Michail Ostrogradskij (1801-1862) nacque a Pashennaya, in una capanna con il tetto di paglia nella terra di suo padre, un nobile di scarsi mezzi, nella provincia agricola di Poltava, nell’Ucraina centrale, da molti oggi (o fino a ieri) definita “il granaio d’Europa”. Come la maggior parte dei bambini, mostrava grande curiosità per il mondo che lo circondava ma, a differenza della maggior parte di loro, traeva grande piacere dalla misurazione degli oggetti. Non solo misurava le dimensioni dei suoi giocattoli, ma misurava anche la profondità dei pozzi e la lunghezza dei campi. Portava sempre in tasca una pietra a cui era legato un lungo pezzo di spago in modo da poter misurare la profondità di ogni pozzo che incontrava. Era anche affascinato dai mulini: stava seduto per lunghi periodi a guardare le pale ruotare, la ruota idraulica che girava e la pietra del mulino che ruotava per macinare il grano.
Frequentò la scuola di Poltava e poi il liceo. Visse in una casa che offriva alloggio per "l'educazione dei figli di nobili poveri". Il suo tutore fu Ivan Kotlyarevsky (1769-1838), che si fece un nome come scrittore, poeta e attivista sociale. Ostrogradskij non brillava nello studio. Quando venne il momento di scegliere che cosa fare, espresse il desiderio di fare la carriera militare. Quasi certamente Kotlyarevsky lo influenzò in questa decisione poiché aveva prestato servizio nell'esercito imperiale russo, combattendo nella guerra russo-turca. Tuttavia, la famiglia di Ostrogradskij non era ricca e, nonostante le sue tradizioni militari, riteneva che la paga di un soldato non fosse abbastanza buona. Alla fine, si decise che avrebbe dovuto intraprendere la carriera nell’amministrazione civile, ma, per ottenere una posizione di alto rango, era necessaria una formazione universitaria. Non avendo le basi per iniziare gli studi universitari, frequentò lezioni private e studiò da solo per acquisire le competenze necessarie.
Ostrogradskij entrò all'Università di Kharkiv nel 1816 e, dopo un anno preparatorio, iniziò a studiare fisica e matematica nel 1817. Inizialmente non era particolarmente appassionato e si avvicinò agli studi universitari con notevole riluttanza. Tuttavia, Andrei Pavlovsky (1789-1875), uno dei suoi maestri, notò le straordinarie capacità del giovane e riuscì a risvegliare in lui un interesse per la scienza. Un altro che influenzò Ostrogradskij fu Timofei Osipovsky, che era sia professore di matematica sia rettore dell'Università di Kharkiv. Nel 1820 Ostrogradskij sostenne e superò gli esami necessari per la laurea, ma il ministro degli Affari religiosi e dell'istruzione nazionale rifiutò di confermare la decisione e gli chiese di ripetere gli esami. Il problema fu che in quello stesso anno Osipovsky era stato sospeso dal suo incarico per motivi religiosi. I funzionari che presero questa decisione punirono anche l'allievo di Osipovsky.
La decisione dipendeva dal fatto che nel 1816 il principe Aleksandr Golitsyn (1773-1844) era stato nominato Ministro dell'Istruzione e Ministro degli Affari Religiosi dell’impero russo. Egli condusse una crociata contro "le tendenze empie e rivoluzionarie", richiedendo che la scienza fosse ispirata dai principi cristiani. Kharkiv, come altre università, ricevette istruzioni su come insegnare da un punto di vista religioso, dimostrando l'onniscienza di Dio. Nel 1820 Osipovsky fu licenziato dal curatore dell'Università di Kharkiv a causa di una presunta mancanza di fervore quando disse "Dio vive" durante un esame orale di uno studente laureato. Ciò ebbe una grave conseguenza per Ostrogradskij, che era stato esaminato da Osipovsky nel 1820, poiché, in seguito al licenziamento del suo relatore, il Ministero dell'Istruzione si rifiutò di confermare l'assegnazione della laurea. Gli chiesero di ripetere gli esami (ufficialmente perché non aveva frequentato lezioni di filosofia e teologia), ma, sapendo che il vero motivo era che era stato laureato da Osipovsky, si rifiutò di ripetere gli esami e non ricevette mai il dottorato nella Russia zarista.
Il principale centro matematico del mondo in quel periodo era Parigi, e Ostrogradskij prese l'audace decisione di studiare là, arrivando nel maggio 1822. Era stata una decisione difficile, poiché la sua famiglia non approvava e aveva difficoltà finanziarie. A peggiorare le cose, fu derubato durante il viaggio. Tra il 1822 e il 1827 frequentò lezioni all'École Polytechnique, alla Sorbona e al Collège de France, di matematica, fisica, meccanica e astronomia. I suoi insegnanti furono Poinsot, Laplace, Fourier, Legendre, Poisson, Binet e Cauchy. Diventando amico di questi importanti matematici, fece rapidi progressi e presto iniziò a pubblicare articoli all'Accademia delle scienze di Parigi. Il primo di questi fu la Memoria sulla propagazione delle onde in un recipiente cilindrico (1826). Ottenne il dottorato nel 1823 avendo come relatori Poisson e Cauchy. I suoi scritti in questi anni mostrano l'influenza dei matematici di Parigi. Ad esempio, Ostrogradskij presentò l’articolo Démonstration d'un théorème du calcul intégral all'Accademia delle Scienze il 13 febbraio 1826, in cui afferma e dimostra il teorema generale della divergenza. Gauss, non conoscendo l'articolo di Ostrogradskij, dimostrò casi speciali del teorema nel 1833 e nel 1839 ed esso ora prende spesso il nome da Gauss. Victor Katz, in The History of Stokes' Theorem, in Mathematics Magazine (1979), scrive:
“Ostrogradskij presentò nuovamente questo teorema in un articolo a Parigi il 6 agosto 1827, e infine a San Pietroburgo il 5 novembre 1828. Quest'ultima presentazione fu l'unica pubblicata da Ostrogradskij, che apparve nel 1831 in Note sur la Théorie de la Chaleur (1831). Le due precedenti presentazioni sono sopravvissute solo in forma manoscritta, sebbene siano state pubblicate in traduzione russa”.
In effetti, molti dei documenti che Ostrogradskij scrisse furono successivamente incorporati in un'importante opera sull'idrodinamica che pubblicò a Parigi nel 1832. Altri risultati che ottenne in quegli anni sulla teoria dei residui apparvero nelle opere di Cauchy. La sua permanenza a Parigi, tuttavia, ebbe i suoi problemi. Il padre di Ostrogradskij, infelice che suo figlio trascorresse così tanto tempo all'estero, smise di inviargli denaro. Ostrogradskij, incapace di pagare i conti per il suo alloggio, finì gravemente indebitato. Fu portato in tribunale per mancato pagamento, ma Cauchy, venendo a conoscenza delle difficoltà di Ostrogradskij, coprì tutti i suoi debiti. Cauchy riuscì quindi a fargli ottenere un posto di insegnante al Collège Henri IV (oggi chiamato Lycée Henri-IV) in modo da poter continuare a vivere a Parigi. Kenneth May, recensendo una raccolta dei primi articoli inediti di Ostrogradskij (1965), spiega che il documento:
“... descrive quattro manoscritti risalenti al soggiorno parigino di Ostrogradskij (1822-1827) scoperti negli archivi dell'Accademia di Francia nel 1963. I primi due manoscritti (1824) sono sugli integrali definiti e documentano il ruolo di Ostrogradskij nello sviluppo di Metodo dei residui di Cauchy. ... il terzo e il quarto manoscritto (1826 e 1827) [sono stati] tradotti .... Includono un caso speciale del teorema di Green, uno sviluppo generale (il primo) del metodo di separazione delle variabili, e la prima soluzione del problema della diffusione del calore in un prisma triangolare”.
In campo matematico diede cospicui contributi nel campo della teoria dei numeri e della teoria delle probabilità. Fu il primo a pubblicare la dimostrazione nel 1831 del teorema di divergenza che oggi porta il suo nome e (impropriamente) quello di Gauss, che permette di esprimere un integrale triplo con un integrale doppio riferito alla superficie che lo racchiude, sotto opportune ipotesi di regolarità per la funzione che lo genera. Più precisamente, il teorema della divergenza afferma che l'integrale di superficie di un campo vettoriale su una superficie chiusa, che è chiamato flusso attraverso la superficie, è uguale all'integrale di volume della divergenza sulla regione all'interno della superficie.
Se V è un sottoinsieme di R3 (nel caso di n=3 rappresenta un volume nello spazio tridimensionale), che è compatto e delimitato da una superficie liscia S (o ∂V), e se F è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe C1) definito in un intorno di V, si ha:
Il teorema della divergenza è un risultato importante per la matematica della fisica e dell'ingegneria, in particolare nell'elettrostatica e nella fluidodinamica. In questi campi, viene solitamente applicato in tre dimensioni. Tuttavia, si generalizza a qualsiasi numero di dimensioni. In una dimensione, equivale all'integrazione per parti. In due dimensioni, è equivalente al teorema di Green.
Ostrogradskij lasciò la Francia e si recò a San Pietroburgo, dove arrivò nella primavera del 1828. Benché fosse arrivato pieno di entusiasmo, sperando di trovare un ambiente di ricerca come quello che aveva sperimentato a Parigi, fu guardato con sospetto e diffidenza dalla polizia locale, che lo mise sotto sorveglianza. Tuttavia, fu accolto con entusiasmo dai matematici della città. Nel 1828 fu nominato docente presso l'Accademia Navale. Successivamente, ottenne ulteriori incarichi di insegnamento, presso l'Istituto dei mezzi di comunicazione a partire dal 1830 e, due anni dopo, iniziò ad insegnare presso l'Istituto Pedagogico Generale. Fece una seconda visita a Parigi nel maggio 1830 capitando in città nel momento in cui c'erano disordini nelle strade e furono erette barricate per la rivoluzione di fine luglio (quella che indirettamente costò la vita a Galois). Si ferì gravemente a un occhio verso la fine della sua visita. Sembra che ciò non fosse il risultato di alcuna ferita d’arma da fuoco, ma piuttosto che fosse stato negligente con un fiammifero al fosforo. Divenne cieco all'occhio destro. Nel 1831 si sposò con Maria, da cui ebbe tre figli.
Ostrogradskij non apprezzò il lavoro sulla geometria non euclidea di Nikolay Lobachevsky e lo rifiutò quando fu presentato per la pubblicazione all'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo.
A San Pietroburgo presentò all'Accademia delle Scienze tre importanti articoli sulla teoria del calore, gli integrali doppi e la teoria del potenziale. Sulla base di questi documenti, nel 1832 fu eletto accademico nella sezione di matematica applicata. Ostrogradskij puntava in alto nella sua ricerca e il suo obiettivo era fornire una teoria combinata di idrodinamica, elasticità, calore ed elettricità. Presentò un rapporto all'Accademia nel 1830 che conteneva il seguente obiettivo, molto ambizioso:
“I seguaci di Newton svilupparono in dettaglio la grande legge della gravitazione universale e applicarono l'analisi matematica a numerosi importanti problemi di fisica generale e fisica delle sostanze senza peso. La raccolta delle loro opere sul sistema dell'universo forma i fogli immortali della Meccanica celeste, da cui gli astronomi trarranno a lungo gli elementi per le loro tavole. Tuttavia, le teorie fisiche e matematiche non sono ancora unificate; sono distribuite su numerose raccolte di memorie accademiche e sono indagati con metodi diversi, spesso molto dubbi e imperfetti; inoltre, ci sono teorie sviluppate ma mai presentate. Mi sono posto l'obiettivo di combinare queste teorie, presentarle utilizzando un metodo uniforme e indicarne le applicazioni più importanti. Ho già raccolto i materiali necessari sul moto e l'equilibrio dei corpi elastici, sulla propagazione delle onde sulla superficie dei liquidi incomprimibili e sulla propagazione del calore all'interno dei corpi solidi e, in particolare, all'interno del globo. Tuttavia, queste teorie costituiranno solo una parte necessaria dell'intero lavoro, che abbraccerà anche la distribuzione di elettricità e magnetismo in corpi capaci di essere elettrizzati o magnetizzati per influenza elettrodinamica, il moto dei fluidi elettrici, il moto ed equilibrio dei liquidi, l’azione di capillarità, la distribuzione del calore nei liquidi e la teoria della probabilità; in quest'ultima parte mi soffermerò su alcune questioni in cui il famoso autore della Meccanica Celeste aveva apparentemente torto”.
Naturalmente tutto ciò era ben al di là di ciò che poteva essere raggiunto da un solo uomo, ma, mirando a un grande progetto, fece importanti sviluppi in molte aree. Presentò Mémoire sur le Calcul des Variations des Integrales Multiples all'Accademia delle scienze di San Pietroburgo il 24 gennaio 1834. Si tratta di un lavoro importante nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali e fu ristampato nel Giornale di Crelle nel 1836. Nel 1840 scrisse di balistica introducendo l'argomento in Russia. Il suo importante lavoro sulle equazioni differenziali ordinarie considerava metodi di soluzione di equazioni non lineari che coinvolgevano espansioni di serie di potenze con un parametro. Liouville aveva prodotto risultati simili. Anche alcuni dei suoi risultati sul calore erano simili ai risultati prodotti da Lamé e da Duhamel. Oltre ai suoi importanti contributi alle equazioni differenziali alle derivate parziali, fece progressi significativi nella teoria dell'elasticità e nell'algebra, pubblicando oltre 80 relazioni e tenendo conferenze. Il suo lavoro sull'algebra era un'estensione del lavoro di Abel sulle funzioni algebriche e sui loro integrali.
Dal 1847 fu ispettore capo per l'insegnamento delle scienze matematiche nelle scuole militari. Scrisse molti interessanti libri di testo e stabilì le condizioni che permisero alla scuola di Chebyshev di svilupparsi a San Pietroburgo. Tuttavia, questo enorme contributo impegnò gran parte del suo tempo che avrebbe potuto dedicare altrimenti a ulteriori importanti progressi nella fisica matematica. Chebyshev scrisse su Ostrogradskij:
“Uomo senza dubbio di mente brillante, non ha compiuto nemmeno la metà di quello che avrebbe potuto fare se non fosse stato "impantanato" con un faticoso lavoro pedagogico permanente.”
Victor Katz ha scritto:
“Purtroppo, alcune delle più importanti scoperte [di Ostrogradskij] sembrano essere state totalmente ignorate, almeno nell'Europa occidentale. Non solo ha dato la prima generalizzazione del teorema di cambiamento di variabile a n variabili, ma ha anche prima dimostrato e successivamente generalizzato il teorema della divergenza, ha scritto integrali di n-forme su ipersuperfici n-dimensionali e (...) ha fornito la prima dimostrazione del teorema di cambio di variabile per integrali doppi utilizzando concetti di calcolo infinitesimale. Tutti questi risultati furono poi ripetuti da altri matematici senza che fosse riconosciuto [alcun merito] a Ostrogradskij”.
Ostrogradskij era un uomo alto e grosso, con una voce profonda. Il suo aspetto non passava inosservato, soprattutto dopo la perdita dell'occhio destro, ma aveva un carattere allegro e una mente eccezionalmente acuta. Amava appassionatamente la sua terra natale, la sua gente e la sua cultura. apprtezzava la letteratura classica francese e russa anche se la sua lingua preferita quando a casa era sempre l'ucraino. Amava recitare i monologhi di Molière e Corneille, ma il suo scrittore preferito era il poeta e scrittore ucraino Taras Shevchenko. Ostrogradskij conosceva a memoria molte delle opere di Shevchenko e spesso le recitava. Ostrogradskij incontrò Shevchenko nel 1858 quando il poeta andò a trovarlo. Infatti, Shevchenko annota nel suo diario:
“... siamo andati insieme a Semen [Hulak-Artemovski, un famoso compositore e cantante d'opera ucraino] da Ostrogradskij. Il grande matematico mi accolse a braccia aperte come un concittadino e, a quanto pare, un parente scomparso da tempo. Sia Benedetto! Ostrogradskij con la sua famiglia viene in Malorossia [Ucraina] in estate. Dice che inviterebbe Semen a venire con lui, ma teme che in tutta la provincia di Poltava non ci sia abbastanza pancetta per i suoi bisogni.”
Verso la fine della sua vita, Ostrogradskij svolse un notevole lavoro nel campo delle assicurazioni. Le circostanze sono interessanti e sono state descritte da Aleksei Nikolaevich Krylov:
“Nel 1856, in accordo con il trattato di Parigi, la Russia fu privata del diritto di avere una flotta sul Mar Nero. Un gran numero di impiegati dovette essere licenziato e, per migliorare la loro situazione, si decise di istituire un fondo pensione presso il Dipartimento della Marina e di iniziare a pagare le pensioni nel 1859. L'assicurazione sulla vita era allora una novità, e ancora poco chiari erano i calcoli legati ai fondi pensione, con la determinazione dell'ammontare delle pensioni in funzione delle relative trattenute sui salari. Per questo motivo, entrambi i matematici membri dell'Accademia delle scienze di San Pietroburgo, Ostrogradskij e Bunyakovsky, furono inclusi nel comitato incaricato di redigere uno statuto del fondo. Fecero infatti tutti i calcoli necessari e fornirono la loro giustificazione teorica. Le operazioni del comitato furono pubblicate senza indugio”.
Nell'estate del 1861, mentre stava facendo il bagno, si accorse che aveva un ascesso alla schiena. Fu operato e l'ascesso fu rimosso, ma le sue condizioni di salute peggiorarono rapidamente e morì nel gennaio dell'anno successivo. Sempre amante della madrepatria ucraina, Ostrogradskij volle essere sepolto nel villaggio natale. I suoi desideri furono esauditi e oggi riposa nella tomba di famiglia a Pashennaya.
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