La moltiplicazione delle geometrie (6): Lie e i gruppi di trasformazioni continue

Nel Programma di Erlangen, Klein elaborò una teoria che unificava diversi tipi di geometrie: in poche parole, tutte quelle che erano omogenee, nel senso che ogni parte dello spazio assomigliava a ogni altra parte dello spazio. Ciò escludeva, ad esempio, le geometrie su superfici di curvatura variabile, ma produceva un quadro coerente per il resto e soddisfaceva l'intuizione di coloro che ritenevano che in qualche modo la geometria proiettiva fosse fondamentale, perché le sue proprietà erano rilevanti anche nella geometria euclidea, mentre i concetti principali di quest'ultima, come la lunghezza e l'angolo, non avevano alcun significato nella prima.

Nelle Osservazioni finali del Programma, Klein suggeriva che varie geometrie potevano essere classificate e ordinate all'interno di una gerarchia concettuale, in modo da superare l’annosa polemica tra scuole diverse. Aggiungeva poi che la realizzazione del programma richiedeva lo sviluppo di una “teoria delle trasformazioni” analoga a quella inaugurata da Galois per le equazioni algebriche. La differenza consisteva nel fatto che i gruppi di Galois erano costituiti da “un numero finito di elementi discreti”, mentre il contesto geometrico richiedeva di considerare il “numero infinito degli elementi di una varietà continua”.

Questo sembrò l'approccio giusto quando, tra gli anni ’80 e ‘90 apparvero le ricerche del norvegese Sophus Lie (1842-1899), amico di Klein, che intraprese l'enorme compito di classificare tutti i possibili gruppi continui di trasformazioni geometriche e le loro applicazioni alla teoria delle equazioni differenziali, un’opera che rivelò una buona compatibilità con i tipi di geometria organizzati da Klein e che avrebbe portato a una delle principali branche della matematica del XX secolo, la teoria dei gruppi di Lie e le algebre di Lie.

Lie (che si pronuncia come l'inglese Lee) frequentò molti corsi di scienze e matematica presso l'Università di Kristiania (oggi Oslo) dal 1859 al 1865, senza decidere un indirizzo per gli studi universitari. Si mantenne negli anni seguenti dando lezioni private mentre studiava da solo astronomia, meccanica e matematica. Il suo interesse per la geometria si approfondì nel 1868 e il suo primo lavoro matematico fu pubblicato sul Giornale di Crelle nel 1869. Premiato con una borsa di studio, si recò immediatamente all'Università di Berlino, dove iniziò un'intensa collaborazione con Felix Klein. All'inizio del 1870 Lie si recò a Parigi e poco dopo fu raggiunto da Klein: i due ebbero modo di incontrare Camille Jordan, il cui Traité des substitutions et des équations algébriques sui gruppi di permutazioni era in procinto di essere pubblicato. La visita fu stimolante, perché ebbero modo di collaborare su una visione unitaria della geometria, ma si interruppe bruscamente quando iniziò la guerra franco-tedesca nel luglio del 1870 e Klein tornò a Berlino. In agosto Lie decise di partire a piedi per l'Italia, alla vigilia della disfatta dell'esercito francese a Sedan, ma fu arrestato vicino a Fontainebleau e detenuto come spia tedesca: le sue note matematiche erano considerate dei messaggi in codice! Liberato un mese dopo per l’intervento del matematico francese Jean-Gaston Darboux, tornò a Berlino passando per l’Italia.

Nel 1871 Lie divenne assistente a Kristiania e sottopose la sua tesi di dottorato sulla teoria delle trasformazioni di contatto (quelle che agiscono sugli elementi di contatto o intorni infinitesimi dei punti di una varietà, come avviene quando superfici tangenti si trasformano in nuove superfici tangenti). Nominato professore straordinario nel 1872, iniziò a indagare i gruppi di trasformazione continua nel 1873. Dopo aver lavorato in isolamento virtuale per più di 10 anni, a lui si unì il matematico tedesco Friedrich Engel (1861-1941), che aveva appena ottenuto il dottorato dal Università di Lipsia nel 1883. Durante la collaborazione durata nove anni con Engel, Lie pubblicò Theorie der Transformationsgruppen, 3 voll. (1888-93; "Teoria dei gruppi di trasformazione"), che contiene le sue ricerche sulla teoria generale dei gruppi continui. Nel 1886, quando Klein accettò la cattedra a Gottinga, Lie gli subentrò come professore di geometria a Lipsia, dove Engel si era trasferito nel 1885. L’ambiente di Lipsia tuttavia non gli piaceva, ed egli andò incontro ad alcuni periodi di depressione. Nel 1898 Lie, malato anche nel corpo, ritornò a Kristiania per accettare un incarico speciale creato per lui, ma la sua salute stava già peggiorando e morì di anemia poco dopo il suo arrivo.

Il punto di partenza delle ricerche di Lie sui gruppi di trasformazioni si trovava nei suoi studi sulle equazioni differenziali. Egli aveva osservato che “la maggior parte delle equazioni differenziali ordinarie (…) rimanevano invariate per certe classi di trasformazioni facilmente determinabili (…) In altri termini, (…) il concetto di invariante differenziale di un gruppo continuo finito si presentava, anche se solo in forma implicita e speciale, in ogni libro sulle equazioni differenziali ordinarie”. Lie si pose allora l’obiettivo di sviluppare una teoria delle equazioni differenziali ordinarie che ammettevano trasformazioni finite o infinitesimali note, poi sviluppò questa ricerca ampliandola anche alle equazioni differenziali alle derivate parziali, riuscendovi almeno per quelle del primo ordine. Per gli ordini superiori giudicò che era necessario “sviluppare una articolata teoria ausiliaria, la teoria dei gruppi di trasformazioni”. Fu questa “teoria ausiliaria” che diventò l’oggetto principale delle sue ricerche.

Tradizionalmente, i gruppi hanno una struttura discreta. Si ha un gruppo con questi elementi discreti che possono essere combinati con l'operatore del gruppo. Il gruppo potrebbe anche avere un numero infinito di elementi, ma in quantità numerabile (ad esempio, gli interi con l’operazione di somma). Di questi gruppi si era soprattutto occupato Klein.

Un gruppo di Lie è proprio come un gruppo normale, ma opera su un insieme che sembra localmente lineare (una varietà liscia): l'insieme G può essere rappresentato in modo irregolare da sistemi di coordinate a valore reale (o in alternativa a valore complesso), reciprocamente collegati da trasformazioni di coordinate ben definite e differenziabili ovunque le loro rispettive parti si sovrappongano. Il gruppo e le molteplici strutture di G sono combinati insieme dalla condizione che l'operazione del prodotto è una mappatura differenziabile di G × G in G.

Un semplice esempio è il gruppo di rotazioni su un cerchio. Le rotazioni non sono discrete; per esempio, si può ruotare un punto con una quantità irrazionale, ad esempio π. Se ingrandiamo un cerchio abbastanza da vicino, esso sembra una retta, e quindi è "localmente lineare". Un altro semplice esempio è proprio l'insieme di numeri reali con la somma. Esso è proprio come il gruppo dei numeri interi con la somma, ma ci sono più elementi e più "spazio".

Ciò che rende i gruppi di Lie interessanti è che possono essere studiati attraverso il campo della geometria differenziale, che studia curve e superfici. Un gruppo di Lie è una varietà differenziabile che ha la struttura di un gruppo e che soddisfa la condizione aggiuntiva che le operazioni di gruppo di moltiplicazione e inversione siano continue. In pratica, un gruppo di Lie è un gruppo topologico (cioè un gruppo che ha anche le proprietà di uno spazio, nel dettaglio uno spazio topologico), le cui operazioni sono funzioni analitiche, che possono essere sviluppate come somma di potenze intorno a un elemento del gruppo. 

Come tutte le varietà lisce, un gruppo di Lie, G, possiede uno spazio vettoriale tangente collegato a ciascun elemento. In particolare, lo spazio tangente all'elemento neutro 0 di G diventa l'algebra di Lie di G dalla definizione del cosiddetto prodotto di Lie, una mappatura bilineare di T₀G × T₀G ∈ T₀G, che, per tutti gli x, y, z ∈ T₀G soddisfa la condizione [x, x] = 0 per ogni x ∈ G e l'identità di Jacobi: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. L'algebra di Lie di G consente lo studio dettagliato della struttura locale di G attraverso la mappatura omeomorfa ("esponenziale") di un intorno di 0 ∈ T₀G, in un intorno di 0 ∈ G. Quindi i gruppi di Lie sono un punto d'incontro tra teoria dei gruppi e la geometria differenziale. 

I gruppi di Lie sono importanti in fisica. Un gruppo di Lie è, ad esempio, quello che si può costruire a partire dalle matrici di Pauli, importanti per la rappresentazione matematica dello spin delle particelle, oppure il gruppo di Weyl-Heisenberg, da cui è possibile ottenere le relazioni di commutazione direttamente connesse con il principio di indeterminazione di Heisenberg. 

La moltiplicazione delle geometrie (5): Minding e Beltrami

Finito il ginnasio, lo slesiano Ferdinand Minding (1806 - 1885) aveva studiato filosofia, prima ad Halle e poi all'Università di Berlino, frequentando i corsi di Hegel e dello storico Leopold von Ranke. Dopo la laurea nel 1827, insegnò nelle scuole secondarie. Intanto studiava matematica da autodidatta, e riuscì a conseguire il dottorato a Halle con una tesi sugli integrali doppi, che pubblicò sul prestigioso Giornale di Crelle nel 1830. Nello stesso anno divenne professore di matematica all'Università di Berlino.

Nel 1843 lasciò la capitale tedesca e ottenne la cattedra di matematica all'Università di Dorpat (oggi Tartu, in Estonia), un incarico che ricoprì per 40 anni. Questa università, piuttosto periferica, si trovava allora nell'impero zarista, anche se l'insegnamento era in lingua tedesca, le sue inclinazioni accademiche erano rivolte alla Germania e la maggior parte dei professori era tedesca. Nel 1864 Minding diventò cittadino russo e fu eletto all'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, proseguendo la sua lunga carriera scientifica di geometra con studi sulle superfici rigate, le superfici sviluppabili e quelle di rivoluzione.

Il suo lavoro principale continuò l’opera di Gauss del 1828 sulla geometria differenziale delle superfici, in particolare sui loro aspetti intrinseci (il Theorema Egregium). Nel 1830 pubblicò un articolo in cui definì una curva su una superficie come una geodetica se è intrinsecamente lineare, cioè se non vi è alcuna curvatura identificabile all'interno della superficie. Una geodetica è la curva più breve che congiunge due punti di uno spazio. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli archi di cerchio massimo, perché sono i percorsi con la minore curvatura.

Nel 1839 dimostrò quello che oggi è chiamato il teorema di Minding sull'invarianza della curvatura geodetica:

Due superfici lisce ("senza angoli") con la stessa costante curvatura gaussiana sono localmente isometriche.

Egli era particolarmente interessato alle superfici a curvatura negativa costante, e scoprì che, almeno localmente, una di esse è la superficie generata dalla rivoluzione della trattrice intorno il suo asintoto. La trattrice, o curva delle tangenti costanti, è la curva piana trascendente (non è una curva algebrica) caratterizzata dal fatto che il segmento di tangente condotto dal punto di tangenza a una retta fissa (che ne rappresenta l’asintoto) è costante per ogni suo punto. La trattrice ammette l’asse x come asintoto. 

Detta k la lunghezza costante del segmento di tangente, facendo ruotare la trattrice attorno all’asse x, si ottiene la superficie detta “pseudosfera”, perché ha una curvatura costante come quella di una sfera, ma di segno negativo: ‒1/k².

L'anno seguente Minding pubblicò un articolo che conteneva un altro risultato interessante, sebbene non ne percepì le implicazioni. Osservò che le relazioni trigonometriche in triangoli geodetici di una superficie di curvatura negativa costante potevano essere ottenute dalle corrispondenti formule di geometria sferica su una sfera di raggio R moltiplicando R per √-1. Nel 1837 Lobacevskij aveva pubblicato i risultati della sua “geometria immaginaria”, ma a entrambi sfuggì che le formule di Minding erano in accordo con quelle del piano iperbolico stabilito da Lobacevskij. Anche Delfino Codazzi, professore a Pavia, studiando la pseudosfera in un’opera del 1857 sulla geometria differenziale delle superfici, non si accorse che la trigonometria sulla pseudosfera era legata alla planimetria del matematico russo.

Questo fatto non sfuggì invece a Eugenio Beltrami (1835-1900), che si occupò attivamente di geometria differenziale. Egli era nato a Cremona e studiò a Pavia dal 1853 al 1856 con Brioschi, che era stato nominato professore di matematica applicata l'anno prima che Beltrami iniziasse gli studi. Beltrami avrebbe voluto continuare a studiare, ma le difficoltà finanziarie lo costrinsero nel 1856 a trovarsi un impiego come segretario di un ingegnere ferroviario. Questo lavoro lo portò prima a Verona e poi a Milano. Nella città lombarda, Beltrami tornò agli studi matematici e, nel 1862, pubblicò il suo primo articolo. La carriera universitaria lo portò prima a Bologna, poi a Pisa e di nuovo a Bologna. Dopo la presa di Roma del 1870, fu fondata nella nuova capitale italiana una nuova Università dove nel 1873 Beltrami fu nominato docente di meccanica razionale. Dopo tre anni a Roma, Beltrami si trasferì a Pavia per occupare la cattedra di fisica matematica., Tornò infine a Roma nel 1891 e vi insegnò fino al ritiro.

Influenzato da Luigi Cremona, Lobacevskij, Gauss e Riemann, Beltrami lavorò sulla geometria differenziale di curve e superfici. In una memoria del 1866, Risoluzione del problema di riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate su rette, considerò il problema di quando le geodetiche su una superficie potevano essere rappresentate come linee rette sul piano. Egli dimostrò che non tutte le geodetiche potevano essere rappresentate in questo modo, allora passò a considerare l’approccio inverso di quali superfici avessero la proprietà che le geodetiche sulla superficie potevano essere rappresentate come linee rette sul piano.

Fece questo nel Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868), un manoscritto redatto qualche anno prima e messo da parte per paura delle aspre critiche che coinvolgevano chi si occupava di geometrie dette “astrali” o, come ebbe a dire Giusto Bellavitis, professore a Padova, “da manicomio”. Cremona infatti temeva che la geometria euclidea venisse utilizzata per descrivere la geometria non euclidea e vide in questo una possibile difficoltà logica. Le sue preoccupazioni costrinsero Beltrami ad accantonare il suo lavoro per un po', ma le opere di Riemann convinsero Beltrami che i suoi metodi erano solidi.

Nel Saggio la sua risposta fu che le superfici che cercava erano esattamente le superfici di curvatura costante. Egli non si proponeva di dimostrare la coerenza della geometria non euclidea o l'indipendenza dal postulato euclideo delle parallele, ma suggerì che Bolyai e Lobacevskij non avevano affatto introdotto nuovi concetti, ma avevano descritto la teoria delle geodetiche su superfici di curvatura negativa. 

"Abbiamo cercato di trovare una base reale per questa dottrina, invece di dover ammettere per essa la necessità di un nuovo ordine di entità e concetti".

Beltrami dimostrò che, applicando l'interpretazione dei concetti della geometria del piano ai concetti della geometria delle superfici, si trova che sulla pseudosfera è possibile una geometria che soddisfa, almeno in regioni limitate, gli assiomi della geometria iperbolica, di cui costituisce un modello.

Una superficie con curvatura gaussiana negativa costante ha localmente la stessa geometria intrinseca di un piano iperbolico.

Nel modello di Beltrami, costituito da un disco (bordo escluso) nel piano usuale, detto cerchio limite, le geodetiche appaiono come porzioni di rette. Per il punto P esterno alla retta r passano almeno due rette, t e t', che non incontrano la retta r. Si determinano inoltre le seguenti corrispondenze:

• superficie pseudosferica ↔ regione di piano non euclideo;

• punto della superficie ↔ punto del piano;

• geodetica ↔ retta del piano;

• arco di geodetica ↔ segmento del piano;

• due punti determinano una geodetica ↔ due punti determinano una retta del piano;

• per un punto esterno a una geodetica passano infinite geodetiche che non si incontrano con quella data ↔ per un punto esterno a una retta passano infinite rette parallele alla retta data.

Questo risultato assicurava una non contraddittorietà relativa alla geometria iperbolica: se infatti essa fosse stata contraddittoria, ci sarebbe stata una contraddizione nella geometria della pseudosfera, la quale, a sua volta, era stata definita mediante concetti di geometria euclidea. Pertanto vi sarebbe stata una contraddizione nella geometria euclidea.

Per interpretare correttamente il modello è però necessario rendersi conto che la metrica sul cerchio non è quella usuale: le distanze divengono tanto più grandi, e gli angoli più piccoli, quanto più ci si avvicina al bordo del disco. Inoltre le geodetiche sono indefinitamente estese e hanno lunghezza infinita. Nel modello tutti gli assiomi della geometria euclidea sono soddisfatti, tranne quello delle parallele, che nel modello sono infinite.

Bisogna poi sottolineare che le considerazioni relative alla geometria di una superficie, dato il loro carattere locale, non sono conclusive dal punto di vista della non contraddittorietà delle nuove geometrie. Queste considerazioni valgono infatti solo nell'intorno di ogni punto, quindi in regioni limitate, e non sull'intera superficie. Beltrami aveva ottenuto la sua superficie dalla rotazione di una trattrice, e questa curva ha il difetto di avere un punto cuspidale, che ruotando dà origine a un cerchio di punti singolari della superficie: la superficie ottenuta dalla rotazione della trattrice, di cui si conosce l'espressione analitica solo di qualche caso particolare, non è quindi regolare e non può rappresentare interamente il piano non euclideo. Il modello ha valore solo locale. Il problema è allora se tra tutte le superfici, delle quali non si conosce l'espressione analitica, ne esiste almeno una che sia regolare. Beltrami ne era convinto. Il 13 marzo 1869 scriveva a Jules Hoüel, un matematico francese suo amico:

"Ho avuto nel frattempo un'idea bizzarra, che voglio comunicarle in quanto potrebbe essere per voi più facile che a me metterla in atto. Ho voluto tentare di costruire materialmente la superficie pseudosferica sulla quale si realizzano i teoremi della geometria non euclidea". 

L'idea di Beltrami fu dunque quella di costruire un modello di geometria non euclidea prendendo come spazio una superficie di curvatura costante negativa e come rette le sue geodetiche. Il modello materiale costruito in cartone aveva il diametro di 1,04 m; oggi è custodito presso il dipartimento di matematica dell'Università di Pavia. Per la sua forma, l'oggetto fu battezzato "cuffia della nonna", e ancor oggi il modello è anche detto "cuffia di Beltrami".

Gli sforzi di Beltrami furono vani. Nel 1877 il piacentino Angelo Genocchi, professore di calcolo a Torino (sarebbe stato il maestro di Peano), che già aveva avanzato dubbi sulla legittimità della costruzione di Beltrami, ribadiva in un suo articolo pubblicato in francese che non era affatto dimostrato che l’equazione a derivate parziali della pseudosfera ammettesse un integrale soddisfacente alle richieste di Beltrami. Nel 1901 Hilbert avrebbe poi rigorosamente dimostrato che il modello descritto da Beltrami ha un valore esclusivamente locale e non può essere accettato come prova matematica. Un suo teorema afferma che:

Non esiste alcuna superficie regolare su cui valga nella sua completezza la geometria di Lobacevskij e Bolyai.

Inoltre:

Nello spazio euclideo non esiste alcuna superficie che soddisfi integralmente le geometrie non euclidee.

Il modello di Beltrami non era rigoroso, ma fu, accanto alla lezione di abilitazione di Riemann, il primo che cominciò a demolire le opposizioni preconcette verso i nuovi sistemi geometrici. Esso fornì la chiave per interpretare le nuove geometrie non euclidee. Il seme era gettato, e la pianta avrebbe presto incominciato a dare frutti. Tra il 1867 e il 1870 Hoüel tradusse le opere di Lobacevskij, Bolyai e di Beltrami in francese e notò come l'articolo di Beltrami dimostrasse l'indipendenza dal postulato delle parallele di Euclide. Beltrami aveva dato dignità alle “geometrie da manicomio”.

Beltrami si occupò anche di ottica, termodinamica, elasticità, elettricità e magnetismo. I suoi contributi a queste discipline furono raccolti nei quattro volumi delle Opere Matematiche (1902-20), pubblicato postumo. Alcuni dei suoi articoli su argomenti fisici si riferiscono alla geometria non euclidea: studiò come il potenziale gravitazionale descritto da Newton dovrebbe essere modificato in uno spazio di curvatura negativa e dimostrò che le equazioni di Maxwell conservavano la loro validità in uno spazio non euclideo. Dal punto vista storico, infine, portò all'attenzione del mondo matematico lo studio di Saccheri sul quinto postulato, riconoscendone il grande valore.

La geometria, destino e lessico famigliare dei Castelnuovo

Lo scrittore Enrico Castelnuovo (1839 – 1915), di famiglia borghese di origine ebraica, laico, di sentimenti risorgimentali, nel 1865 si sposò con la cugina Emma Levi. Dal matrimonio nacquero Guido, che sarebbe diventato un grande matematico, e Bice, che coltivò invece la pittura. Guido, grande geometra algebrico e statistico, avrebbe poi dato il nome della madre alla quinta figlia Emma, anche lei matematica e, soprattutto, insegnante e grande pedagogista. Dopo un’esperienza in un’azienda commerciale veneziana, Enrico divenne collaboratore e poi direttore del quotidiano veneziano La Stampa, di tendenza conservatrice. Nel 1872, cessata la pubblicazione della Stampa, entrò alla Scuola superiore di commercio di Venezia dove rimase prima come insegnante e infine come direttore, fino al 1914, quando si dimise per raggiunti limiti di età.

Enrico Castelnuovo fu autore di racconti, in cui osservò la vita di provincia, soprattutto veneziana, che ritrasse con curiosità e affettuosa ironia, secondo il gusto di un certo realismo minore, e di romanzi, dove oscillò tra una vena vivace, ma superficiale, e il tentativo di studiare i drammi interiori di personaggi più complessi. Dai romanzi emerge abbastanza chiara la posizione ideologica dello scrittore, attratto dalla cultura positivistica e fedele a un ideale di Stato laico e liberale. Fiducioso in un ordinato progresso civile che non sconvolgesse i valori tradizionali, guardava con amarezza l’Italia a cavallo tra i due secoli, che gli appariva dominata dai compromessi e dalla corruzione del trasformismo della nuova aristocrazia finanziaria e affaristica, che emarginava progressivamente la vecchia classe dirigente risorgimentale. Scrittore di non eccelso talento, non seppe mai separarsi da uno scontato moralismo, che si manifestava facilmente in una monotona retorica dei sentimenti. Proprio in alcuni suoi romanzi, tuttavia, si trovano interessanti ritratti del costume e degli atteggiamenti ideologici della società italiana della fine dell'Ottocento, di cui registrava i mutamenti con il senso di osservazione di un giornalista.

In una raccolta, Sorrisi e lagrime, pubblicata nel 1886, troviamo questo racconto di argomento matematico del padre di Guido, che nello stesso anno si laureava a Padova, e nonno di Emma. La qualità letteraria non è eccelsa, ma lo propongo, dopo averlo visto rilanciato e tradotto in francese su Images des Mathématiques, come interessante documento autobiografico del destino (e del lessico famigliare) di una grande famiglia del panorama culturale italiano.

IL TEOREMA DI PITAGORA

— Il teorema di Pitagora! — disse con una cert'aria di canzonatura il professore Roveni, spiegando un bigliettino ch'io avevo estratto molto delicatamente da un'urna posta sulla cattedra. Poi egli mostro il bigliettino al signor Commissario governativo che gli stava a fianco e gli sussurrò qualche parola all'orecchio. Finalmente consegnò a me quel pezzo di carta affinché potessi leggervi co' miei proprii occhi il titolo del quesito.

— Vada alla tavola nera, — soggiunse il professore con una fregatina di mani.

Il candidato che mi aveva preceduto nell'ardua prova e che se l'era cavata alla meno peggio, usci dalla scuola in punta di piedi, e aprendo la porta fasciò entrare nell'aula una lunga striscia luminosa, in quella striscia luminosa che guizzò sulla parete e sul pavimento io ebbi la soddisfazione di veder la mia ombra.

La porta si richiuse e una mezza oscurità tornò ad avvolgere la stanza. Bisogna notare ch'era una giornata affannosa d'agosto e che le grosse tende di canovaccio bleu erano un debole riparo contro i raggi ardenti del sole, cosicché s'erano anche rabbattute le imposte. Il po' di luce che rimaneva, andava a concentrarsi sulla cattedra e sulla lavagna. Per rischiarare la mia disfatta ce n'era sempre abbastanza.

— Vada alla tavola nera e tracci la figura, — ripeté il professore Roveni che s'era accorto delle mie esitazioni.

Tracciar la figura era la sola cosa che sapevo, onde presi un pezzo di gesso e mi accinsi coscienziosamente all'opera. Non avevo fretta; quanto più tempo impiegavo in questa parte grafica, tanto meno ne restava per la parte orale.

Ma il professore non era uomo da secondare il mio innocente artifizio.

— Si spicci, — egli mi disse. — Non deve mica disegnare una Madonna di Raffaello.

Bisognò finire.

— Metta le lettere adesso.... Presto, non faccia un saggio di calligrafia. Perché scancella quel G?

— Per non confonderlo col C che ho fatto prima. Lo sostituisco con un H.

— Che delicato pensiero! — osservò il Roveni con la sua solita ironia. — Ha terminato?

— Sissignore. — E soggiunsi fra me e me: — Pur troppo.

— Via, perché sta lì incantato? Enunci il teorema.

Qui cominciavano le dolenti note. I veri termini del quesito mi erano sfuggiti di mente.

— In un triangolo, — cominciai balbettando.

— Avanti.

Mi feci coraggio e dissi quello che sapevo:

— In un triangolo... il quadrato dell'ipotenusa è uguale ai quadrati dei due cateti.

— In qualunque triangolo?

— No, no, — suggerì un'anima pietosa dietro a me.

— Nossignore, — diss'io.

— Si spieghi; in che triangolo?

— Un triangolo rettangolo. — sussurrò la voce di prima.

— In un triangolo rettangolo, — ripetei come un pappagallo.

— Silenzio lì di dietro, — urlò il professore.

E poi continuò rivolgendosi a me: — Sicché, secondo lei, quel quadrato grande è uguale a ciascheduno di quei quadrati piccoli?

Diamine, la cosa era assurda. Ma ebbi una buona ispirazione:

— Nossignore: a tutti e due uniti insieme.

— Alla somma, dunque; dica alla somma, e dica equivalente, non uguale. Adesso dimostri.

Io sudavo, ma ad onta del caldo tropicale, il mio sudore era gelato; guardavo inebetito il triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa e i suoi due rampolli, passavo il gesso da una mano all'altra e non dicevo nulla per la gran ragione che non avevo nulla da dire.

Nessuno suggeriva più. Nell'aula si sarebbe sentita volare una mosca. Il professore Roveni fissava sopra di me i suoi occhietti grigi in cui brillava una gioia maligna, il signor Commissario governativo prendeva qualche appunto sopra un foglio di carta. A un tratto questo rispettabile personaggio si raschiò in gola e il professore Roveni disse nel modo più insinuante. — Ebbene?

Io non risposi.

Invece di rimandarmi addirittura pei fatti miei, il professore volle imitare il gatto che giuoca col sorcio prima di sbranarlo.

— Come? — egli soggiunse. — Forse ella cerca una soluzione nuova. Non dico che non si possa trovarla, ma noi altri ci contentiamo d'una delle vecchie. Andiamo; non si ricorda che deve prolungare i due lati DE e MF finché s'incontrino? Li prolunghi; coraggio!

Io feci macchinalmente quello che m'era indicato. La figura s'ingigantiva e mi pesava sullo stomaco come un masso ciclopico.

— Metta una lettera al punto d'incontro, un N. Cosi. E adesso?

lo restavo zitto.

— Non le pare necessario di abbassare una linea da N per A fino alla base del quadrato BHIC?

A me non pareva necessario niente affatto: nondimeno ubbidii.

— E poi dovrà ben prolungare anche i due lati BH e IC.

Auff! Non ne potevo più.

-- Ormai, — ripigliò il professore, — la dimostrazione la sa fare anche un bambino di due anni. Non ha nulla da osservare circa i due triangoli BAC e NAF?

Poiché tacendo non facevo che prolungare il mio supplizio, risposi laconicamente. — Nulla.

— In altri termini ella non sa proprio nulla?

— Mi pare che dovrebb'essersene accorto da un pezzo, — osservai con una calma degna di Socrate.

— Ma bravo, bravissimo; la prende su questo tono? E non sa nemmeno che il teorema di Pitagora è chiamato anche il ponte degli asinelli perché sono appunto gli asini quelli che non lo passano?... Se ne vada pure. Capisce bene che ha perduto l'esame. Cosi imparerà a leggere il Don Chisciotte o a disegnare dei gatti durante le mie lezioni.

Il Commissario governativo fiutò una presa di tabacco; io deposi il gesso e la cimossa, e uscii maestosamente dall'aula fra le risatine soffocate de' miei condiscepoli.

Tre quattro camerati che avevan già fatto l'esame con un successo poco più brillante del mio m'aspettavano fuori.

— Fiasco dunque?

— Fiaschissimo, — risposi pavoneggiandomi con nobile orgoglio, E soggiunsi: — L'ho sempre detto che la matematica non è fatta che pegli sgobboni.

— S'intende, — esclamò uno de' miei emuli.

— E che quesito t'era toccato? — chiese un altro.

— Il teorema di Pitagora. che può importare a me che il quadrato dell'ipotenusa sia o non sia uguale alla somma dei quadrati de' due cateti? — Ma non può importare né a te, né a me, né a nessuno al mondo, — incalzò un terzo con la petulanza d'un ignorante di quattordici anni. — E poi, se è uguale, perché hanno bisogno di sentirselo a ripetere? E se non è, perché ci seccano?

— Credetelo pure, amici miei, — diss'io riassumendo la discussione con la prosopopea d'un uomo di grande

esperienza, — credetelo pure; tutto il sistema dell'istruzione è sbagliato, e finché ci saranno i Tedeschi l'andrà sempre così.

Persuasi che la nostra caduta fosse una protesta contro il dominio straniero e una prova d'ingegno vivace ed originale, ci avviammo a casa, ove per conto mio, lo confesso, sentii sbollire alquanto il primo entusiasmo.

Quell'esame così ignominiosamente perduto ebbe una grande influenza sul mio avvenire. Poiché non c'era verso ch'io capissi la matematica, si decise quel giorno stesso in famiglia di farmi interrompere il corso teorico. D'altra parte le mie condizioni domestiche non mi permettevano di ricominciar da capo gli studi in ginnasio. Bisognava assolutamente ch'io entrassi nella vita pratica, ch'io mi mettessi in grado di guadagnar presto qualche cosa.

Era il partito più ragionevole che si potesse prendere, e io non avevo alcun diritto di oppormivi; tuttavia, lo confesso, ne fui profondamente contristato. La mia avversione alle matematiche non si estendeva alle altre materie d'insegnamento nelle quali facevo anzi un discreto profitto; e poi amavo la scuola. Amavo i suoi chiostri severi che noi ragazzi empivamo di vita e d'allegria, amavo le sue panche di legno intagliate dai nostri temperini, amavo persino la sua tavola nera ch'era stata testimonio della mia irreparabile disfatta.

E me la prendevo col teorema di Pitagora. Con un altro quesito, chi sa? avrei potuto connettere qualche frase, avrei potuto uscirne pel rotto della cuffia, come negli anni scorsi. Ma doveva proprio capitarmi quello lì!

Me ne sognai tutta la notte. Vedevo sempre quel terribile quadrato con quel suo triangolo sovrapposto da cui sbocciavano, volgendo l'uno a destra l'altro a sinistra, due quadratini minori. Poi vedevo un intreccio di linee, una gran confusione di lettere maiuscole e sentivo martellarmi nella testa: BAC = NAF; RNAB=DEAB.

Ci volle un bel pezzo prima ch'io fossi liberato da questo incubo, prima che Pitagora e i suoi tre quadrati mi uscissero dalla mente. Alla lunga però, il tempo, che con la sua spugna scancella tante cose dal libro della memoria, vi aveva scancellato anche questa, quando poche settimane fa la malaugurata figura mi apparve inopinatamente in un quaderno di mio figlio.

-— Questa maledizione si trasmette dunque anche ai miei discendenti! — esclamai. — Povero ragazzo! E se anche a lui il teorema di Pitagora fosse fatale come fu fatale a me?

Volli interrogarlo al suo ritorno dalla scuola.

— Dunque, — incominciai con gravità, — siete già arrivati con la vostra geometria al teorema di Pitagora?

— Sì, babbo, — egli mi rispose con disinvoltura.

— Teorema difficile, — soggiunsi tentennando la testa.

— Ti pare? — egli chiese sorridendo.

— Vorresti far il gradasso e darmi a credere che a te par facile?

— Sicuro che mi par facile.

— Sarei curioso un po' di vederti alla prova, — mi scappò detto involontariamente. È inutile, io non posso soffrire le spacconate.

— Subito, — disse il baldanzoso giovinetto, E alle parole seguirono i fatti. Egli prese un foglio di carta e un lapis e tracciò rapidamente la cabalistica figura.

— In quanto a dimostrazioni, — egli ripigliò, — non c'è che l'imbarazzo della scelta. A te fa lo stesso l'una l'altra?

— Sì, — risposi macchinalmente. E infatti non poteva a meno di farmi lo stesso. Fossero state anche cento quelle dimostrazioni, ero certo che non ne avrei capita nessuna.

— Allora scegliamo quella ch'è più comune, — proseguì il mio matematico.

Ciò detto, egli abbassò e prolungò le linee che il professor Roveni di buona memoria mi aveva fatto abbassare e prolungare ventisett'anni prima, e con l'accento della più schietta convinzione si accinse a provarmi che il triangolo BAC era uguale al triangolo NAF, e che il rombo RHAB era come un pomo spartito col quadrato DEAB e che tante altre cose erano uguali fra loro, onde ne veniva di natural conseguenza che il quadrato BHIC era equivalente alla somma dei due quadrati CAFM e DEAB.

— E adesso, — disse mio figlio quand'ebbe terminato il suo sproloquio, — possiamo, se vuoi, arrivare all’identica conclusione per un'altra strada.

— Per carità! — esclamai atterrito. — Poiché siamo arrivati, riposiamoci dalle fatiche del viaggio.

— Ma io non sono punto stanco.

Nemmeno stanco! Quel ragazzo lì era dunque un Newton in erba! E si discorre del principio d'eredità!

— Suppongo che in matematica sarai il primo della classe, — io gli dissi compreso d'un certo timore riverenziale.

— No, no, — egli rispose. — Ce ne sono due che valgono meglio di me. E poi tu sai benissimo che ad eccezione degli asini, il teorema di Pitagora lo capiscono tutti.

Ad eccezione degli asini! Dopo ventisett'anni sentivo dalla bocca di mio figlio quasi le identiche parole che avevo sentite dal professor Roveni il giorno memorabile del mio esame. E questa volta c'era anche la feroce ironia del tu sai benissimo.

Volli salvare il decoro e soggiunsi in gran furia:

— Lo so, lo so. Avevo detto per ischerzo. Guai a insuperbirsi per così poco!

Ma intanto il mio Newton s'era pentito di quella sua sentenza troppo recisa.

— Del resto, — egli ripigliò con qualche imbarazzo, — ci sono di quelli che non istanno mai attenti, e allora... anche se non sono asini... sfido io...

Mi parve che mi fosse offerta una tavola di salvamento, e in uno slancio di sincerità:

— Dev'essere così, — dissi. — Non sarò mai stato attento.

— Come?... Tu? — proruppe il ragazzo arrossendo fino alla radice dei capelli. — Eppure scommetterei che, in fondo in fondo, egli aveva una gran voglia di ridere.

Io gli misi una mano sulla bocca:

— Zitto, non approfondiamo le indagini.

Ebbene, il teorema di Pitagora mi ha costato, come si vede, una nuova e gravissima umiliazione. Ad onta di ciò, io non gli serbo più l'antico rancore. Confidenza tra lui e me non ce ne sarà mai, ma io lo considero quale un amico di famiglia a cui non è lecito usare alcun sgarbo, nemmeno s'egli ci è personalmente antipatico.

Enrico Castelnuovo, SORRISI E LAGRIME. Nuovi Racconti, Terza edizione. Milano, Fratelli Treves Editori, 1886

La moltiplicazione delle geometrie (4): tutti in gruppo a Erlangen

Teoria dei gruppi - In matematica, un gruppo è un insieme non vuoto abbinato a un'operazione binaria interna (come ad esempio la somma o il prodotto) e che che soddisfa gli assiomi dell'associatività e dell'esistenza dell'elemento neutro e dell’inversa. Sistemi che obbedivano alle leggi del gruppo apparvero per la prima volta nel 1770 negli studi di Joseph-Louis Lagrange sulle permutazioni delle radici delle equazioni; tuttavia, la parola gruppo fu per la prima volta riferito a un sistema di permutazioni da Évariste Galois nel 1831. La teoria dei gruppi fu poi sviluppata grazie ai contributi fondamentali, tra gli altri, di Abel e Arthur Cayley.

Consideriamo, ad esempio, un insieme di elementi, che indichiamo con X. Chiamiamo permutazione di questo insieme una funzione f: X→X che opera sugli elementi di questo insieme in modo da ordinarli in successione, come nell'anagramma di una parola. Ad esempio, è possibile permutare gli elementi dell’insieme X formato dalle tre lettere A, B e C, ottenendo sei possibili configurazioni: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Quando abbiamo una permutazione f, abbiamo anche una permutazione inversa f⁻¹ che riporta allo stato iniziale: se f(x)=y allora f⁻¹(y)=x. Se ad esempio esiste la funzione f che trasforma ABC in BCA facendo slittare le lettere di un posto verso destra, esiste anche la funzione inversa f⁻¹ che riporta BCA ad ABC facendo slittare le lettere di un posto verso sinistra. La funzione g che invece scambia di posto due lettere consecutive (da ABC a BAC) è diversa sia da f sia da f⁻¹. La permutazione banale, vale a dire quella che non cambia niente, si chiama identità e viene indicata con Id.

Quando si hanno due permutazioni f e g dello stesso insieme, si può applicare prima f e poi g: si avrà così definita una permutazione composta che si indicherà g○f (o più semplicemente gf, partendo da destra), poiché gf(x)=g(f(x)). Si noti che comporre con l’identità è un’operazione neutra, perciò si dice che l’identità è l’elemento neutro.

Ora, seguendo Arthur Cayley (1821-1895), che sviluppò questo concetto, si può dare la seguente definizione:

Un gruppo è l’insieme di tutte le permutazioni di uno stesso insieme X che si possono ottenere per composizione a partire da certe permutazioni preferite, chiamate generatori, o dalle loro inverse.

Ad esempio il gruppo generato dalla sola applicazione f è composto da tre permutazioni: f , f○f = f₂ e Id = f₃ . In questo caso si riscontra che l’inverso di f è f₂ . Così come accade nella teoria degli insiemi, la cardinalità di un gruppo si definisce in base al numero dei suoi elementi: in questo caso la cardinalità del gruppo generato da f è 3.

Le permutazioni viste sopra, operate sull'insieme X = {A, B, C}, costituiscono quindi un gruppo.

Quando l’ordine delle operazioni effettuate su X non influisce sul risultato, si parla di gruppo commutativo, o gruppo abeliano. All'interno di un gruppo G è possibile calcolare come commutano due suoi elementi a e b, calcolando il loro commutatore, dato dalla relazione:

[a,b] = aba⁻¹b⁻¹

Un commutatore è diverso da zero quando la composizione di due operazioni non soddisfa la proprietà commutativa.

Il concetto di gruppo consente di lavorare in maniera flessibile con oggetti matematici di natura e origine molto diverse tra loro, identificando alcuni importanti aspetti strutturali comuni. Con i gruppi è possibile trattare con le stesse modalità le soluzioni di un'equazione polinomiale, le simmetrie di un ente geometrico (ad esempio il gruppo di simmetria di un poligono regolare con n lati, detto gruppo diedrale), oppure gli insiemi numerici, o ancora le matrici. I gruppi giocano un ruolo chiave anche in topologia e in aree esterne alla matematica, come ad esempio nella fisica quantistica, dove queste rappresentazioni spesso permettono di discriminare le teorie "possibili", o nella chimica e nella mineralogia, in cui sono utilizzati per classificare strutture cristalline, poliedri regolari e simmetrie delle molecole.

Il programma di Erlangen di Klein - In un opuscolo pubblicato a soli ventitré anni quando fu nominato professore ordinario alla facoltà di Erlangen (1872), Felix Klein (1849-1925) fece il punto della enorme crescita e diversificazione della geometria avvenute nei decenni precedenti e propose un punto di vista da cui i suoi numerosi rami potevano essere organizzati in un sistema. Questo documento prese il nome di Programma di Erlangen. Nel proposito di Klein, il concetto di varietà introdotto da Riemann andava integrato con gli strumenti forniti dalla geometria proiettiva e quelli della teoria dei gruppi. Detto con le sue parole:

Data un varietà e un gruppo di trasformazioni della varietà, studiare le molteplici configurazioni rispetto a quelle caratteristiche che non sono alterate dalle trasformazioni del gruppo.

Ad ogni geometria, Klein associò un gruppo di simmetrie. La gerarchia delle geometrie era quindi rappresentata mediante una gerarchia di questi gruppi e una gerarchia dei loro invarianti. Cambiando il gruppo, cambiava il linguaggio geometrico. Due teorie geometriche a prima vista distinte potevano perciò rivelarsi “equivalenti” nel senso che una corrispondenza biunivoca tra “elementi dello spazio” scelti opportunamente nelle due varietà induceva, come diremmo oggi, un isomorfismo tra i rispettivi gruppi di trasformazioni.

Se S è una varietà in entrambi i sensi, con una trasformazione di S intendiamo una mappatura uno a uno di S su se stessa. È chiaro che:

a) Se T₁ e T₂ sono trasformazioni di S, la mappatura composita T₂ ○ T₁, che consiste in T₁ seguita da T₂, è anche una trasformazione di S;

b) la composizione delle trasformazioni è associativa, quindi, se T₁, T₂ e T₃ sono trasformazioni di S, allora (T₃ ○ T₂) ○ T₁ = T₃ ○ (T₂○ T₁);

c) la mappatura dell'identità I, che invia ogni punto di S a se stessa, è una trasformazione di S tale che, per ogni trasformazione T, vale T ○ I = I ○ T = T;

d) per ogni trasformazione T c'è una trasformazione T^-1, la inversa di T, tale che T^-1 ○ T = I (T^-1 rimanda indietro ogni punto di S da dove è stato portato da T).

In virtù delle condizioni (a) - (d), le trasformazioni (rotazioni, traslazioni, riflessioni, ecc.) di S formano un gruppo G_S nel senso preciso che questo termine ha in algebra. G_S include sottogruppi, cioè sottogruppi che contengono I e soddisfano le condizioni (a) e (d). Se H è un sottogruppo di G_S e Φ è una caratteristica di S, o dei suoi elementi o parti, che non è influenzata dalle trasformazioni di Φ, diciamo che Φ è H-invariante. L'unico G_S-invariante è la cardinalità di S (cioè il numero di elementi nella varietà). D'altra parte, il gruppo {I}, costituito solo dall'identità, conserva banalmente ogni caratteristica immaginabile. Tra questi due estremi ci possono essere molti sottogruppi diversi con tutti i tipi di invarianti interessanti, a seconda della rispettiva struttura di gruppo. Se S non è un insieme arbitrario (senza struttura), ma una varietà numerica come descritta da Klein, eredita la struttura dal campo del numero reale, che contribuisce a caratterizzare i diversi sottogruppi di G_S e delle loro invarianti. Pertanto, il gruppo di trasformazioni continue preserva le proprietà topologiche (relazioni di vicinanza) e il gruppo di trasformazioni lineari preserva le proprietà proiettive.

Si possono stabilire le proprietà metriche in questo modo? Tradizionalmente si definisce la distanza tra due punti (x₁, ..., x_n) e (y₁, ..., y_n) di una varietà numerica come radice quadrata positiva di (x₁ - y₁)² + ... + (x_x - y_x)². Il gruppo di isometrie consiste nelle trasformazioni che preservano questa funzione. Tuttavia, questa è solo una convenzione, adottata per garantire che la geometria sia euclidea. Usando la geometria proiettiva, Klein pensò a qualcosa di meglio. Nessuna funzione a valore reale delle coppie di punti, definita su tutto lo spazio proiettivo, è un invariante del gruppo proiettivo, ma esiste una funzione di quadruple di punti collineari, il birapporto, che è una tale invariante. Attingendo al lavoro di Arthur Cayley (1821 ca-1895), Klein considerava il birapporto delle quadruple di punti [P₁, P₂, P₃, P₄]. tale che P₃ e P₄ appartengano a una data conica κ su un piano proiettivo, mentre P₁ e P₂ si estendono su una regione R che è delimitata o in qualche altro modo fissata da κ. Poiché P₃ e P₄ devono essere i punti in cui la retta che attraversa P₁ e P₂ incontra κ, il detto birapporto può essere considerato come una funzione della coppia di punti [P₁, P₂]. Le collineazioni che mappano una data conica su se stessa formano un gruppo, e la suddetta funzione è chiaramente un invariante di questo gruppo. Klein dimostrò che una certa funzione di questa funzione si comporta come una normale funzione di distanza su R. Secondo la natura della conica, la struttura determinata da questa funzione soddisfa (a) tutti i teoremi della geometria piana euclidea, o (b) tutti quelli della geometria piana lobacevskiana, o (c) quelli della terza geometria che Riemann aveva chiamato"ellittica". Risultati simili valgono per il caso tridimensionale, con κ una superficie quadrica.

Klein rese molto esplicita l'idea che ogni linguaggio geometrico avesse i propri concetti appropriati, quindi, ad esempio, la geometria proiettiva parla di sezioni coniche, ma non di cerchi o angoli perché quelle nozioni non sono invarianti rispetto alle trasformazioni proiettive. Il modo in cui i linguaggi multipli della geometria erano poi riunificati poteva essere spiegato dal modo in cui i sottogruppi di un gruppo di simmetria sono correlati tra loro.

La teoria geometrica dei gruppi di Klein godette di grande favore tra i matematici. Raggiunse un grande successo quando Minkowski (1909) dimostrò che la sostanza della teoria della relatività speciale di Einstein era la geometria del gruppo di Lorentz (l’insieme delle trasformazioni sulle coordinate dello spazio-tempo), un risultato essenziale che Klein era ancora vivo per apprezzare.

La moltiplicazione delle geometrie (3): Riemann

Un cambiamento molto significativo nella concezione stessa di geometria avvenne con l’estensione di Bernhard Riemann della geometria differenziale gaussiana. Nella tesi per l’abilitazione all'insegnamento "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria", presentata alla Facoltà di Filosofia di Göttingen nel 1854 e pubblicata postuma nel 1867, Bernhard Riemann (1826-1866) presentò alcune idee radicalmente innovative, con lo scopo di fornire un quadro unitario dello studio degli ambienti geometrici, dopo la scoperta delle geometrie non euclidee e utilizzando i nuovi strumenti più astratti sviluppati nel frattempo dalle varie branche della matematica. Era infatti “rimasto del tutto inesplorato il concetto generale di grandezza molteplicemente estesa, sotto cui rientrano anche le grandezze spaziali”. Egli intendeva “costruire il concetto di grandezza molteplicemente estesa a partire dal concetto generale di grandezza” e mostrare che tale concetto “era suscettibile di diverse relazioni metriche”, di cui lo spazio formava solo un caso speciale di grandezza di dimensione 3 tra tutte quelle concepibili. “I concetti di grandezza - affermava - sono possibili solo quando siamo in presenza di un concetto generale, suscettibile di diverse determinazioni. A seconda che ci sia un passaggio continuo da una determinazione a un’altra oppure no, esse formano una varietà continua o discreta.”

Riemann utilizzò per il concetto di grandezza molteplicemente estesa il termine tedesco Mannigfaltigkeit, da cui proviene il corrispondente termine inglese manifold e che noi traduciamo con varietà. Concetto polimorfo, la sua definizione dipende dall'ambiente in cui si opera, dalla natura degli elementi che lo costituiscono e dalle proprietà che si vogliono studiare. A seconda che si usino gli strumenti della sola topologia o anche quelli del calcolo differenziale e dell’analisi complessa, si parla rispettivamente di varietà topologiche, di varietà differenziabili, di varietà complesse (o analitiche), ecc.

Riemann estese a n dimensioni i metodi impiegati da Gauss (1828) nel suo studio sulla geometria intrinseca di superfici curve incorporate nello spazio euclideo (chiamate "intrinseche" perché descrivono le proprietà metriche che le superfici mostrano di per se stesse, indipendentemente dal modo in cui esse giacciono nello spazio). Il concetto di varietà generalizza quelli di curva e superficie della geometria analitica: intuitivamente, una varietà è uno spazio a più dimensioni che localmente, intorno a ogni suo punto, presenta una struttura simile a quella dello spazio euclideo, ma che globalmente può essere "curvo" ed assumere le forme più svariate.

In termini generali, un sottoinsieme X⊂Rⁿ è una varietà di dimensione m (con m ≤ n) se, nell'intorno dei suoi punti, esso assomiglia ad un aperto di R^m. Le varietà localmente simili alla retta R si chiamano curve, mentre quelle localmente simili al piano R² si chiamano superfici. Se una varietà X è localmente simile a Rⁿ, allora si definisce X una varietà di dimensione n.

Riemann notò che le proprietà misurabili di una varietà discreta, di cui è facile trovare esempi in natura, possono essere facilmente determinate contando. Ma le varietà continue, che ricorrono con grande frequenza in matematica, non ammettono questo approccio. In particolare, le proprietà misurabili dello spazio fisico, che sono l’oggetto della geometria, fino ad allora erano state verificate con successo in accordo con la geometria euclidea: la distanza tra due punti nello spazio può essere accertata con un'asta, o un nastro, o con mezzi ottici, e il risultato dipende essenzialmente dal comportamento fisico degli strumenti utilizzati. Tuttavia, "i concetti empirici su cui si basano le determinazioni metriche dello spazio - i concetti di un corpo rigido e di un raggio di luce - perdono la loro validità nell'infinitamente piccolo; è quindi molto probabile che le relazioni metriche dello spazio nell'infinitamente piccolo non siano in accordo con le assunzioni della geometria, e infatti dovremmo accettarlo non appena i fenomeni potranno essere così spiegati in un modo più semplice”. Si trattava di una considerazione a suo modo profetica.

Lo schema di base di Riemann ambiva a una generalità molto più ampia, ma, a suo giudizio, doveva essere sufficiente per il momento caratterizzare la geometria delle varietà continue in modo tale che fosse perfettamente in accordo con la geometria euclidea su un piccolo intorno di ciascun punto. Ad esempio, localmente la superficie terrestre somiglia ad un piano, e per questo è una varietà di dimensione 2. Tuttavia tale somiglianza non conserva la distanza tra i punti, in quanto la sfera ha una curvatura diversa. La curvatura incide sulla somma degli angoli interni di un triangolo: nel piano tale somma è sempre 180°, mentre su una sfera è sempre maggiore. La superficie della Terra non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di R²), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche. Ogni mappa di un atlante terrestre è costituita da intorni di punti della superficie omeomorfi al piano, Le mappe non formano una tassellatura perfetta e si sovrappongono parzialmente l’una con l’altra, tuttavia è possibile orientarsi grazie alle coordinate geografiche dei punti. Analogamente, una varietà può essere descritta da una serie di funzioni continue (carte) che nel loro insieme costituiscono un atlante. Partendo da una lista di spazi considerati “semplici”, per ogni punto della varietà si considera un intorno omeomorfo a uno spazio semplice, che costituisce una carta. Nell'intersezione tra intorni, le carte si possono comporre generando funzioni tra spazi semplici dette funzioni di transizione. Queste ultime devono essere compatibili, cioè devono essere come minimo omeomorfismi, ma spesso si richiede che siano differenziabili.

Notando come su una stessa varietà si possono definire in modi diversi le distanze tra due punti (dipende dalla scelta della funzione), Riemann concludeva che “c’è tuttavia una differenza essenziale tra rapporti metrici e di estensione”, che diventava fondamentale quando “si estendono le costruzioni dello spazio allo smisuratamente grande”. In tal caso “bisogna fare distinzione tra l’illimitato e l’infinito: il primo appartiene ai rapporti di estensione, il secondo ai rapporti metrici”. Con questa preziosa osservazione si affacciava la possibilità, sfuggita ai geometri prima di lui, di una geometria ellittica, che è la geometria della superficie di una sfera, in cui viene meno non solo il postulato delle parallele, ma anche quello dell’infinità della retta. Una retta in questa geometria corrisponde sempre e comunque a uno dei cerchi massimi della sfera: nella geometria ellittica di Riemann quindi non esistono parallele, in quanto ogni coppia di rette converge in punti antipodali. Quando la curvatura dello spazio assume un valore positivo, per quanto piccolo, lo spazio “sarebbe necessariamente finito”.

Non vi era alcun bisogno che una geometria riemanniana n-dimensionale dovesse essere ottenuta da una mappa di un sottoinsieme n-dimensionale di un qualche spazio euclideo. Ciò significava che si può fare geometria senza riferimento a quella euclidea: la geometria euclidea non veniva più epistemologicamente prima di qualsiasi studio di altre geometrie. Le idee su come la geometria teoretica di qualsiasi tipo si relazionasse con lo spazio intorno a noi erano diventate molto più sofisticate. La verità della geometria non era più da dare per scontata, ma era diventata in qualche misura empirica, e anche le idee filosofiche sull'intelligibilità della geometria si erano approfondite. Esistevano migliori sistemi formali e assiomatici. Il regno di Euclide era teoricamente finito.