Bollettino mereologico

La mereologia (dal greco μευος, “parte”) è la teoria delle relazioni di appartenenza tra la parte e il tutto. Essa può essere considerata un’applicazione della logica dei predicati, o una branca dell’ontologia per le sue implicazioni filosofiche. Come collezione di sistemi formali assiomatici la mereologia fu oggetto degli studi della “scuola polacca” di Lesniewki e dei suoi allievi tra gli anni ’20 e ’40 del Novecento per i quali sembrò essere un’alternativa alla teoria degli insiemi, ma ha sofferto dell’isolamento linguistico dei suoi cultori e delle accuse di eccessive implicazioni interpretative. Solo dagli anni ’70, con l’affermazione della sua “innocenza ontologica”, la mereologia è stata di nuovo oggetto di interesse tra i logici, gli informatici e gli ingegneri dei sistemi.

Per illustrare il campo d’indagine di questa disciplina è necessario discutere innanzitutto il concetto di parte, sulla quale essa si basa. In effetti il lemma “parte” ha diversi significati nel linguaggio comune. In termini generali essa può essere utilizzata per indicare una porzione qualsiasi di una data entità, indipendentemente dal tipo di relazione che si instaura tra la porzione stessa e il resto. Consideriamo ad esempio le seguenti affermazioni:

(1) Il manico è parte della tazzina.

(2) Il tappo è parte della penna.

(3) La metà sinistra è la tua parte del dolce.

(4) Le posate sono parte delle stoviglie.

(5) Il contenuto di questa borsa è solamente una parte di ciò che ho comprato.

(6) Quest’area è una parte del soggiorno.

(7) I vertici sono una parte del perimetro di un poligono.

(8) Il primo atto fu la parte migliore della commedia.

Si può notare come la parte può essere congiunta (1) oppure disgiunta dal resto (2), cognitivamente saliente (1 e 2) oppure demarcata arbitrariamente (3), collegata (1–3) oppure non collegata (4), omogenea (1–4) oppure disomogenea, materiale (1–5) oppure immateriale (6), estesa (1–6) oppure inestesa (7), spaziale (1–7) oppure temporale (8), ecc.

Tutti questi casi illustrano il concetto di parte che è oggetto della mereologia che, come si vede, non fa restrizioni sul contesto in cui queste parti si trovano. È necessario però precisare una questione: può esistere un’appartenenza intesa in senso stretto, per la quale le parti di una determinata entità x sono solo i suoi “componenti”, cioè quelle parti che sono riconoscibili come unità individuali indipendentemente dalla loro relazioni con le altre parti di x, oppure un’appartenenza in senso più largo, che giunge all’identificazione: un oggetto è parte di se stesso. Queste seconde relazioni di appartenenza sono esemplificate da frasi come:

(9) Lo zucchero è parte della torta.

(10) Il ferro è una parte della pirite.

Nelle quali il concetto di parte in senso mereologico è controverso, coinvolgendo relazioni di costituzione più che di appartenenza.

Stabilite queste nozioni preliminari, è possibile procedere all’analisi delle relazioni mereologiche fondamentali, che sono la riflessiva, la transitiva e l’antisimmetrica.

(a) L'intero è parte di se stesso.

(b) Ciascuna parte di una parte di una cosa è essa stessa parte di quella cosa.

(c) Due cose distinte non possono essere parte una dell’altra.

Rispetto alla proprietà riflessiva, un’obiezione comune è che alcune accezioni di “parte” non incoraggiano a dire che un intero è parte di se stesso. Come esempio tipico è stato citato l’uso di “parte” fatto dai biologi per denotare le subunità funzionali di un organismo, oppure il fatto che alcuni oggetti non sono auto–identici, ad esempio per la perdita di individualità che si riscontra in campo quantistico. Tuttavia, per comodità di esposizione, assumiamo la nozione di identità del sapere comune, vale a dire che ogni oggetto è identico a se stesso.

La proprietà transitiva è ancora più controversa. Diversi autori hanno osservato che molti legittimi significati di “parte” sono non–transitivi, ad esempio: (i) un mitocondrio non è parte del tessuto di cui quella cellula è parte; (ii) le mie dita fanno parte di me, ma non sono parte del gruppo di cui sono membro. Queste contestazioni nascono ancora dall’ambiguità del concetto di “parte”. Si può tuttavia ribattere che dal punto di vista mereologico quello che conta è poter distinguere le parti di un oggetto, senza tener conto del ruolo funzionale o diretto dei suoi costituenti. Così, il mitocondrio non è parte funzionale di un tessuto, ma lo è della cellula, e la cellula è una parte funzionale del tessuto o, ancora, le mie dita non sono parte diretta del mio gruppo, tuttavia esse sono direttamente una mia parte e io sono direttamente parte del gruppo.

Infine, riguardo alla proprietà antisimmetrica, è stato osservato che, ad esempio, una statua e il marmo che la costituisce non sono distinguibili, pur essendo una cosa il marmo e un’altra la statua. Tuttavia, come ho accennato prima, per evitare loop concettuali si preferisce escludere dall’indagine mereologica casi come questo e gli esempi sopra citati (9) e (10).

Dal punto di vista formale, si può assumere un linguaggio standard di primo ordine con l’identità e una distinta costante di predicato binario, P, ad indicare la relazione di appartenenza. Così Pxy significa che x è parte di y. Da questa prima definizione discendono le relazioni:

(P.1) Riflessività: x è parte di x:

(P.2) Transitività: se x è parte di y e y è parte di z, allora x è parte di z:

 

(P.3) Antisimmetria: se x è parte di y e y è parte di x, allora x e y sono lo stesso oggetto,

L’insieme di queste relazioni costituisce la Mereologia di base (M) per ogni teoria di analisi delle relazioni parte–intero. A questi tre assiomi possono essere aggiunti per definizione un certo numero di predicati, tali da estendere M, ma di ciò casomai parlerò un’altra volta.

Adesso però in cambio vorrei che qualcuno mi aiutasse a risolvere questa cosa che mi fa impazzire da ieri sera: