Benvenuti ad un Carnevale della Matematica ricchissimo di contributi, perché questo mese coincide con il
Pi day e con il (131°) compleanno di Albert Einstein. E sì che il 23 a prima vista non sembra un numero particolarmente importante e la sua fama sia controversa: a Roma è considerato un numero propizio, ma per la smorfia napoletana è
o’scemo e nel linguaggio dei sordi vuol dire
stupido. D’altra parte un limerick di autore sconosciuto ce lo descrive come un fannullone:
C’era un numero di Sestri Ponente
che non faceva mai proprio niente.
Se ne stava ad oziare
sulla riva del mare
quel 23 indolente di Sestri nolente.
23 è il nono numero primo, ed è anche il più piccolo primo dispari a non essere un primo gemello, cioè un numero primo che differisce di 2 da un altro numero primo. Le coppie iniziali di numeri primi gemelli sono:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), …
che, come si vede, lasciano il nostro 23 solo come un cane. Il nostro protagonista non brilla neanche in altre parti della teoria dei numeri: come primo fattoriale (un numero primo che differisce di 1 da un fattoriale), è quinto, dopo 2, 3, 5, 7, infatti 23 = 4! – 1; come numero di Woodall è terzo, dopo l’1 e il 7, perché soddisfa la definizione di Wn = n ∙ 2n per n = 3.
Proseguo la rassegna e guardo come il 23 si comporta da primo di Sophie Germain, cioè vado a vedere se (2 ∙ 23) + 1 è un numero primo. In effetti viene 47, che è primo, ma noto con rammarico che qui il 23 è preceduto da 2, 3, 5 e 11. Come numero primo sicuro lo trovo quarto, perché 23 = (2 ∙ 11) + 1 e 11 è un numero primo.
Lo trovo come primo di Eisenstein ancora al quinto posto, senza parte immaginaria e con parte reale nella forma 3n – 1 (in questo caso n = 8). Il nostro 23 sembra qui intrappolato in un piano complesso dalle maglie triangolari.
Dispero di trovarlo nella serie dei numeri fortunati. E infatti non c’è. Insomma, in un cerchio di prigionieri giudei in attesa di esecuzione da parte delle truppe romane, chi occupava il posto 23 non si è certo salvato. C’è invece due volte tra i primi di Fortune, che prendono il nome dall’antropologo neozelandese Reo Fortune che li congetturò. Consideriamo il prodotto P dei primi n numeri primi (mi dicono di chiamarlo primoriale). Fortune congetturò che se q è il più piccolo numero primo maggiore di P +1, allora q– P è primo. Ad esempio, se n è 3, P vale 2 . 3 . 5 = 30, q = 37, e q – P é il numero primo 7. Se n è 4, P vale 2 . 3 . 5 . 7 = 210, q = 223, e q – P é il numero primo 13. Se n è 5, P vale 2 .3 . 5 . 7 .11 = 2310, q = 2233, e q – P é il numero primo 23. I numeri iniziali di Fortune così ricavati sono
3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, …
La congettura di Fortune è finora stata verificata per un migliaio valori di n. Non so se sia vero, ma, secondo un amico, Fortune fece una brutta fine:
There was an anthropologist named Fortune
Who conjectured on primes on a high dune:
He stood in that desert land
‘til he was buried by sand.
MisFortune was the headline of the Tribune.
Ritorno al nostro 23 interessandomi ai primi di Pillai, che mi colpiscono innanzitutto per il secondo nome del matematico indiano che li ha esplorati (Subbayya Sivasankaranarayana Pillai). Un primo di Pillai è un numero primo p per il quale esiste un numero intero positivo n tale che n!+1 è un multiplo di p e p non è multiplo di n+1. Siccome 14! + 1 è un multiplo di 23 ma 23 non è un multiplo di 14 + 1, allora 23 è un primo di Pillai, e (wow!) è il primo della serie:
23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, ...
Continuo a cercare e scopro anche che la somma dei primi 23 numeri primi è 874, che è divisibile per 23, una proprietà condivisa da pochissimi altri numeri. E il 23 è anche uno dei due interi che non può essere espresso come somma di meno di nove cubi di interi (l’altro è il 239). Infine 23 è il più piccolo numero primo dispari ad avere più soluzioni per l’equazione x – φ(x) = n, dove φ è la funzione toziente di Eulero. Insomma, almeno alla fine, il nostro ospite qualche piccolissima soddisfazione ce la dà.
E poi, e poi un appassionato di matematica dovrebbe ricordare anche l’intervento di David Hilbert al secondo Congresso Internazionale dei matematici tenutosi a Parigi nel 1900, nel quale il grande matematico tedesco prese in rassegna le tendenze di base della ricerca matematica alla fine del XIX secolo e indicò i 23 (ventitré!) problemi da risolvere che secondo lui meritavano l’impegno degli esperti nel secolo che si era appena aperto. Grazie al prestigio di Hilbert, questi problemi furono affrontati con impegno dai matematici, e molti di essi furono risolti quasi subito, magari scoprendo che andavano impostati diversamente. Alcuni, tuttavia, lo sono stati solo molto recentemente, e altri continuano tuttora a sfidarci. Dicono che all’ultimo momento Hilbert volesse parlare di un ventiquattresimo problema, ma non fece in tempo a inserirlo nel documento che consegnò agli organizzatori. Egoisticamente, come curatore di questo Carnevale n. 23, dovrei dire per fortuna.
Hilbert è il protagonista di un clerihew del matematico inglese
Jonathan Partington, che ha giocato sulla sua quasi omonimia con un librettista di operette comiche famoso nel mondo anglosassone:
David Hilbert
Was often mistaken for Gilbert.
"I did NOT write Trial by Jury!"
He would say, in a fury.
Partington ha scritto anche un buffo clerihew sulla macchina di Turing che voglio citare anche se vado fuori tema:
Alan Turing
Needed reassuring
That a Turing machine made of papyrus
Was immune to almost every virus.
Fuori dalla matematica, ricordo che i gameti umani hanno 23 cromosomi e che 23 è il numero atomico del vanadio. Fuori dalle scienze, in campo letterario, come tacere che il nostro ospite entra nel titolo di uno dei capolavori di Beppe Fenoglio, I ventitré giorni della città di Alba?
Ma temo di essermi troppo dilungato, e una tomografia del cervello dei miei lettori potrebbe rivelare preoccupanti sintomi di impazienza:
Passo perciò ad illustrare i contributi giuntimi, in ordine di arrivo.
Dioniso, che insiste a chiamare
Blogghetto un blog di tutto rispetto e Dulcinea la sua bici, è stato il primo a inviare il proprio contributo, che prosegue una panoramica sulla storia della matematica intrapresa da tempo. Il protagonista di questo articolo, dal titolo
Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 16: il basso medioevo in Europa: Gerberto di Aurillac, Logica e Filosofia scolastica, è Gerberto di Aurillac (ca. 940 – 1003), che fu probabilmente il primo ad insegnare l'uso delle cifre indo-arabiche nell'Europa cristiana. Dioniso fa anche notare come i pochi progressi degli inizi del nuovo millennio nell'Europa cristiana, piuttosto che nel campo della matematica, avvennero soprattutto nell'ambito della logica.
Peppe Liberti, sul suo
Rangle, ci segnala tre articoli. Nel primo,
Gioca con Diofanto ma ... , partendo dall’equazione diofantea, arriva ad illustrare un metodo per trovare sequenze di interi consecutivi i cui quadrati, sommati, obbediscano ad una relazione simile a quella della terna pitagorica. Devo ricordare che questo articolo è stato scritto appositamente per il Carnevale, nel timore che gli scagliassi contro uno dei miei limerick, che però gli è arrivato lo stesso.
In
Prede e predatori Peppe si occupa delle dinamiche della popolazione dei vampiri con l’aiuto del modello preda–predatore di Lotka–Volterra, argomento che sviluppa ulteriormente con il modello Kermack–McKendrick per la diffusione delle epidemie in
Modelli matematici e pubblicazioni da strapazzo, dove giustamente si indigna perché talvolta viene data ospitalità in sedi prestigiose a preprint di dubbio valore scientifico.
Anche
Zar, che su
Gli studenti di oggi è uno dei pochi ad usare talora il buon vecchio metodo dialogico per illustrare concetti matematici, contribuisce al Carnevale con tre articoli. Nel primo,
Il teorema dello pseudo Scoto, prendendo spunto da una striscia di
xkcd, ci parla di un teorema per il quale partendo da una contraddizione si può dimostrare qualunque affermazione – che, dico io, è una buona descrizione della politica italiana di oggi.
Ne
Il dugongo Zar si lascia andare ai ricordi di gioventù, trattando di fumetti d’avventura, di un disegnatore che ha amato, di ingegneri e proporzioni. Questo articolo mi porta alla mente una filastrocca che soleva canticchiare lo scrittore Elia Spallanzani quando era indeciso se esistere o meno:
Un dugongo, se fatto di pongo,
lo scompongo e lo ricompongo,
ma se dispongo di un duguongo
c’è uno iato o c’è un dittongo?
L’ultimo contributo di Zar si intitola
Numeri che fanno girare la testa e tratta, ancora con riferimento a
xkcd, della congettura di Collatz e di numeri giganteschi utilizzati in qualche dimostrazione, con una meritoria sottolineatura della differenza tra dimostrazione e verifica.
Maurizio Epifani di
Ai margini manda cinque articoli.
Vacci piano, se sei complesso è un ottimo esempio di calcolo scellerato, un'esposizione del paradosso di Bernoulli-Leibniz che si conclude con la dimostrazione (fallace) che l'arcotangente di 1 vale zero e non π/4!
Il teorema di Viviani esamina invece una proprietà dei punti del triangolo equilatero, cioè che un qualsiasi punto P preso all’interno o su uno dei suoi lati è tale che la somma delle sue distanze dai lati è uguale all’altezza del triangolo.
Ne
Il teorema di Tolomeo Maurizio si occupa con diversi approcci di un teorema contenuto nell’
Almagesto che riguarda una proprietà dei quadrilateri ciclici, generalizzazione del teorema di Pitagora.
Di un altro esempio di fallacia si occupa
Tutti i numeri interi sono uguali a 1: dall'espressione della somma dei primi
n interi positivi è possibile concludere che
n = 1 (qui ci vorrebbe un punto esclamativo che non metto per non fare confusione con il fattoriale).
Il quinto e ultimo link ad Ai Margini invia a
Il teorema della farfalla, che parla di una proprietà del punto medio delle corde di una circonferenza, un teorema schivato dai testi scolastici, probabilmente a causa della sua non agevole dimostrazione.
Gravità Zero manda per questo Carnevale n. 27
8 un bell’articolo di
Claudio Pasqua sul sistema di numerazione adottato su Pandora, che naturalmente dipende dal numero di dita delle due mani dello smilzo popolo Na'vi:
Avatar: su Pandora si conta in ottale.
Walter Caputo è invece l’autore di
La matematica del Data mining fra economia e scienza, che illustra i vantaggi di questo innovativo processo statistico di “scavo nei database” per scoprire regolarità o relazioni non note a priori che possono essere di importanza fondamentale in campo aziendale o nella ricerca scientifica.
Un particolare gruppo musicale è infine l’argomento dell’articolo
Spiraleggiando di
Carlo Ferri, che ci parla dei californiani Tool, il cui album “
Lateralus” (2001) è pieno di riferimenti matematici, dalle canzoni
Parabol e
Parabola fino alla stessa
Lateralus che è inspirata dall'opera di Leonardo Pisano. Il messaggio dei Tool è che la vita va vissuta come se cavalcassimo una spirale di Fibonacci, senza paraocchi, “separando il corpo dalla mente” per poter rompere gli schemi della nostra individualità. Insomma:
.mau., venerato fondatore, manda al Carnevale nove contributi comparsi su
Notiziole di .mau.. Innanzitutto una riflessione per spiegare che cosa si intende per induzione in campo matematico, che è stato necessario suddividere in due articoli, nel secondo dei quali segnalo un interessante paradosso sul colore dei cavalli. Ecco i link:
L'induzione matematica (1/2) e
L'induzione matematica (2/2). Sempre sullo stesso argomento,
Fibonacci e l'induzione affronta un teorema sui numeri di Fibonacci dimostrabile con l'induzione.
Matematica in camicia nera è invece la recensione di un libro sulle storie personali dei matematici italiani fra l’inizio del secolo scorso e il 1940, in cui non manca la constatazione che ipocrisia e conformismo, antichi vizi nostrani, non risparmiano i matematici.
Il quinto articolo,
Il petrolio come i salmoni!, è un commento su come certa stampa ha affrontato le notizie sul recente disastro ambientale del Lambro e del Po: la battaglia delle cifre e una marea nera che risale il fiume verso la sorgente!
Sempre in tema ambientale, si parla di polveri sottili in
Il PM10 è davvero diminuito?, osservando come negli ultimi 15 anni il particolato a Milano è rimasto più o meno costante, ad onta di certe dichiarazioni ufficiali: poi si può discutere perché capita così.
Sempre .mau. vuole farci conoscere due citazioni di Steven Strogatz riportate sul suo tumblr
Ritagli di .mau.: il primo sulla
paura del segno meno e il secondo sulla
ricerca delle radici.
Questo Carnevale è l'occasione buona per dedicare al nostro .mau. un limerick che avevo scritto tempo fa e che mi sembra ben si adatti a celebrare un certo evento che lo ha riguardato:
Grande fu l’importanza degli eventi
al reparto maternità dei segmenti.
Ebbero infatti i natali
tre gemelli, tutti uguali.
Corresse il pediatra: “Congruenti”.
Gianluigi Filippelli, che è un appassionato di fumetti, in qualità di “rappresentante eletto” del sito di fumetto e arte
Lo Spazio Bianco, invia il collegamento che porta a
Ultima lezione a Gottinga, in cui
Daniele Occhicone recensisce dal punto di vista fumettistico la
graphic novel sugli infiniti di Cantor e intervista l’autore, Davide Osenda.
Nei panni più consueti di curatore di
Scienze Backstage,
Gianluigi Filippelli commenta
Ultima lezione a Gottinga da un punto di vista decisamente matematico, dato che ci parla del primo problema indicato da Hilbert, quello dell’ipotesi del continuo.
Il suo secondo articolo è
Valutazione matematica dei disastri naturali, che ci informa su un modello sviluppato da ricercatori spagnoli che cerca di fornire una valutazione in tempo reale dei danni dei disastri naturali in modo da scegliere gli interventi più consoni.
Da ignorantone in matematica con nonni modenesi credevo che
Il teorema di Noether discutesse di portici e nebbie e tigelle di
nueter (“noi”), o al massimo di un metodo per calcolare l’altezza della Ghirlandina (m. 86,12). Invece si tratta di un articolo su un teorema importante per la fisica, frutto dell'ingegno di una grande matematica tedesca.
Anche
Le donne del laplaciano parla dell’
altra metà del cielo (si può citare Mao?): il laplaciano, nome dalle vaghe assonanze geologiche, è l’operatore differenziale del secondo ordine spiritosamente preso dalle organizzatrici per dare il titolo al congresso di matematica che si terrà dal 3 al 6 maggio a Monopoli. L’articolo contiene anche una breve presentazione dei pezzi più interessanti comparsi in occasione del
63° Carnival of Mathematics dei nostri cugini di lingua inglese.
L’ultimo contributo da Scienze Backstage, è
LaTeXsperiment: distribuzione di Bose-Einstein, che Gianluigi definisce “un piccolo delirio” sulla distribuzione di Bose-Einstein, giusto per provare uno script per LaTeX e suggerire un suo utilizzo anche per blog non su piattaforma blogspot.
Eccoci arrivati ai commendevoli
Rudi Matematici: il loro articolo più recente, proprio oggi disponibile, celebra il compleanno di quell’uomo con i baffi che in un anno cambiò il corso della fisica, non trascurando il ruolo avuto nella sua vita e nei suoi studi da una donna di nome Mileva, da un amico di nome Michele, da un precursore poco conosciuto di nome Olinto:
Buon compleanno Albert!Nel secondo articolo, la
wasan, la matematica giapponese del periodo Edo e i
Sangaku, le singolari forme di matematica incise su tavolette lasciate nei templi scintoisti, sono oggetto di una trattazione storico–matematica e l’occasione per proporre interessanti problemi ai lettori.
Un bel video del quartetto Cetra incorona il canonico articolo con la soluzione del problema pubblicato su
Le Scienze:
Il problema di Febbraio (498) – Mamma mia dammi cento lire, che riguarda collezioni fortuite di monete di diverso conio e probabilità di trovare vecchie banconote sfuggite alla distruzione. Voglio rassicurare gli autori e i lettori sul fatto che i grandissimi Cetra non sono “per vecchi”, ma fanno parte del patrimonio senza tempo della nostra cultura popolare.
Per il classico problema della matematica ricreativa, i Rudi stavolta propongono con il consueto brio
Gatti, topi, ed errori (in macelleria), che pone l’attenzione su un errore semplice ma frequente nel problem-solving.
Le segnalazioni di
Giovanna Arcadu di
Matematicamedie anche in questa occasione sono numerose. Se è consentita una nota personale, dico che è grazie al suo entusiasmo didattico che persino io ho cominciato ad avvicinarmi a Geogebra (indispensabili i suoi
tutoriali). Parto proprio dagli articoli di didattica, compresi alcuni lavori dei suoi allievi:
Cerchi, “seme della vita” e …: dal disegno del seme della vita del tempio di Osiride ad Abydos a una serie di attività sui cerchi passanti per uno, due e tre punti.
8 marzo. Emma Castelnuovo è invece un omaggio, in occasione della Giornata (e non festa!) della Donna, alla grande ricercatrice e innovatrice della didattica della matematica in Italia, con videointervista e lettura.
Geogebra è lo strumento privilegiato per realizzare curve ed articoli come
Valentino matematico, dedicato alle curve d’amore (cardiodi, concoidi, ecc.) con cui disegnare cuori e batticuori, e
Dinostrato e la quadratrice (di Ippia), che riprende un articolo sulla trisettrice di Ippia per illustrare come questa antica curva può servire per la quadratura del cerchio.
Infine Giovanna celebra il Pi day con tre segnalazioni:
Come si calcola pi greco dimostra come si può avvicinare il valore di π per successive approssimazioni, aumentando il numero dei lati dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza;
Il problema della quadratura del cerchio prosegue l’articolo precedente, informando come un problema irrisolvibile (la quadratura del cerchio con riga e compasso) abbia portato alla ricerca di valori sempre più precisi del nostro festeggiato;
Attorno a pi … Connessioni e sequenze tratta di come π sia progressivamente uscito dall’ambito strettamente geometrico entrando in molti campi matematici, nella statistica e nella fisica, antica e moderna. Certamente Giovanna celebra il π in modo degno, diversamente dall’autore di questa quartina maltusiana:
Efficiente, poliedrica, attivissima, anche Annarita Ruberto tiene alta la bandiera delle donne in questo Carnevale, con numerose segnalazioni da Matem@ticaMente. Anche per lei incomincio con gli articoli di didattica della matematica.
Il Problema Del Sepolcro Di Diofanto propone agli allievi un problema interessante nell’ambito della trattazione delle equazioni di 1° grado in una sola incognita: determinare la durata della vita di Diofanto a partire dall'epigramma che figura sul suo sepolcro, composto in forma di esercizio matematico.
A proposito di sepolcri, lo sapevate che
Riemann è sepolto in Italia (articolo in francese)?
Come articoli di divulgazione Annarita invia innanzitutto
La Matematica Di Google, il 1° video di "Math Inside", la matematica nella vita di tutti i giorni, un lodevole progetto di Maddmaths!, SIMAI e UniRomaTv. L’articolo segnala anche il convegno su
Matematica e Cultura 2010 che si terrà a Venezia dal 26 al 28 marzo prossimi.
Celebrating Pi Day, oltre a parlarci della ricorrenza odierna, ci addita il sogno americano, riportando la Risoluzione H.RES.224 della Camera dei Rappresentanti degli Stati Uniti d’America, con la quale il 14 marzo viene riconosciuto come giornata ufficiale per celebrare π e si invitano i docenti a vivere il Pi Day come occasione per “incoraggiare i giovani verso lo studio della matematica”. Direbbe Lucio Dalla
“Ma l’America è lontana, dall’altra parte della Luna”…
Infine Annarita invia i link a una serie di risorse:
Archimede (da Wikisource) il testo scritto dal matematico e storico della scienza Antonio Favaro (1847–1922) e pubblicato nel 1923,
Storie Di Numeri Di Tanto Tempo Fa - Capitolo 5, il quinto capitolo, tradotto in italiano per Matem@ticaMente, dal pdf ebook di David Eugene Smith
Number Stories of long ago, del 1919,
La scienza di Talete, un pdf scaricabile gratuitamente dal sito di GioiaMathesis per una lettura piacevole e istruttiva,
Playground Of Mathematics - Il Parco Della Matematica, un'ottima risorsa gratuita per la scuola primaria creata da Dimitar Spassov, che può risultare un valido strumento ludico-didattico: l’ottimo
Maestro Alberto ha curato la traduzione del sito in lingua italiana.
Come l’etichetta e il
bon ton suggeriscono, le ultime segnalazioni riguardano il padrone di casa. Questo mese
Popinga consiglia di leggere
La principessa Hoppy, una favola matematica, che parte dalla fiaba postmoderna dello scrittore oulipiano Jacques Roubaud, basata su numerose restrizioni formali prese dalla matematica, per illustrare alcuni concetti relativi alle relazioni tra gli elementi in un insieme o appartenenti a insiemi diversi.
Soluzione del Paradosso è uno “spettacolo per marionette filosofiche” scritto dal fisico quantistico Abner Shimony: si tratta di una versione surreale del paradosso della dicotomia di Zenone, che si conclude con l’intervento risolutivo di un leone.
Anche
Bollettino mereologico è un piccolo gioco ai confini con la filosofia: uno schema enigmistico è il pretesto per parlare della mereologia, la branca della logica e dell’ontologia che cerca di investigare il rapporto tra la parte e l’intero, anche dal punto di vista formale.
Infine
Cavazzoni e i numeri è un esilarante testo sui numeri in letteratura tratto da
Il limbo delle fantasticazioni di Ermanno Cavazzoni, il “trattato comico” in cui lo scrittore emiliano esplora il concetto di fantasticazione, matrice di ogni celestiale bellezza e di ogni nefandezza artistica.
Ho finito e vi ringrazio per essere arrivati fin qui. Concludo ricordando che
saranno gli amici di Gravità Zero ad ospitare il Carnevale n. 24 del prossimo 14 aprile. Saremo in piena primavera, stagione che ispira il relax anche a soggetti impensati:
Sotto i fiori di un cespuglio ornamentale
oziava un ∃ (quantificatore esistenziale).
Sdraiato sull’erba
risolveva un cruciverba
con le lettere scritte al contrario del normale.
