Problemi autodefiniti

L’auto-ricorsione è una ricorsione in cui un oggetto è definito da se stesso. Ad esempio è famosa la facezia che domanda qual è il volume di una pizza di spessore a e di raggio z. Applicando la formula per il volume del cilindro si ottiene :

Una frase auto-ricorsiva attribuita a Jonathan vos Post e citata da Douglas Hofstadter (in Metamagical Themas: Questing of Mind and Pattern. BasicBooks, New York, 1985) suona come “This sentence contains ten words, eighteen syllables, and sixty-four letters”. E, effettivamente, la frase contiene dieci parole, trenta sillabe e sessantaquattro lettere.

La rivista Math Horizons della Mathematical Association of America (Volume 13, aprile 2006) forniva alcuni problemi autodefiniti emersi dalla gara, proposta nel numero del settembre precedente, che chiedeva di porre un problema in modo tale che l’enunciato contenesse la risposta: “to pose a problem in such a way that they contained their own answers”. Questi enunciati possono considerati forme di autoricorsione, forme evolute e formalizzate delle domande che si facevano da bambini, del tipo “Quanti furono i sette re di Roma?” oppure “Di che colore era il cavallo bianco di Giulio Cesare?”.

Purtroppo per il lettore italiano, si tratta di giochi verbali con la lingua inglese che sono in gran parte intraducibili. Per esempio (in grassetto corsivo la risposta):

• Nel 1978, Raymond Smullyan scrisse un libro sui rompicapi logici il cui titolo era Qual è il titolo di questo libro? - Roger Nelsen, Lewis & Clark College, Oregon

• I am the square root of ‒1. Who am i? [I = i, che è la radice di ‒1] - Head-Royce, School Math Club in Oakland, California

• What would the value of 190 in hexadecimal be? [(190)₁₀=(BE)₁₆] - idem

• How many consonants are in "one"? How many in "two"? And how many in "three"? [one ha una consonante, two ne ha due e three ne ha tre]. - Rheta Rubenstein, University of Michigan-Dearborn

• Twenty-nine is a prime example of what kind of number? [prime significa “ottimo”, ma indica anche i numeri primi]. - eadem

• What do you do to the length of an edge of a cube to find its volume? [bisogna elevare al cubo (to cube) il lato]. - eadem

L’enunciato risultato vincente è stato però un problema di fisica elementare:

• Al tempo t = 0, l’acqua incomincia a riempire un serbatoio (tank) vuoto, in modo tale che il volume dell’acqua varia alla velocità V’(t) = sec²t. Determinare la quantità d’acqua nel serbatoio al tempo t = k, dove 0 < k < π/2. [La risposta è evidentemente tank] - Raymond N. Greenwell, Hofstra University, New York. 

 Tra le risposte pervenute, una ha lasciato un segno indelebile, al punto di meritare una pagina di Wikipedia e una di Mathworld. Fu inviata dall’informatico canadese Jeff Tupper dell’Università di Toronto e da allora prende il nome di formula autoreferenziale di Tupper. Ecco l’enunciato: 

Descrivere l’insieme di punti nel piano xy che soddisfa la seguente disequazione: 

in cui x è compreso tra 0 e 107 e y è compreso tra k e k+17, dove k è il seguente numero intero di 544 cifre:

485845063618971342358209596249420204458140058798324454948309308506193470470880992845064476986552436484999724702491511911041160573917740785691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219165128434833290513119319995350241375876523926487461339490687013056229581321948111368533953556529085002387509285689269455597428154638651073004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518334857605266940161251266951421550539554519153785457525756590740540157929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300 (*)

Nell’aritmetica modulare e nei linguaggi di programmazione il simbolo è la funzione parte intera, mentre mod (a, n) è l’operazione di calcolo del resto della divisione euclidea a/n.

Se si rappresenta sul piano la funzione così descritta, si ottiene curioso grafico autoreferenziale di 1696 × 272 pixel:

La formula di Tupper in realtà non avrebbe potuto partecipare alla gara di Math Horizons, perché non era stata concepita appositamente. Essa era già comparsa nel 2001 nell’articolo dello stesso autore Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables, nel quale Tupper aveva esposto una serie di nuovi algoritmi per rappresentare graficamente equazioni e disequazioni implicite bidimensionali con il suo programma GrafEq. La formula autoreferenziale di Tupper era stata presentata nel testo come esempio delle possibilità di un particolare algoritmo, del quale venivano forniti altri esempi applicativi. Essa è oggi utilizzata in diversi corsi di matematica e di informatica come esercizio per realizzare grafici di formule.

Si parva licet, anch’io voglio cimentarmi con i problemi autodefiniti, proponendone due e invitando i lettori a fare altrettanto nei commenti (non vale copiare dai siti americani):

• Secondo voi, qual è stato il miglior piazzamento del grande ciclista Raymond Poulidor al Tour de France?

• Quanti spettatori assistettero al primo spettacolo dell’avo romano dell’attore Gioele Dix?

(*) Mathworld e quel mattacchione di Stan Wagon, alpinista e docente di Matematica e Informatica al Macalester College, St. Paul, Minnesota, che firmò con Tupper l’invio della formula al contest di Math Horizons, danno in realtà un altro numero, di 541 cifre.

960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719.

Buone feste.