Hugo Duminil-Copin, matematico francese dell'Università di Ginevra, ha vinto quest'anno una delle quattro medaglie Fields al Congresso internazionale dei matematici. La Medaglia Fields è uno dei più prestigiosi premi in matematica. Viene assegnato ogni quattro anni "per riconoscere eccezionali risultati matematici per il lavoro esistente e per la promessa di risultati futuri". Duminil-Copin è stato premiato per il lavoro che ha trasformato la teoria matematica delle transizioni di fase.
Le transizioni di fase possono essere definite come un brusco cambiamento di una o più proprietà fisiche di un materiale, in seguito a una variazione dei parametri fisici esterni. Sono pressoché onnipresenti in natura e rappresentano uno dei soggetti più importanti della fisica statistica e della termodinamica. L’esempio tipicamente utilizzato per illustrare questo fenomeno è il passaggio tra i diversi stati di aggregazione della materia, che si studia già alla scuola primaria facendo l’esempio dell’acqua, che, a pressione atmosferica costante, si trasforma in ghiaccio solido quando la temperatura scende sotto 0°C, oppure in vapore quando si superano i 100°C. Una transizione di fase si ha quando un sistema costituito da molte particelle, come un insieme di milioni di molecole d'acqua, subisce un drastico cambiamento di comportamento poiché alcuni parametri, in questo caso la temperatura, supera, o scende al di sotto, di un certo punto critico.
Naturalmente, oltre a questo esempio, molte altre transizioni di fase sono state osservate e studiate. Una transizione di fase era stata studiata sperimentalmente da Pierre Curie per la sua tesi di dottorato del 1895. Una barra di ferro magnetizzata da un campo esterno mantiene la sua magnetizzazione se e solo se la temperatura T è sufficientemente bassa, o più specificamente T ≤ Tc, per una temperatura critica Tc ora chiamata punto di Curie (nel caso del ferro, abbiamo Tc ≈ 770°C.).
1. Comportamento della magnetizzazione m in funzione del campo magnetico esterno h, nel caso T>Tc (blu) e T<Tc (rosso)
In alcuni metalli i momenti magnetici tendono ad allinearsi spontaneamente in una direzione. Questa proprietà̀, detta ferromagnetica, va ricercata nel comportamento cooperativo degli spin dei loro atomi: un numero considerevole dei loro elettroni si “orienta” nella medesima direzione dando al metallo il carattere magnetico, definito dalla magnetizzazione.
Aumentando la temperatura osserviamo però che la loro attrazione magnetica improvvisamente sembra venir meno. L’agitazione termica impedisce agli spin di concorrere tra loro, perciò̀ il loro allineamento diventa aleatorio. Di conseguenza, nell’istante in cui viene raggiunta la temperatura di Curie, il metallo perde in modo brusco la magnetizzazione. Questo fenomeno è noto come transizione di fase ferromagnetica-paramagnetica.
Formalmente, è possibile identificare la presenza di una transizione di fase quando è possibile individuare una singolarità nell’energia libera, cioè della quantità di lavoro macroscopico che il sistema può compiere sull'ambiente, o in almeno una delle sue derivate. Una prima classificazione, introdotta dal grande fisico austriaco naturalizzato olandese Paul Ehrenfest, definiva come transizioni del primo ordine quelle in cui l’energia libera ha una discontinuità finita in una delle sue derivate prime, del secondo ordine quelle in cui la discontinuità si presenta nelle derivate seconde, e così via. Nello schema di Ehrenfest potrebbero esserci, in principio, transizioni di fase del terzo ordine, del quarto, e così via. Questo modello era tuttavia inesatto, in quanto non considera il caso nel quale una derivata tenda a infinito.
La classificazione moderna adotta un approccio diverso, distinguendo due categorie di transizioni: quelle del primo ordine e quelle continue. Le transizioni di fase del primo ordine includono tutte quelle transizioni che coinvolgono un calore latente (quantità di energia scambiata sotto forma di calore durante la transizione) non nullo. In questa tipologia tutte le quantità termodinamiche (energia interna, entropia, entalpia, ecc.) mostrano una discontinuità, mentre la lunghezza di correlazione, cioè l’intervallo nel quale le fluttuazioni in una regione di spazio risultano influenzate da quelle in un’altra regione, risulta finita. Esempi di questa tipologia possono essere le transizioni liquido-gas e solido-liquido. Poiché l'energia non può essere istantaneamente trasferita dal sistema all'ambiente circostante, le transizioni del primo ordine sono associate a "regimi di fase mista" in cui alcune parti del sistema hanno completato la transizione, mentre altre ancora no. Questo fenomeno è familiare a chiunque abbia mai bollito un po' d'acqua: l'acqua non diventa subito vapore, ma forma una turbolenta mistura di acqua e vapore acqueo. I sistemi a fase mista, a causa della loro dinamica violenta, sono difficili da studiare. Comunque, molte importanti transizioni sono incluse in questa categoria.
La seconda categoria è detta delle transizioni continue: in questa tipologia non è presente una discontinuità nelle grandezze termodinamiche, ma le loro derivate risultano discontinue (le grandezze stesse risultano quindi non analitiche) e la lunghezza di correlazione diverge nelle vicinanze del punto critico. Esempi di questo genere di transizione sono quelle tra ferromagneti e paramagneti e quelle associate ai fenomeni della superfluidità e della superconduttività.
Nel 1937 il russo Lev Davidovič Landau, essendosi accorto del cambiamento (rottura) di simmetria del sistema quando avviene una transizione di questo tipo, introdusse il concetto di parametro d’ordine, ossia una grandezza che è nulla quando il sistema è nella fase ad alta temperatura (fase disordinata e con maggior simmetria) e diversa da zero quando il sistema è nella fase a bassa temperatura (fase ordinata con minor simmetria). Si tratta di una grandezza fisica che rappresenta la principale differenza qualitativa tra le due fasi, e può essere legata alle variazioni delle simmetrie che il sistema presenta nelle due fasi. Per le transizioni di primo ordine, il parametro d’ordine varia in modo discontinuo, mentre per la seconda tipologia varia in modo continuo (e tipicamente assume valore nullo in una fase e diverso da zero nell’altra). Nell’esempio dell’acqua, il parametro d’ordine è la differenza di densità̀ tra la fase liquida e quella gassosa ρl − ρg , che in effetti si annulla al punto critico. Nel caso ferromagnetico invece il parametro d’ordine è la magnetizzazione, che, come abbiamo visto, è nulla oltre la temperatura di Curie. A livello macroscopico osserviamo la comparsa spontanea della magnetizzazione quando il sistema raggiunge temperature inferiori a Tc. Nelle transizioni di fase continue il passaggio da una conformazione ordinata a una disordinata è detto rottura spontanea di simmetria.
Ciò che fanno i matematici e i fisici statistici è cercare di capire come si verificano queste transizioni di fase realizzando un modello matematico del fenomeno fisico. Un esempio di tale modello è l'utilizzo di un reticolo regolare per descrivere la disposizione del sistema che si vuole capire. In realtà, non ci sono veri e propri vincoli sulla posizione delle molecole nell'acqua liquida: esse non giacciono regolarmente nello spazio in un modo che si potrebbe realisticamente descrivere usando i punti su un reticolo. Ma per studiare questo sistema è spesso più semplice immaginare che le molecole siano regolarmente posizionate in questo modo.
Sebbene un tale presupposto sia profondamente irrealistico, per Duminil-Copin studiare il sistema in questo modo consente di spiegare i fenomeni che si stanno effettivamente verificando. Si tratta di qualcosa legato a un fenomeno molto profondo, l'universalità. L'universalità è una predizione della teoria del gruppo di rinormalizzazione (una variazione dei parametri che permette di studiare i cambiamenti di un sistema multiscala alle differenti scale di distanza). Essa stabilisce che le proprietà termodinamiche di un sistema vicino alla transizione di fase dipendono solo da un piccolo numero di caratteristiche, come la dimensionalità e la simmetria, e che la transizione è insensibile alle proprietà microscopiche del sistema. Quindi, l'analisi delle caratteristiche di scala di sistemi anche molto differenti fra loro può essere descritta da un'unica teoria (detta per l'appunto universale). In meccanica statistica, una classe di universalità è un insieme di modelli matematici che condividono uno stesso limite invariante di scala sotto l'applicazione del gruppo di rinormalizzazione. Sebbene i modelli all'interno di una stessa classe possano differire notevolmente a scale finite, il loro comportamento diventerà sempre più simile man mano che ci si avvicina alla scala limite. In particolare, i fenomeni asintotici come gli esponenti critici saranno gli stessi per tutti i modelli della classe. Tra le classi di universalità ben studiate ci sono quelle che contengono il “modello di Ising” o il “modello della percolazione” nei rispettivi punti di transizione di fase; sono entrambe famiglie di classi, una per ogni dimensione del reticolo.
Il modello di Ising (dal nome del fisico Ernst Ising che lo ideò negli anni ‘20 del Novecento) è un modello fisico-matematico studiato in meccanica statistica. Inizialmente è stato concepito per descrivere la transizione dal ferromagnetismo a paramagnetismo quando la temperatura cresce al di sopra della temperatura Curie. Il modello di Ising considera variabili discrete (con valori possibili opposti) chiamate spin (momento magnetico elementare). Gli spin interagiscono in coppie tramite interazioni che sono in genere limitate ai primi vicini. Il ferromagnetismo deriva quindi dal prevalere dell'allineamento degli spin a causa del termine di interazione, mentre il paramagnetismo è dovuto al prevalere delle fluttuazioni termiche. Considerate le ipotesi molto generali sulle interazioni, tale modello rappresenta il paradigma per la descrizione di fenomeni collettivi in numerosi ambiti, costituendo quindi un'importante classe di universalità.
2. Una rappresentazione del modello di Ising sul reticolo quadrato. Ogni vertice rappresenta una particella che ha una carica con spin σi modellato come polo nord o polo sud. La probabilità di una configurazione dipende dal numero di coppie più vicine con poli simili.
La percolazione è il lento passaggio di un liquido attraverso un solido filtrante con percorso diramato, simile alla discesa in profondità delle acque piovane attraverso rocce permeabili. La teoria della percolazione è un concetto probabilistico che risale al 1957 con una pubblicazione dei matematici Broadbent e Hammersley, i quali la proposero come modello per descrivere in modo statistico le connessioni a lunga distanza di sistemi contenenti numerosi oggetti, collegati tra loro da relazioni aleatorie a corta distanza; in particolare essa studia la formazione di aggregati di tali oggetti (chiamati cluster) e la loro geometria. Su di esso si basa la moderna teoria della percolazione. Il modello originario assimila la percolazione al passaggio di un fluido attraverso un mezzo poroso rappresentato da un reticolo cubico. Il passaggio del fluido è modellato come un fenomeno aleatorio.
3. Simulazione della percolazione del legame in
Z2 in cui ciascun bordo è designato "aperto" con probabilità con p = 0,51. Questo processo è a malapena supercritico (da Wikipedia).
Consideriamo un insieme di elementi, conduttori o isolanti, scelti a caso, connessi tra loro a formare un reticolo (per es., un recipiente pieno di palline, alcune di vetro, altre di metallo). Ci sarà conduzione da una parte all'altra soltanto se si realizza un circuito, vale a dire se esiste un cammino continuo di elementi conduttori tra le due parti. Si possono anche avere esclusivamente elementi conduttori, ma con connessioni variabili che in alcuni casi consentano il passaggio di corrente e in altri no (ad es., un mucchio di aghi gettati su un tavolo). La conduttività dipenderà dal numero e dalla resistenza dei cammini conduttori. Situazioni analoghe abbondano in molti contesti: per esempio, nei solidi potenzialmente magnetici, i nodi del circuito potrebbero rappresentare atomi, alcuni dei quali con momento magnetico e gli elementi conduttori realizzano interazioni che cercano di orientare i momenti magnetici parallelamente l'uno rispetto all'altro; in questo caso, l'analogo della percolazione è l'apparire di un ordine magnetico macroscopico spontaneo.
Uno dei motivi fondamentali dell'interesse che i fisici hanno per tali sistemi sta nel fatto che la transizione dalla fase non percolante a quella percolante mostra un comportamento critico, una soglia che si può calcolare in termini di probabilità.
Questo semplice modello si è dimostrato utile in una vasta gamma di applicazioni nei più diversi campi, che fossero riconducibili a un sistema macroscopico globalmente connesso ma le cui connessioni sono realizzate a livello microscopico in modo aleatorio. La teoria della percolazione studia le proprietà di connessione di grafi aleatori che modellizzano il percorso casuale di una particella in un reticolo.
Questi due modelli (Ising e percolazione) coesistono all'interno di una vasta famiglia di modelli per il disordine nei sistemi fisici. Ogni modello possiede una transizione di fase e le sfide principali risiedono nella comprensione della natura di questa transizione. La matematica di tali sistemi è ramificata, altamente tecnica e molto complessa. Molti problemi significativi sono stati superati e molti rimangono.
I primi lavori di Duminil-Copin si basavano in gran parte sull'idea che i sistemi critici in due dimensioni sono invarianti rispetto alle cosiddette mappe conformi; che sono le mappature composte da dilatazioni e rotazioni locali. Questo argomento ha visto un'esplosione di progressi negli ultimi vent'anni, a partire dall'introduzione da parte di Oded Schramm di una famiglia di curve planari casuali chiamate SLE (Stochastic Loewner Evolution). Mentre era ancora ventenne, Duminil-Copin ha dato diversi contributi fondamentali, comprese rigorose derivazioni di probabilità critiche a lungo ipotizzate e costanti connettive.
L'ipotesi di universalità afferma in tali contesti che la natura di una transizione di fase dipende solo dal tipo di modello e dal numero di dimensioni; quindi, ad esempio, ci si aspetta che le transizioni di fase della percolazione sui reticoli quadrati e triangolari siano di tipo simile. Duminil-Copin ha ampliato i suoi interessi di ricerca allo studio dell'universalità nella fisica statistica, dove ha ottenuto una serie di risultati eccezionali, comprese le relazioni di scala per alcuni modelli di cluster casuali che incorporano sia i modelli di Ising sia quelli di percolazione, insieme a proprietà frattali di transizioni di fase continue.
Andando oltre le due dimensioni, Duminil-Copin ha ideato nuovi metodi per risolvere una serie di problemi classici da tempo aperti e noti in fenomeni critici, tra cui: (a) la continuità della transizione di fase del modello tridimensionale di Ising, (b) la 'banalità' dei limiti di scala del modello di Ising in quattro dimensioni e (c) la nettezza della transizione di fase per un certo numero di modelli stocastici in dimensione arbitraria.
Il matematico ha anche fatto molti progressi significativi e universali nella teoria delle fasi non critiche di numerosi modelli importanti di fisica statistica. Tra di essi il modello a cluster casuale, introdotto da Fortuin e Kasteleyn intorno al 1970 come unificazione di reti elettriche, percolazione e modello di Ising. Esso è diventato un punto focale di unificazione nelle teorie di questi temi. È stato a lungo ipotizzato che il punto critico del modello a cluster casuale sul reticolo quadrato con peso del cluster q sia il punto:
L'universalità è quasi come desiderio che si avvera: in certe situazioni: i dettagli fini di un particolare modello matematico non influenzano il comportamento globale. Il motivo è che se un sistema coinvolge molti diversi processi casuali, come molte molecole d'acqua in movimento, i dettagli dei meccanismi sottostanti non dovrebbero avere importanza. Nell'esempio del congelamento dell'acqua in ghiaccio, si può scegliere la disposizione delle molecole che si preferisce (ad esempio che siano posizionate regolarmente in un reticolo esagonale) e la transizione di fase che si sta studiando avrà le stesse proprietà indipendentemente dalla scelta del tipo di reticolo.
Matematicamente si può ottenere molto da questa descrizione molto più semplice del problema. Il modello matematico non è necessariamente rappresentativo della realtà fisica, ma, grazie all’universalità, si ottengono comunque gli stessi risultati come se si avesse iniziato con una descrizione fisicamente accurata.
Immaginiamo di essere di fronte ad un alveare. La parte anteriore dell'alveare forma una tassellatura esagonale del piano e gli angoli e le linee che delimitano le pareti dell'alveare formano i punti e i bordi di un reticolo esagonale, o a nido d'ape. Immaginate di scegliere un punto di partenza nel reticolo e quindi di scegliere il percorso attraverso il reticolo seguendo una semplice regola: non si può tornare in nessun punto del reticolo in cui si è già stati. Ciò viene detto un cammino autoevitante.
In matematica, un cammino autoevitante (self-avoiding walk: SAW) è una sequenza di movimenti su un reticolo (un percorso reticolare) che non visita lo stesso punto più di una volta. Questo è un caso speciale della nozione teorica di grafo di un percorso. Dal punto di vista matematico si sa molto poco sui cammini autoevitanti, sebbene i fisici abbiano fornito numerose congetture ritenute vere e fortemente supportate da simulazioni numeriche.
Dove si può andare? Abbiamo tre scelte per il primo passo. Poi ne avremo solo due per il secondo passo, poiché non si possono ripercorrere i passi. E per ragioni simili avremo due scelte per ciascuno del terzo, quarto e quinto passo. Ma al sesto passaggio le cose iniziano a complicarsi e bisogna stare più attenti, poiché potremmo iniziare a percorrere potenzialmente loop di esagoni.
4. Ci sono tre cammini che si auto-evitano di lunghezza 1. (Immagine di Charles Trevelyan)
5. Esempi di cammini autoevitanti di lunghezza 5, 6 e 7. (Immagine di Charles Trevelyan)
Possiamo pensare a tutti i possibili cammini autoevitanti per numeri relativamente piccoli di passi. Come dice Duminil-Copin, le regole sono così semplici che un bambino può farlo, ma la complessità del problema appare rapidamente. È chiaro che il numero di possibili SAW cresce in modo esponenziale con il numero di passi eseguiti, ma man mano che si fanno più passi è sempre più difficile tenere traccia di questo numero mentre si cerca di non tornare sui propri… passi. Ci si rende conto molto rapidamente che non si può calcolare esattamente questo numero.
Questo problema non è solo un gioco divertente. Negli anni '40, i chimici Paul Flory (che vinse il Premio Nobel per la Chimica nel 1974) e W.J.C. Orr introdussero le SAW come un modo per studiare le molecole a catena lunga (i polimeri) e capire come si comportano. Esso è molto legato ai fenomeni chimico-fisici, ad esempio cercare di capire cosa fanno i polimeri, come le molecole di DNA. Questi polimeri sono cammini autoevitanti per l’ovvio motivo: sono lunghe sequenze di molecole che non possono essere nello stesso luogo.
6. Cammino autoevitante di 87 passi su un reticolo esagonale che porta a un vicolo cieco (da Wikipedia)
Non esiste una risposta esatta nota per quanto velocemente il numero di SAW cresce su qualsiasi reticolo, sia il reticolo a nido d'ape a cui abbiamo pensato sopra, o un reticolo quadrato o triangolare del piano, o un reticolo cubico di spazio tridimensionale. Ma unico tra questi, per il reticolo a nido d'ape possiamo avvicinarci molto a una risposta Nel 1980 il fisico statistico Bernard Nienhuis ha ipotizzato che il tasso di crescita del numero di SAW su un reticolo a nido d'ape è quasi
Poiché la congettura implica il conteggio delle cose, potrebbe sembrare che la dimostrazione dovrebbe coinvolgere la combinatoria. Ma la risposta è arrivata da un'area molto diversa della matematica. Duminil-Copin stava lavorando su problemi in analisi complessa, apparentemente lontana dai cammini autoevitanti, quando iniziò a comprendere alcune delle idee emerse.
Il matematico francese ha dichiarato di essere felice di lavorare in questo crocevia tra matematica e fisica. Un altro esempio è il recente progresso di Duminil-Copin e colleghi nella comprensione delle invarianze conformi, un insieme particolarmente ricco di simmetrie che possono essere presenti in un modello matematico che descrive un sistema fisico. Ha detto Duminil-Cupin in un’intervista a PlusMath: “Il motivo per cui le simmetrie sono utili è che riducono la quantità di informazioni necessarie per descrivere il modello. Per descrivere una scacchiera, ad esempio, tutto ciò che devi dire è che i quadrati bianchi e neri sono disposti in un reticolo in modo che i colori si alternino. Se è possibile ridurre la quantità di informazioni necessarie per descrivere un modello, ciò significa anche che il comportamento del modello nei punti critici può essere descritto in modo più preciso”.
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7. Trasformazioni conformi di griglie regolari (da Wolfram Mathworld)
Dimostrare l'invarianza conforme è stata un'area di ricerca molto attiva, ma dal 2000 solo una manciata di modelli specifici (ad esempio, solo per alcuni tipi particolari di reticoli) si sono rigorosamente dimostrati invarianti conformi. Per rendere le cose più facili, Duminil-Copin e i suoi colleghi hanno considerato solo modelli in due dimensioni, piuttosto che in uno spazio completamente tridimensionale. "La comprensione dell'invarianza conforme in due dimensioni per i matematici è progredita così tanto che ora sta gettando nuova luce sulla teoria fisica".
Come ulteriore semplificazione, si sono concentrati solo sulle simmetrie rotazionali. Per capire che cosa significa, consideriamo l’esempio di SAW su un reticolo a nido d'ape. Supponiamo di essere al numero di SAW tra un punto di partenza e di arrivo sul reticolo. Quindi è chiaro che questo numero sarà lo stesso se si ruoterà il punto finale di un terzo di cerchio attorno al punto di partenza: è solo una simmetria inerente al reticolo stesso.
"Una meravigliosa proprietà dei sistemi in criticità, fondamentalmente quando si verificano transizioni di fase, è che il sistema guadagna più simmetrie", afferma Duminil-Copin. Di conseguenza si è pensato che un sistema sottoposto a una transizione di fase sarebbe diventato rotazionalmente invariante sotto qualsiasi angolo, non solo quello ovvio che si vede lontano dalla criticità. Duminil-Copin e colleghi sono stati in grado di fornire una prova matematica rigorosa di questa simmetria rotazionale per un gruppo molto più ampio di modelli. Inoltre, i loro metodi potrebbero fornire l'ingrediente mancante che potrebbe portare a prove di piena invarianza conforme e a tutto ciò che comporterebbe dal punto di vista matematico.
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