Il mirabile birapporto

Il birapporto di una quaterna di punti distinti sulla retta reale, con coordinate z₁, z₂, z₃, z₄ è dato dalla relazione:

Che può anche essere scritto come proporzione:

Questa grandezza è uno strumento importante in geometria, e particolarmente in quella proiettiva, perché risulta definito anche se uno dei quattro punti è all'infinito (e la retta è allora una retta proiettiva). Se A, B, C e D sono punti collineari, il birapporto si può indicare in modo analogo con

Dove ciascuna delle lunghezze è assegnata in riferimento a una determinata orientazione della retta.

Ciò che rende interessante questa grandezza è il fatto che essa è una invariante proiettiva, nel senso che non viene modificata dalla proiezione centrale (e, banalmente, parallela), che invece non conserva le distanze, o il rapporto di due distanze. In particolare, se quattro punti giacciono su una retta r nel piano reale, allora il loro birapporto è una quantità ben definita, in quanto non dipende dalla scelta dell’origine o dell’unità di misura.

Consideriamo quattro punti A,B,C,D su una retta appartenente al piano S che vengono proiettati a partire da O ai punti A', B', C', D' di una seconda retta appartenente al piano S’. come mostrato nella figura.

Applicando il teorema dei seni ai triangoli OBA e OBD, otteniamo:

  

Il cui rapporto vale:

Analogamente, se applichiamo il teorema dei seni ai triangoli OCD e OCA, abbiamo:

Così, se moltiplichiamo AB/BD per DC/CA, I seni di μ e ν si semplificano, e così otteniamo il birapporto:

Come si vede, il birapporto dipende unicamente dagli angoli tra i raggi proiettivi che partono da O, così esso ha lo stesso valore anche se proiettiamo i quattro punti A,B,C,D su un’altra retta. Inoltre, poiché le distanze tra i punti non cambiano se cambiamo la posizione del punto di proiezione O, ne consegue che il birapporto è lo stesso per qualsiasi punto di proiezione. E poi, data la posizione di tre punti qualsiasi tra i quattro collineari e il loro birapporto, è possibile determinare perfettamente la posizione del quarto punto. Insomma, come disse il poeta:

Quattro punti allineati su una retta

stabiliscono tra loro un’intesa perfetta,

un birapporto di vicinato,

che rimane immutato

per qualsiasi proiezione che li riassetta.

È degno di nota che il valore del birapporto dipende dall’ordine in cui i quattro punti sono considerati. Con quattro elementi ci sono 4! = 24 permutazioni possibili, ma non è difficile dimostrare che, a causa delle simmetrie, esistono solo sei valori diversi del birapporto, che sono presenti in coppie reciproche. Così esistono tre valori reali p, q, r  tali che i sei birapporti per quattro punti dati sono  p, 1/p, q, 1/q, r, 1/r. Inoltre si hanno le relazioni:

Di conseguenza, per definire un birapporto, è necessario specificare quattro punti sulla stessa retta (o, in modo equivalente, quattro rette concorrenti) in un ordine ben preciso. Nel primo caso si utilizza la notazione [ABCD] per indicare il birapporto di quattro punti collineari A, B, C, D in quel preciso ordine. Nel secondo caso, quando ci riferisce a quattro rette che si irradiano dal punto O e passano per i punti A,B,C,D, si può usare la notazione [ABCD]_O, oppure O[ABCD].

Se [ABCD] = 1, allora o A = B oppure C = D. Un caso più importante si ha quando [ABCD] = ‒1: perché allora i punti C e D sono detti coniugati armonici uno dell’altro rispetto alla coppia A e B. A loro volta, A e B sono coniugati armonici rispetto a C e D. Ciascuna delle coppie divide armonicamente il segmento che ha come estremi l’altra coppia. Ci si riferisce a questa quaterna particolare con il nome di gruppo armonico, dove vale:

Esistono diversi procedimenti per disegnare un gruppo armonico. Eccone uno, che traggo da Cut-The-Knot, con il quale, dati tre punti collineari A, B, C, si costruisce il punto D. 

1.      Disegniamo un punto E non collineare con A e B.

2.      Colleghiamo E con A, B e C.

3.      Su AE disegniamo un punto I e  colleghiamolo a B.

4.      Chiamiamo G l’intersezione di CE con BI. Estendiamo la retta di AG alla sua intersezione con BE in F.

5.      Estendiamo FI fino alla sua intersezione con AB in D.

D non dipende dalla scelta di E e I, ma solo da A, B e C.

Le quattro rette originate da un punto arbitrario O e i quattro punti coniugati sono complessivamente detti fascio armonico. Un fascio armonico determina una divisione armonica su qualunque retta secante i quattro raggi del fascio.

È possibile definire geometricamente un birapporto sia considerando quattro punti su una retta, sia considerando un’origine e quattro punti arbitrari nel piano che la contiene, in quanto questi quattro punti specificano un insieme di quattro rette che passano per l’origine O. Ad esempio, si potrebbe stabilire un birapporto a partire da una data origine O e quattro punti A,B,C,D su una circonferenza, come è illustrato in figura. Dato che i quattro punti non sono collineari, il birapporto dipende dalla posizione dell’origine O.

Così, se prendiamo gli stessi quattro punti, ma consideriamo che le rette che li attraversano partono da un’origine diversa, posta diciamo sulla circonferenza stessa, il birapporto è diverso, poiché sono diversi gli angoli tra le rette. È tuttavia facile vedere che il birapporto di quattro punti dati su una circonferenza è lo stesso per un’origine posta dovunque sulla circonferenza stessa. Ciò è illustrato nella figura sotto, con l’origine O posta in un punto arbitrario della circonferenza.

Se N è il centro della circonferenza, allora l’angolo ANB è il doppio di AOB per qualsiasi punto O sulla circonferenza. Pertanto se si fissano i punti da A a D,  il birapporto per ogni punto O di origine sulla circonferenza rimane invariato. Inoltre, dato che il birapporto è invariante rispetto a proiezioni arbitrarie, questa proposizione è valida anche per coniche qualsiasi. In altre parole, dati quattro punti qualsiasi su una conica (come un’ellisse, un’iperbole o una parabola), il birapporto per le rette che passano per questi punti è invariante rispetto a qualsiasi punto di origine situato sulla medesima conica:

[ABCD]_O = [ABCD]_O’