Matematica dei plasmi e smorzamento di Landau (senza formule!)

I sistemi strutturati hanno energie di legame maggiori che l’energia termica dell’ambiente. Posti in ambienti sufficientemente caldi, essi si decompongono, così i cristalli fondono e le molecole si dissociano. A temperature corrispondenti o superiori alle energie di ionizzazione atomiche, anche gli atomi incominciano a decomporsi in elettroni carichi negativamente e ioni carichi positivamente. Queste particelle cariche sono lontane dalla situazione di un gas perfetto, in cui le particelle interagiscono solo attraverso urti meccanici. Esse non sono affatto libere, perché sono influenzate reciprocamente dai loro campi elettromagnetici. Dal momento che le cariche non sono più legate, il loro insieme diventa capace di moti collettivi di grande intensità e complessità. A questo insieme di particelle cariche si dà il nome di plasma. La complessità in un plasma è caratterizzata grandemente dall'eccitazione di una enorme varietà di comportamenti dinamici collettivi e deve essere espressa sia temporalmente sia spazialmente. 

Un plasma e talvolta definito come un gas che è sufficientemente ionizzato da mostrare cariche libere. Tale comportamento risulta dopo che anche una piccola frazione del gas è stata ionizzata. Così, i gas ionizzati anche in piccola parte mostrano la maggior parte dei fenomeni singolari caratteristici dei gas completamente ionizzati. 

I plasmi che risultano dalla ionizzazione di gas elettricamente neutri contengono generalmente un numero uguale di portatori di carica negativi e positivi. In questa situazione, i fluidi con carica opposta sono fortemente attirati tra loro, e tendono a neutralizzarsi su scala macroscopica, ricombinandosi. Questi plasmi, chiamati, quasi-neutri, mostrano piccole deviazioni dalla esatta neutralità, che hanno importanti conseguenze dinamiche per certi tipi di configurazioni. Esistono anche plasmi fortemente non-neutri, che possono contenere persino cariche di un solo segno. Il loro equilibrio dipende dall'esistenza di intensi campi magnetici, intorno ai quali ruota il fluido carico elettricamente. 

È evidente che lo studio del comportamento dei plasmi comporta un numero molto grande di variabili e può essere affrontato solo attraverso una modellizzazione (che è una semplificazione della realtà). Il gran numero di particelle e la loro diversa distribuzione consigliano una trattazione statistica, il loro movimento coinvolge la teoria cinetica dei gas, la loro carica elettrica non può prescindere da una trattazione secondo le leggi dell’elettrostatica e dell’elettrodinamica. Esiste una serie di dipendenze reciproche tra questi approcci che fa sì che la matematica delle leggi dei plasmi sia tuttora in una fase di ricerca avanzata e appassionante, che utilizza gli strumenti più aggiornati della disciplina. E naturalmente tutto dipende da che cosa si cerca e da quali parametri di ingresso si assumono. 

Lo studio matematico del comportamento dei plasmi produsse nel 1938 la cosiddetta equazione di Vlasov, che prende il nome dal fisico teorico russo Anatoli Vlasov (1908-1975). Vlasov dimostrò che l’equazione di Boltzmann, che descrive il trasporto di grandezze all'interno di un fluido lontano dall'equilibrio termodinamico, non può descrivere la dinamica di un plasma, a causa dell’esistenza di interazioni collettive a lungo raggio, come ad esempio quella di Coulomb tra particelle cariche. Associando l’equazione di Boltzmann alle equazioni di Maxwell, Vlasov ottenne un sistema di equazioni differenziali, ben poste a patto che si scelgano opportunamente le condizioni iniziali e quelle al contorno. 

Uno dei fenomeni più esotici rilevati all'interno di un plasma è il cosiddetto smorzamento di Landau, che prende il nome dal suo scopritore, il fisico russo Lev Landau (1908-1968), uno dei più grandi fisici del Novecento e premio Nobel nel 1962, che lo descrisse in un articolo del 1946 (qui la versione in inglese). Landau, che non stimava Vlasov, al punto di giudicare errati quasi tutti i suoi contributi, sostenne che quando un campo elettrico attraversa un plasma, le sue oscillazioni longitudinali subiscono uno smorzamento (diminuzione esponenziale in funzione del tempo), che corrisponde a un trasferimento di energia tra l’onda elettromagnetica e un certo numero di elettroni presenti nel plasma. Questo fenomeno impedisce lo sviluppo dell’instabilità e crea una regione di stabilità nello spazio parametrico. Le forze elettriche si attenuano spontaneamente nel tempo, e, contrariamente a quanto previsto dall'equazione di Boltzmann e da quella di Vlasov, l’entropia rimane costante, il disordine non aumenta. 

Lo smorzamento di Landau è dovuto allo scambio di energia tra un’onda con velocità di fase υ_ph e una particella nel plasma la cui velocità è approssimativamente uguale a υ_ph. Le particelle la cui velocità è leggermente inferiore alla velocità di fase dell’onda sono accelerate dal campo elettrico per raggiungere la velocità di fase. Al contrario, le particelle con velocità leggermente superiore alla velocità di fase dell’onda sono decelerate, cedendo una parte della loro energia all'onda. 

In un plasma in cui gli effetti quantistici sono trascurabili, dove le velocità sono distribuite come una funzione statistica del numero di particelle e dell’energia che possiedono, il numero di particelle la cui velocità è leggermente inferiore alla velocità di fase dell’onda è più grande del numero di particelle la cui velocità è leggermente superiore. Per questo motivo, ci sono più particelle che acquistano energia dall'onda di quante ne cedono. Di conseguenza, l’onda complessivamente cede energia e si smorza, eppure l’energia ceduta al sistema non contribuisce all'aumento della sua entropia. 

L’articolo originale di Landau si basava su un complicato calcolo lineare. Ora, con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche se nel frattempo era stata sviluppata una teoria matematica lineare quasi completa del fenomeno, la questione di superare lo studio lineare è rimasta aperta per decenni, producendo come solo risultato non lineare una classe di soluzioni smorzate esponenzialmente per l’equazione di Vlasov-Poisson, che è un’approssimazione del sistema di Vlasov nel caso di un campo relativistico zero-magnetico. 

Una trattazione non lineare convincente (un teorema!) dello smorzamento di Landau ha dovuto attendere fino a quando nel 2008 ha incominciato ad occuparsene Cédric Villani con il suo collaboratore Clément Mouhot, ma di ciò parlerò prossimamente, perché c’è anche da recensire un libro…