Singolarità e cammini nello spaziotempo

 

Forse la conseguenza più eclatante della descrizione della gravità da parte di Einstein in termini di geometria curva dello spaziotempo, nel quadro della sua teoria generale della relatività, è la possibilità che lo spazio e il tempo possano presentare "buchi" o "bordi", cioè delle singolarità.

Una singolarità dello spaziotempo è una sua rottura, nella geometria o in qualche altra struttura fisica di base. Purtroppo, non è così facile dare un significato preciso a ciò che questo significa. In altre teorie fisiche, le singolarità sono definite come una sorta di "comportamento patologico" che si verifica in un quadro ordinato fornito dallo spazio e dal tempo. Ad esempio, un modello che descrive un fluido potrebbe prevedere che, in determinate condizioni, la pressione diventa infinitamente grande da qualche parte in un determinato momento, chiaramente in contrasto con la realtà. Ma nella relatività generale, lo spaziotempo stesso può comportarsi in modo patologico, e può farlo in molti modi.

Quando è la geometria fondamentale a rompersi, le singolarità dello spaziotempo sono spesso viste come una fine, o un "bordo", dello spaziotempo stesso. Tuttavia, sorgono numerose difficoltà quando si cerca di precisare questo concetto. La relatività generale non solo ammette le singolarità (big-bang, buchi neri, ecc.), ma ci dice che sono inevitabili in alcune circostanze. Perciò abbiamo bisogno di comprendere la natura delle singolarità se vogliamo cogliere quella dello spazio e del tempo nell'universo reale.

I buchi neri, ad esempio, sono regioni dello spaziotempo da cui nulla, nemmeno la luce, può sfuggire e la gravità tende a infinito. Questa previsione della relatività generale ci dice che essa, mentre prevede l'esistenza dei buchi neri, non è sufficiente per descriverli. È necessaria una nuova fisica dei buchi neri. Naturalmente, la relatività generale è molto efficace nel descrivere molti altri aspetti dell'universo fisico. Ma, per il centro di un buco nero, che sperimenta un estremo di gravità, le equazioni della relatività generale non funzionano più. Che cosa accada oltre l’orizzonte degli eventi (se c’è), è una domanda senza senso, perché, dove non c’è spazio tempo, anche il verbo accadere è un paradosso.

Un altro modo per descrivere la singolarità di un buco nero è che è il punto in cui materia, energia, spazio e tempo scompaiono dal nostro universo. Notiamo che lo spazio e il tempo, essi stessi, scompaiono nella singolarità. Naturalmente, i fisici non sanno esattamente cosa significhi la scomparsa del tempo e dello spazio. Dove vanno? I buchi neri contengono genericamente una singolarità spaziotemporale al loro centro; quindi, non possiamo comprendere appieno un buco nero senza comprendere anche la natura delle singolarità, che può essere ancora più complicata se essi ruotano o emettono radiazioni (di Hawking) in obbedienza alle leggi della termodinamica.

Il secondo punto descritto come "singolarità" è il Big Bang. Questa singolarità, un punto più piccolo di un atomo, è considerata da molti scienziati come dotata di densità e massa infinite. Al momento del Big Bang, si espanse rapidamente, creando tutto lo spazio, il tempo, la materia e l'energia del nostro universo fisico. Come è successo? Gli scienziati non hanno equazioni che descrivono un punto più piccolo di un atomo che ha massa e densità infinite. Questo, come il centro di un buco nero, è una singolarità per la quale sono necessarie nuove leggi fisiche.

Le singolarità segnalano in qualche modo una rottura della geometria dello spaziotempo stesso, ma ciò presenta un'ovvia difficoltà nel riferirsi a una singolarità come a una "cosa" che risiede in qualche posizione nello spaziotempo: senza una geometria, non può esserci posizione.

I tentativi più comuni di definire le singolarità si concentrano su una delle due idee fondamentali. La prima è che uno spaziotempo ha una singolarità se contiene un percorso incompleto, che non può essere continuato all'infinito, senza possibilità di estensione. Il secondo è che uno spaziotempo è singolare solo nel caso in cui ci siano dei punti "mancanti".

Un’altra idea comune, a cui si fa spesso riferimento nella discussione delle due nozioni primarie, è che la struttura singolare, sotto forma di punti mancanti o di percorsi incompleti, debba essere correlata a un comportamento patologico di qualche tipo nella curvatura dello spaziotempo, cioè una deformazione fondamentale dello spaziotempo che si manifesta come “campo gravitazionale”. Ad esempio, una certa misura dell'intensità della curvatura ("la forza del campo gravitazionale") può aumentare senza limiti mentre si attraversa il percorso incompleto.

Sebbene esistano definizioni contrastanti delle singolarità dello spaziotempo, il criterio più ampiamente accettato si basa sulla possibilità che alcuni spaziotempi contengano percorsi incompleti e inestensibili. In effetti, le definizioni concorrenti (in termini di punti mancanti o patologia della curvatura) si basano sulla nozione di incompletezza del percorso.

Un percorso nello spaziotempo è una catena continua di eventi attraverso lo spazio e il tempo. I percorsi utilizzati nei più importanti teoremi di singolarità rappresentano possibili traiettorie di particelle e osservatori. Tali percorsi sono noti come linee di universo; consistono nella sequenza continua di eventi istanziati dall'esistenza di un oggetto in ogni istante della sua vita. 

Il fatto che i percorsi siano incompleti e inestensibili significa, in parole povere, che, dopo un periodo di tempo finito, una particella o un osservatore che segue quel percorso "scapperebbe dal mondo", per così dire, e precipiterebbe nello squarcio nel tessuto dello spaziotempo per poi svanire. 

In alternativa, una particella o un osservatore potrebbe saltare fuori dallo strappo per seguire tale percorso. Anche se non c'è alcuna contraddizione logica o fisica in tutto ciò, sembra fisicamente sospetto che a un osservatore o a una particella venga permesso di entrare o uscire dall'esistenza proprio nel mezzo dello spaziotempo: se ciò non basta per concludere che lo spaziotempo è singolare, è difficile immaginare cos'altro sarebbe. Nello stesso momento in cui fu proposto per la prima volta questo criterio per le singolarità, il lavoro pionieristico che prevedeva l'esistenza di tali percorsi patologici (Penrose, Hawking, Geroch alla fine degli anni Sessanta) non ha prodotto consenso su ciò che dovrebbe essere considerato una condizione necessaria per la struttura singolare secondo questo criterio, e quindi nessun consenso su una definizione fissa.

In questo contesto, un percorso incompleto nello spaziotempo è sia inestensibile che di lunghezza propria finita, il che significa che qualsiasi particella o osservatore che attraversi il percorso sperimentano solo un intervallo finito di esistenza che in linea di principio non può più continuare. Affinché questo criterio funzioni, tuttavia, dovremo limitare la classe di spaziotempo in discussione.

In particolare, bisogna considerare spazi-tempi che sono massimamente estesi (o semplicemente "massimali"). In effetti, questa condizione dice che la propria rappresentazione dello spaziotempo è “quanto più grande può essere”. Non c'è, dal punto di vista matematico, alcun modo per trattare lo spaziotempo come un vero e proprio sottoinsieme di uno spaziotempo più grande ed esteso. 

Se c'è un percorso incompleto in uno spaziotempo, sostiene il pensiero alla base del requisito, allora forse il percorso è incompleto solo perché non si è reso il proprio modello di spaziotempo abbastanza grande. Se si dovesse estendere al massimo la molteplicità dello spaziotempo, allora forse il percorso precedentemente incompleto potrebbe essere esteso nelle nuove porzioni dello spaziotempo più ampio, indicando che nessuna patologia fisica è alla base dell'incompletezza del percorso. L'inadeguatezza risiederebbe semplicemente nel modello fisico incompleto che avevamo usato per rappresentare lo spaziotempo.

Si può facilmente avere un esempio di uno spaziotempo non esteso al massimo, insieme a un'idea del motivo per cui intuitivamente sembrano in un modo o nell'altro carenti. Per il momento, immaginiamo che lo spaziotempo sia solo bidimensionale e piatto, come un foglio di carta senza fine. Ora asportiamo da qualche parte su questo piano un insieme chiuso della forma che si desidera. Qualsiasi percorso che passa attraverso uno dei punti nell'insieme rimosso ora è incompleto.

In questo caso, l'estensione massima dello spaziotempo risultante è ovvia, e in effetti risolve il problema di tutti questi percorsi incompleti: incorporare l'insieme precedentemente asportato. 

La natura apparentemente artificiale e artificiosa di tali esempi, insieme alla facilità di correggerli, sembra militare a favore della necessità che lo spaziotempo sia massimale. Inoltre, l'inestensibilità è talvolta discussa sulla base del fatto che non esiste alcun processo fisico noto che potrebbe far sì che lo spaziotempo si avvicini, per così dire, e non continui come avrebbe potuto, se avesse avuto un'estensione.

Una volta stabilito che siamo interessati a spazio-tempo massimi, la questione successiva è quale tipo di incompletezza di percorso sia rilevante per le singolarità. Qui troviamo una buona dose di pareri discordi. I criteri di incompletezza in genere guardano a come cresce un parametro naturalmente associato al percorso (come la sua lunghezza corretta). Generalmente si pongono anche ulteriori restrizioni sui percorsi che si considerano: ad esempio, si possono escludere cammini che potrebbero essere percorsi solo da particelle che subiscono un'accelerazione illimitata in un periodo di tempo finito. Uno spaziotempo, quindi, si dice singolare se possiede un percorso tale che il parametro specificato associato a quel percorso non può aumentare senza limiti mentre si attraversa l'intero percorso massimamente esteso.

Per un percorso che è ovunque simile al tempo, cioè che non comporta velocità pari o superiori a quella della luce, è naturale prendere come parametro il tempo proprio che una particella o un osservatore sperimenterebbe lungo il percorso, cioè il tempo misurato lungo il percorso da un orologio naturale, come quello basato sulla frequenza vibrazionale di un atomo. L'interpretazione fisica di questa sorta di incompletezza per i percorsi simili al tempo è più o meno semplice: un percorso simile al tempo, incompleto rispetto al tempo proprio nella direzione futura, rappresenterebbe la possibile traiettoria di un corpo massiccio che non invecchia mai oltre un certo punto della sua esistenza. (Un'affermazione analoga può essere fatta, mutatis mutandis, se il percorso fosse incompleto nella direzione passata.)

Non possiamo, tuttavia, stabilire semplicemente che uno spaziotempo massimale è singolare solo nel caso in cui contenga percorsi di tempo proprio finito che non possono essere estesi. Un tale criterio implicherebbe che anche lo spaziotempo piatto descritto dalla relatività ristretta è singolare, il che è sicuramente inaccettabile. Ciò seguirebbe perché, anche nello spaziotempo piatto, ci sono percorsi simili al tempo con accelerazione illimitata che hanno solo un tempo proprio finito e sono anche inestensibili.

L'opzione più ovvia è quella di definire uno spaziotempo come singolare se e solo se contiene geodetiche simili al tempo incomplete, inestensibili, cioè percorsi che rappresentano le possibili traiettorie di osservatori inerziali, quelli in caduta libera. Questo criterio, però, sembra troppo permissivo, in quanto conterebbe come non singolari alcuni spazi-tempi la cui geometria sembra altrimenti patologica. Ad esempio, Geroch (1968) descrive uno spaziotempo che è geodeticamente completo e tuttavia possiede un percorso temporale incompleto di accelerazione totale limitata, vale a dire un percorso inestensibile nello spaziotempo attraversabile da un razzo con una quantità finita di carburante, lungo il quale un l'osservatore potrebbe sperimentare solo una quantità finita di tempo proprio. Sicuramente l'intrepido astronauta in un tale razzo, che non sarebbe mai invecchiato oltre un certo punto, ma che non sarebbe mai necessariamente morto o avrebbe cessato di esistere, avrebbe avuto motivo di lamentarsi del fatto che c'era qualcosa di singolare in questo spaziotempo.

Quando si decide se uno spaziotempo è singolare, quindi, vogliamo una definizione che non sia ristretta alle geodetiche. La soluzione più ampiamente accettata a questo problema utilizza una nozione di lunghezza leggermente diversa e tecnicamente complessa, nota come "lunghezza affine generalizzata" (che omette la nozione di misura della distanza e utilizza strumenti di calcolo quali il trasporto parallelo). A differenza del tempo proprio, questa lunghezza affine generalizzata dipende da alcune scelte arbitrarie. Se la lunghezza è infinita per una di queste scelte, tuttavia, sarà infinita per tutte le altre. Quindi la domanda se un percorso abbia una lunghezza affine generalizzata finita o infinita è una domanda ben definita, e questo è tutto ciò di cui avremo bisogno.

La definizione che ha ottenuto l'accettazione più diffusa, portando Earman (1995) a definirla la definizione semi ufficiale di singolarità, è la seguente:

Uno spaziotempo è singolare se e solo se è massimale e contiene un cammino inestensibile di lunghezza affine generalizzata finita.

Dire che uno spaziotempo è singolare significa quindi dire che esiste almeno un percorso che ha una lunghezza limitata (affine generalizzata). Per dirla in altro modo, uno spaziotempo è non singolare quando è completo, nel senso che l'unica ragione per cui un dato percorso potrebbe non essere estendibile è che è già infinitamente lungo (in questo senso tecnico).

Il problema principale che deve affrontare questa definizione di singolarità è che il significato fisico della lunghezza affine generalizzata è opaco, e quindi non è chiaro quale potrebbe essere la rilevanza fisica delle singolarità, definite in questo modo.

Recentemente, il filosofo e logico della scienza americano J. B. Manchak (2021) ha proposto una condizione che lo spaziotempo può soddisfare, rilevante per la questione di ciò che caratterizza il comportamento singolare, che chiama "completezza effettiva":

“Si consideri la raccolta U di varietà lorentziane lisce quadridimensionali (M, g). Di solito si identifica questa collezione di oggetti geometrici con i modelli della relatività generale. Ma, all'interno di U, si nascondono modelli di spaziotempo "fisicamente irragionevoli". Ad esempio, prendiamo qualsiasi (M, g) ∈ U e rimuoviamo un punto p ∈ M. La struttura risultante (M−{p}, g) ∈ U sembra essere “fisicamente irragionevole” nel senso che non è “grande come potrebbe essere”. Come si possono escludere tali esempi? Diciamo che un modello (M, g) ∈ U è inestensibile se non può essere propriamente e isometricamente incorporato in qualche altro modello (M’, g’) ∈ U. È stato suggerito di limitare il numero di modelli "fisicamente irragionevoli" nella relatività generale richiedendo che l'inestensibilità sia soddisfatta. (...) Facendo un passo indietro, il suggerimento generale sembra essere che, per una varietà P⊂U, si potrebbe modificare la relatività generale come segue: la nuova teoria deve essere la relatività generale, ma con la condizione aggiuntiva che solo [P] spazio-tempi sono consentiti”. Prendiamo seriamente questa idea in questo modo. Per ogni collezione "fisicamente ragionevole" di modelli P⊂U, abbiamo una variante della teoria della relatività generale – chiamiamola GR(P). Poiché dobbiamo ancora identificare una collezione privilegiata P⊂U di modelli "fisicamente ragionevoli", è utile pensare alla "relatività generale" in modo pluralistico; possiamo studiare una raccolta di tali raccolte di modelli "fisicamente ragionevoli".”

Sinceramente sembra che ci si voglia arrampicare sugli specchi della singolarità: “non è che se gli allarghi la stalla le mucche diventano Miss Universo” (pseudo-cit.) Il consenso sembra essere solamente che, mentre è facile concludere che percorsi incompleti di vario tipo nello spaziotempo rappresentano una struttura singolare, non è stata ancora formulata una sua definizione rigorosa e del tutto soddisfacente.

Molti ricercatori ritengono che una teoria unificata della gravitazione e della meccanica quantistica (la gravità quantistica a loop) permetterà in futuro di descrivere in modo più appropriato i fenomeni connessi con la nascita di una singolarità nel collasso gravitazionale delle stelle massicce e l'origine stessa dell'universo. Intanto aspettiamo.

Lo scandalo Schön

Il campo di ricerca del fisico tedesco Jan Hendrik Schön (1970) era la fisica della materia condensata e le nanotecnologie.  Aveva conseguito il dottorato di ricerca presso l'Università di Costanza nel 1997. Alla fine dello stesso anno fu assunto dai Bell Labs negli Stati Uniti, dove lavorò nell'elettronica dei semiconduttori costituiti da materiali organici cristallini.  Schön rivendicava una capacità spettacolare nel modificare la conduttività dei materiali organici, ben al di là di quanto ottenuto fino ad allora.  Le sue misurazioni nella maggior parte dei casi confermavano varie previsioni teoriche, in particolare che i materiali organici potrebbero essere realizzati per manifestare superconduttività o essere utilizzati nei laser. I risultati furono pubblicati in importanti pubblicazioni scientifiche, comprese Science e Nature, e attirarono l'attenzione di tutto il mondo. Tuttavia, nessun gruppo di ricerca in nessuna parte del mondo riusciva a riprodurre i risultati rivendicati da Schön.

Nel 2001, compariva come autore di una media di un documento di ricerca ogni otto giorni. Nello stesso anno, annunciò su Nature di aver prodotto un transistor su scala molecolare.  Schön sostenne di aver utilizzato un sottile strato di molecole di colorante organico per assemblare un sistema che, quando attraversato da una corrente elettrica, si comportava come un transistor.  Le implicazioni del suo lavoro erano significative.  Sarebbe stato l'inizio di un allontanamento dall'elettronica dal silicio verso l'elettronica organica.  Avrebbe consentito ai transistor di continuare a ridursi oltre il punto in cui il silicio si rompe, e quindi confermare la legge empirica di Moore sulla progressiva riduzione delle dimensioni dei componenti per molto più tempo di quanto previsto.  Avrebbe anche ridotto drasticamente i costi dell'elettronica.

Un elemento chiave nel lavoro di Schön era l’affermazione che l'osservazione di vari fenomeni fisici nei materiali organici dipendeva dalla configurazione del transistor.  In particolare, Schön affermava di utilizzare un sottile strato di ossido di alluminio che incorporava nei suoi transistor utilizzando strutture di laboratorio presso l'Università di Costanza.  Tuttavia, mentre le apparecchiature e i materiali utilizzati erano comuni nei laboratori di tutto il mondo, nessuno riuscì a preparare strati di ossido di alluminio di qualità simile a quelli rivendicati da Schön.

Subito dopo che Schön ebbe pubblicato il suo lavoro sui semiconduttori a molecola singola, alcuni membri della comunità dei fisici si convinsero che i suoi dati contenevano anomalie.  Julia Hsu e Lynn Loo inizialmente notarono problemi nell'articolo di Schön che descrive l'assemblaggio di transistor molecolari, rendendosi conto che aveva figure duplicate.  Hsu e Loo avevano tentato esperimenti iniziali per raccogliere prove per un loro brevetto, ma si basavano sui risultati scientifici del lavoro di Schön.  Il 19 aprile 2002, Loo e Hsu si incontrarono con il loro avvocato specializzato in brevetti John McCabe, segnalando i dati duplicati.  Lydia Sohn, allora dell'Università di Princeton, notò che due esperimenti condotti a temperature molto diverse avevano un rumore identico.  Quando i redattori di Nature lo fecero notare a Schön, egli rispose di aver accidentalmente presentato lo stesso grafico due volte.  Paul McEuen della Cornell University trovò poi lo stesso rumore in un articolo che descriveva un terzo esperimento.  Ulteriori ricerche di McEuen, Sohn, Lynn Loo e altri fisici scoprirono una serie di esempi di dati duplicati nel lavoro di Schön.  Ciò innescò una serie di reazioni che indussero rapidamente la Lucent Technologies (che gestiva i Bell Labs per conto di AT&T) ad avviare un'indagine formale.

Nel maggio 2002, Bell Labs istituì un comitato di indagine, con Malcolm Beasley della Stanford University come presidente.  Il comitato ottenne informazioni da tutti i coautori di Schön e intervistò i tre principali (Zhenan Bao, Bertram Batlogg e Christian Kloc).  Esaminò le bozze elettroniche degli articoli contestati, che comprendevano dati numerici elaborati.  Il comitato chiese copie dei dati grezzi, ma scoprì che Schön non aveva tenuto quaderni di laboratorio.  I suoi file di dati grezzi erano stati cancellati dal suo computer.  Secondo Schön, i file erano stati cancellati perché il suo computer aveva uno spazio limitato sul disco rigido. Inoltre, tutti i suoi campioni sperimentali erano stati gettati o danneggiati irreparabilmente.

Il 25 settembre 2002, il comitato pubblicò il suo rapporto, che conteneva i dettagli di 24 accuse di cattiva condotta da parte di Schön.  Il comitato aveva trovato prove di cattiva condotta scientifica in almeno 16 esperimenti, mentre i restanti 8 non erano correlati a pubblicazioni e mancavano di prove convincenti di cattiva condotta.  Si scoprì che interi gruppi di dati erano stati riutilizzati in una serie di esperimenti diversi.  Inoltre, alcuni dei suoi grafici, che dovevano essere tracciati da dati sperimentali, erano stati invece prodotti utilizzando funzioni matematiche (un’ingenuità imperdonabile, a mio modesto parere).

Il rapporto rilevò che tutti i misfatti erano stati compiuti da Schön da solo.  Tutti i coautori (incluso Bertram Batlogg, che era il capo della squadra) furono prosciolti dall’accusa di cattiva condotta scientifica. Lo scandalo provocò tuttavia discussioni nella comunità scientifica sul grado di responsabilità di coautori e revisori di articoli scientifici.  Il dibattito si è incentrato sul fatto che la peer-review, tradizionalmente concepita per trovare errori e determinare la pertinenza e l'originalità degli articoli, debba essere richiesta anche per rilevare le frodi deliberate.

Schön riconobbe che i dati non erano corretti in molti articoli.  Affermò che le sostituzioni potevano essere avvenute per errore inconsapevole.  Aveva omesso alcuni dati e disse di averlo fatto per mostrare prove più convincenti dei fenomeni che aveva osservato.

Dopo questi fatti, i ricercatori della Delft University of Technology e del Thomas J. Watson Research Center eseguirono esperimenti simili a quelli di Schön, senza ottenere risultati simili.  Anche prima che le accuse diventassero pubbliche, diversi gruppi di ricerca avevano cercato di riprodurre la maggior parte dei suoi spettacolari risultati nel campo della fisica dei materiali molecolari organici senza successo.

Nel giugno 2004 l'Università di Costanza emise un comunicato stampa in cui affermava che il dottorato di Schön era stato revocato per "condotta disonorevole".  Il portavoce del Dipartimento di Fisica Wolfgang Dieterich definì la vicenda la "più grande frode in fisica degli ultimi 50 anni".  Schön impugnò la sentenza. Dopo un lungo iter giudiziario, il tribunale statale stabilì nel settembre 2011 che l'università aveva ragione a revocare il dottorato. Il tribunale amministrativo federale ha confermato la decisione del tribunale statale nel luglio 2013 e la Corte costituzionale federale l'ha confermata nel settembre 2014. 

Prima di essere smascherato, Schön aveva ricevuto diverse onorificenze e premi, che furono tutti successivamente revocati. Nell'ottobre 2004, il comitato misto della Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, la Fondazione tedesca per la ricerca) annunciò sanzioni contro di lui.  L'ex borsista post-dottorato del DFG fu privato del suo diritto attivo di votare alle elezioni del DFG o di prestare servizio nei comitati del DFG per un periodo di otto anni, durante il quale, Schön non poté svolgere nemmeno il ruolo di revisore tra pari o di richiedere fondi DFG.

Schön poi andò a lavorare presso uno studio di ingegneria.

Nel 2010 è stato pubblicato un romanzo ispirato a questa vicenda, dal titolo “Il falsario”, edito da Mursia, scritto da Gianfranco D’Anna, che ha alle spalle un dottorato in fisica al Politecnico Federale di Losanna, il quale frequentò i Bell Labs nello stesso periodo di Schön.

La canzone di Perel’man

 

Il racconto breve Perel’man’s Song della poetessa, scrittrice, accademica e editrice sino-americana Tina S. Chang (1969) è apparso nel numero di febbraio 2008 della rivista Math Horizons. Utilizza una conversazione tra divinità che manipolano universi per informare poeticamente il lettore sulla Congettura di Poincaré. Questo è un esempio dell'uso della finzione matematica per dire, attraverso la metafora, ciò che altrimenti potrebbe essere troppo astratto per essere facilmente trasmesso ai non esperti.

La topologia delle varietà o superfici bidimensionali era ben nota già nel XIX secolo. Esiste infatti un semplice elenco di tutte le possibili superfici lisce compatte orientabili. Qualsiasi superficie di questo tipo ha un genere ben definito g ≥ 0, che può essere descritto intuitivamente come il numero di fori; e due di tali superfici possono essere poste in una regolare corrispondenza biunivoca l'una con l'altra se, e solo se, hanno lo stesso genere.

Ad esempio, una sfera ha genere 0: non ha "buchi". Più rigorosamente, ogni curva chiusa tracciata su di essa la separa in due calotte sferiche; un toro ha invece genere 1: è possibile tagliare il toro lungo una curva chiusa che segue una delle due circonferenze generatrici, ottenendo in ogni caso un cilindro connesso; ogni altro taglio supplementare otterrebbe due superfici non connesse.

La domanda corrispondente nelle dimensioni superiori è molto di più difficile. Henri Poincaré fu forse il primo a tentare di fare uno studio simile sulle varietà tridimensionali. L'esempio più basilare di tale varietà è la sfera unitaria tridimensionale, cioè il luogo di tutti i punti (x,y,z,w) nello spazio euclideo quadridimensionale che hanno distanza esattamente 1 dall'origine:

Poincaré notò che una caratteristica distintiva della sfera bidimensionale è che ogni semplice curva chiusa nella sfera può essere deformata continuamente in un punto senza lasciare la sfera. Nel 1904, fece una domanda corrispondente nella dimensione 3. In un linguaggio più moderno, può essere formulata come segue:

Domanda. Se una varietà tridimensionale compatta M³ ha la proprietà che ogni semplice curva chiusa all'interno della varietà può essere deformata continuamente in un punto, ne consegue che M³ è omeomorfa alla sfera S³?

Egli commentò, con notevole lungimiranza, “Mais cette question nous entraînerait trop loin”. Da allora, l'ipotesi che ogni 3-varietà chiusa semplicemente connessa sia omeomorfa alla 3-sfera è nota come Congettura di Poincaré. Da allora ha ispirato i topologi, e i tentativi di dimostrarla hanno portato a molti progressi nella comprensione della topologia delle superfici.

Detto in parole più semplici (ovviamente tralasciando particolari tecnici e essendo meno rigorosi), esiste un modo per dire con certezza se ci si trova su una sfera o meno, anche senza volare nello spazio per guardarla da lontano. Prendiamo una lunga corda e fissiamone un'estremità nel punto in cui ci troviamo. Quindi camminiamo sulla superficie per una grande distanza, allungando la corda mentre procediamo. Quando alla fine si torna al punto di partenza, prendiamo le due estremità della corda (quella che è rimasta in un punto e quella che abbiamo portato con noi) e le leghiamo in un cappio. Con un nodo del genere, stringendo si può rendere il cappio sempre più piccolo, e su una sfera si può sempre farlo, mantenendo la corda in superficie, ma se stessimo camminando su una ciambella (un toro) allora potrebbe non essere possibile. Immaginiamo di essere su una ciambella e di camminare attraverso il buco e tornare al punto di partenza. In questo caso non saremmo in grado di rimpicciolire il cappio senza tagliare la ciambella. (Possiamo anche camminare intorno al buco, nel qual caso il cappio non può diventare più piccolo del buco senza lasciare la superficie).

Il punto è questo: se abbiamo una superficie e sappiamo che è di dimensioni finite senza bordi, allora se ogni anello sulla superficie può essere ridotto alla dimensione del punto, deve essere una sfera (e, viceversa, non può essere una sfera se c'è un cappio che non può essere ridotto ulteriormente).

La Congettura di Poincaré è l'affermazione che la stessa cosa si può dire anche per gli spazi dimensionali superiori. In particolare, Poincaré affermò che qualsiasi spazio tridimensionale compatto in cui gli anelli possano essere rimpiccioliti in questo modo (cioè sia semplicemente connesso) debba essere la versione tridimensionale di una sfera, chiamata S³. (1) Da allora, l'affermazione è stata generalizzata a qualsiasi numero di dimensioni. Quindi, quando qualcuno oggi parla della Congettura di Poincaré intende dire che uno spazio compatto, n-dimensionale è equivalente alla n-sfera, Sⁿ, se e solo se è un omeomorfismo equivalente.

Questo è stato un problema aperto molto famoso, elencato anche come uno dei problemi del millennio per i quali il Clay Institute ha offerto un premio di 1 milione di dollari. Tuttavia, ora è stato risolto. Sebbene questo programma di ricerca sia stato avviato da Richard Hamilton e anche molti altri geometri abbiano contribuito al programma, il passaggio finale è stato completato da Grigori Perel’man.

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La canzone di Perel’man

A Hamilton e Perel’man e a tutti gli altri matematici le cui ricerche hanno portato alla dimostrazione della Congettura di Poincaré.

C'era un universo amorfo, una varietà tridimensionale seduta radiosamente nella mano di un dio. Anche se questo dio era onnipotente, non era onnipresente, non poteva vedere l'essenza del suo universo. "Non ha singolarità (2), né buchi neri", osservò, sentendo la levigatezza della forma tra le mani. "Pensi che sia una sfera? Non sembra una bella sfera a tre dimensioni, ma forse è una ipersfera deformata e contorta che sembra semplicemente incomprensibile perché l'ho messa insieme in modo così casuale quando è stata creata."

Una dea lì vicino gettò da parte il suo universo e sbirciò da sopra la sua spalla curva. Tracciò pigramente degli anelli nel suo universo, poi li strinse in punti. Lo fece all'infinito. Controllò tutti i possibili anelli che riusciva a disegnare e nessuno si impigliava nel buco di una ciambella. Non ci volle tempo, perché vivevano fuori dal tempo, fuori dalla dimensione, in uno spazio inimmaginabile per l'uomo.

Lei ridacchiò per il suo fastidio quando riportò il suo universo tra le mani chiuse. "Beh, è semplicemente connesso (3)", concluse e prese il suo universo prima che potesse andare alla deriva.

Il suo era un universo toroidale increspato punteggiato di singolarità appuntite. Quando disegnò un anello attorno al buco della ciambella al centro, rimase come un arco luccicante attraverso il minuscolo cielo incapace di stringersi. Altri anelli che disegnava si contraevano in scintille d'oro.

"E come ciò risponde alla mia domanda?" chiese il dio, curioso di come i suoi anelli d'oro potessero far vedere che il suo universo era una 3-sfera. Queste dee onniscienti ma in qualche modo meno potenti spesso avevano assi matematici nella manica. Questa particolare dea inventava sempre nuovi universi con strane equazioni, per governarli.

La dea sorrise. "Qualsiasi varietà 3 chiusa semplicemente connessa è una sfera." Fece scivolare le mani tra le sue per accarezzare il suo universo. "Il tuo è liscio e tridimensionale e… semplicemente connesso" Tracciò un altro anello dorato. Scivolò lentamente attorno alle spire del suo universo e poi su una delle sue estremità simili a un sigaro finché non si strinse fino a diventare un punto sulla punta.

"E perché questo lo rende una 3-sfera?" disse dolcemente, scostandole la mano.

"Uno dei miei abitanti lo ha dimostrato." Lei rise. Toccò con il dito un punto del suo universo, "Perel’man è qui sul bordo di una galassia a spirale." Il suo universo era duro, increspato secondo le sue leggi e completamente invulnerabile al suo tocco. A giudicare dal luccicante arco dorato, non era semplicemente connesso. Né era liscio. Tirò via la mano prima che lei potesse raschiare una delle sue dita su una singolarità.

“Ah, uno dei tuoi abitanti lo ha dimostrato.” la assecondò, chiedendosi come un universo dettato da equazioni potesse avere degli abitanti intelligenti di cui parlare.

"Beh, se non mi credi." lo schernì, “Puoi usare tutte le tue potenti abilità per plasmare quel tuo universo in una sfera. La prova è costruttiva”.

"OK" disse, sollevando la sua varietà tridimensionale nello spazio vuoto tra di loro. "Cosa stai suggerendo esattamente?"

"Prima devi trasformarlo con il flusso di Ricci (4)." iniziò.

"Questa è una delle equazioni della tua varietà adesso..." disse, ricordando che il tensore di Ricci misurava la curvatura dello spazio e dei volumi al suo interno.

"No, la mia è l'equazione di Einstein. Contiene anche il tensore di Ricci. ma è un'equazione d'onda. Il mio universo cambia con le increspature gravitazionali che emanano e si fondono..."

“e causando ogni sorta di singolarità!” obiettò lui.

"Hai paura delle singolarità?" scherzò lei.

"No…"

"Perché potremo creare delle singolarità, ma le taglieremo..."

"Ehi!" Il dio riprese l'universo tra le sue braccia protettive

. "Solo temporaneamente, rimetteremo insieme l'universo quando avremo finito." lei lo rassicurò. “Comunque, il flusso di Ricci è un'equazione parabolica, funziona come il calore, non come le onde. Dissipa la curvatura attraverso l'intero universo rendendolo omogeneo, così che alla fine dovrebbe sembrare un cilindro o una sfera che si restringe..."

"E le parti che hai tagliato via?!"

"Le rimettiamo e sembra ancora una sfera."

"E questo tuo abitante ha inventato tutto questo?"

"Oh. no. Perel’man ha dimostrato che le 3-varietà semplicemente connesse sono sfere, ma il flusso di Ricci è stato sviluppato da Hamilton, e in realtà è la somma totale del lavoro di oltre una ventina di abitanti diversi vissuti in tempi diversi. Anche il tensore di Ricci era complicato da capire per gli esseri tridimensionali."

"E allora cosa ha fatto questo Perel’man?"

"Ha aggiunto una canzone. Ascolta attentamente e sentirai cantare il tuo universo. Cambia la forma e la nota cambia."

Il dio sollevò il suo universo e ne suonò la nota. Ribolliva e si avvolgeva e la nota cantava su e giù scivolando dolcemente in una melodia che poteva controllare.

Poi plasmò il suo universo con il flusso di Ricci e la nota incominciò a salire. La nota suonava sempre più alta mentre le protuberanze si allargavano e le spire si tendevano in lunghi cilindri. Man mano che il suo universo si restringeva, si allungava in una rete di tubi sottili.

"Taglia quello!" la dea indicò un tubo che stava collassando in una corda tesa. "Taglia ciascuno prima che si sviluppi un singolo filo."

Il dio fermò il tempo, il suo universo congelato, timoroso di tagliare il filo. "La canzone di Perel’man dimostra che le singolarità simili a filamenti sono cilindri tridimensionali prima di collassare". disse la dea. “Puoi riparare facilmente la rottura con due tappi dopo il taglio."

Tagliò delicatamente il tubo e, quando sollevò le metà, i loro bordi erano sfere rotonde bidimensionali. Gli porse due palline e lui riempì i bordi sferici vuoti, levigando delicatamente prima di far ripartire il tempo per i due universi che ora teneva davanti a sé.

. La coppia di universi riprese il flusso di Ricci e i loro mezzi filamenti tornarono a posto. Entrambi cantavano ancora, sempre più alti, dossi che si allargavano e spire che si allungavano in nuovi fili.

Lui tagliò il filo sottile successivo e lei gli diede due nuove palline per rattoppare i nuovi pezzi e lui tagliò più fili su pezzi diversi e l'universo si è moltiplicato. Ad ogni taglio il successivo saltava su un registro più alto e poi cantato dolcemente verso l'alto.

"Ad Infinitum?" chiese, quando ebbero completato il loro centesimo taglio.

"No, se è una sfera a tre", disse, osservando gli universi che si svolgevano intorno a loro.

"E se non è una sfera a tre?" chiese mentre esaminava la millesima fetta sferica.

«Poi alla fine smettiamo di tagliare ed esaminiamo la forma collassata a cui si avvicina.» sussurrò, temendo che Perel’man potesse sbagliarsi.

“Ma è una sfera a tre perché è semplicemente connessa.” sorrise, immaginando che l'ultimo taglio fosse vicino.

"E tutti i pezzi." pregò, "dovrebbero diventare 3-sfere che si restringono fino all'estinzione..."

All'improvviso alcuni dei minuscoli universi si arrotondarono in 3 sfere in rapida riduzione. Le raggiunse, raccogliendo il loro flusso prima che potessero uscire dall'esistenza.

I loro occhi si incontrarono momentaneamente. prima che lei indicasse le successive tre parti che si assottigliavano e gli lanciasse sei palle.

Mentre il dio lavorava sempre più velocemente. spezzando nuovi fili e catturando nuove sfere, la nota salì più in alto di qualsiasi tono che la dea avesse mai sentito prima.

Alla fine, accadde: tagliarono il loro ultimo filo e l'ultima coppia di universi si arrotondò in identiche sfere tridimensionali.

Il dio li prese tra le mani e li strinse. Anche lui era immobile, stupito dai milioni di minuscole 3-sfere perfette che fluttuavano intorno a loro.

"Adesso vedi." disse senza fiato. prendendo un paio di sfere nelle sue mani "se rimuovi le palline con cui le abbiamo rattoppate e le unisci di nuovo insieme, puoi vedere che in realtà erano 3-sfere deformate prima che le spezzassimo a metà..."

Rimosse con cura le sfere corrispondenti dalle sfere gemelle e le unì le mani in modo che i bordi emersero vicino alla punta delle sue dita. Quindi, insieme, riformarono l'universo unito in un'unica luminescente 3-sfera tenuta tra le loro mani aperte.

"Incredibile" Il dio sollevò tutti i pezzi in aria all'unisono, rimettendoli al loro posto, aprendoli e fondendo insieme i bordi sferici.

Il suo universo, liberato dal flusso di Ricci, palpitò per alcuni battiti e poi si congelò in una perfetta sfera tridimensionale omogenea che fluttuava tra di loro.

Sedevano insieme, in uno spazio senza tempo, osservandone in silenzio la bellezza. Il dio disegnò un anello d'oro attorno al suo equatore e lo guardò scivolare su per le latitudini e scomparire con una scintilla al polo.

Liberandolo dalla matematica, lo riavvolse dolcemente nella sua forma originale. Ora poteva veramente vedere che era sempre stata una 3-sfera, una ipersfera deformata e contorta, ma ininterrotta.

Si rivolse alla dea..."... e cosa accadrebbe se mettessimo insieme i nostri universi."

"L'unione non sarà semplicemente connessa e non sarà una sfera." Avvicinò il suo universo per fonderlo con quello di lui. "Ma forse, se appianiamo le mie singolarità, possiamo farle confluire in una geometria che non abbiamo mai visto prima."

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Note:

1 -Sfera tridimensionale, o 3-sfera - In matematica, una 3-sfera (detta anche ipersfera) è un analogo dimensionale superiore di una sfera. Può essere visto nello spazio euclideo quadridimensionale come l'insieme di punti equidistanti da un punto centrale fisso. Analogamente a come la frontiera di una palla in tre dimensioni è una sfera ordinaria (o 2-sfera, una superficie bidimensionale), la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da frontiera alla palla 4-dimensionale. Una 3-sfera è una varietà 3-dimensionale compatta, connessa e senza bordo. Inoltre, è un insieme semplicemente connesso: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3-sfera. Secondo la congettura di Poincaré, dimostrata  da Perel'man, la 3-sfera (a meno di omeomorfismo) è l'unica figura con queste proprietà.

2 - Singolarità - Il concetto di singolarità ha origine in matematica, dove indica in generale un punto in cui un ente matematico, per esempio una funzione o una superficie, "degenera", cioè perde parte delle proprietà di cui gode negli altri punti generici, i quali per contrapposizione sono detti “regolari”. In un punto singolare, per esempio, una funzione o le sue derivate possono non essere definite e nell'intorno del punto stesso "tendere ad infinito".

In fisica, i punti singolari sono quelli in cui si verifica una singolarità matematica delle equazioni di campo, dovuta per esempio ad una discontinuità geometrica del dominio oppure al raggiungimento di un valore limite di un parametro. Benché le soluzioni singolari delle equazioni di campo restino molto utili per descrivere il comportamento fisico fuori della singolarità, esse perdono di significato fisico nei pressi del punto singolare. In pratica il comportamento fisico in tali intorni può essere descritto solo tramite teorie fisiche più complesse in cui la singolarità non si verifica. Un buco nero è una singolarità.

3 - Spazio connesso - In matematica uno spazio topologico si dice connesso se non può essere rappresentato come l'unione di due o più insiemi aperti non vuoti e disgiunti. In maniera poco formale ma abbastanza intuitiva, possiamo dire che la connessione è la proprietà topologica di un insieme di essere formato da un solo "pezzo".

Uno spazio topologico X è connesso per archi (o con terminologia equivalente, connesso per cammini) se per ogni coppia di punti x e y dello spazio esiste un arco che li collega.

Uno spazio topologico è detto semplicemente connesso (o 1-connesso, o 1-semplicemente connesso, se è connesso per cammini e ogni cammino tra due punti può essere continuamente trasformato in qualsiasi altro percorso simile preservando i due punti finali in questione.

Informalmente, un oggetto nel nostro spazio è semplicemente connesso se è costituito da un unico pezzo e non ha "buchi" che lo attraversano completamente. Ad esempio, né una ciambella né una tazza di caffè (con un manico) sono semplicemente collegate, ma una sfera di gomma cava è semplicemente connessa. In due dimensioni, un cerchio non è semplicemente connesso, ma lo sono un disco e una linea. Gli spazi connessi ma non semplicemente connessi sono detti non semplicemente connessi o moltiplicati.

Una sfera è semplicemente connessa perché ogni anello può essere contratto (sulla superficie) in un punto.

La definizione esclude solo i fori a forma di maniglia. Una sfera (o, allo stesso modo, una palla di gomma con un centro cavo) è semplicemente connessa, perché qualsiasi anello sulla superficie di una sfera può contrarsi in un punto anche se ha un "buco" nel centro cavo.

4 - Flusso di Ricci-Hamilton - Nei campi matematici della geometria differenziale e dell'analisi geometrica, il flusso di Ricci, a volte indicato anche come flusso di Ricci-Hamilton, è una particolare equazione alle derivate parziali per una metrica Riemanniana. Si dice spesso che sia analogo alla diffusione del calore e all'equazione del calore, a causa delle somiglianze formali nella struttura matematica dell'equazione. Tuttavia, non è lineare, e mostra molti fenomeni non presenti nello studio dell'equazione del calore.

Il flusso di Ricci, così chiamato per la presenza del tensore di Ricci nella sua definizione, è stato introdotto da Richard Hamilton, che lo ha utilizzato negli anni '80 del Novecento per dimostrare nuovi sorprendenti risultati nella geometria riemanniana. Successive estensioni dei metodi di Hamilton da parte di vari autori portarono a nuove applicazioni alla geometria, inclusa la risoluzione della congettura della sfera differenziabile di Simon Brendle e Richard Schoen.

Seguendo il suggerimento di Shing-Tung Yau che le singolarità delle soluzioni del flusso di Ricci potessero identificare i dati topologici previsti dalla congettura di geometrizzazione di William Thurston, Hamilton produsse negli anni '90 una serie di risultati che erano diretti alla risoluzione della congettura. Nel 2002 e nel 2003, Grigori Perel’man presentò una serie di nuovi risultati fondamentali sul flusso di Ricci, inclusa una nuova variante di alcuni aspetti tecnici del programma di Hamilton. I lavori di Hamilton e Perel’man sono ora ampiamente considerati come una dimostrazione della congettura di Thurston, compresa come caso speciale la congettura di Poincaré, che era un noto problema aperto nel campo della topologia geometrica sin dal 1904. I loro risultati sono considerati un pietra miliare nei campi della geometria e della topologia.

Il flusso di Ricci di solito deforma la varietà verso una forma più rotonda, tranne in alcuni casi in cui allunga la varietà oltre se stessa verso quelle che sono note come singolarità. Perelman e Hamilton, quindi, tagliano la varietà alle singolarità (un processo chiamato "chirurgia"), facendo sì che i pezzi separati assumano forme simili a sfere. I passi principali nella dimostrazione implicano il mostrare come si comportano le varietà quando vengono deformate dal flusso di Ricci, esaminare quale tipo di singolarità si sviluppano, determinare se questo processo chirurgico può essere completato e stabilire che l'intervento chirurgico non deve essere ripetuto infinite volte.

Continuità dei parchi, la metastoria di Julio Cortàzar

 

Continuità dei parchi è un racconto breve scritto dallo scrittore argentino Julio Cortázar nel 1956 (pubblicato solo otto anni dopo), che è, secondo il semiologo e critico messicano Lauro Zavala, "contemporaneamente la finzione e la metafinzione tra le più studiate nella storia della letteratura". Nel racconto, realtà e finzione si intrecciano attraverso una storia nella storia, che si incontrano prima della fine e che l’autore non definisce. La trama presenta un uomo che legge un romanzo di due amanti che si incontrano in una capanna nel bosco, con un piano per distruggere "quell'altro corpo": forse, ma non è detto, il marito della donna. La struttura della storia viene spezzata quando uno dei personaggi del romanzo, la storia incorporata, si introduce nella realtà della trama della trama.

Il nome del racconto fa riferimento ai tre contesti, o piani di realtà, che vengono identificati come “parchi”. Il primo comprende l'autore e il lettore di Continuità dei parchi, il secondo è la trama di un uomo d'affari che legge un romanzo, e il terzo è la storia incorporata dei due amanti.

Il racconto è diviso in due paragrafi. Il vero lettore inizia a leggere la storia innocentemente come il personaggio che legge il suo romanzo. Più vicini rispettivamente alla fine della storia e del romanzo incorporato, entrambi i lettori sentono che accadrà qualcosa di terribile. Nell'ultimo paragrafo il lettore-personaggio diventa una vittima e il vero lettore diventa colpevole per aver immaginato la morte del personaggio. La mancata chiusura della storia fa scomparire il finale, evidenziando la colpa del vero lettore, che si è reso vittima o complice della morte del personaggio mentre assisteva al delitto, che è solo suggerito, ma non descritto. La conclusione moltiplica i dubbi invece di svelare il mistero. Quando il personaggio che legge muore, le due realtà si confondono, ma morirà davvero?

Piuttosto che un mistero, la storia è in realtà una metafora dell'esperienza della lettura: il lettore di Cortázar si perde così tanto in un mondo immaginario che ne diventa letteralmente partecipe. È anche una metafora della nostra esperienza di lettura: siamo così presi dalla letteratura che, come il lettore in Continuità dei parchi, non possiamo più distinguere tra finzione e realtà. È anche una metafora dell'esperienza di scrittura: per creare mondi immaginari convincenti, lo scrittore deve perdersi nelle sue creazioni, proprio come il lettore di Cortázar si perde nel suo libro. Non possiamo identificare una spiegazione corretta per il finale sconcertante perché non esiste un'unica spiegazione. Invece, la storia è un'indagine su cosa significhi scrivere e leggere storie.

Continuità dei parchi

Aveva iniziato a leggere il romanzo qualche giorno prima. L'aveva lasciato per affari urgenti, lo riaprì tornando in treno alla fattoria; piano piano si fece coinvolgere dalla trama, al disegno dei personaggi. Quel pomeriggio, dopo aver scritto una lettera al suo avvocato e discusso con il maggiordomo di una questione di mezzadria, tornò al libro nella tranquillità dello studio che dava sul parco con le sue querce. Sdraiato sulla sua poltrona preferita, con le spalle alla porta che lo avrebbe infastidito come un'irritante possibilità di intrusioni, lasciò che la mano sinistra accarezzasse più e più volte il velluto verde e cominciò a leggere gli ultimi capitoli. La sua memoria conservava senza sforzo i nomi e le immagini dei protagonisti; l'illusione romanzesca lo conquistò quasi subito. Godeva del piacere quasi perverso di staccarsi riga per riga da ciò che lo circondava, e sentire nello stesso tempo che la sua testa era comodamente appoggiata sul velluto dell'alto schienale, che le sigarette erano ancora a portata di mano, che oltre le grandi finestre l'aria della sera danzava sotto le querce. Parola per parola, assorto nel sordido dilemma degli eroi, lasciandosi andare verso le immagini che si concertavano e acquistavano colore e movimento, assistette all'ultimo incontro nella baita di montagna. La donna entrava per prima, sospettosa; poi arrivava l'amante, con la faccia ferita dal colpo di un ramo. Mirabilmente lei tamponava il sangue con i suoi baci, ma lui rifiutava le sue carezze, non era venuto a ripetere le cerimonie di una passione segreta, protetto da un mondo di foglie secche e di sentieri furtivi. Il pugnale si stava riscaldando contro il suo petto, e sotto di esso batteva la libertà accovacciata. Il dialogo struggente scorreva attraverso le pagine come un flusso di serpenti, e sembrava che tutto fosse deciso per sempre. Anche quelle carezze che avviluppavano il corpo dell'amante quasi volessero trattenerlo e dissuaderlo, delineavano abominevolmente la figura di un altro corpo che era necessario distruggere. Nulla era stato dimenticato: alibi, possibilità, possibili errori. Da quell'ora in poi, ogni momento aveva il suo uso minuziosamente assegnato. La spietata doppia revisione fu interrotta appena una mano accarezzò una guancia. Cominciava a fare buio.

Senza più guardarsi l'un l'altro, rigidamente vincolati al compito che li attendeva, si separarono sulla porta della capanna. Lei doveva seguire il sentiero che andava a nord. Dal sentiero opposto lui si voltò brevemente per vederla correre con i capelli sciolti. Corse a sua volta, riparandosi tra gli alberi e le siepi, finché riuscì a distinguere nella foschia malva del crepuscolo il sentiero che conduceva alla casa. I cani non dovevano abbaiare e non abbaiavano. Il maggiordomo non sarebbe arrivato a quell'ora, e non lo era. Salì i tre gradini del portico ed entrò. Dal sangue che gli galoppava nelle orecchie gli uscirono le parole della donna: prima una stanza azzurra, poi una galleria, una scala tappezzata. In alto, due ante. Nessuno nella prima stanza, nessuno nella seconda. La porta del salone, e poi il pugnale in mano, la luce delle grandi finestre, l'alto schienale di una poltrona rivestita di velluto verde, la testa dell'uomo in poltrona che legge un romanzo.

Continuidad de los parques

Había empezado a leer la novela unos días antes. La abandonó por negocios urgentes, volvió a abrirla cuando regresaba en tren a la finca; se dejaba interesar lentamente por la trama, por el dibujo de los personajes. Esa tarde, después de escribir una carta a su apoderado y discutir con el mayordomo una cuestión de aparcerías, volvió al libro en la tranquilidad del estudio que miraba hacia el parque de los robles. Arrellanado en su sillón favorito, de espaldas a la puerta que lo hubiera molestado como una irritante posibilidad de intrusiones, dejó que su mano izquierda acariciara una y otra vez el terciopelo verde y se puso a leer los últimos capítulos. Su memoria retenía sin esfuerzo los nombres y las imágenes de los protagonistas; la ilusión novelesca lo ganó casi en seguida. Gozaba del placer casi perverso de irse desgajando línea a línea de lo que lo rodeaba, y sentir a la vez que su cabeza descansaba cómodamente en el terciopelo del alto respaldo, que los cigarrillos seguían al alcance de la mano, que más allá de los ventanales danzaba el aire del atardecer bajo los robles. Palabra a palabra, absorbido por la sórdida disyuntiva de los héroes, dejándose ir hacia las imágenes que se concertaban y adquirían color y movimiento, fue testigo del último encuentro en la cabaña del monte. Primero entraba la mujer, recelosa; ahora llegaba el amante, lastimada la cara por el chicotazo de una rama. Admirablemente restañaba ella la sangre con sus besos, pero él rechazaba las caricias, no había venido para repetir las ceremonias de una pasión secreta, protegida por un mundo de hojas secas y senderos furtivos. El puñal se entibiaba contra su pecho, y debajo latía la libertad agazapada. Un diálogo anhelante corría por las páginas como un arroyo de serpientes, y se sentía que todo estaba decidido desde siempre. Hasta esas caricias que enredaban el cuerpo del amante como queriendo retenerlo y disuadirlo, dibujaban abominablemente la figura de otro cuerpo que era necesario destruir. Nada había sido olvidado: coartadas, azares, posibles errores. A partir de esa hora cada instante tenía su empleo minuciosamente atribuido. El doble repaso despiadado se interrumpía apenas para que una mano acariciara una mejilla. Empezaba a anochecer.

Sin mirarse ya, atados rígidamente a la tarea que los esperaba, se separaron en la puerta de la cabaña. Ella debía seguir por la senda que iba al norte. Desde la senda opuesta él se volvió un instante para verla correr con el pelo suelto. Corrió a su vez, parapetándose en los árboles y los setos, hasta distinguir en la bruma malva del crepúsculo la alameda que llevaba a la casa. Los perros no debían ladrar, y no ladraron. El mayordomo no estaría a esa hora, y no estaba. Subió los tres peldaños del porche y entró. Desde la sangre galopando en sus oídos le llegaban las palabras de la mujer: primero una sala azul, después una galería, una escalera alfombrada. En lo alto, dos puertas. Nadie en la primera habitación, nadie en la segunda. La puerta del salón, y entonces el puñal en la mano, la luz de los ventanales, el alto respaldo de un sillón de terciopelo verde, la cabeza del hombre en el sillón leyendo una novela.

Sul significato quantistico dello zero assoluto

Nel 1930, i fisici erano affascinati da un numero α chiamato costante di struttura fine o costante di Sommerfeld, la costante di accoppiamento dell'interazione elettromagnetica, di cui esprime l'intensità relativamente alla carica elementare. Fu introdotta da Arnold Sommerfeld nel 1916 come misura della deviazione relativistica delle linee spettrali del modello atomico di Bohr ed è espressa da una relazione fra costanti fisiche nell'ambito dell'elettromagnetismo. Come tutte le costanti di accoppiamento, α è una quantità adimensionale, indipendente dal sistema di unità di misura usato. Essa vale esattamente 1/137, o almeno così si pensava allora.

A detta di Max Born, in The Mysterious Number 137, pubblicato nei Proceedings of the Indian Academy of Sciences nel 1935, la costante «Ha le conseguenze più fondamentali per la struttura della materia in generale». Tale costante definisce la scala degli oggetti naturali: le dimensioni degli atomi e di tutte le cose che sono costituite da atomi, l'intensità e i colori della luce, l'intensità delle forze elettromagnetiche, ecc. In sostanza, controlla e ordina tutto ciò che vediamo. 

La costante di struttura fine è di fondamentale importanza anche per quanto concerne il principio antropico, infatti, questo parametro adimensionale è determinante nel far sì che l'Universo si presenti così com'è, ossia in grado, tra le altre cose, di ospitare forme di vita. Una leggera variazione (del 10-20%) dal suo valore basterebbe infatti a influenzare in modo rilevante le leggi fisiche che governano l'Universo, in quanto si avrebbero cambiamenti nei rapporti tra le forze attrattive e repulsive tra le particelle elementari, con conseguenze dirette sulla costituzione della materia e sull'attività stellare.  

La sua esistenza venne interpretata da alcuni scienziati come un indizio dell'incompletezza del nostro attuale modo di interpretare le leggi della natura. Come mai questo numero è l'esatto inverso di un numero intero?  Alcuni, come Arthur Eddington, che perse molto tempo della sua gloriosa carriera in queste elucubrazioni numerologiche, credettero che questa coincidenza dovesse avere necessariamente un significato mistico. Eddington inizialmente pensava che α valesse 1/136, ma poi cambiò idea per accordarsi ai dati sperimentali, una evidente contraddizione rispetto alla sua idea platonica di derivare le costanti fondamentali della natura da speculazioni esclusivamente numeriche. Altri, come Wolfgang Pauli, interessato alla Kabbalah, che associa un numero a ogni lettera ebraica, fu sconvolto nel notare che il numero che la Kabbalah associa alla parola Kabbalah non è altro che... 137. Il 137 per Pauli fu una vera e propria ossessione (e lo fu anche per il suo amico e sodale lo psicanalista Carl Jung) e tale rimase fino al giorno della sua morte. Morì nella camera numero 137 dell’Ospedale di Zurigo.  

Per prendere in giro questi eccessi numerologici, un giovane fisico, Hans Bethe, che avrebbe ricevuto il Premio Nobel nel 1967, scrisse con altri un articolo [1] in cui affermava di spiegare perché lo zero assoluto della temperatura, lo zero Kelvin, è pari a −273° Celsius.  Questa corrispondenza non è convenzionale, spiegava, perché −273 è uguale a −274 + 1. Tuttavia, 274 è uguale a due volte 137, cioè due volte l'inverso della costante di struttura fine.  Hans Bethe continuava poi questa assurda ratatouille mescolando alcuni argomenti speciosi, spiegando ad esempio che è l'esistenza del neutrone che richiede l'aggiunta di un "più uno" affinché il calcolo sia corretto. 

“Consideriamo un reticolo cristallino esagonale.  La temperatura dello zero assoluto è caratterizzata dalla condizione che tutti i gradi di libertà sono congelati.  Ciò significa che tutti i movimenti interni del reticolo cessano.  Questo ovviamente non vale per un elettrone su un orbitale di Bohr. Secondo Eddington, ogni elettrone ha 1/α gradi di libertà, dove α è la costante struttura fine di Sommerfeld.  Oltre agli elettroni, il cristallo contiene solo protoni, per i quali il numero di gradi di libertà è lo stesso poiché, secondo Dirac, il protone può essere visto come un buco nel gas di elettroni.  Per ottenere lo zero assoluto dobbiamo quindi rimuovere dalla sostanza 2/α −1 gradi di libertà per neutrone.  (Il cristallo nel suo insieme dovrebbe essere elettricamente neutro; 1 neutrone = 1 elettrone + 1 protone.  Un grado di libertà rimane a causa del movimento orbitale.) Per la temperatura dello zero assoluto otteniamo quindi: 

 T₀= −(2/α −1)°. 

Se prendiamo T₀ = −273 otteniamo per 1/α il valore di 137 che concorda entro certi limiti con il numero ottenuto con un metodo completamente diverso.  Si può facilmente dimostrare che questo risultato è indipendente dalla scelta della struttura cristallina”. 

Per chiunque abbia basi rudimentali di fisica moderna, l’articolo è privo di senso ed è una evidente parodia di certi tipi di "numerologia" che sono popolari tra pseudoscienziati e invasati.  Per i suoi autori nel 1931 era ugualmente privo di senso; la fisica dello stato solido era meno avanzata di oggi e stava subendo alcuni cambiamenti drammatici causati dalla rivoluzione della fisica quantistica. Tuttavia, c’erano enormi lacune nella logica che avrebbero dovuto essere ovvie per i fisici di quel tempo. 

Ad esempio, α è indipendente dai sistemi di unità di misura, mentre il numero −273 per lo zero assoluto si applica solo ai gradi Celsius; in un altro sistema come i gradi Fahrenheit, lo zero assoluto è a −459° F. Questa è solo la sciocchezza più ovvia nel documento, ma avrebbe dovuto essere sufficiente per gli editori del giornale per capirlo. 

L'articolo fu pubblicato su una rivista molto seria il 9 gennaio 1931.  Tre mesi dopo, il direttore della rivista dovette pubblicare una nota spiegando che questa bufala aveva solo lo scopo di mettere in guardia contro la proliferazione di pubblicazioni che rientrano in quelle che ora vengono chiamate "scemenze".  Inoltre, ora sappiamo che la costante di struttura fine non vale 1/137 ma 1/137.035.999...  Non è il reciproco di un intero, quindi non c'era bisogno di fare tante speculazioni. 

[1] G. Beck, H. Bethe, W. Riezler, "Remarks on the quantum theory of the absolute zero of temperature", Die Naturwissenschaften, 2 (1931)