L’approssimazione di π nelle Observationes Cyclometricæ di Adam Kochański

L’antico problema della quadratura del cerchio, cioè di costruire un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato con un una serie finita di passi usando solo riga e compasso, assillò i geometri per millenni, fino a quando nel 1882 il teorema di Lindemann-Weierstrass dimostrò la sua impossibilità, provando che π è un numero trascendente, cioè non corrisponde ad alcuna radice di polinomi con coefficienti razionali, perciò non è possibile rendere circolare un quadrato o, viceversa, quadrare un cerchio, al punto che oramai la locuzione “quadratura del cerchio” è diventato sinonimo di compito impossibile. E’ invece possibile dare una soluzione approssimata, scegliendo opportunamente rapporti tra numeri razionali che avvicinino il più possibile il valore di π. Numerosi matematici occidentali e orientali, sin dai tempi del papiro di Rhind (ca. 1800 a. C.) hanno fornito diversi metodi per ottenere valori il più possibile vicini. Ad esempio lo stesso papiro approssima il valore a 256/81, mentre Archimede, nel III sec. A. C., dimostrò che il valore cercato si trova tra 3 + 1/7 (circa 3,1429) and 3 + 10/71 (circa 3,1408).

Uno degli studi più noti sul valore approssimato da assegnare a π lo realizzò il gesuita polacco Adam Adamandy Kochański (1631 –1700). Figura importante della cultura del suo paese, studiò filosofia, teologia, fisica e matematica, insegnando in numerose università europee (tra le quali Firenze) e scrivendo opere di meccanica, fisica, matematica e filosofia. Nel 1680, su invito del re di Polonia Giovanni III Sobieswki, futuro vincitore dei Turchi nella battaglia di Vienna (1683), ne divenne il cappellano, matematico, costruttore di orologi, bibliotecario e tutore del figlio Giacomo, cariche che mantenne sino alla morte. Kochański fu in corrispondenza con Hevelius e Liebniz e fu l’unico polacco che all’epoca conoscesse il calcolo degli infinitesimi. Nell’agosto 1685 pubblicò sugli Acta Eruditorum di Lipsia, il primo giornale scientifico stampato in terra tedesca, la sua opera più nota, le Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accommodatae, dedicata appunto a un metodo, dichiaratamente approssimato, per ottenere la quadratura del cerchio. Sull'opera è stata recentemente pubblicato un articolo con il testo latino originale annotato e accompagnato da una traduzione inglese curata da Henryk Fukś del Department of Mathematics della canadese Brock University di St. Catharines, Ontario.

Kochański non fa parte della vasta schiera dei quadratori esaltati e sicuri di sé: al contrario dichiara di esporre un metodo che potrà forse essere migliorato da altri più fortunati di lui, “quam fortasse quispiam felicius excolere poterit, commemorabo”. Nondimeno si è persuaso che certe sezioni di una linea retta, i cui segmenti sono incommensurabili tra di loro e ad altre linee rette in lunghezza e superficie, sono tuttavia commensurabili a parti di aree e circonferenze in lunghezza e superficie; così, trovando la sezione con questo metodo, si può ottenere la quadratura del cerchio geometricamente, o almeno calcolare il rapporto tra diametro e circonferenza con il numero di decimali che si desidera (“ita ut inventa sectione istiusmodi, liceret ex ea Tetragonismum expedire Geometrice, vel saltem rationem Diametri ad Ambitum, in numeris ad lubitum maximis supputare”).

Il metodo si ispira a quello della quadratrice di Dinostrato, cioè la curva trascendente scoperta da Ippia di Elide e utilizzata dal matematico greco Dinostrato (390–320 a.c.) per trovare un quadrato di area uguale ad un cerchio dato. Essa consente di mettere in relazione la lunghezza di una circonferenza con quella di determinati segmenti rettilinei. Ad essa Kochański è giunto, sostiene egli stesso, attraverso la sua pratica meccanica (era infatti un orologiaio provetto). Oltre alla dimostrazione geometrica, il testo fornisce una tabella delle successive approssimazioni aritmetiche, con i decimali espressi per difetto e per eccesso sotto forma di frazioni, come usava allora. L’esame della tabella, secondo l’autore, consente di verificare che la sua costruzione è tanto accurata quanto i risultati ottenuti da Ludolph van Ceulen (1540 – 1610), il matematico che calcolò 35 cifre di π, o del gesuita austriaco Christoph Grienberger SJ (1561 – 1636).

Con riferimento alla figura qui sopra, si parte dal cerchio di raggio unitario centrato in O con OA = OF = 1. Si disegna il cerchio con centro in A (0;0) e raggio 1, che interseca il primo cerchio nel punto B di coordinate . Si costruisce ora il cerchio centrato in B di raggio 1, che interseca il secondo cerchio nel punto . Il segmento CO interseca la perpendicolare ad AO in A nel punto . Ora si costruisce il punto ad una distanza 3 da D. Il segmento EF è allora di lunghezza .

L’approssimazione per π è data da:

Partendo da cerchi di opportune dimensioni, il metodo di Kochański permetterebbe di approssimare geometricamente il valore di π con una precisione mai raggiunta in precedenza.

Fonti:

Henryk Fuks (2011). Observationes Cyclometricæ by Adam Adamandy Kochański – Latin text with annotated English translation ArXiv DOI: arXiv:1106.1808v1

Weisstein, Eric W. "Kochanski's Approximation." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

IZWT - Repertorium Deutscher wissenschaftlicher Periodika des 18. Jahrhunderts – Bergische Universitaet Wuppertal - Acta Eruditorum, Annus 1685 - a pag. 394