Il birapporto di una quaterna di punti distinti sulla retta reale, con coordinate z1, z2, z3, z4 è dato dalla relazione:
Che può anche essere scritto come proporzione:
Questa grandezza è uno strumento importante in geometria, e particolarmente in quella proiettiva, perché risulta definito anche se uno dei quattro punti è all'infinito (e la retta è allora una retta proiettiva). Se A, B, C e D sono punti collineari, il birapporto si può indicare in modo analogo con
Dove ciascuna delle lunghezze è assegnata in riferimento a una determinata orientazione della retta.
Ciò che rende interessante questa grandezza è il fatto che
essa è una invariante proiettiva, nel
senso che non viene modificata dalla proiezione centrale (e, banalmente,
parallela), che invece non conserva le distanze, o il rapporto di due distanze.
In particolare, se quattro punti giacciono su una retta r nel piano reale, allora il loro birapporto è una quantità ben
definita, in quanto non dipende dalla scelta dell’origine o dell’unità di
misura.
Consideriamo quattro punti A,B,C,D su una retta appartenente
al piano S che vengono proiettati a partire da O ai punti A', B', C', D' di una
seconda retta appartenente al piano S’. come mostrato nella figura.
Applicando il teorema dei seni ai triangoli OBA e OBD, otteniamo:
Il cui rapporto
vale:
Analogamente, se applichiamo il teorema dei seni ai
triangoli OCD e OCA, abbiamo:
Così, se moltiplichiamo AB/BD per DC/CA, I seni di μ e ν si semplificano, e così otteniamo il
birapporto:
Come si vede, il birapporto dipende unicamente dagli angoli
tra i raggi proiettivi che partono da O, così esso ha lo stesso valore anche se
proiettiamo i quattro punti A,B,C,D su un’altra retta. Inoltre, poiché le
distanze tra i punti non cambiano se cambiamo la posizione del punto di
proiezione O, ne consegue che il birapporto è lo stesso per qualsiasi punto di
proiezione. E poi, data la posizione di tre punti qualsiasi tra i quattro
collineari e il loro birapporto, è possibile determinare perfettamente la
posizione del quarto punto. Insomma, come disse il poeta:
Quattro punti
allineati su una retta
stabiliscono tra loro
un’intesa perfetta,
un birapporto di
vicinato,
che rimane immutato
per qualsiasi
proiezione che li riassetta.
È degno di nota che il valore del birapporto dipende
dall’ordine in cui i quattro punti sono considerati. Con quattro elementi ci
sono 4! = 24 permutazioni possibili, ma non è difficile dimostrare che, a causa
delle simmetrie, esistono solo sei valori diversi del birapporto, che sono
presenti in coppie reciproche. Così esistono tre valori reali
p,
q,
r
tali che i sei birapporti per quattro punti dati sono
p, 1/
p,
q, 1/
q,
r, 1/
r. Inoltre si hanno le relazioni:
Di conseguenza, per definire un birapporto, è necessario
specificare quattro punti sulla stessa retta (o, in modo equivalente, quattro
rette concorrenti) in un ordine ben
preciso. Nel primo caso si utilizza la notazione [ABCD] per indicare il
birapporto di quattro punti collineari A, B, C, D in quel preciso ordine. Nel
secondo caso, quando ci riferisce a quattro rette che si irradiano dal punto O
e passano per i punti A,B,C,D, si può usare la notazione [ABCD]O,
oppure O[ABCD].
Se [ABCD] = 1, allora o A = B oppure C = D. Un caso più
importante si ha quando [ABCD] = ‒1: perché allora i punti C e D sono detti
coniugati armonici uno dell’altro
rispetto alla coppia A e B. A loro volta, A e B sono coniugati armonici
rispetto a C e D. Ciascuna delle coppie divide armonicamente il segmento che ha
come estremi l’altra coppia. Ci si riferisce a questa quaterna particolare con il
nome di
gruppo armonico, dove vale:
Esistono diversi procedimenti per disegnare un gruppo
armonico. Eccone uno, che traggo da
Cut-The-Knot, con il quale, dati tre punti
collineari A, B, C, si costruisce il punto D.
1.
Disegniamo un punto E non collineare con A e B.
2.
Colleghiamo E con A, B e C.
3.
Su AE disegniamo un punto I e colleghiamolo a B.
4.
Chiamiamo G l’intersezione di CE con BI.
Estendiamo la retta di AG alla sua intersezione con BE in F.
5.
Estendiamo FI fino alla sua intersezione con AB in
D.
D non dipende dalla scelta di E e I, ma solo
da A, B e C.
Le quattro rette originate da un punto arbitrario O e i
quattro punti coniugati sono complessivamente detti fascio armonico. Un fascio armonico determina una divisione
armonica su qualunque retta secante i quattro raggi del fascio.
È possibile definire geometricamente un birapporto sia
considerando quattro punti su una retta, sia considerando un’origine e quattro
punti arbitrari nel piano che la contiene, in quanto questi quattro punti
specificano un insieme di quattro rette che passano per l’origine O. Ad
esempio, si potrebbe stabilire un birapporto a partire da una data origine O e
quattro punti A,B,C,D su una circonferenza, come è illustrato in figura. Dato
che i quattro punti non sono collineari, il birapporto dipende dalla posizione dell’origine
O.
Così, se prendiamo gli stessi quattro punti, ma consideriamo
che le rette che li attraversano partono da un’origine diversa, posta diciamo
sulla circonferenza stessa, il birapporto è diverso, poiché sono diversi gli
angoli tra le rette. È tuttavia facile vedere che il birapporto di quattro
punti dati su una circonferenza è lo stesso per un’origine posta dovunque sulla
circonferenza stessa. Ciò è illustrato nella figura sotto, con l’origine O
posta in un punto arbitrario della circonferenza.
Se N è il centro della circonferenza, allora l’angolo ANB è
il doppio di AOB per qualsiasi punto O sulla circonferenza. Pertanto se si
fissano i punti da A a D, il birapporto
per ogni punto O di origine sulla circonferenza rimane invariato. Inoltre, dato
che il birapporto è invariante rispetto a proiezioni arbitrarie, questa proposizione
è valida anche per coniche qualsiasi. In altre parole, dati quattro punti
qualsiasi su una conica (come un’ellisse, un’iperbole o una parabola), il
birapporto per le rette che passano per questi punti è invariante rispetto a
qualsiasi punto di origine situato sulla medesima conica:
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