Il Teorema vivente di Cédric Villani

Attribuire un’etichetta a un libro come Théorème Vivant del matematico francese Cédric Villani non è facile. Si può infatti considerare un diario personale e professionale, che copre due anni di intensa ricerca culminati con il ricevimento della Medaglia Fields (la massima onorificenza per matematici di età inferiore ai quarant'anni), vissuti tra la Francia e gli Stati Uniti, con puntate in molti altri posti in tutto il mondo. Si può anche definirlo il racconto di un’impresa matematica (la dimostrazione non lineare dello smorzamento di Landau) e di come essa sia nata, si sia sviluppata attraverso difficoltà, entusiasmi, delusioni, incontri, problemi quotidiani, notti insonni, improvvise intuizioni, e un continuo lavoro di collaborazione fino al risultato finale. E Théorème Vivant è anche una cronaca epistolare, attraverso la riproduzione dello scambio di e-mail tra l’autore e il suo collega Clément Mouhot, con il quale ha raggiunto l’obiettivo e ha pubblicato l’articolo scientifico. 

Il libro è soprattutto la cronaca della nascita di una nuova dimostrazione matematica, che ha suggerito il titolo di Teorema vivente. Villani si è occupato in precedenza dell’equazione di Boltzmann, che fu argomento della sua tesi di dottorato: 

"Si trova di tutto nell’equazione di Boltzmann: la fisica statistica, la freccia del tempo, la meccanica dei fluidi, la teoria delle probabilità, la teoria dell’informazione, l’analisi di Fourier… Alcuni dicono che nessuno al mondo conosce meglio di me il mondo matematico generato da questa equazione.” (pp. 10-11) 

Egli è anche un esperto di trasporto ottimale, lo studio di come trasferire una distribuzione di massa da un luogo a un altro con il minor lavoro possibile (consiglio su questo argomento un articolo divulgativo di Alessio Figalli). Questo problema fu formalizzato per la prima volta da Gaspard Monge del 1781 (e Gaspard è il nome del computer di Villani a Lione) e fu sviluppato dal matematico ed economista russo Kantorovich intorno agli anni ’40. L’interesse per il trasporto ottimale nella comunità dell’analisi matematica si sviluppò soprattutto grazie ai lavori di Yann Brenier, il quale, alla fine degli anni ’80, stava studiando problemi legati alla meccanica dei fluidi e si trovò di fronte ad aspetti che lo portarono (in modo abbastanza inatteso) al problema di Monge-Kantorovich. Negli ultimi vent'anni si è scoperto che c’è una stretta relazione tra entropia, trasporto ottimale ed equazione del calore di un gas, che può essere studiata come una sorta di evoluzione che fa aumentare l’entropia nel modo più veloce possibile senza spendere troppa energia cinetica. Villani, del quale Brenier è stato relatore di tesi tutor all'École Normale Supérieure di Parigi, si è occupato del problema del trasporto ottimale nell'ambito della geometria non euclidea, scoprendo che, a seconda della variazione di entropia, è possibile stabilire il tipo di curvatura dello spazio, con importanti applicazioni in geometria. 

L’interesse di Villani sullo smorzamento di Landau si sviluppa quasi casualmente nel corso di una conversazione con Mouhot sulla regolarità del trasporto in un’equazione di Boltzmann disomogenea, che li porta a discutere del lavoro del giovane matematico sino-americano Yan Guo. Inizia così una lunga avventura intellettuale, descritta con dovizia di particolari, che può essere considerata un esempio di come procede la ricerca matematica, fatta di duro lavoro: 

“Tarda sera nel mio appartamento di Princeton, seduto per terra sulla moquette, circondato da fogli di appunti, davanti alla grande vetrata attraverso la quale i bambini, di giorno, osservano gli scoiattoli grigi. Rifletto e scarabocchio senza dir nulla.” (p. 73) 

“(…) È il momento propizio per mettermi al lavoro. Preparo un thè, stendo i miei appunti. Ancora una montagna di problemi tecnici, che si stanno risolvendo man mano assieme a Clément. La parte più grande della dimostrazione, la sezione 10, è in corso di costruzione. C’è questo maledetto controllo del modo zero, ne ero sicuro, che mi avrebbe fatto dannare. E devo esporre i risultati tra dieci giorni! Dieci piccoli giorni perché tutto stia in piedi.” (p. 129) 

Fatta anche di sconforto e delusioni: 

“Buio! Ho bisogno di oscurità, di restare da solo nel buio. La camera dei bambini, imposte chiuse, benissimo. La regolarizzazione. Lo schema di Newton. Le costanti esponenziali. Tutto mi gira in testa. (…) Ho bisogno di lavorare da solo per riflettere. C’è fretta! (…) Un certo calcolo, sul quale facevo pieno affidamento, non va più bene, dovevo sbagliarmi. Grave oppure no?” (p. 91) 

“È sera. Apro la posta elettronica. Ho un balzo al cuore: un messaggio che arriva da Acta Mathematica, una rivista di ricerca matematica che in molti considerano la più prestigiosa di tutte. È là che io e Clément abbiamo presentato per la pubblicazione il nostro mostro di 180 pagine. Di sicuro la rivista mi scrive su questo argomento. Ma… l’abbiamo inviato meno di quattro mesi fa! Tenuto conto della lunghezza del manoscritto, è troppo poco perché i referenti abbiano espresso il loro parere e gli editori abbiano preso una decisione positiva. Una sola spiegazione: la rivista scrive per comunicare che l’articolo è stato rifiutato.” (p. 209) 

E di intuizioni improvvise, come in questa citazione di André Weil: 

“Ogni matematico degno di questo nome ha provato, anche se solo qualche volta, lo stato di lucida esaltazione nel quale un pensiero succede a un altro come per miracolo… Contrariamente al piacere sessuale, questa sensazione può durare per diverse ore, o persino diversi giorni.” (p. 135) 

O come quando Villani scopre come migliorare i punti oscuri che sono costati il rifiuto della rivista: 

“È l’illuminazione, là, con la mia matita, sul letto. Mi alzo e vado su e giù furiosamente per la camera, con gli appunti in mano, lo sguardo fisso sulle formule cabalistiche. Il destino dell’articolo si è appena ribaltato un’altra volta. Questa volta non si tratta di riparare un errore, ma di migliorare i risultati.” 

La vicenda raccontata nelle pagine di Théorème vivant si conclude con la pubblicazione dell’articolo definitivo su Acta Mathematica, 207, 1 (2011) 29-201, e con il conferimento a Villani della Medaglia Fields durante il Congresso Internazionale dei Matematici (ICM), tenutosi a Hyderabad in India nell'agosto 2010, per i suoi studi sull'equazione di Boltzmann, sul trasporto ottimale e sullo “smorzamento di Landau per l’equazione di Vlasov-Poisson”. 

Se non pare abbastanza, nel libro si ritrovano anche una buona divulgazione della matematica contemporanea, con le biografie di alcuni tra i suoi esponenti più eminenti (bellissimi i ricordi di John Nash e di Carlo Cercignani), la spiegazione di alcune delle sue conquiste, la storia di alcuni prestigiosi centri di ricerca. Sfogliando il libro prima di leggerlo si può rimanere intimoriti dalle pagine di formule e di dimostrazioni che sono intercalate nel racconto: esse sono fondamentali per il matematico che desidera seguire il percorso intellettuale e tecnico di Villani, ma possono essere considerate dal lettore non specialista delle misteriose illustrazioni senza che la comprensione generale del testo ne venga guastata. 

Insomma, un libro del genere lo poteva scrivere solo un personaggio geniale, poliedrico, originale come Cédric Villani, che ha voluto, proprio nella complicata e multiforme struttura del testo, far conoscere alcuni degli aspetti della sua personalità, parlandoci persino della sua passione per i manga e per la musica, del suo amore per la famiglia, riportando fiabe raccontate ai figli e descrivendo piccole vicende domestiche, Nelle pagine del libro fa solo capolino la rockstar della matematica come ogni tanto egli stesso ama descriversi ai media, ammaliati dal suo abbigliamento eccentrico, con abiti da dandy, cravatta a fiocco e spilla a forma di ragno. In fondo, anche un grande matematico è figlio del suo tempo, compresa una certa dose di egocentrismo. 

Cédric Villani 

Théorème vivant 

Ed. Grasset, Paris, 2012 

pp. 282 

Prezzo in Francia: 19 € 

(le traduzioni dal francese sono mie: abbiate comprensione)