La tetrazione e la sequenza di Joyce

Poets oft have sung in rhyme

Of music sweet their praise divine.

Let them hymn it nine times nine.

Bearer far than song or wine,

You are mine. The world is mine.

(Leopold Bloom a Miss Marion Tweedy, 14 febbraio 1888)

Allo scrittore irlandese James Joyce in molti attribuiscono l’invenzione della parola quark, come ho discusso in un precedente articolo. In effetti tutto l’Ulisse è pieno di riferimenti scientifici e numerici, spesso paradossali, particolarmente nell’episodio di “Itaca”. La sua opera si interseca con le scienze anche in campo matematico, come cercherò di mostrare al lettore che avrà la pazienza di seguirmi.

In aritmetica l’addizione (a+b) può essere definita come l’operazione iterata b volte di “aggiungere 1” applicata ad a:

Allo stesso modo, la moltiplicazione (a·b) può essere definita come l’operazione iterata b volte di “aggiungere a” applicata ad a:

L’elevamento a potenza (a^b) può essere definito come l’operazione iterata b volte di “moltiplicare per a” applicata ad a:

La torre di potenza (o tetrazione) (^ba) è la quarta operazione, dopo somma, prodotto e potenza. Si tratta infatti di un elevamento a potenza iterativo, in cui l’operazione “elevare a potenza a” viene iterata b volte:

La parola–valigia "tetrazione" è stata coniata da Reuben Goodstein sulla base del prefisso tetra– (quattro) e di iterazione. La tetrazione è utilizzata per scrivere numeri estremamente grandi. Ad esempio, se in una potenza l’esponente è un numero talmente grande da essere troppo lungo da scrivere, si preferisce indicarlo a sua volta con un’operazione di potenza. Ad esempio:

Rucker (1995) ha definito la tetrazione di ordine k come:

.

Così, ad esempio, ⁰a ≡ 1, ¹a ≡ a e ²a = a^a.

Nelle tabelle che seguono riporto i valori della tetrazione

– per a = 1, 2,… per i primi valori di k

– per k = 1, 2, … per i primi valori di a:

Sì, mi si dirà, ma che c’entra Joyce? Il lettore pazienti ancora un poco e consideri ora questo passo dell’Ulisse, nell’episodio 17, noto come “Itaca”. Mr. Bloom sta spiegando a Stephen Dedalus le sue meditazioni sull’ordine di grandezza delle distanze e dei volumi delle stelle, della durata del tempo, del numero degli organismi microscopici e delle cellule. Bloom non riesce a fornire un risultato preciso dei suoi calcoli perché :

“Qualche anno prima, nel 1886, quando era occupato con il problema della quadratura del cerchio, era venuto a sapere dell’esistenza di un numero calcolato con relativo grado di precisione da essere di grandezza tale e di così tante cifre, ad esempio la nona potenza della nona potenza di 9, che una volta ottenuto il risultato, sarebbero stati necessari 33 volumi stampati strettamente di 1000 pagine, ciascuna ottenuta da innumerevoli risme di carta India, per contenere il racconto completo delle sue cifre stampate di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi, il nucleo della nebulosa di ogni cifra di ogni serie contenendo in breve la potenzialità dell’essere elevata all’estrema elaborazione cinetica di qualsiasi potenza di qualsiasi delle sue potenze”.

"Because some years previously in 1886 when occupied with the problem of the quadrature of the circle he had learned of the existence of a number computed to a relative degree of accuracy to be of such magnitude and of so many places, e.g., the 9th power of the 9th power of 9, that, the result having been obtained, 33 closely printed volumes of 1000 pages each of innumerable quires and reams of India paper would have to be requisitioned in order to contain the complete tale of its printed integers of units, tens, hundreds, thousands, tens of thousands, hundreds of thousands, millions, tens of millions, hundreds of millions, billions, the nucleus of the nebula of every digit of every series containing succinctly the potentiality of being raised to the utmost kinetic elaboration of any power of any of its powers."

In onore di questo iperbolico (tra i tanti) passo dell’Ulisse, la sequenza di numeri {j_n} che fornisce il numero di cifre di una tetrazione con k=3 (corrispondente a ) è stata denominata sequenza di Joyce. I valori per k = 1, 2, … sono 1, 16, 7625597484987, ... (riga in rosso della prima tabella), cui corrisponde un numero di cifre rispettivamente di 1, 2, 13, 155, 2185, 36306, 695975, 15151336, 369693100, 10000000001, 297121486765, 9622088391635, 337385711567665, 12735782555419983, 515003176870815368,... che costituiscono la sequenza. Il nono posto è occupato da 369693100, che è il numero di cifre di 9 alla 9 alla 9.