La moltiplicazione delle geometrie (6): Lie e i gruppi di trasformazioni continue

Nel Programma di Erlangen, Klein elaborò una teoria che unificava diversi tipi di geometrie: in poche parole, tutte quelle che erano omogenee, nel senso che ogni parte dello spazio assomigliava a ogni altra parte dello spazio. Ciò escludeva, ad esempio, le geometrie su superfici di curvatura variabile, ma produceva un quadro coerente per il resto e soddisfaceva l'intuizione di coloro che ritenevano che in qualche modo la geometria proiettiva fosse fondamentale, perché le sue proprietà erano rilevanti anche nella geometria euclidea, mentre i concetti principali di quest'ultima, come la lunghezza e l'angolo, non avevano alcun significato nella prima.

Nelle Osservazioni finali del Programma, Klein suggeriva che varie geometrie potevano essere classificate e ordinate all'interno di una gerarchia concettuale, in modo da superare l’annosa polemica tra scuole diverse. Aggiungeva poi che la realizzazione del programma richiedeva lo sviluppo di una “teoria delle trasformazioni” analoga a quella inaugurata da Galois per le equazioni algebriche. La differenza consisteva nel fatto che i gruppi di Galois erano costituiti da “un numero finito di elementi discreti”, mentre il contesto geometrico richiedeva di considerare il “numero infinito degli elementi di una varietà continua”.

Questo sembrò l'approccio giusto quando, tra gli anni ’80 e ‘90 apparvero le ricerche del norvegese Sophus Lie (1842-1899), amico di Klein, che intraprese l'enorme compito di classificare tutti i possibili gruppi continui di trasformazioni geometriche e le loro applicazioni alla teoria delle equazioni differenziali, un’opera che rivelò una buona compatibilità con i tipi di geometria organizzati da Klein e che avrebbe portato a una delle principali branche della matematica del XX secolo, la teoria dei gruppi di Lie e le algebre di Lie.

Lie (che si pronuncia come l'inglese Lee) frequentò molti corsi di scienze e matematica presso l'Università di Kristiania (oggi Oslo) dal 1859 al 1865, senza decidere un indirizzo per gli studi universitari. Si mantenne negli anni seguenti dando lezioni private mentre studiava da solo astronomia, meccanica e matematica. Il suo interesse per la geometria si approfondì nel 1868 e il suo primo lavoro matematico fu pubblicato sul Giornale di Crelle nel 1869. Premiato con una borsa di studio, si recò immediatamente all'Università di Berlino, dove iniziò un'intensa collaborazione con Felix Klein. All'inizio del 1870 Lie si recò a Parigi e poco dopo fu raggiunto da Klein: i due ebbero modo di incontrare Camille Jordan, il cui Traité des substitutions et des équations algébriques sui gruppi di permutazioni era in procinto di essere pubblicato. La visita fu stimolante, perché ebbero modo di collaborare su una visione unitaria della geometria, ma si interruppe bruscamente quando iniziò la guerra franco-tedesca nel luglio del 1870 e Klein tornò a Berlino. In agosto Lie decise di partire a piedi per l'Italia, alla vigilia della disfatta dell'esercito francese a Sedan, ma fu arrestato vicino a Fontainebleau e detenuto come spia tedesca: le sue note matematiche erano considerate dei messaggi in codice! Liberato un mese dopo per l’intervento del matematico francese Jean-Gaston Darboux, tornò a Berlino passando per l’Italia.

Nel 1871 Lie divenne assistente a Kristiania e sottopose la sua tesi di dottorato sulla teoria delle trasformazioni di contatto (quelle che agiscono sugli elementi di contatto o intorni infinitesimi dei punti di una varietà, come avviene quando superfici tangenti si trasformano in nuove superfici tangenti). Nominato professore straordinario nel 1872, iniziò a indagare i gruppi di trasformazione continua nel 1873. Dopo aver lavorato in isolamento virtuale per più di 10 anni, a lui si unì il matematico tedesco Friedrich Engel (1861-1941), che aveva appena ottenuto il dottorato dal Università di Lipsia nel 1883. Durante la collaborazione durata nove anni con Engel, Lie pubblicò Theorie der Transformationsgruppen, 3 voll. (1888-93; "Teoria dei gruppi di trasformazione"), che contiene le sue ricerche sulla teoria generale dei gruppi continui. Nel 1886, quando Klein accettò la cattedra a Gottinga, Lie gli subentrò come professore di geometria a Lipsia, dove Engel si era trasferito nel 1885. L’ambiente di Lipsia tuttavia non gli piaceva, ed egli andò incontro ad alcuni periodi di depressione. Nel 1898 Lie, malato anche nel corpo, ritornò a Kristiania per accettare un incarico speciale creato per lui, ma la sua salute stava già peggiorando e morì di anemia poco dopo il suo arrivo.

Il punto di partenza delle ricerche di Lie sui gruppi di trasformazioni si trovava nei suoi studi sulle equazioni differenziali. Egli aveva osservato che “la maggior parte delle equazioni differenziali ordinarie (…) rimanevano invariate per certe classi di trasformazioni facilmente determinabili (…) In altri termini, (…) il concetto di invariante differenziale di un gruppo continuo finito si presentava, anche se solo in forma implicita e speciale, in ogni libro sulle equazioni differenziali ordinarie”. Lie si pose allora l’obiettivo di sviluppare una teoria delle equazioni differenziali ordinarie che ammettevano trasformazioni finite o infinitesimali note, poi sviluppò questa ricerca ampliandola anche alle equazioni differenziali alle derivate parziali, riuscendovi almeno per quelle del primo ordine. Per gli ordini superiori giudicò che era necessario “sviluppare una articolata teoria ausiliaria, la teoria dei gruppi di trasformazioni”. Fu questa “teoria ausiliaria” che diventò l’oggetto principale delle sue ricerche.

Tradizionalmente, i gruppi hanno una struttura discreta. Si ha un gruppo con questi elementi discreti che possono essere combinati con l'operatore del gruppo. Il gruppo potrebbe anche avere un numero infinito di elementi, ma in quantità numerabile (ad esempio, gli interi con l’operazione di somma). Di questi gruppi si era soprattutto occupato Klein.

Un gruppo di Lie è proprio come un gruppo normale, ma opera su un insieme che sembra localmente lineare (una varietà liscia): l'insieme G può essere rappresentato in modo irregolare da sistemi di coordinate a valore reale (o in alternativa a valore complesso), reciprocamente collegati da trasformazioni di coordinate ben definite e differenziabili ovunque le loro rispettive parti si sovrappongano. Il gruppo e le molteplici strutture di G sono combinati insieme dalla condizione che l'operazione del prodotto è una mappatura differenziabile di G × G in G.

Un semplice esempio è il gruppo di rotazioni su un cerchio. Le rotazioni non sono discrete; per esempio, si può ruotare un punto con una quantità irrazionale, ad esempio π. Se ingrandiamo un cerchio abbastanza da vicino, esso sembra una retta, e quindi è "localmente lineare". Un altro semplice esempio è proprio l'insieme di numeri reali con la somma. Esso è proprio come il gruppo dei numeri interi con la somma, ma ci sono più elementi e più "spazio".

Ciò che rende i gruppi di Lie interessanti è che possono essere studiati attraverso il campo della geometria differenziale, che studia curve e superfici. Un gruppo di Lie è una varietà differenziabile che ha la struttura di un gruppo e che soddisfa la condizione aggiuntiva che le operazioni di gruppo di moltiplicazione e inversione siano continue. In pratica, un gruppo di Lie è un gruppo topologico (cioè un gruppo che ha anche le proprietà di uno spazio, nel dettaglio uno spazio topologico), le cui operazioni sono funzioni analitiche, che possono essere sviluppate come somma di potenze intorno a un elemento del gruppo. 

Come tutte le varietà lisce, un gruppo di Lie, G, possiede uno spazio vettoriale tangente collegato a ciascun elemento. In particolare, lo spazio tangente all'elemento neutro 0 di G diventa l'algebra di Lie di G dalla definizione del cosiddetto prodotto di Lie, una mappatura bilineare di T₀G × T₀G ∈ T₀G, che, per tutti gli x, y, z ∈ T₀G soddisfa la condizione [x, x] = 0 per ogni x ∈ G e l'identità di Jacobi: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. L'algebra di Lie di G consente lo studio dettagliato della struttura locale di G attraverso la mappatura omeomorfa ("esponenziale") di un intorno di 0 ∈ T₀G, in un intorno di 0 ∈ G. Quindi i gruppi di Lie sono un punto d'incontro tra teoria dei gruppi e la geometria differenziale. 

I gruppi di Lie sono importanti in fisica. Un gruppo di Lie è, ad esempio, quello che si può costruire a partire dalle matrici di Pauli, importanti per la rappresentazione matematica dello spin delle particelle, oppure il gruppo di Weyl-Heisenberg, da cui è possibile ottenere le relazioni di commutazione direttamente connesse con il principio di indeterminazione di Heisenberg.