente.
    Andando più a destra nel grafico, si vedeva come il valore della media, ad esempio, dei primi 8 atleti, aveva un comportamento molto più regolare; a livello dei "primi 32" la regolarità era molto alta.
    Ora, estrapolando la "velocità di miglioramento" dei primi 8 o dei primi 32, si poteva "prevedere" quando tale valore avrebbe raggiunto (superato!!??) il record del mondo.
    Per restare al caso Beamon, e al suo 8.95, certo l'altura ha contribuito, e non poco; ma bisogna anche ricordare che la classifica all time era giunta ad un livello "insopportabile": se ricordo bene c'erano 2 o 3 atleti con 8.35, e una ventina oltre gli 8,25. il record era super-maturo !
    Enrico D.

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  3. Grazie Enrico D. del contributo! Negli anni che dici tu ero un saltatore in lungo quindicenne della gloriosa SNAM di Metanopoli, fiero di fare atletica e di avere come insegnante al liceo Furio Fusi (400 m: ricordi Fusi-Puosi-Trachelio-Bello?).

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    1. qualche volta anche Preatoni fu utilizzato. Forse l'unica vera 4x4 che l'Italia abbia mai avuto.
      Ah, i tempi del 7.91 di Gentile?
      Enrico

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    2. Non mi parlare di Gentile, la più grande illusione di Mexico 68: 17,10, poi il brasiliano e poi il russo. Comunque un grandissimo atleta.

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  4. c'era un bel racconto di fantascienza degli anni 60 non ricordo di chi, in cui l'atleta riusciva appunto a percorrere i 100 in 0 secondi , secondo papunto alla logica che un piccolo miglioramento è sempre possibile. Lo sparo e zac era belle e che arrivato!

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    1. Più veloce dei neutrini della Gelmini! Alla velocità della luce il record sarebbe di 33 milionesimi di secondo.
      Temo di aver eliminato per sbaglio il tuo commento su Monti: ho schiacciato Elimina invece di Rispondi. Lo puoi rimandare?

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  5. Devo stare più attento. Mi è scappato beamon 8.95 (che è Powell).
    E mi sono dimenticato la D. del mio cognome (non sono enrico del commento dopo!).
    Riguardo Gentile, se ben ricordo, dopo il mondiale in qualificazione, in finale raggiunse i 17.22, pur perdendo.
    Ma in effetti certe misure e certi tempi, in altura, furono davvero strepitosi.
    E forse una mano la diedero anche i materiali. Mi par di ricordare che mexico68 fu anche l'esordio del "tartan", in sostituzione della terra rossa. per le corse veloci, una rivoluzione !
    Enrico D.

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    1. Confermo il ricordo di Enrico D sul tartan. Fu annunciato come un elemento rivoluzionario, e certo lo fu, ma credo che per un po' creò anche problemi: le articolazioni degli atleti non erano allenate alla spinta aggiuntiva data dal tartan. Questo spiega forse perchè proprio in corrispondenza di questa innovazione il record è stato quasi fermo tra il 1964 e il 1985. Sarebbe interessante vedere se questo è successo con le altre specialità veloci (200 e 400 metri piani, e 110 e 400 metri a ostacoli)
      Un' ultimo ricordo: dopo il 'volo' di Beamon si pronosticò che quel record sarebbe durato tranquillamente fino al 2000 e oltre...

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    2. Confermo il ricordo di Enrico D sul tartan. Fu annunciato come un elemento rivoluzionario, e certo lo fu, ma credo che per un po' creò anche problemi: le articolazioni degli atleti non erano allenate alla spinta aggiuntiva data dal tartan. Questo spiega forse perchè proprio in corrispondenza di questa innovazione il record è stato quasi fermo tra il 1964 e il 1985. Sarebbe interessante vedere se questo è successo con le altre specialità veloci (200 e 400 metri piani, e 110 e 400 metri a ostacoli)
      Un' ultimo ricordo: dopo il 'volo' di Beamon si pronosticò che quel record sarebbe durato tranquillamente fino al 2000 e oltre...

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  6. Confermo i ricordi di Enrico D sul tartan. Ci fu gran clamore sui risultati che avrebbe fatto ottenere, ma anche polemiche perchè poteva creare problemi fisici alle articolazioni, non allenate a ricevere la spnta aggiuntiva. È curioso che proprio il record dei 100 metri non progredisca quasi per 20 anni in corrispondenza di questa innovazione. Cosa è successo con i record delle altre corse veloci?
    A proposito del record di Beamon, ricordo bene la previsione che avrebbe resistito fino al 2000 e oltre...

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  7. lapsus digiti: 38,03 km/h >> 38,30 km/h

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  8. Grazie, Anonimo: 10,64 * 3,6 = 38,304. E sì che l'ho calcolato io con la calcolatrice, perché l'originale è in miglia per ora! Correggo.

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  9. ripensando all'intervento di Anonimo del 29/6 mi e' passata per la mente una idea poiche' molto probabilmente la distribuzione dei risultati sui 100/200 metri ogni anno si distribuisce secondo una gaussiana, piu' che studiare i record, forse varrebbe la pena studiare l'andamento della media della curva, e verificare se i record avvengono entro le due/tre sigma di tale distribuzione e cosi' provare a predire il limite massimo per un record in un dato anno

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  10. Eugenio A.: mi sembra una buona idea, statisticamente più significativa. Qui si possono trovare i dati che servono, sia anno per anno, che all-time...

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    1. sfortunatamente mi pare che la iaaf riporti solo i risultati "top" e a quello che capisco mi pare solo i tempi dei vincitori, mentre invece occorrerebbe i risultati di tutti, altrimenti temo abbia ragione l'anonimo qui sotto.

      certo aendo tempo a disposizione magari se ne esce una gaussiana anche qua, chissa'...

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  11. l'idea della gaussiana è vera, ma solo se la riferiamo ai risultati di un gran numero di persone, scelte a caso. Quando si osserva quella parte della curva che comprende i campioni, o anche i primi 10, o i primi 100 del mondo, non c'è campana.
    E' intuitivo che, se a correre i 100 metri in meno di 9,60 c'è solo UB, nell'intervallo 9.60/9.80 avremo (a occhio) altri 2 atleti, Tra 9.80 e 10 ne avremo qualcuno in più, Tra 10.0 e 10.2 comincia la ressa (una ventina?), sotto i 10.4 andiamo forse oltre il centinaio....

    Per questo, nei miei esperimenti primordiali, utilizzavo il valore della media dei primi 16 o 32.
    Enrico D.

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  12. Sempre sul pezzo

    http://www.r-bloggers.com/london-olympics-and-a-prediction-for-the-100m-final/

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  13. Questo commento è stato eliminato dall'autore.

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