Poliedri e disposizione di punti sulla sfera

I  poliedri, in particolare i solidi platonici, sono oggetto di interesse dei geometri da più di duemila anni. Anche lo studio delle possibili applicazioni di queste figure è assai antico: Platone era così affascinato dalle forme perfette dei cinque solidi regolari che nel suo dialogo Timeo li associò a quelli che, ai suoi tempi, erano ritenuti gli elementi di base del mondo, vale a dire, la terra, il fuoco, l’aria l’acqua e l’etere. L'interesse per i solidi platonici fu assai vivo tra i matematici e gli artisti rinascimentali: ne studiarono le proprietà Piero della Francesca, Luca Pacioli (il suo De Divina Proportione fu illustrato con i celebri disegni di poliedri eseguiti da Leonardo), Niccolò Tartaglia e Rafael Bombelli.

Anche Keplero, nel Mysterium Cosmographicum (1597), immaginò un sistema solare come un complesso nidificato di solidi platonici, in cui i raggi delle sfere concentriche associate determinavano le orbite dei sei pianeti allora conosciuti: «La Terra è la sfera che misura tutte le altre. Circoscrivi ad essa un dodecaedro: la sfera che lo comprende sarà Marte. Circoscrivi a Marte un tetraedro: la sfera che lo comprende sarà Giove. Circoscrivi a Giove un cubo: la sfera che lo comprende sarà Saturno. Ora iscrivi alla Terra un icosaedro: la sfera iscritta ad essa sarà Venere. Iscrivi a Venere un ottaedro: la sfera iscritta ad essa sarà Mercurio. Hai la ragione del numero dei pianeti». Queste idee sono state superate da tempo, ma i poliedri, compresi i solidi platonici, hanno mantenuto una certa importanza nello studio di fenomeni anche in campi diversi dalla matematica, come la fisica, la chimica e la biologia.

Un solido platonico, o regolare, è un poliedro le cui facce sono poligoni regolari identici, con tutti gli angoli al vertice uguali. I cinque solidi platonici sono il tetraedro, l’ottaedro, il cubo, l’icosaedro e il dodecaedro. La tabella riporta per ciascuno di essi il numero di vertici, facce e spigoli.

Il tetraedro, l’ottaedro e l’icosaedro hanno tutti facce triangolari e costituiscono pertanto esempi di deltaedri. Un deltaedro è un poliedro con facce tutte costituite da triangoli, ed è regolare se tutti i triangoli sono equilateri. Esistono solo 8 deltaedri regolari convessi, e il numero dei loro vertici è compreso tra 4 e 12, con l’esclusione di 11. Il cubo ha facce quadrate e quelle del dodecaedro sono pentagoni regolari. Il tetraedro, il cubo e il dodecaedro sono poliedri trivalenti, che significa che in ogni vertice si incontrano esattamente tre spigoli.

Per ogni poliedro il numero di vertici V, facce F e spigoli S deve soddisfare la formula di Eulero, secondo la quale:

V + F − S = 2

Dato un poliedro è possibile costruire il suo duale, che è un poliedro in cui sono scambiati i posti dei vertici e dei centri delle facce. L’ottaedro e il cubo sono reciprocamente duali, così come lo sono l’icosaedro e il dodecaedro. Il duale del tetraedro è un altro tetraedro. Dalle definizioni fin qui date, risulta chiaro che il duale di un deltaedro è un poliedro trivalente.

Una prima interessante applicazione dei poliedri a campi esterni alla matematica riguarda la fisica, in particolare lo studio della disposizione di particelle puntiformi su una superficie sferica. Le particelle possiedono forze che interagiscono tra di loro e tendono a raggiungere stati d’equilibrio in cui si dispongono secondo i vertici di alcuni poliedri.

Il problema è spesso denominato problema di Thomson, perché fu formulato per la prima volta da J.J. Thomson, lo scopritore dell’elettrone, quando nel 1904 propose il suo modello atomico “a panettone”, secondo il quale l'atomo sarebbe stato costituito da una distribuzione di carica positiva diffusa, all'interno della quale erano inserite le cariche negative come i canditi in un panettone. Nel complesso l'atomo risultava elettricamente neutro. Il modello fu confutato dall'esperimento di Geiger e Marsden nel 1909, che spinse Ernest Rutherford nel 1911 a proporre un proprio modello alternativo, nel quale la carica positiva era concentrata in un nucleo.

Il problema di Thomson consiste infatti nel determinare la configurazione di minima energia, sulla superficie di una sfera unitaria, di n elettroni che respingono vicendevolmente con una forza data dalla legge di Coulomb. L’energia totale è data dalla sommatoria delle energie degli elettroni, che va minimizzata per ogni loro disposizione. Nel caso di due elettroni, la configurazione ottimale è ovviamente quella in cui essi si dispongono su due punti disposti agli antipodi. Per n = 3 la configurazione di minima energia è data da tre punti equidistanti su un cerchio massimo della sfera, quindi ai vertici di un triangolo equilatero. Nel caso di quattro punti, essi si dispongono sui vertici di un tetraedro regolare inscritto nella sfera. Per n = 6 la migliore soluzione è data dai vertici dell’ottaedro regolare inscritto, così come per n = 12 la configurazione di minima energia è data dai vertici dell’icosaedro regolare. Contrariamente alle aspettative, i vertici dei poliedri regolari non costituiscono sempre la configurazione di minima energia: le configurazioni più simmetriche non sono di per sé le soluzioni migliori. Per n = 8, ad esempio, non si ottengono i vertici di un cubo e per n = 20 non si ottiene un dodecaedro. Per tutti gli altri n fino a 200 la configurazione di minima energia globale è stata identificata rigorosamente solo con l’ausilio del computer, in quanto il problema presenta calcoli assai complessi, a causa della rapida crescita delle configurazioni minime locali all’aumentare di n, al punto che il problema di Thomson viene utilizzato per testare l’efficacia di nuovi algoritmi di calcolo. Un’ottima illustrazione dei poligoni che consentono le configurazioni minime di energia per diversi valori di n è fornita nella pagina web di Martin Trump.

Sebbene l’evidenza sperimentale abbia portato all’abbandono del modello atomico di Thomson, il suo problema ha da allora giocato un ruolo importante nello studio di altri modelli fisici. Tra questi le cosiddette bolle multi–elettroniche e l’ordinamento superficiale di gocce di metallo liquido confinate nelle trappole di Paul.

Gli elettroni al di sopra della superficie piatta dell’elio liquido sono soggetti a una forza attrattiva verso la superficie, ma sono ostacolati nel penetrarla da una barriera di potenziale di 1 eV. Essi allora formano una pellicola carica sulla superficie. Disponendo una griglia con potenziale positivo sotto la superficie si raggiungono alte densità. Esiste una densità critica di elettroni sopra la quale la superficie carica diventa instabile, e gli elettroni entrano nel volume dell’elio con la formazione di una bolla multielettronica (MEB). Queste bolle hanno raggi che vanno da decine di nanometri a qualche centinaio di micron e contengono da pochi fino a più di 10⁸ elettroni. Tra di essi agiscono forze colombiane di repulsione, per le quali l’energia è minima quanto più sono distanti l’uno dall’altro, e la tensione superficiale, per la quale l’energia è funzione del raggio. Ne risulta una MEB sferica stabile quando queste forze si bilanciano e gli elettroni formano un gas bidimensionale sulla superficie interna della bolla: le configurazioni di energia minima sono altrettante soluzioni del problema di Thomson.

Una trappola ionica è invece una combinazione di campi elettrici o magnetici in grado di catturare ioni in una regione di un sistema sotto vuoto o in un tubo. Le trappole di ioni sono utilizzate in molte applicazioni scientifiche come la spettrometria di massa, la creazione di orologi atomici ad alta precisione, e sembra imminente il loro uso nei computer quantistici: la più comune trappola ionica è quella studiata da Wolfgang Paul, che gli valse il Premio Nobel per la fisica nel 1989. La posizione degli ioni all’interno del sistema è anch’essa studiata attraverso il problema di Thomson.

Un’ovvia estensione del problema di Thomson è di sostituire la legge di Coulomb con una più generale, in cui ad esempio sulla sfera si collochino non punti ma dei cerchi. In questo caso la generalizzazione corrisponde al cosiddetto problema di Tammes, che prende il nome dal botanico olandese che pose la questione nel 1930 in relazione allo studio dei pori sui granelli sferici di polline. In pratica si tratta di stabilire come impacchettare un dato numero di cerchi sulla superficie di una sfera, in modo tale da massimizzare la minima distanza tra di essi, il che è equivalente a chiedersi come riempire la superficie di una sfera con n cerchi identici in modo tale che il loro diametro sia il più grande possibile. Si ottengono di nuovo soluzioni con punti disposti sui vertici di poliedri, ma, forse sorprendentemente, per n ≥ 6 i risultati numerici indicano che l’unica configurazione che è una soluzione comune ai problemi di Thomson e di Tammes è la disposizione a icosaedro per n = 12.

Un ultimo caso di disposizione di punti sulla superficie di una sfera è costituito dal problema che fu posto per la prima volta nel 1943 dal matematico ungherese Fejes Toth, uno dei padri della geometria discreta, o geometria combinatoria. Il problema di Toth consiste nel disporre n punti su una sfera unitaria in modo da massimizzare la distanza minima tra ogni coppia di essi (che è come dire minimizzare l’energia). Questa distanza massima è stata chiamata raggio di copertura, e la configurazione prende il nome di codice sferico. Toth calcolò la distanza per sistemi composti da n = 3, 4, 6 e 12 punti, ma il problema generale non è stato tuttavia risolto.

Le generalizzazioni del problema di Thompson entrano in gioco, ad esempio, nel determinare le disposizioni delle unità proteiche che costituiscono gli involucri dei virus sferici, come ad esempio l’HIV, che si basa su un poliedro trivalente con simmetria icosaedrale. Altri campi d’indagine comprendono le disposizioni regolari delle particelle nei colloidosomi, proposti per l’incapsulamento di principi attivi come farmaci, nutrienti o cellule viventi, oppure la disposizione degli atomi di carbonio nei fullereni.

I colloidosomi sono microcapsule con involucri costituiti di particelle colloidali coagulate o parzialmente fuse. Le particelle si auto–assemblano sulla superficie delle goccioline delle sostanze contenute, in modo da minimizzare l’energia totale. Recentemente si è scoperto che le membrane dei colloidi offrono una grande capacità di controllare la permeabilità delle sostanze intrappolate. Il loro principale vantaggio è che la dimensione dei pori della membrana può essere variato, scegliendo particelle di dimensioni opportune e controllando il loro grado di fusione. In questo modo è possibile utilizzare le membrane dei colloidosomi come filtri selettivi per il rilascio o la ritenzione delle sostanze desiderate, che possono trovare numerose applicazioni nella progettazione di nuovi veicoli di somministrazione di nuovi farmaci e vaccini e per il lento rilascio di cosmetici e integratori alimentari.

I fullereni sono una classe particolarmente interessante di poliedri trivalenti che si ha quando le facce sono F ≥ 12. Essi sono composti da 12 pentagoni e F–12 esagoni. La proprietà trivalente considerata assieme alla formula di Eulero determina allora che il numero di spigoli e vertici è dato da V = 2F − 4 e S = 3F − 6. Il primo poliedro di tale tipo ha F = 12 facce pentagonali ed è il dodecaedro. Un interessante fullerene con simmetria icosaedrale si ha per F = 32, cioè per l’icosaedro troncato , che si può ottenere da un icosaedro “tagliando” ciascuno dei suoi 12 vertici, in modo da ottenere 12 pentagoni e 20 esagoni. Il numero dei fullereni combinatoriamente diversi aumenta rapidamente al crescere di F. Ad esempio, se per F = 12 l’unico fullerene è il dodeacaedro, per F = 22 ne esistono già 40. Una delle principali ricerche oggi in corso riguarda proprio la catalogazione e lo studio delle caratteristiche di tutti i possibili fullereni, così come prevedere, sulla base della minimizzazione dell’energia, quali si possano effettivamente trovare negli esperimenti. Il duale di un fullerene è un deltaedro nel quale 5 oppure 6 triangoli circondano un vertice (rispettivamente si parla di pentameri ed esameri). Chi volesse approfondire le conoscenze sulla geometria dei fullereni può fare riferimento alle pagine preparate da Slavik Jablan

I poliedri fullerenici sono divenuti di grande interesse negli anni recenti a causa della loro inaspettata comparsa nella chimica del carbonio. Il carbonio in natura può presentarsi in forme allotropiche molecolari diverse, come la grafite e il diamante, ma anche come fullereni. Si tratta di grandi molecole di forma approssimativamente sferica (denominate a volte buckyball, abbreviazione di buckminster-fullerene, con riferimento alle cupole geodetiche progettate dall'architetto Richard Buckminster Fuller), oppure cilindrica (buckytube).

La forma più frequente è quella sferoidale cava, come ad esempio nella fullerite, C₆₀, la cui scoperta fu premiata con il Premio Nobel per la chimica nel 1996 a Kroto, Curl e Smalley. Gli atomi di carbonio si collocano ai vertici di un poliedro fullerenico, con i legami rappresentati dai suoi spigoli. Sebbene l’atomo di carbonio sia quadrivalente, il poliedro è trivalente, perché ogni atomo di carbonio è legato a due altri da un legame singolo e a un terzo da un legame doppio. La differenza di lunghezza tra i legami singolo e doppio è così piccola da essere trascurabile. Ad esempio, i 60 atomi nella fullerite sono collocati ai vertici di un icosaedro troncato. Altri fullereni sono comuni, come il C₇₀, il C₇₆e il C₈₄. I fullereni sono stati individuati quest’anno anche nello spazio (in una nebulosa planetaria chiamata Tc1, a 6.500 anni luce dalla Terra) e in formazioni geologiche terrestri.

[La fonte principale ma non esclusiva di questo articolo è Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry di Michael Atiyah and Paul Sutcliffe, comparso sul Milan Journal of Mathematics vol. 71 (2003), 33–58 DOI 10.1007/s00032-003-0014-1].

Anna e il topolino

Anna Laetitia Barbauld, nata Aikin (1743–1825) è stata un’importante poetessa romantica inglese, saggista e autrice per bambini. La sua carriera letteraria fu abbastanza brillante, in un periodo in cui le scrittrici donne erano rare. Stimata docente nell’accademia privata fondata con il marito, Rochemont Barbauld, pastore protestante di origini ugonotte, fu un’innovativa scrittrice per l’infanzia e i suoi sussidiari stabilirono uno standard pedagogico per più di un secolo. I suoi saggi dimostrarono che anche le donne potevano impegnarsi pubblicamente in politica e fecero scuola. Ancor più importante, la sua poesia e i suoi testi di critica letteraria gettarono le basi per lo sviluppo del movimento romantico nel suo paese, invitando i poeti ad abbandonare le loro stanze e a vagare nei campi (“to wander about the fields”) e a cantare il mondo naturale, come poi avrebbero effettivamente fatto grandi talenti come Wordsworth ("I wander’d lonely as a cloud”) e Coleridge.

La sua carriera letteraria si interruppe bruscamente nel 1812 con la pubblicazione della poesia Eighteen Hundred and Eleven (“1811”) che condannava la partecipazione britannica alle guerre napoleoniche. Le feroci critiche ricevute la convinsero a non pubblicare più nulla per tutta la vita. Ancor più doloroso fu per lei il fatto che molti poeti romantici che aveva conosciuto e ispirato negli anni della Rivoluzione Francese le si fossero rivoltati contro, criticandola da posizioni conservatrici. A lungo dimenticata nel corso del XX secolo, la sua opera è stata rivalutata solo negli anni ’80, con il sorgere della critica letteraria femminista.

Anche il padre di Anna, John Aikin, era stato pastore protestante e illuminista e aveva fondato un’accademia privata che molto contribuì all’educazione, alla cultura e alle idee della figlia. Tra gli intellettuali che la Barbauld conobbe in quell’ambiente stimolante c’era il teologo e grande chimico Joseph Priestley (1733–1804), membro della Royal Society e scopritore dell'ossido di azoto, dell'anidride solforosa, dell'acido cloridrico, dell'ammoniaca e, soprattutto, dell'ossigeno, che ottenne nel 1774 riscaldando l'ossido rosso di mercurio. La scoperta di alcuni gas fu resa possibile da una nuova tecnica sperimentale ideata da Priestley stesso, che consistva nel raccoglierli nel mercurio anziché nell’acqua, dove gas come l'acido cloridrico e l'ammoniaca si sciolgono, sfuggendo all'osservazione. I risultati degli studi sui gas furono raccolti in Experiments and Observations on different Kinds of Air (“Esperimenti e osservazioni sulle diverse specie di aria”; sei volumi tra il 1774 e il 1786), in cui Priestley osserva con ragione che la scienza potrebbe distruggere “l’illegittima e usurpata autorità” e che il governo ha “ragione a tremare anche di fronte a una pompa d’aria o a un apparato elettrico” (quanto è lungimirante questa osservazione oggi in Italia!). Egli tuttavia non accettò mai l’idea di abbandonare la teoria del flogisto e di introdurre una nuova nomenclatura chimica basata su elementi e composti, come suggeriva di fare Lavoisier,

suoi studi sull’aria Priestley utilizzava una campana di vetro con la quale effettuava diversi esperimenti. Spesso collocava sotto la campana una bacinella d’acqua e un topolino, con o senza una pianta. Notò così che, quando il topolino era da solo all'interno della campana, moriva molto prima rispetto a quando vi era anche la pianta. Questo condusse Priestley a concludere che la pianta produceva una sostanza che allungava la vita al topolino. Questa sostanza, che egli chiamò “aria deflogistizzata”, la quale era "cinque o sei volte migliore che l’aria comune per lo scopo della respirazione, dell’accensione e, ritengo, per ogni altro uso della comune aria atmosferica", sarebbe poi stata chiamata ossigeno.

Negli anni in cui Priestley frequentava l’accademia del padre, Anna Barbauld gli faceva spesso da assistente. Nell’estate del 1767 fu colpita con dolore dalla sofferenza degli animali da laboratorio utilizzati dal chimico quando venivano privati dell’aria per respirare. Animalista in anticipo sui tempi, decise allora di scrivere una poesia, che troviamo nella sua prima raccolta, pubblicata a Londra nel 1773, per dar voce a uno dei topolini del laboratorio. Infilò il foglietto tra le sbarre della sua gabbia, per farla trovare a Priestley il mattino successivo. La intitolò The Mouse's Petition to Dr Priestley, Found in the Trap where he had been Confined all Night (“La petizione del topo al dottor Priestley, trovata nella gabbia in cui è stato rinchiuso tutta la notte”):

OH ! hear a pensive captive's prayer,

For liberty that sighs;

And never let thine heart be shut

Against the prisoner's cries.

For here forlorn and sad I sit,

Within the wiry Grate,

And tremble at th’ approaching Morn

Which brings impending fate.

If e'er thy breast with freedom glowed,

And spurn'd a tyrant's chain,

Let not thy strong oppressive force

A free-born mouse detain.

Oh ! do not stain with guiltless blood

Thy hospitable hearth;

Nor triumph that thy wiles betray'd

A prize so little worth.

The scatter’d gleanings of a feast

My scanty meals supply;

But if thine unrelenting heart

That slender boon deny,

The cheerful light, the Vital Air,

Are blessings widely given;

Let Nature's commoners enjoy

The common gifts of Heaven.

The well-taught philosophic mind

To all Compassion gives;

Casts round the world an Equal eye,

And feels for all that lives.

If mind, as ancient sages taught,

A never dying flame,

Still shifts thro' matter's varying forms,

In every form the same,

Beware, lest in the worm you crush

A brother's soul you find;

And tremble lest thy luckless hand

Dislodge a kindred mind.

Or, if this transient gleam of day

Be all of life we share,

Let pity plead within thy breast,

That little all to spare.

So may thy hospitable board

With health and peace be crown'd ;

And every charm of heartfelt ease

Beneath thy roof be found.

So when unseen destruction lurks,

Which men like mice may share,

May some kind angel clear thy path,

And break the hidden snare.

Oh! Ascolta la preghiera di un triste recluso

che si lamenta per la libertà;

e fa’ che il tuo cuore mai si chiuda

di fronte al pianto del prigioniero.

Perché qui desolato e triste siedo,

dentro la grata metallica,

e tremo all’avvicinarsi del Giorno,

che porta l’incombente fato.

Se mai il tuo petto arse di libertà

e disprezzò la catena del tiranno,

che la tua forza oppressiva e dura

mai rinchiuda un topo nato libero.

Oh! Non macchiare di sangue innocente

il tuo cuore ospitale;

né che un trionfo con l’inganno tradisca

un premio di cui non val la pena.

Le sparse briciole di una festa

il mio magro pasto assicura,

ma se il tuo cuore implacabile

quella modesta benedizione rifiuta,

l’allegra luce, l’Aria Vitale,

sono benedizioni ampiamente concesse;

lascia che i comuni figli della Natura

godano dei comuni doni del Paradiso.

La mente filosofica ben istruita

a tutto dona Compassione;

guarda il mondo con occhio giusto

e ha coscienza di tutto ciò che vive.

Se la mente, come spiegarono gli antichi saggi,

è una fiamma che mai si spegne,

passa attraverso le varie forme della materia,

in ogni forma la stessa,

stai attento, prima che nel verme che schiacci

trovi l’anima di un fratello

e trema perché la tua sfortunata mano

non scacci un’anima a te affine.

Oppure, se questo fugace barlume di giorno

è tutto ciò che della vita condividiamo,

lascia che la pietà implori il tuo cuore

di risparmiare quel piccolo tutto.

Così, che la tua tavola ospitale

sia coronata di pace e salute,

e ogni grazia di agio sincero

si possa trovare sotto il tuo tetto.

Così quando la distruzione non vista si apposta,

e gli uomini come i topi minaccia,

che qualche angelo gentile ti illumini il cammino

e riveli l’insidia celata.

L’idea che gli animali e tutte le forme di vita hanno il diritto ai “comuni doni del Paradiso” rappresenta il preannuncio dell’intero movimento ambientalista e delle questioni che esso oggi pone alla scienza e all’industria. Secondo me poteva nascere solo dal buon senso di una donna. 

Polemiche: un mistero del Pignagnoli

Non è la prima volta che ospito gli scritti di amici e conoscenti. È tuttavia la prima volta che cedo alle insistenze di un amico d’un amico, convinto che la tesi che sostiene possa far luce su un poco conosciuto mistero della biografia già di per sé misteriosa dello scrittore Learco Pignagnoli o che, almeno, possa dar vita a un dibattito che avvicini in qualche modo la verità. L’amico dell’amico è Alberto Podenzani, letterato e matematico autodidatta piacentino, la cui cospicua produzione poetica e scientifica giace finora sottovalutata nei cassetti delle principali case editrici italiane e straniere. La sua opera Quattro salti in padella ha ottenuto il secondo posto nella terza edizione del concorso di poesia “Natura e cultura gastronomica” di Tabiano Bagni. Ecco quanto mi invia Podenzani:

L’edizione in brossura del Nome della rosa appartenuta a Learco Pignagnoli riporta una dedica autografa che recita “A Learco P., l’imitatore di Padre Jorge”. La firma e la grafia non sono tuttavia quelle di Umberto Eco, che pare non abbia mai conosciuto lo scrittore e filosofo emiliano, ma quelle dello stesso Pignagnoli.

Bizzarra scelta quella di scrivere una dedica a se stessi su un libro della propria biblioteca, ancor più sorprendente quando ci si descrive come ammiratore del personaggio indubbiamente più odioso di una storia. Alcuni studiosi hanno avanzato ipotesi assai aleatorie, perché scarsamente suffragate da prove: L. Gandelli (1) ha invocato lo spirito scherzoso del Nostro, R. Ghini (2) si chiede se non si tratti di una burla di Paolo Albani o di Daniele Benati. L’unico critico disposto a considerare seriamente l’autodedica è stato G. Calabrò (3), del quale mi sembrano condivisibili le argomentazioni. Il noto esperto di letteratura opportunista inquadra la dedica in un periodo particolare della vita del Pignagnoli, e cioè la crisi che attraversò in seguito alla scomparsa dell’amico Luis Burgos, il bibliofilo antiquario argentino, di cui si occuparono occasionalmente gli organi di stampa alla fine del 1981. Burgos aveva fatto parlare di sé sostenendo di essere venuto in possesso di una copia cinquecentesca del secondo libro della Poetica di Aristotele, quello dedicato alla commedia, ritenuto fino ad allora inesistente o perduto, mettendosi così in contrasto con l’intero mondo accademico e suscitando un generale scetticismo se non un’aperta ostilità. Il Burgos, invece di mostrare pubblicamente la sua presunta straordinaria scoperta, si chiuse in un ostinato mutismo che mantenne fino alla sua scomparsa nel nulla, avvenuta dopo un paio di settimane.

Il Pignagnoli, che aveva aiutato l’amico nei primi mesi del suo esilio italiano dopo le persecuzioni subite dalla giunta militare al potere in Argentina, si affrettò a escludere qualsiasi implicazione politica nella sparizione del Burgos, sostenendo, senza scendere in particolari, che “Bisogna cercare nei libri la fine di un amante dei libri” e che “Burgos scompare e Moravia c’è ancora, che bel mondo del cazzo”. Fin qui il Calabrò, che conclude la sua ricostruzione lamentando il fatto che forse mai sapremo sollevare il velo di mistero che circonda la scomparsa del bibliofilo sudamericano e la sibillina affermazione del filosofo emiliano.

Dobbiamo oggi a Z. Bonino (4) una notizia apparentemente poco significativa che può invece aprire uno spiraglio nella vicenda. Nel novembre 1981 prese fuoco la Fiat Ritmo del Pignagnoli, parcheggiata davanti alla sua abitazione, in quello che sembrò un atto vandalico. Lo scrittore non volle tuttavia sporgere denuncia, limitandosi a dichiarare “Se penso alla comodità mi viene il nervoso, se penso all’estetica mi calmo”. Il Bonino ci informa inoltre che all’epoca lo scrittore era un accanito fumatore di MS Blu, al punto che chi lo ricorda nei primi anni ’80 lo descrive sempre con la sigaretta accesa in bocca. I sedili della vettura erano pieni di bruciature, il posacenere sempre pieno, l’abitacolo puzzolente di fumo.

L’ipotesi che credo di poter formulare nel limitato spazio che può concedermi Popinga è che il prezioso volume del Burgos si trovasse sulla Ritmo del Pignagnoli, dimenticato con leggerezza dallo stesso proprietario o dall’amico italiano che potrebbe averlo chiesto e ottenuto in prestito.

La vettura non prese fuoco per l’azione di teppisti, ma per un incidente dovuto a un mozzicone dimenticato acceso dal Pignagnoli. Egli si sarebbe reso responsabile dell’enorme perdita per l’amico e per l’intera umanità. In seguito a tale sciagura, il Burgos avrebbe deciso di scomparire per la vergogna di affrontare gli organi d’informazione, forse maturando anche l’idea del suicidio, lasciando al Nostro un inconfessabile rimorso, parzialmente accennato nell’insolita dedica a se stesso in cui si paragona al frate incendiario del romanzo di Eco.

Note:

(1) Luigi Gandelli, In cerca di L.P., ed. Fondazione Scoppiabigi, Reggio Emilia, 1990.

(2) Renato Ghini, Scrittori emiliani del nuovo millennio, Coop. Editrice Fidentina, Fidenza, 1995.

(3) Giuseppe Calabrò, Scrittori che inventano scrittori, in Il mattone, rivista quadrimestrale di critica letteraria, a. V, n. 3, 2006.

(4) Zeno Bonino, Pignagnoli come non é, fotocopie sparse, in L’Accalappiacani n. 5, articolo scartato.

Alberto Podenzani

Nuovi limerick scientifici

Un mitocondrio, ve lo dico già prima,

viveva a Sondrio per questioni di rima.

Nel settore energetico impiegato,

passò dal pubblico al piruvato

e degli organelli perse tutta la stima.

Un atomo di potassio venne inglobato

in un grosso cristallo di K-feldspato.

Cresciuto in un granito

per malasorte è finito

dentro un davanzale di un caseggiato.

Ho da tempo messo nei ripiani dell'armadio

la cella degli elettrodi di platino e palladio,

il deuterio, i contatori

dei miei giorni migliori,

quando Pons era più famoso degli Stadio.

Una scoria nucleare ad alta attività,

che chiamiamo HLW per comodità,

se ne sta vetrificata

in un bidone posto all'entrata

di un sito di smaltimento che mai sarà.

Una cosa che gli economisti spiegano male:

perché il nucleare esige il sostegno statale?

Se è un investimento conveniente

perché nessun privato intelligente

costruisce centrali rischiando il capitale?

C’era un metodo di datazione assoluta

che si lagnava della poca fama avuta:

“Carbonio 14, potassio–argo…

sol per me c’è questo embargo!

Perché rubidio–stronzio lo si rifiuta?”

Traslitterazioni di Чебышев

Come si traslittera il cognome del grande matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv (1821–1894), noto per i suoi lavori nei campi della probabilità, della statistica e della teoria dei numeri? Per gli inglesi è Chebychev o Chebyshov; per gli italiani Cebiscev; i francesi rendono con Tchebychev e Tschebyscheff, mentre i tedeschi addirittura in tre modi diversi: Tchebychev, Tschebyschow e Tschebyscheff.

Ward Cheney e David Kincaid (Numerical Mathematics and Computing, 1994) hanno proposto come esercizio combinatorio per gli studenti la costruzione di tutte le possibili variazioni basate su sulle diverse traslitterazioni di ciascuna sillaba inglese (Ceb/Tscheb/Tcheb/Cheb, y/i, e schef/cev/cheff/scheff/shev), mentre Stan Wagon ("Variations on a Name" in Tricks of the Trade, Ed. P. Abbott, Mathematica Journal 2, Issue 4, 1992) ha fornito un breve programma con Wolfram Mathematica per elencare tutte le 40 possibilità (Fonte: Aarts, Ronald M. "Chebyshev" da MathWorld).

In realtà il problema può essere proposto anche ai ragazzi della scuola secondaria di primo grado, perché si tratta di un semplicissimo prodotto cartesiano tra una terna di insiemi, ciascuno formato, nell’ordine, dalla prima, dalla seconda e dalla terza sillaba (in questo caso uso la divisione sillabica italiana). L’insieme A cartesiano B cartesiano C è formato da tutte le terne ordinate tali che il primo elemento appartenga ad A, il secondo a B e il terzo a C.

A { Ce–, Tsche–, Tche–, Che–}

B {–bi–, –by–}

C {– schef, –cev, –cheff, –scheff, –shev}

Il numero delle possibili combinazioni è dato dal numero di elementi di A moltiplicato per il numero di elementi di B, moltiplicato per il numero di elementi di B:

Ecco le quaranta combinazioni possibili. Cebischef, Cebicev, Cebicheff, Cebischeff, Cebishev, Cebyschef, Cebycev, Cebycheff, Cebyscheff, Cebyshev, Tschebischef, Tschebicev, Tschebicheff, Tschebischeff, Tschebishev, Tschebyschef, Tschebycev, Tschebycheff, Tschebyscheff, Tschebyshev, Tchebischef, Tchebicev, Tchebicheff, Tchebischeff, Tchebishev, Tchebyschef, Tchebycev, Tchebycheff, Tchebyscheff, Tchebyshev, Chebischef, Chebicev, Chebicheff, Chebischeff, Chebishev, Chebyschef, Chebycev, Chebycheff, Chebyscheff, Chebyshev.

La "Molecular Evolution" di James Clerk Maxwell

Dell’attività poetica del grande fisico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879) ho già parlato in due occasioni, a proposito della giocosa parodia di Rigid Body Sings e della complessa riflessione filosofica della sua ultima opera, Paradoxical Ode, scritta pochi mesi prima di morire. Abbastanza nota è anche questa Molecolar Evolution, pubblicata inizialmente su Nature del 2 ottobre 1873 e riprodotta nella biografia scritta da Lewis Campbell tre anni dopo la morte dello scienziato: The Life of James Clerk Maxwell, with a selection from his correspondence and occasional writings and a sketch of his contributions to science (London: Macmillan, 1882). L’opera fu scritta probabilmente in occasione della riunione di Bradford della British Association nel settembre 1873. I Leoni Rossi cui i versi fanno riferimento erano il club formato da alcuni membri dell’associazione scientifica, che si incontravano per allegri simposi al termine dei lavori.

L’evoluzione molecolare di cui parla Maxwell in questa elegante poesia non è ovviamente quella che si intende oggi, cioè il processo evolutivo considerato a livello degli acidi nucleici e delle proteine, e il termine nonsense che egli utilizza non è certo in riferimento alla sequenza di DNA che non codifica per alcun aminoacido e non è a sua volta trascritta. Maxwell, all’interno di questa che sembra una canzone conviviale, si interroga invece sul continuo cambiamento delle “associazioni” che gli atomi possono formare, che egli mette in relazione con l’evoluzione delle idee scientifiche, che sembra obbedire a un processo di cui sfuggono i contorni e le regole, e che ci appare come privo di senso. L’invito all’allegra compagnia è allora quello di abbandonarsi, almeno per una notte, al Nonsenso. Il primo verso della terza strofa rivela buone conoscenze classiche dell’autore, essendo un riferimento a "Leonum arida nutrix" dell’Ode 1, 22, dei Carmina di Orazio. Personalmente ho trovato deliziosa l’allitterazione “Nonsense is incense to our noses”, che ‘patafisicamente condivido in pieno.

Molecular Evolution

At quite uncertain times and places,

The atoms left their heavenly path,

And by fortuitous embraces,

Engendered all that being hath.

And though they seem to cling together,

And form "associations" here,

Yet, soon or late, they burst their tether,

And through the depths of space career.

So we who sat, oppressed with science,

As British asses, wise and grave,

Are now transformed to wild Red Lions,

As round our prey we ramp and rave.

Thus, by a swift metamorphosis,

Wisdom turns wit, and science joke,

Nonsense is incense to our noses,

For when Red Lions speak, they smoke.

Hail, Nonsense! dry nurse of Red Lions,

From thee the wise their wisdom learn,

From thee they cull those truths of science,

Which into thee again they turn.

What combinations of ideas,

Nonsense alone can wisely form!

What sage has half the power that she has,

To take the towers of Truth by storm?

Yield, then, ye rules of rigid reason!

Dissolve, thou too, too solid sense!

Melt into nonsense for a season,

Then in some nobler form condense.

Soon, all too soon, the chilly morning,

This flow of soul will crystallize,

Then those who Nonsense now are scorning,

May learn, too late, where wisdom lies.

In tempi e luoghi davvero incerti

gli atomi lasciarono il loro celeste cammino

e per fortuiti amplessi

produssero tutto ciò che è.

E sebbene paiano unirsi assieme

e qui formare “associazioni”,

presto o tardi, tuttavia, romperanno la pastoia

e correranno via tra le profondità spaziali.

Così noi che sediamo, oppressi dalla scienza

come asini britannici, saggi e seri,

siamo ora trasformati in selvaggi Leoni Rossi,

poiché intorno alla preda infuriamo e deliriamo.

Perciò, per una metamorfosi improvvisa,

la saggezza diventa umorismo, la scienza scherzo,

il nonsenso è incenso per i nostri nasi

perché quando parlano i Leoni Rossi, essi fumano.

Salute, Nonsenso! Balia asciutta dei Leoni Rossi,

da te i saggi imparano la saggezza,

da te selezionano quelle verità della scienza,

che in te di nuovo volgono.

Che combinazione di idee,

il nonsenso da solo può saggiamente formare!

Quale saggio possiede solo metà del potere che ha

per conquistare con la tempesta le torri della Verità?

Arrendetevi, allora, voi regole della rigida ragione!

Dissolviti, anche tu, troppo solido senso!

Mescolatevi nel nonsenso per una stagione,

poi condensatevi in qualche forma più nobile.

Presto, troppo presto, il gelido mattino

cristallizzerà questo flusso di spiriti,

allora coloro che il Nonsenso stanno ora deplorando,

possano imparare, troppo tardi, dove sta la saggezza.

Borges e la natura della matematica

Nel 1940 i matematici americani James Roy Newman (1907 – 1966) e Edward Kasner (1878–19121955) pubblicarono Mathematics and the Imagination, uno dei classici della matematica ricreativa, che trattava con prosa agile e grande talento divulgativo dei principali concetti della matematica moderna, come la topologia, le geometrie non euclidee o l’aritmetica dell’infinito, attraverso una serie di paradossi e problemi che ancor oggi affascinano il lettore. Il libro è ricordato anche perché per la prima volta vi veniva definito il numero grandissimo googol, pari a 10¹⁰⁰, 1 seguito da 100 zeri, per illustrare la differenza tra un numero enorme e l'infinito. Il buffo nome era stato suggerito vent’anni prima a Kasner da un nipotino di nove anni, che mai avrebbe immaginato di ispirare così anche il nome del più grande motore di ricerca (Google, che ha stessa pronuncia). Kasner coniò anche il nome googolplex per il numero scritto come 10^googol, oppure:

,

un numero talmente elevato le cui cifre superano abbondantemente il numero delle particelle elementari presenti nell'intero universo e che, per essere scritte, richiederebbero al computer più potente oggi esistente qualcosa come 3 ∙ 10⁸⁵ anni. Eppure si tratta di un numero intero, finito!

Il libro di Newman e Kasner fu tradotto e pubblicato nel 1948 in Italia da Bompiani come Matematica e immaginazione e in castigliano dall'argentina Hyspamérica nel 1985, poi ripreso in Spagna da Orbis due anni dopo. Questa edizione di Matemáticas y imaginación merita di essere ricordata perchè fu curata da Jorge Luis Borges, che conosceva il libro già dalla sua prima comparsa in edizione originale, ed era preceduta da una prefazione dello stesso scrittore e da una sua precoce recensione del 1940, che consentono di avvicinare il suo rapporto con la matematica. Così scriveva Borges (traduzione mia):

Prefazione

“Un uomo immortale, condannato all’ergastolo, potrebbe concepire nella sua cella tutta l’algebra e tutta la geometria, dal contare sulle dita di una mano sino alla singola teoria degli insiemi, e ancora molto di più. Un modello di questo pensatore sarebbe Pascal, che, a dodici anni, aveva riscoperto una trentina delle proposizioni di Euclide. Le matematiche non sono una scienza empirica. Intuitivamente sappiamo che tre più quattro fa sette, e non abbiamo bisogno di provarlo con martelli, con pezzi della scacchiera o con carte da gioco. Orazio, per raffigurare l’impossibile, parlò di cigni neri; mentre vergava i suoi versi, bande tenebrose di cigni solcavano i fiumi dell’Australia. Orazio non poteva prevederlo, ma se avesse avuto loro notizie, avrebbe saputo immediatamente che tre più quattro di questi lugubri esseri davano la cifra di sette. Russell scrive che le grandi matematiche sono una grande tautologia e che dire tre e quattro non è una cosa diversa dal dire sette. Sia quel sia, l’immaginazione e le matematiche non si contrappongono; sono complementari come la serratura e la chiave. Come la musica, le matematiche possono prescindere dall’universo, il cui ambito contengono, e le cui leggi occulte esplorano.

La linea, per quanto sia corta, è fatta da un numero infinito di punti; il piano, per quanto sia piccolo, da un numero infinito di linee; il volume da un numero infinito di piani. La geometria quadridimensionale ha studiato la natura degli ipervolumi. L’ipersfera è fatta da un numero infinito di sfere, l’ipercubo da un numero infinito di cubi. Non si sa se esistono, ma si conoscono le loro leggi.

Molto più dilettevoli di questo prologo sono le pagine di questo libro. Invito i lettori a dar loro un’occhiata e ad ammirare le sue strane illustrazioni. Abbondano di sorprese. Per esempio, le isole topologiche dell’ottavo capitolo; per esempio la striscia di Möbius che chiunque può costruire con un foglio di carta e con un paio di forbici e che è un’incredibile superficie con un lato solo”.

Su Matematica e immaginazione (in Sur, n. 73, ottobre 1940)

“Riguardando la [mia] biblioteca, osservo con ammirazione che le opere che ho più riletto e riempito di note manoscritte sono (…) A questo catalogo eterogeneo (…) prevedo che gli anni aggiungeranno questo libro piacevolissimo.

Le sue quattrocento pagine registrano con chiarezza gli incanti immediati e accessibili delle matematiche, ciò che un semplice uomo di lettere può capire, o credere di capire: l’incessante mappa di Brower, la quarta dimensione che intravide More e che dichiarò di intuire Howard Hilton, la lievemente oscena striscia di Möbius, i rudimenti della teoria dei numeri transfiniti, gli otto paradossi di Zenone, le linee parallele di Desargues che all’infinito si intersecano, la notazione binaria che Leibniz scoprì nei diagrammi degli I Ching, la bella dimostrazione euclidea dell’infinità stellare dei numeri primi, il problema della torre di Hanoi, il sillogismo dilemmatico o bicornuto.

Di quest’ultimo, con il quale giocarono i Greci (Democrito giura che gli abitanti di Abdera sono mentitori; ma Democrito è di Abdera; quindi Democrito mente: quindi non è sicuro che gli abitanti di Abdera sono mentitori; quindi Democrito non mente; quindi è vero che gli abitanti di Abdera sono mentitori; quindi Democrito mente; quindi…), ci sono versioni quasi innumerevoli che non variano nel metodo, ma sì nei protagonisti e nel racconto. Aulo Gellio (Notti Attiche, libro quinto, capitolo X) ricorre a un oratore e a un suo discepolo, Luis Barahoina de Soto (Angelica, undicesimo canto) a due schiavi; Miguel de Cervantes (Don Chisciotte, seconda parte, capitolo LI) a un fiume, a un ponte e a una forca,; Jeremy Taylor, in qualcuno dei suoi sermoni, a un uomo che ha sognato una voce che gli rivela che tutti i sogni sono vani; Bertrand Russell (Introduction to Mathematical Philosophy, pagina 136) all’insieme di tutti gli insiemi che non comprendono se stessi”.

Borges afferma nel Prologo che la matematica e la musica possono prescindere dall’universo. Si tratta dell’idea quasi platonica per la quale la matematica esiste indipendentemente da noi e aspetta solo di essere scoperta. I numeri (e tutta la costruzione delle matematiche) sono degli a–priori, indipendenti dalla creazione umana. Borges insomma sembra appartenere alla scuola del “realismo matematico”. Faccio notare che questa concezione è condivisa da un altro grande scrittore a lui contemporaneo, che di matematica era un espertissimo dilettante: Raymond Queneau.

Tra i matematici, molti sono stati realisti, come Paul Erdös e Kurt Gödel. Un’importante argomentazione a favore del realismo matematico consiste in ciò che il fisico Eugene Wigner ha definito della “irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”. L’universo fisico può essere conosciuto nella sua struttura più profonda grazie alla matematica per il semplice fatto che esso è matematico. Questa straordinaria efficacia ha sempre stupito i fisici, a partire da Galileo, che ne deduceva che la natura è un libro scritto “i lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche”. La natura dei caratteri, dopo la nascita delle geometrie non euclidee e i progressi della ricerca del XIX e XX secolo, sembra essere cambiata, e Dio sembra uscito dal discorso scientifico, tuttavia un altro fisico, Paul Dirac, è ugualmente affascinato dall’idea di un universo matematico quando scrive che “Il matematico fa un gioco di cui è lui stesso a inventare le regole, mentre il fisico fa un gioco le cui regole sono fornite dalla Natura; al passare del tempo diventa sempre più evidente che le regole che il matematico trova interessanti sono quelle stesse che ha scelto la Natura”. Così diventa arduo, secondo i realisti, spiegare diversamente come, ad esempio, nella teoria della relatività le geometrie non euclidee sono così importanti per spiegare lo spaziotempo, oppure come mai le teorie dei gruppi riescano a collocare in un catalogo ordinato e persino a prevedere le particelle quantistiche.

Ciò ha spinto logici matematici come W. V. Quine e filosofi come Hilary Putnam a formulare il cosiddetto Argomento di indispensabilità: se non si può fare a meno di impiegare le teorie matematiche nella comprensione di teorie scientifiche che riteniamo siano vere, o quantomeno confermate dall'evidenza empirica, allora non possiamo non ritenere vere, o quantomeno confermate, anche le teorie matematiche in questione, e quindi – sotto opportune condizioni – non ritenere che esistano gli oggetti di cui esse trattano. Insomma, se vogliamo credere nella realtà dei fenomeni descritti dalle scienze, dobbiamo credere anche nella realtà delle entità richieste per la loro descrizione.

Alle posizioni del realismo matematico si oppone chi contesta innanzitutto l'esistenza reale degli oggetti matematici (numeri, insiemi, funzioni, gruppi, ecc.) di cui le teorie matematiche sembrano trattare. Il maggiore problema che incontra il realismo matematico si può formulare infatti con le seguenti domande: "Dove e come precisamente esistono le entità matematiche? Esiste un mondo completamente separato dal nostro mondo fisico che è occupato dalle entità matematiche? Come si può accedere a questo mondo separato e scoprire le verità relative alle entità matematiche?" Se esistono, gli oggetti matematici sono oggetti astratti, cioè oggetti privi di collocazione spazio-temporale e privi di efficacia causale. Così la pensava ad esempio David Hilbert, convinto che la matematica non possiede alcun significato fisico: essa è pura forma, pura manipolazione di simboli o, per dirla con Hermann Hesse, un gioco di perle di vetro. Pertanto non si scopre, ma piuttosto si crea. Il sogno di Hilbert, esposto nei suoi famosi 23 problemi al Secondo Congresso Internazionale di Matematica tenutosi a Parigi nell'agosto del 1900, era quello di armonizzare la logica e la matematica in una collezione di sistemi formali. Sappiamo che il suo sogno di assiomatizzazione della matematica, condiviso da talenti quali Bertrand Russell, era destinato a fallire con la dimostrazione che nel 1931 Kurt Gödel diede di come un sistema formale non contraddittorio, che comprenda almeno l'aritmetica, non può dimostrare la propria completezza dall'interno dei suoi assiomi. La questione dei fondamenti della matematica è tornata così alla sua origine e ancora non riusciamo a decidere quale sia la vera natura degli enti matematici.

Ma torniamo a Borges. Quanto sapeva di matematica? Nel saggio Avatar della Tartaruga, dedicato alle diverse declinazioni letterarie del secondo paradosso di Zenone, lo scrittore afferma in modo ambiguo che “cinque, sette anni di apprendistato metafisico, teologico, matematico, mi resero capace (qualche volta) di progettare decorosamente una storia dell’infinito”. È tuttavia abbastanza evidente che gli argomenti trattati in Matematica e Immaginazione gli erano familiari, e già prima del 1940 egli aveva dedicato un saggio alla quarta dimensione. D’altra parte è altrettanto innegabile che l’immaginario matematico di Borges deve senz’altro molto, anche se non esclusivamente, all’opera di Newman e Kasner. I temi matematici che gli studiosi hanno riconosciuto come i più frequenti in Borges, sono quello dell’infinito (o degli infiniti di Cantor) e i paradossi logici, come d’altra parte egli stesso anticipò nella recensione del 1940. Tuttavia, l’esame della matematica nei contenuti e nello stile del grande autore argentino è già stato fatto da altri molto meglio di quanto io non sia in grado di fare, ad esempio da Piergiorgio Odifreddi. Ai suoi studi rimando qui e qui.

Nei commenti qui sotto un amico emiliano segnala anche questa perla.