sabato 6 febbraio 2010

La tetrazione e la sequenza di Joyce


Poets oft have sung in rhyme
Of music sweet their praise divine.
Let them hymn it nine times nine.
Bearer far than song or wine,
You are mine. The world is mine.
(Leopold Bloom a Miss Marion Tweedy, 14 febbraio 1888)

Allo scrittore irlandese James Joyce in molti attribuiscono l’invenzione della parola quark, come ho discusso in un precedente articolo. In effetti tutto l’Ulisse è pieno di riferimenti scientifici e numerici, spesso paradossali, particolarmente nell’episodio di “Itaca”. La sua opera si interseca con le scienze anche in campo matematico, come cercherò di mostrare al lettore che avrà la pazienza di seguirmi.

In aritmetica l’addizione (a+b) può essere definita come l’operazione iterata b volte di “aggiungere 1” applicata ad a:



Allo stesso modo, la moltiplicazione (a·b) può essere definita come l’operazione iterata b volte di “aggiungere a” applicata ad a:



L’elevamento a potenza (ab) può essere definito come l’operazione iterata b volte di “moltiplicare per a” applicata ad a:



La torre di potenza (o tetrazione) (ba) è la quarta operazione, dopo somma, prodotto e potenza. Si tratta infatti di un elevamento a potenza iterativo, in cui l’operazione “elevare a potenza a” viene iterata b volte:



La parola–valigia "tetrazione" è stata coniata da Reuben Goodstein sulla base del prefisso tetra– (quattro) e di iterazione. La tetrazione è utilizzata per scrivere numeri estremamente grandi. Ad esempio, se in una potenza l’esponente è un numero talmente grande da essere troppo lungo da scrivere, si preferisce indicarlo a sua volta con un’operazione di potenza. Ad esempio:



Rucker (1995) ha definito la tetrazione di ordine k come:

.
Così, ad esempio, 0a ≡ 1, 1a ≡ a e 2a = aa.

Nelle tabelle che seguono riporto i valori della tetrazione
– per a = 1, 2,… per i primi valori di k
– per k = 1, 2, … per i primi valori di a:


Sì, mi si dirà, ma che c’entra Joyce? Il lettore pazienti ancora un poco e consideri ora questo passo dell’Ulisse, nell’episodio 17, noto come “Itaca”. Mr. Bloom sta spiegando a Stephen Dedalus le sue meditazioni sull’ordine di grandezza delle distanze e dei volumi delle stelle, della durata del tempo, del numero degli organismi microscopici e delle cellule. Bloom non riesce a fornire un risultato preciso dei suoi calcoli perché :

“Qualche anno prima, nel 1886, quando era occupato con il problema della quadratura del cerchio, era venuto a sapere dell’esistenza di un numero calcolato con relativo grado di precisione da essere di grandezza tale e di così tante cifre, ad esempio la nona potenza della nona potenza di 9, che una volta ottenuto il risultato, sarebbero stati necessari 33 volumi stampati strettamente di 1000 pagine, ciascuna ottenuta da innumerevoli risme di carta India, per contenere il racconto completo delle sue cifre stampate di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi, il nucleo della nebulosa di ogni cifra di ogni serie contenendo in breve la potenzialità dell’essere elevata all’estrema elaborazione cinetica di qualsiasi potenza di qualsiasi delle sue potenze”.

"Because some years previously in 1886 when occupied with the problem of the quadrature of the circle he had learned of the existence of a number computed to a relative degree of accuracy to be of such magnitude and of so many places, e.g., the 9th power of the 9th power of 9, that, the result having been obtained, 33 closely printed volumes of 1000 pages each of innumerable quires and reams of India paper would have to be requisitioned in order to contain the complete tale of its printed integers of units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, hundreds of thousands, millions, tens of millions, hundreds of millions, billions, the nucleus of the nebula of every digit of every series containing succinctly the potentiality of being raised to the utmost kinetic elaboration of any power of any of its powers."


In onore di questo iperbolico (tra i tanti) passo dell’Ulisse, la sequenza di numeri {jn} che fornisce il numero di cifre di una tetrazione con k=3 (corrispondente a ) è stata denominata sequenza di Joyce. I valori per k = 1, 2, … sono 1, 16, 7625597484987, ... (riga in rosso della prima tabella), cui corrisponde un numero di cifre rispettivamente di 1, 2, 13, 155, 2185, 36306, 695975, 15151336, 369693100, 10000000001, 297121486765, 9622088391635, 337385711567665, 12735782555419983, 515003176870815368,... che costituiscono la sequenza. Il nono posto è occupato da 369693100, che è il numero di cifre di 9 alla 9 alla 9. 

32 commenti:

  1. Entusiasmante ma fatico a seguirti. Oltretutto non usi la notazione del mio corregionale Peano.
    Sui numeri grossi (astronomici) ha fatto recentemente un post l'ottimo Keplero. Io là ho denunciato la mia mancanza di immaginazione, la mia incapacità di astrazione. Siccome non tutti seguono il blog di Keplero (male, peggio per voi) lo ripeto: per contare fino a venti devo togliermi le scarpe.

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  2. Juhan, certo che è proprio mancanza di delicatezza venir qui a fare la pubblicità a un altro blog (che tra l'altro seguo anch'io). Ho di proposito evitato qualsiasi connessione con il Piemonte in odio a Gipo Farassino e per farti un dispetto.

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  3. Gipo Farassino, ver türinèis cume poche, è da additare quale esempio a tutti i giovani, non solo piemontesi: ha preso una ciucca sola a 18 anni. I maligni dicono che dura ancora. Ma poi a Torino ci sono altre cose belle: la Fiat, la Mole, la Giuve. Una volta c'era anche la mia morosa, ma poi è scappata a Milano.

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  4. cosa succede se l’esponente è un numero razionale o reale ?
    Non sapevo della sequenza di Joyce. Post bello assai anche perchè mi ha fatto scoprire l'esistenza dell'editor latex per Internet.

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  5. Peppe, mi sono limitato all'insieme N per ovvi motivi letterari. I tetrazionisti hanno naturalmente studiato tutti i casi. Ti rimando al solito indispensabile Wolfram e a Tetration

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  6. Ma ci sono delle applicazioni pratiche delle serie? Generalmente queste cose sembrano sempre teoriche, poi si trovano applicazioni qua e là nel tempo.

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  7. "Maybe tetration is too powerful a process to describe anything physical".

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  8. In sintesi: mi è venuta voglia di leggere l'Ulisse.
    Lo farò mai?

    Saluti a tutti!

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  9. Gianluigi: c'ho messo sei mesi, alternandolo con altri libri, tra brevi entusiasmi e lunghe pause. Alla fine penso davvero che sia un un gran bel libro, ma Ulisse è anche il lettore, portato in un lungo viaggio di scoperte e peripezie prima dell'approdo a Itaca. Comprendo anche coloro che hanno abbandonato l'impresa.
    Come ho accennato, i riferimenti scientifici non si limitano alla tetrazione: ci tornerò.

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  10. Joyce, che solfa assurda. Joyce, morto e sepolto. Joyce chi?! Joyce, il provinciale rancoroso et pretenzioso buono giusto per persistere nelle citazioni da salotto: sìii, sul comodino tengo SEMPRE l'Ulysses...
    Popinga torna ogni tanto nel mondo reale/attuale ché se no c'è il rischio della muffa da stilton sulle basette. Ciao.
    yop

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  11. Il tuo commento sarà visibile dopo l'approvazione
    e questa è la fantozzata suprema :)

    sempre yop

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  12. Va bè, passerò a Proust.

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  13. Io volevo confessarmi qui da te, Popinga,
    "Joyce si interessava di tutto: teologia, diritto, biologia, filosofia, glottologia, mitologia, genealogia, araldica, musica, canto gregoriano e opera. A me sembrava però che di tutto egli facesse un gioco sterile. Chi lo ascoltava era indotto a credere che tutti gli sforzi dell'umanità avessero avuto come unico obiettivo quello di consentire a James Joyce un gioco di parole, un doppiosenso o una dotta citazione, che venivano sempre sottolineati da un cenno di assenso da parte dei presenti. Sua moglie era talmente suggestionata che non si permetteva mai nemmeno un applauso. Per tutta la sua esistenza non comprese una parola delle ingegnose battute del marito. Restò convinta fino alla fine dei suoi giorni di essere la moglie di un serioso insegnante di lingue, a cui di tanto in tanto passava per la testa di scrivere"
    (da James Joyce e il resto del mondo - http://www.rodoni.ch/busoni/clairegoll.html)
    Come la capisco, la moglie di Joyce, Popinga!
    Ma potrai tu, Popinga, tenere sul comodino quelle che ti pare, no? E io odore di muffa non lo sento qui a casa tua.
    Comunque, visto che "La cosa più importante che insegna la scienza è dire non lo so." (Luigi Luca Cavalli Sforza), mi sento tanto scienziata, quando ti studio in queste cose con le graffe e i numerini che fai certe volte, Popinga, per me difficilissime.
    A me sembra molto meglio un rispettoso silenzio, un ascolto appassionato, e alla fine un bel NON LO SO, non ci ho capito niente, ma mi fido di Popinga, al limite.
    B

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  14. Tremonti ci sguazzerebbe con questi numeri.

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  15. hehe. Eppure tra il Marcel e il James c'è l'abisso immenso tra il talento naturale e il ruminatore.
    Grazie dell'ospitalità caro Popinga: nonostante questa tendenza al rintanamento nelle memorie del tempo che fu (Joyce? Joyce!!) tipiche degli anziani :D, confermi la tua indole buona e democratica anche verso interventi a gamba tesa degli struonz par mio.
    Respect
    yop

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  16. Il post diventa interessante! Non credevo che si potesse litigare sulla matematica quando ci sarebbero millanta motivi più urgenti: la crisi della Giuve e del Milan (il Suo Milan, cribbio!), l'Inter molto poco padana, la Gelmini, Morgan il perseguitato, gli americani che invadono Haiti (ops, questa è già dimenticata), i tea parties, i creazionisti & affini à la Fodor-P-P, la neve, il riscaldamento delle palle (questo bisognerebbe dirlo in piemontese per capirlo).
    E invece no Joyce con la moglie velina. E allora io ritiro fuori Gadda, anzi siccome Pop me l'ha fatto rileggere recentemente Rabelais e Terry Pratchett.
    Ma quello che mi perplime è che non si può più essere certi di niente: "ogni volta che metti una formula dimezzi il numero dei lettori" NO!!!
    Pop riesce a scatenare la rissa con la matematica, anche elementare. Secondo me ha fatto un patto con il diavolo.

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  17. B.: attualmente sul mio comodino c'è Rayuela di Julio Cortàzar.

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  18. bello bello...
    ehmm...devo quotare Filippelli! :-)
    g

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  19. Io c'ho "Belle nubi solitarie" e "Le briglie sciolte" di Liala, c'è qualcheduno che c'avrebbe qualchecosa da ridire, eh? Qualche moralizzatore/esteta di comodini? Però adesso io studio il comodino di Popinga, che ci ha dato un vantaggio e così non mi devo spaccare la testa in ritardo, dopo.
    Stacchetto ritmico con scosciatona.
    B

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  20. io c'ho un vasetto di liquerizia nera, perchè di notte mi viene sempre un po' di gatgnìn in gola, e comunque anche noi in Ufficio avevamo un Ulisse per portarci in giro i clienti, ci si stava in sette ma se i clienti erano russi anche in sei

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  21. post davvero stimolante, specie per me che sto spulciando testi alla ricerca di cose così...

    @B: se vuoi studiare in anticipo Rayuela ti conviene sbrigarti. non è da poco l'impegno richiesto...

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  22. http://www.ilmessaggero.it/articolo.php?id=90742&sez=LEALTRE
    Dì la verità Popinga: è tutta colpa tua!
    B

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  23. B.: Botul ha lasciato anche due raccolte di versi "filosofici". Me ne occuperò (forse) prossimamente.

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  24. Molto interessante (e pure spiegato bene!). La mia piccola mente si confonde pensando ad una pentazione, o una esazione...

    Mi viene solo una curiosita': perche' proprio la tetrazione con k=3? E' un caso, opppure c'e' qualche ragione?

    Saluti. E, come al solito, complimenti per i post (che leggo sempre, anche se non sempre commento). Gavagai

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  25. Gavagai: k=3 è il caso di cui parla Bloom, cioè n alla n alla n (3 volte).

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  26. Si', hai ragione, non ci avevo fatto caso. Ti ringrazio per la pronta risposta! Gavagai

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  27. E io non avevo fatto caso al tuo "esazione", che mescola le sublimi grandezze numeriche alle gravose incombenze di tasse e imposte!

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  28. ...Esatto! :D
    Scusa, lo so, questa potevo anche risparmiarmela...
    Gavagai

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  29. Bello questo articolo! Mi ha fatto pensare al gruppo funk Tower of Power che ascoltavo proprio ieri. Tuttavia i Californiani qui non c'entrano nulla: per essere pertinenti (come sa bene il fine traduttore che ha creato questo blog) avrebbero dovuto chiamarsi Power Tower.

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  30. Al riguardo vi segnalo questo libro... è incentrato proprio sulla tetrazione a base ed esponente naturale e sulle sue caratteristiche peculiari: http://www.deastore.com/libro/la-strana-coda-della-serie-marco-ripa-uni-service/9788861787896.html

    :D

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