Il Teorema vivente di Cédric Villani

Attribuire un’etichetta a un libro come Théorème Vivant del matematico francese Cédric Villani non è facile. Si può infatti considerare un diario personale e professionale, che copre due anni di intensa ricerca culminati con il ricevimento della Medaglia Fields (la massima onorificenza per matematici di età inferiore ai quarant'anni), vissuti tra la Francia e gli Stati Uniti, con puntate in molti altri posti in tutto il mondo. Si può anche definirlo il racconto di un’impresa matematica (la dimostrazione non lineare dello smorzamento di Landau) e di come essa sia nata, si sia sviluppata attraverso difficoltà, entusiasmi, delusioni, incontri, problemi quotidiani, notti insonni, improvvise intuizioni, e un continuo lavoro di collaborazione fino al risultato finale. E Théorème Vivant è anche una cronaca epistolare, attraverso la riproduzione dello scambio di e-mail tra l’autore e il suo collega Clément Mouhot, con il quale ha raggiunto l’obiettivo e ha pubblicato l’articolo scientifico. 

Il libro è soprattutto la cronaca della nascita di una nuova dimostrazione matematica, che ha suggerito il titolo di Teorema vivente. Villani si è occupato in precedenza dell’equazione di Boltzmann, che fu argomento della sua tesi di dottorato: 

"Si trova di tutto nell’equazione di Boltzmann: la fisica statistica, la freccia del tempo, la meccanica dei fluidi, la teoria delle probabilità, la teoria dell’informazione, l’analisi di Fourier… Alcuni dicono che nessuno al mondo conosce meglio di me il mondo matematico generato da questa equazione.” (pp. 10-11) 

Egli è anche un esperto di trasporto ottimale, lo studio di come trasferire una distribuzione di massa da un luogo a un altro con il minor lavoro possibile (consiglio su questo argomento un articolo divulgativo di Alessio Figalli). Questo problema fu formalizzato per la prima volta da Gaspard Monge del 1781 (e Gaspard è il nome del computer di Villani a Lione) e fu sviluppato dal matematico ed economista russo Kantorovich intorno agli anni ’40. L’interesse per il trasporto ottimale nella comunità dell’analisi matematica si sviluppò soprattutto grazie ai lavori di Yann Brenier, il quale, alla fine degli anni ’80, stava studiando problemi legati alla meccanica dei fluidi e si trovò di fronte ad aspetti che lo portarono (in modo abbastanza inatteso) al problema di Monge-Kantorovich. Negli ultimi vent'anni si è scoperto che c’è una stretta relazione tra entropia, trasporto ottimale ed equazione del calore di un gas, che può essere studiata come una sorta di evoluzione che fa aumentare l’entropia nel modo più veloce possibile senza spendere troppa energia cinetica. Villani, del quale Brenier è stato relatore di tesi tutor all'École Normale Supérieure di Parigi, si è occupato del problema del trasporto ottimale nell'ambito della geometria non euclidea, scoprendo che, a seconda della variazione di entropia, è possibile stabilire il tipo di curvatura dello spazio, con importanti applicazioni in geometria. 

L’interesse di Villani sullo smorzamento di Landau si sviluppa quasi casualmente nel corso di una conversazione con Mouhot sulla regolarità del trasporto in un’equazione di Boltzmann disomogenea, che li porta a discutere del lavoro del giovane matematico sino-americano Yan Guo. Inizia così una lunga avventura intellettuale, descritta con dovizia di particolari, che può essere considerata un esempio di come procede la ricerca matematica, fatta di duro lavoro: 

“Tarda sera nel mio appartamento di Princeton, seduto per terra sulla moquette, circondato da fogli di appunti, davanti alla grande vetrata attraverso la quale i bambini, di giorno, osservano gli scoiattoli grigi. Rifletto e scarabocchio senza dir nulla.” (p. 73) 

“(…) È il momento propizio per mettermi al lavoro. Preparo un thè, stendo i miei appunti. Ancora una montagna di problemi tecnici, che si stanno risolvendo man mano assieme a Clément. La parte più grande della dimostrazione, la sezione 10, è in corso di costruzione. C’è questo maledetto controllo del modo zero, ne ero sicuro, che mi avrebbe fatto dannare. E devo esporre i risultati tra dieci giorni! Dieci piccoli giorni perché tutto stia in piedi.” (p. 129) 

Fatta anche di sconforto e delusioni: 

“Buio! Ho bisogno di oscurità, di restare da solo nel buio. La camera dei bambini, imposte chiuse, benissimo. La regolarizzazione. Lo schema di Newton. Le costanti esponenziali. Tutto mi gira in testa. (…) Ho bisogno di lavorare da solo per riflettere. C’è fretta! (…) Un certo calcolo, sul quale facevo pieno affidamento, non va più bene, dovevo sbagliarmi. Grave oppure no?” (p. 91) 

“È sera. Apro la posta elettronica. Ho un balzo al cuore: un messaggio che arriva da Acta Mathematica, una rivista di ricerca matematica che in molti considerano la più prestigiosa di tutte. È là che io e Clément abbiamo presentato per la pubblicazione il nostro mostro di 180 pagine. Di sicuro la rivista mi scrive su questo argomento. Ma… l’abbiamo inviato meno di quattro mesi fa! Tenuto conto della lunghezza del manoscritto, è troppo poco perché i referenti abbiano espresso il loro parere e gli editori abbiano preso una decisione positiva. Una sola spiegazione: la rivista scrive per comunicare che l’articolo è stato rifiutato.” (p. 209) 

E di intuizioni improvvise, come in questa citazione di André Weil: 

“Ogni matematico degno di questo nome ha provato, anche se solo qualche volta, lo stato di lucida esaltazione nel quale un pensiero succede a un altro come per miracolo… Contrariamente al piacere sessuale, questa sensazione può durare per diverse ore, o persino diversi giorni.” (p. 135) 

O come quando Villani scopre come migliorare i punti oscuri che sono costati il rifiuto della rivista: 

“È l’illuminazione, là, con la mia matita, sul letto. Mi alzo e vado su e giù furiosamente per la camera, con gli appunti in mano, lo sguardo fisso sulle formule cabalistiche. Il destino dell’articolo si è appena ribaltato un’altra volta. Questa volta non si tratta di riparare un errore, ma di migliorare i risultati.” 

La vicenda raccontata nelle pagine di Théorème vivant si conclude con la pubblicazione dell’articolo definitivo su Acta Mathematica, 207, 1 (2011) 29-201, e con il conferimento a Villani della Medaglia Fields durante il Congresso Internazionale dei Matematici (ICM), tenutosi a Hyderabad in India nell'agosto 2010, per i suoi studi sull'equazione di Boltzmann, sul trasporto ottimale e sullo “smorzamento di Landau per l’equazione di Vlasov-Poisson”. 

Se non pare abbastanza, nel libro si ritrovano anche una buona divulgazione della matematica contemporanea, con le biografie di alcuni tra i suoi esponenti più eminenti (bellissimi i ricordi di John Nash e di Carlo Cercignani), la spiegazione di alcune delle sue conquiste, la storia di alcuni prestigiosi centri di ricerca. Sfogliando il libro prima di leggerlo si può rimanere intimoriti dalle pagine di formule e di dimostrazioni che sono intercalate nel racconto: esse sono fondamentali per il matematico che desidera seguire il percorso intellettuale e tecnico di Villani, ma possono essere considerate dal lettore non specialista delle misteriose illustrazioni senza che la comprensione generale del testo ne venga guastata. 

Insomma, un libro del genere lo poteva scrivere solo un personaggio geniale, poliedrico, originale come Cédric Villani, che ha voluto, proprio nella complicata e multiforme struttura del testo, far conoscere alcuni degli aspetti della sua personalità, parlandoci persino della sua passione per i manga e per la musica, del suo amore per la famiglia, riportando fiabe raccontate ai figli e descrivendo piccole vicende domestiche, Nelle pagine del libro fa solo capolino la rockstar della matematica come ogni tanto egli stesso ama descriversi ai media, ammaliati dal suo abbigliamento eccentrico, con abiti da dandy, cravatta a fiocco e spilla a forma di ragno. In fondo, anche un grande matematico è figlio del suo tempo, compresa una certa dose di egocentrismo. 

Cédric Villani 

Théorème vivant 

Ed. Grasset, Paris, 2012 

pp. 282 

Prezzo in Francia: 19 € 

(le traduzioni dal francese sono mie: abbiate comprensione)

Matematica dei plasmi e smorzamento di Landau (senza formule!)

I sistemi strutturati hanno energie di legame maggiori che l’energia termica dell’ambiente. Posti in ambienti sufficientemente caldi, essi si decompongono, così i cristalli fondono e le molecole si dissociano. A temperature corrispondenti o superiori alle energie di ionizzazione atomiche, anche gli atomi incominciano a decomporsi in elettroni carichi negativamente e ioni carichi positivamente. Queste particelle cariche sono lontane dalla situazione di un gas perfetto, in cui le particelle interagiscono solo attraverso urti meccanici. Esse non sono affatto libere, perché sono influenzate reciprocamente dai loro campi elettromagnetici. Dal momento che le cariche non sono più legate, il loro insieme diventa capace di moti collettivi di grande intensità e complessità. A questo insieme di particelle cariche si dà il nome di plasma. La complessità in un plasma è caratterizzata grandemente dall'eccitazione di una enorme varietà di comportamenti dinamici collettivi e deve essere espressa sia temporalmente sia spazialmente. 

Un plasma e talvolta definito come un gas che è sufficientemente ionizzato da mostrare cariche libere. Tale comportamento risulta dopo che anche una piccola frazione del gas è stata ionizzata. Così, i gas ionizzati anche in piccola parte mostrano la maggior parte dei fenomeni singolari caratteristici dei gas completamente ionizzati. 

I plasmi che risultano dalla ionizzazione di gas elettricamente neutri contengono generalmente un numero uguale di portatori di carica negativi e positivi. In questa situazione, i fluidi con carica opposta sono fortemente attirati tra loro, e tendono a neutralizzarsi su scala macroscopica, ricombinandosi. Questi plasmi, chiamati, quasi-neutri, mostrano piccole deviazioni dalla esatta neutralità, che hanno importanti conseguenze dinamiche per certi tipi di configurazioni. Esistono anche plasmi fortemente non-neutri, che possono contenere persino cariche di un solo segno. Il loro equilibrio dipende dall'esistenza di intensi campi magnetici, intorno ai quali ruota il fluido carico elettricamente. 

È evidente che lo studio del comportamento dei plasmi comporta un numero molto grande di variabili e può essere affrontato solo attraverso una modellizzazione (che è una semplificazione della realtà). Il gran numero di particelle e la loro diversa distribuzione consigliano una trattazione statistica, il loro movimento coinvolge la teoria cinetica dei gas, la loro carica elettrica non può prescindere da una trattazione secondo le leggi dell’elettrostatica e dell’elettrodinamica. Esiste una serie di dipendenze reciproche tra questi approcci che fa sì che la matematica delle leggi dei plasmi sia tuttora in una fase di ricerca avanzata e appassionante, che utilizza gli strumenti più aggiornati della disciplina. E naturalmente tutto dipende da che cosa si cerca e da quali parametri di ingresso si assumono. 

Lo studio matematico del comportamento dei plasmi produsse nel 1938 la cosiddetta equazione di Vlasov, che prende il nome dal fisico teorico russo Anatoli Vlasov (1908-1975). Vlasov dimostrò che l’equazione di Boltzmann, che descrive il trasporto di grandezze all'interno di un fluido lontano dall'equilibrio termodinamico, non può descrivere la dinamica di un plasma, a causa dell’esistenza di interazioni collettive a lungo raggio, come ad esempio quella di Coulomb tra particelle cariche. Associando l’equazione di Boltzmann alle equazioni di Maxwell, Vlasov ottenne un sistema di equazioni differenziali, ben poste a patto che si scelgano opportunamente le condizioni iniziali e quelle al contorno. 

Uno dei fenomeni più esotici rilevati all'interno di un plasma è il cosiddetto smorzamento di Landau, che prende il nome dal suo scopritore, il fisico russo Lev Landau (1908-1968), uno dei più grandi fisici del Novecento e premio Nobel nel 1962, che lo descrisse in un articolo del 1946 (qui la versione in inglese). Landau, che non stimava Vlasov, al punto di giudicare errati quasi tutti i suoi contributi, sostenne che quando un campo elettrico attraversa un plasma, le sue oscillazioni longitudinali subiscono uno smorzamento (diminuzione esponenziale in funzione del tempo), che corrisponde a un trasferimento di energia tra l’onda elettromagnetica e un certo numero di elettroni presenti nel plasma. Questo fenomeno impedisce lo sviluppo dell’instabilità e crea una regione di stabilità nello spazio parametrico. Le forze elettriche si attenuano spontaneamente nel tempo, e, contrariamente a quanto previsto dall'equazione di Boltzmann e da quella di Vlasov, l’entropia rimane costante, il disordine non aumenta. 

Lo smorzamento di Landau è dovuto allo scambio di energia tra un’onda con velocità di fase υ_ph e una particella nel plasma la cui velocità è approssimativamente uguale a υ_ph. Le particelle la cui velocità è leggermente inferiore alla velocità di fase dell’onda sono accelerate dal campo elettrico per raggiungere la velocità di fase. Al contrario, le particelle con velocità leggermente superiore alla velocità di fase dell’onda sono decelerate, cedendo una parte della loro energia all'onda. 

In un plasma in cui gli effetti quantistici sono trascurabili, dove le velocità sono distribuite come una funzione statistica del numero di particelle e dell’energia che possiedono, il numero di particelle la cui velocità è leggermente inferiore alla velocità di fase dell’onda è più grande del numero di particelle la cui velocità è leggermente superiore. Per questo motivo, ci sono più particelle che acquistano energia dall'onda di quante ne cedono. Di conseguenza, l’onda complessivamente cede energia e si smorza, eppure l’energia ceduta al sistema non contribuisce all'aumento della sua entropia. 

L’articolo originale di Landau si basava su un complicato calcolo lineare. Ora, con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche se nel frattempo era stata sviluppata una teoria matematica lineare quasi completa del fenomeno, la questione di superare lo studio lineare è rimasta aperta per decenni, producendo come solo risultato non lineare una classe di soluzioni smorzate esponenzialmente per l’equazione di Vlasov-Poisson, che è un’approssimazione del sistema di Vlasov nel caso di un campo relativistico zero-magnetico. 

Una trattazione non lineare convincente (un teorema!) dello smorzamento di Landau ha dovuto attendere fino a quando nel 2008 ha incominciato ad occuparsene Cédric Villani con il suo collaboratore Clément Mouhot, ma di ciò parlerò prossimamente, perché c’è anche da recensire un libro…