sabato 11 giugno 2011

L’approssimazione di π nelle Observationes Cyclometricæ di Adam Kochański

ResearchBlogging.orgL’antico problema della quadratura del cerchio, cioè di costruire un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio dato con un una serie finita di passi usando solo riga e compasso, assillò i geometri per millenni, fino a quando nel 1882 il teorema di Lindemann-Weierstrass dimostrò la sua impossibilità, provando che π è un numero trascendente, cioè non corrisponde ad alcuna radice di polinomi con coefficienti razionali, perciò non è possibile rendere circolare un quadrato o, viceversa, quadrare un cerchio, al punto che oramai la locuzione “quadratura del cerchio” è diventato sinonimo di compito impossibile. E’ invece possibile dare una soluzione approssimata, scegliendo opportunamente rapporti tra numeri razionali che avvicinino il più possibile il valore di π. Numerosi matematici occidentali e orientali, sin dai tempi del papiro di Rhind (ca. 1800 a. C.) hanno fornito diversi metodi per ottenere valori il più possibile vicini. Ad esempio lo stesso papiro approssima il valore a 256/81, mentre Archimede, nel III sec. A. C., dimostrò che il valore cercato si trova tra 3 + 1/7 (circa 3,1429) and 3 + 10/71 (circa 3,1408).

Uno degli studi più noti sul valore approssimato da assegnare a π lo realizzò il gesuita polacco Adam Adamandy Kochański (1631 –1700). Figura importante della cultura del suo paese, studiò filosofia, teologia, fisica e matematica, insegnando in numerose università europee (tra le quali Firenze) e scrivendo opere di meccanica, fisica, matematica e filosofia. Nel 1680, su invito del re di Polonia Giovanni III Sobieswki, futuro vincitore dei Turchi nella battaglia di Vienna (1683), ne divenne il cappellano, matematico, costruttore di orologi, bibliotecario e tutore del figlio Giacomo, cariche che mantenne sino alla morte. Kochański fu in corrispondenza con Hevelius e Liebniz e fu l’unico polacco che all’epoca conoscesse il calcolo degli infinitesimi. Nell’agosto 1685 pubblicò sugli Acta Eruditorum di Lipsia, il primo giornale scientifico stampato in terra tedesca, la sua opera più nota, le Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accommodatae, dedicata appunto a un metodo, dichiaratamente approssimato, per ottenere la quadratura del cerchio. Sull'opera è stata recentemente pubblicato un articolo con il testo latino originale annotato e accompagnato da una traduzione inglese curata da Henryk Fukś del Department of Mathematics della canadese Brock University di St. Catharines, Ontario.

Kochański non fa parte della vasta schiera dei quadratori esaltati e sicuri di sé: al contrario dichiara di esporre un metodo che potrà forse essere migliorato da altri più fortunati di lui, “quam fortasse quispiam felicius excolere poterit, commemorabo”. Nondimeno si è persuaso che certe sezioni di una linea retta, i cui segmenti sono incommensurabili tra di loro e ad altre linee rette in lunghezza e superficie, sono tuttavia commensurabili a parti di aree e circonferenze in lunghezza e superficie; così, trovando la sezione con questo metodo, si può ottenere la quadratura del cerchio geometricamente, o almeno calcolare il rapporto tra diametro e circonferenza con il numero di decimali che si desidera (“ita ut inventa sectione istiusmodi, liceret ex ea Tetragonismum expedire Geometrice, vel saltem rationem Diametri ad Ambitum, in numeris ad lubitum maximis supputare”).

Il metodo si ispira a quello della quadratrice di Dinostrato, cioè la curva trascendente scoperta da Ippia di Elide e utilizzata dal matematico greco Dinostrato (390–320 a.c.) per trovare un quadrato di area uguale ad un cerchio dato. Essa consente di mettere in relazione la lunghezza di una circonferenza con quella di determinati segmenti rettilinei. Ad essa Kochański è giunto, sostiene egli stesso, attraverso la sua pratica meccanica (era infatti un orologiaio provetto). Oltre alla dimostrazione geometrica, il testo fornisce una tabella delle successive approssimazioni aritmetiche, con i decimali espressi per difetto e per eccesso sotto forma di frazioni, come usava allora. L’esame della tabella, secondo l’autore, consente di verificare che la sua costruzione è tanto accurata quanto i risultati ottenuti da Ludolph van Ceulen (1540 – 1610), il matematico che calcolò 35 cifre di π, o del gesuita austriaco Christoph Grienberger SJ (1561 – 1636).


Con riferimento alla figura qui sopra, si parte dal cerchio di raggio unitario centrato in O con OA = OF = 1. Si disegna il cerchio con centro in A (0;0) e raggio 1, che interseca il primo cerchio nel punto B di coordinate . Si costruisce ora il cerchio centrato in B di raggio 1, che interseca il secondo cerchio nel punto . Il segmento CO interseca la perpendicolare ad AO in A nel punto . Ora si costruisce il punto ad una distanza 3 da D. Il segmento EF è allora di lunghezza .

L’approssimazione per π è data da:


Partendo da cerchi di opportune dimensioni, il metodo di Kochański permetterebbe di approssimare geometricamente il valore di π con una precisione mai raggiunta in precedenza.


Fonti:

Henryk Fuks (2011). Observationes Cyclometricæ by Adam Adamandy Kochański – Latin text with annotated English translation ArXiv DOI: arXiv:1106.1808v1

Weisstein, Eric W. "Kochanski's Approximation." From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

IZWT - Repertorium Deutscher wissenschaftlicher Periodika des 18. Jahrhunderts – Bergische Universitaet Wuppertal - Acta Eruditorum, Annus 1685 - a pag. 394


15 commenti:

  1. Interessante e molto ben scritto (come al solito) anche se non sempre in quest'ordine.

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  2. Grazie Paopasc. Come al solito lei è troppo buono!

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  3. Vittoria! No?

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  4. Direi: Vittoria Sì. Ma non è questo l'articolo giusto per i commenti sul referendum.

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  5. Popinga, io ci ho messo tutto il mio intelletto, per intelleggerti. E ti dico che secondo me sei stato bravo, a farmi intelleggere. Poi sai mi è venuta la curiosità di cercare il modo di dire, e ho trovato questo =
    "Quadratura del cerchio: è appurato che la quadratura del cerchio è impossibile. Ma la locuzione, come metafora, è molto usata. Chi la propose per primo fu Giulio Andeotti che, formato un governo che si reggeva sul voto determinante di Democrazia Nazionale, ottenuta la fiducia si dimise un secondo dopo dichiarando che era stata ottenuta “la quadratura del cerchio”.
    Può essere, secondo te? A me sembra impossibile che nessuno prima di lui abbia usato questa espressione, anzi sono sicura che è una stupidata. Però mi è venuto da riflettere lo stesso, questa volta sul Colmo dei Colmi. Perchè, se fosse vero, tu avresti dedicato uno dei tuoi bellissimi post ad Andreotti, anche. A me sembra il colmo dei colmi, ecco.

    B

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  6. questo Kochański era avanti di brutto,gli orologiai solitamente erano molto svegli! :-) interessante articolo veramente ben scritto!
    ciao

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  7. A bocce ferme mi sembra il caso di far notare che l'iniziativa “Contro il nucleare” espressa da questo blog presenta oggettivamente aspetti poco convincenti, se non preoccupanti.
    Si era partiti con un “Contro il nucleare (1)” il cui protagonista era un commovente amarcord, storicamente interessante, ma sostanzialmente affatto inutile. Se non altro perché di fatto decrepito.
    Poi è arrivato un “Contro il nucleare (2) - Un po’ di fisica atomica”. Appunto, maledizione! Di questo si tratta. Tutto perfetto. Già lì ci aspettavamo qualcosa “contro il nucleare” ed invece no, tutto era nella logica delle cose.
    Ma non importa. Ora ci aspettiamo il “Contro il nucleare (3)”. No?

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  8. Ci ha pensato l'amico Orondo nell'articolo del 1 giugno. Come scrivevo: "Il nostro Orondo è un professore stalinista che approfitta del suo ruolo per inculcare nei giovani idee contarie alla morale, alla famiglia e alla religione, oltre che agli interessi della solita banda di affaristi. Mi ha chiesto oggi in sala professori di registrare una sua lezione e di pubblicarla al posto del terzo articolo contro il nucleare. Volentieri ho acconsentito".
    Popinga

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  9. Ironia deprimente che avevamo già rilevato. Serietà zero.
    Auguri Italia.

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  10. ...a proposito. Vergogninga.

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  11. e dopo Popinga, facciamo Babunga

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  12. Ho trovato questo articolo grazie ad un link sull'ultima edizione del carnevale della matematica ospitato da G.F.
    Mi sono imbattuto anche io sull'approssimazione di Kochański (del quale non riuscivo a trovare notizie su Wiki quindi oggi ho linkato al tuo ottimo post) e ho cercato di verificarla sia con GeoGebra che algebricamente. La tua spiegazione mi conferma che la mia verifica improvvisata sembrerebbe corretta. Mi rimane solo un dubbio sulla frase finale del tuo articolo: "Partendo da cerchi di opportune dimensioni...". Non capisco come un cerchio di dimensioni "opportune" possa portare ad una maggior precisione di Pi greco. L'approssimazione di Kochański è quella e quella rimane indifferentemente dal raggio del cerchio preso in considerazione. O non ho capito niente e sono completamente fuori strada?
    Mi dai lumi? Grazie.

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    1. Tu hai capito benissimo: sono io che mi sono espresso male riguardo a un concetto. Dice il Kochanski. nell’ultima frase della sua opera: “Quanquam nec istud subticendum sit, istam Praxin in Majoribus Circulis potissimum locum habere, in parvis oculorum effugere, quoad particulam postremo addendam., che significa: “Ciò nonostante, non si può tacere che questa costruzione ha il suo posto principalmente nei cerchi più grandi, infatti nei cerchi piccoli sfugge alla capacità degli occhi di vedere, specialmente riguardo alla piccola parte aggiunta alla fine”.

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    2. Capito!
      Grazie 1000 per la risposta

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