Circonferenze che si baciano

Il teorema di Descartes è la formula che esprime la relazione tra quattro circonferenze tangenti l’una all’altra, chiamate in inglese kissing o osculating circles ("circonferenze che si baciano"). Il teorema fu dimostrato da Cartesio nel 1643, in una lettera alla principessa Elisabetta de Hervorden (figlia di Elisabetta di Boemia).

Dati tre punti distinti, facendo centro in essi si traccino tre circonferenze tangenti tra di loro. Si osserva che ci sono esattamente due circonferenze tangenti alle tre circonferenze date, una interna e una esterna. Cartesio calcolò la relazione tra i raggi delle tre circonferenze date e quello di una delle due circonferenze tangenti alle prime tre:

nella quale con α_n si indica la curvatura, che è il reciproco del raggio dell’n-esima circonferenza.

La formula fu riscoperta nel 1826 dal matematico svizzero Jacob Steiner. Nel 1842 fu provata indipendentemente anche dal matematico dilettante inglese Philip Beecroft.

Date tre circonferenze tangenti, il raggio della quarta circonferenza, interna o esterna, può essere calcolato così:

Le circonferenze che si baciano sono chiamate anche circonferenze di Soddy, dal nome di Frederick Soddy (1877-1956), il chimico e fisico inglese che coniò nel 1913 il termine isotopo per indicare atomi dello stesso elemento chimico (stesso numero atomico), ma con un diverso numero di neutroni nel nucleo (diverso numero di massa). Soddy ottenne il premio Nobel per la chimica nel 1921. Che il nome di Soddy sia associato a quello delle quattro circonferenze tangenti è dovuto al fatto che egli pubblicò su Nature del 20 giugno 1936 la poesia The Kiss Precise (“Il bacio preciso”), in cui illustrava in versi il teorema di Cartesio. Soddy fornì anche una dimostrazione del teorema estesa al caso di sfere tangenti. Di seguito riporto l’originale inglese che apparve sulla rivista scientifica con un mio tentativo di traduzione:

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'T is not so when for circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be:
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero's bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
And now besides the pair of pairs
A fifth spere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The quare of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.

Coppie di labbra che si baciano forse
non coinvolgono la trigonometria.
Non è così per circonferenze che si baciano
ciascuna le altre tre.
Per avere ciò quattro devono essere;
o tre dentro una o una dentro tre.
Se una è dentro tre, senza dubbio,
lei riceve tre baci dall’esterno,
se tre son dentro una, allora è una
baciata tre volte internamente.

Quattro vennero a baciarsi.
La più piccola è la più curvata.
La curvatura è proprio l’inverso
della distanza dal centro.
Sebbene questa tresca lasciò Euclide senza parole
non c’è bisogno di nessuna regola generale.
Poiché con curvatura zero è una linea retta
e curvature concave hanno segno meno,
la somma dei quadrati di tutte le quattro curvature
è metà del quadrato della loro somma.

Ad osservare relazioni sferiche
un geometra del bacio
può trovare il compito laborioso.
Perché ora, oltre alla coppia di coppie,
una quinta sfera condivide il bacio.
Però essendo i segni e lo zero come prima,
per baciare ciascuna le altre quattro,
il quadrato della somma di tutte cinque le curvature
è tre volte la somma dei loro quadrati.

L’inglese Thorold Gosset (1869–1962), avvocato e grande matematico per diletto, aveva scoperto e classificato nel 1900 i politopi regolari e semiregolari nello spazio a 4 e più dimensioni (On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions): i politopi n-dimensionali o n-politopi sono i poligoni nel piano (n = 2), i poliedri nello spazio tridimensionale (n = 3) e le figure in uno spazio n-dimensionale con n ≥ 4. I poligoni si possono quindi anche chiamare 2-politopi e i poliedri 3-politopi. Gosset aggiunse alla poesia di Soddy una coda riguardante la geometria a dimensioni maggiori di 3:

And let us not confine our cares

To simple circles, planes and spheres,

But rise to hyper flats and bends

Where kissing multiple appears.

In n-ic space the kissing pairs

Are hyperspheres, and Truth declares-

As n + 2 such osculate

Each with an n + 1-fold mate.

The square of the sum of all the bends

Is n times the sum of their squares.

Non dobbiamo limitare le nostre attenzioni
a semplici circonferenze, piani e sfere,
ma saliamo a iper-piani e curvature
dove i baci multipli si presentano.
In spazi n-esimi le coppie di baci
sono ipersfere, ed è la Verità,
poiché n + 2 di queste si toccano
ciascuna con una (n +1)esima compagna.
Il quadrato della somma di tutte le curvature
è n volte la somma dei loro quadrati.

Le circonferenze di Soddy sono oggetto di attenzione di illustri matematici da più di tre secoli e mezzo, eppure non smettono di riservare sorprese. Nel 2001, David Eppstein, professore di Computer Sciences all’Università di California, ha pubblicato la seguente osservazione:

Quattro circonferenze tangenti, se prese due a due, definiscono due punti di tangenza e, pertanto, una linea retta. Esistono tre di queste rette. Le tre rette sono concorrenti.

Risparmio al lettore frettoloso la dimostrazione, che i più curiosi e volonterosi potranno trovare, assieme a molte altre cose, su Cut the Knot.