Il 6174 e il 495 di Kaprekar

Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905–1986) era un insegnante indiano di matematica. Pur non avendo una specializzazione accademica, fece molte scoperte nella teoria dei numeri, tra i quali una costante e una classe di numeri che da lui hanno preso il nome, divulgati attraverso una serie di articoli su riviste di modesto prestigio scientifico. Si occupò anche di quadrati magici e matematica ricreativa. Studioso solitario e poco apprezzato dai colleghi indiani, diventò famoso quando Martin Gardner nel 1975 si occupò di lui in un articolo della rubrica Mathematical Games che teneva sullo Scientific American. 

Nel 1949 fu resa nota una tra le più famose scoperte di Kaprekar, che riguarda la curiosa proprietà del numero 6174, che ricorre come risultato finale di una serie di semplici operazioni con i numeri di quattro cifre, purché non siano tutte uguali. Ecco il procedimento, che ha lo stesso gusto perverso della congettura di Collatz: 

1. Prendiamo un qualsiasi numero di quattro cifre, usandone almeno due diverse. (Si possono inserire degli zero anche all'inizio.) 

2. Sistemiamo le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre, aggiungendo degli zero iniziali se necessario. 

3. Sottraiamo il numero più piccolo da quello più grande. 

4. Ripetiamo il processo partendo dal punto 2. 

Questo processo, conosciuto come operazione di Kaprekar, andrà sempre incontro al suo punto fisso, o kernel, il 6174. Una volta raggiunto il 6174, il processo continuerà a dare 7641 – 1467 = 6174. Per esempio, consideriamo il numero 2155: 

5521 – 1255 = 4266 

6642 – 2466 = 4176 

7641 – 1467 = 6174 

7641 – 1467 = 6174

Facciamo un altro esempio, questa volta con il numero 8082: 

8820 – 0288 = 8532 

8532 – 2358 = 6174 

7641 – 1467 = 6174 

Il numero fisso si raggiunge con 7 iterazioni al massimo, come nel caso del numero 2005: 

5200 – 0025 = 5175 

7551 – 1557 = 5994 

9954 – 4599 = 5355 

5553 – 3555 = 1998 

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532 

8532 – 2358 = 6174 

7641 – 1467 = 6174 

Notiamo che, in ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar, i due numeri di cui si fa la differenza hanno la stessa somma delle cifre, e quindi lo stesso resto (mod 9). Pertanto il risultato di ogni iterazione è un multiplo di 9. 

Il matematico giapponese Yutaka Nishiyama, con un programma specifico, ha verificato già nel 1975 le occorrenze del numero di iterazioni per tutti gli 8891 8991 numeri di quattro cifre da 1000 a 9999 nei quali non si hanno tutte le cifre uguali. Ne ha ricavato la seguente tabella: 

Si può dimostrare che 6174 è l’unico numero verso il quale convergono le successive iterazioni dell’operazione di Kaprekar. Consideriamo che per un numero di quattro cifre la combinazione ascendente può essere generalizzata come:

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 

dove a, b, c, d non sono la stessa cifra. Così il massimo numero che si ottiene è abcd e il minimo è dcba. Quando eseguiamo la sottrazione, si ha che: 

che dà le relazioni: 

D = 10 + d – a (poiché a > d) 

C = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b (poiché b > c – 1) 

B = b –1 – c (poiché b > c) 

A = a – d 

Per i numeri in cui a>b>c>d.

Per trovare i numeri limite dell’operazione di Kaprekar, bisognerà considerare tutte le possibili combinazioni delle cifre di {a, b, c, d} e verificare che soddisfino le relazioni sopra scritte. Ciascuna delle 4! = 24 combinazioni dà luogo a un sistema di quattro equazioni con quattro incognite. Ne risulta un’unica combinazione che soddisfa 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Questa combinazione è bdac, con a = 7, b = 6, c = 4 e d = 1. Perciò ABCD = 6174. Non ne esistono altre: questo numero è unico. 

E se le cifre del numero non sono quattro? Lo stesso Kaprekar scoprì che un numero di due cifre non converge verso un solo valore, ma si impantana nel loop 9→81→63→27→45→9. Le cose cambiano con tre cifre: l’operazione questa volta converge verso un solo valore, il numero 495. Ad esempio, prendiamo 586. In ordine decrescente le cifre danno 865 e in ordine crescente danno 568. 

865 – 568 = 297. 

972 – 279 = 693. 

963 – 369 = 594 

945 – 459 = 495 

945 – 459 = 495. 

Con le cifre 4, 5 e 9 la cifra finale sarà sempre 495. 

Attraverso lo stesso procedimento usato per il caso delle quattro cifre e del numero 6174, si può dimostrare che 495 è l’unica soluzione possibile per un numero di tre cifre.

Per numeri con un numero di cifre superiore a 4 si è scoperto quanto riportato nella tabella, sempre fornita da Yutaka Nishiyama:

Notate la somiglianza tra i numeri che sono multipli di 2 e quella tra i numeri che sono multipli di 3: chissà che cosa c’è dietro. Dimostrazioni più avanzate e generali le trovate qui.

AGGIORNAMENTO DEL 2/11/2012

Gli amici di Webfract mi segnalano di aver reso disponibile online un calcolatore del procedimento di Kaprekar, che offre la possibilità di studiare il comportamento di interi positivi fino a un massimo di 16 cifre. Li ringrazio anche per avere segnalato il mio articolo.