Integrali doppi e volume dei solidi di rotazione

Integrali multipli − Un integrale multiplo è un tipo di integrale definito esteso a una funzione di due o più variabili reali, ad esempio ƒ(x, y) o ƒ(x, y, z). Gli integrali di una funzione di due variabili su una regione si chiamano integrali doppi.

Proprio come l’integrale definito di una funzione di una variabile rappresenta l’area della regione tra il suo grafico e l’asse x, l’integrale doppio di una funzione di due variabili rappresenta il volume della regione tra la superficie definita dalla funzione (sul piano cartesiano tridimensionale in cui z = ƒ(x, y)) e il piano che contiene il suo dominio. Lo stesso volume si può ottenere con un integrale triplo (l’integrale di una funzione di tre variabili) della funzione costante ƒ(x, y, z) = 1 sulla stessa regione tra la superficie e il piano. Se esistono più variabili, l’integrale multiplo fornirà ipervolumi di funzioni multidimensionali.

L’integrazione multipla di una funzione di n variabili f (x₁, x₂, ..., x_n) su un dominio D si rappresenta frequentemente con i simboli di integrale uno dietro l’altro in ordine inverso di esecuzione (l’integrale più a sinistra è quello calcolato per ultimo), seguiti dalla funzione e dagli argomenti integrandi nel giusto ordine (l’integrale rispetto all’argomento più a destra è calcolato per ultimo). Il dominio di integrazione o si rappresenta simbolicamente per ogni argomento su ciascun simbolo di integrale, oppure si abbrevia con una variabile sul simbolo di integrale più a destra.

 

Nel caso di T⊆ sia un sottoinsieme del piano , l’integrale

   

 è l’integrale doppio di f su T. 

Gli integrali multipli si risolvono, se esistono le condizioni, grazie alla possibilità di "spezzare" l'integrale in più dimensioni in diversi integrali su , dove può essere applicato, ad esempio, il teorema fondamentale del calcolo integrale (integrazione per parti, teorema di Fubini). 

Calcolo del volume dei solidi di rotazione con gli integrali − Gli integrali doppi hanno ispirato ai matematici spagnoli Jorge Martìn-Morales e Antonio M. Oller-Marcén un metodo per il calcolo dei solidi di rotazione alternativo a quelli comunemente presentati nei libri di testo, cioè il metodo del disco, che consiste a grandi linee nel dividere il solido in dischi perpendicolari all’asse di rotazione, e il metodo del guscio, che considera il solido come una serie di gusci cilindrici concentrici che avvolgono l’asse.

Per applicare questi metodi, il metodo più semplice consiste nel disegnare il grafico in questione, identificare l’area che deve essere ruotata intorno all'asse, determinare il volume o di una fetta a forma di disco (di spessore δx), oppure di un guscio cilindrico di larghezza δx del solido, infine trovare la somma limite di questi volumi per δx che tende a 0, un valore che può essere trovato con un opportuno integrale.

Il metodo del disco si usa quando la fetta che viene disegnata è perpendicolare all'asse di rotazione, cioè quando si integra parallelamente all'asse stesso. Con il metodo del disco, il volume del solido formato ruotando la superficie compresa tra le curve di f(x) e g(x) e le rette x = a e x = b intorno all'asse x è dato da:

Se g(x) = 0 (cioè se si ruota una superficie tra la curva e l’asse x), il calcolo si riduce a:

     

Il metodo dei gusci cilindrici si usa quando la fetta che viene disegnata è parallela all'asse di rotazione, cioè quando si integra perpendicolarmente all’asse stesso. Il volume del solido formato ruotando la superficie compresa tra le curve di f(x) e g(x) e le rette x = a e x = b intorno all'asse y è dato da:

 
Se g(x) = 0 (cioè se si ruota una superficie tra la curva e l’asse y), il calcolo si riduce a:

Quando una curva è definite dalla sua formula parametrica (x(t), y(t)) in un intervallo [a, b], i volumi dei solidi generati ruotando la curva rispettivamente intorno all'asse x e all’asse y sono dati da:

 
I due metodi sono geometricamente molto differenti e l’uso di uno o dell’altro dipende dalla forma del solido. Tuttavia essi sono equivalenti dal punto di vista analitico e possono essere messi in relazione in diverse maniere, con l’integrazione per parti, le funzioni inverse o il teorema di Rolle.

I due matematici spagnoli sostengono che esiste una relazione ancor più generale tra i metodi sopra citati, e illustrano un metodo per calcolare il volume di un solido di rotazione con un integrale doppio in maniera semplice. Questo metodo, a loro dire finora assente in letteratura, evita considerazioni sulla forma del solido, fornisce un modo agevole di descrivere il volume del solido anche quando l’asse è inclinato rispetto all'orizzontale e alla verticale, introduce tecniche di doppia integrazione che possono in certe circostanze abbreviare i calcoli.

Il metodo dell’integrale doppio - Sia S una regione chiusa del piano OXY e sia e una qualsiasi retta sullo stesso piano tale che e sia esterna a S. Per ciascun punto che appartiene a S, si ponga d_e(x, y) = d (P; e) la distanza tra P ed e. Si indichi con V (S, e) il volume del solido ottenuto ruotando la regione S intorno alla retta e, come indicato dalla figura. Martìn-Morales e Oller-Marcén sostengono che:

 
Infatti, per ogni punto P (x; y) di S, si consideri un piccolo cerchio con centro in P e con area dA. Quando questo cerchio ruota attorno all'asse e, esso genera un toro di volume 2πd_e(x; y) dA, pertanto è sufficiente sommare tutti questi volumi , cioè integrare per S. Si osservi che d_e(x, y) è sempre un polinomio di grado 1 in x e y, cioè, se l’asse e ha equazione ax + by + c = 0, allora d_e(x, y) = |ax+by+c| / √ a²+b² .

Generalizzazione dei due metodi standard - I due metodi standard del disco e del guscio possono essere ottenuti dalla formula con il doppio integrale proposta. Si assuma, senza perdita di generalità, che l’asse di rotazione sia OY. Si consideri S un dominio normale rispetto all'asse x, il che significa che la regione S è delimitata da funzioni continue y = f₁(x) e y = f₂(x) tra x = a e x = b, come nella figura di sinistra (sotto). Il teorema di Fubini afferma che l’integrale doppio

può essere calcolato per mezzo di integrali semplici come:

 
che è esattamente la nota formula che si ottiene con il metodo dei gusci cilindrici.

Si assuma ora che l’asse di rotazione sia OY. Si consideri S un dominio normale rispetto all'asse y. In questo caso la regione S è delimitata da funzioni continue y = g₁(x) e y = g₂(x) tra y = c e y = d, come nella figura di destra (sopra). Ancora con il teorema di Fubini, il doppio integrale I si può risolvere come:

 
che è la formula corrispondente al metodo del disco.

Ciò dimostra che, sebbene entrambi i metodi sembrino molto diversi dal punto di vista geometrico, essi sono sostanzialmente lo stesso, come si può vedere con un semplice ragionamento. Utilizzando la formula:

 
si sommano i volumi dei tori ottenuti ruotando un cerchio con centro (x, y) e area dA intorno all’asse y. Per sommare tutti questi volumi si può procedere in due modi diversi:

1. se si fissa y = y₀ e si considera la somma dei volumi dei tori corrispondenti ai punti (x; y₀) si ottiene un disco orizzontale. Allora è sufficiente sommare il volume di questi dischi, che è il metodo del disco
2. se si fissa x = x₀ e si considera la somma dei volumi dei tori corrispondenti ai punti (x₀, y) si ottiene un guscio cilindrico verticale. Allora è sufficiente sommare il volume di questi gusci, che è il metodo del guscio.

Pertanto i due metodi classici si ricavano con il metodo proposto semplicemente scegliendo opportunamente i tori i cui volumi sono da sommare.

Jorge Martín-Morales, & Antonio M. Oller-Marcén (2012). Volumes of Solids of Revolution. A Unified Approach Submitted to Mathematical Intelligence arXiv: 1205.2204v1