Storie di analisi dimensionale e di leggi di scala

L’analisi dimensionale è uno strumento utilizzato per trovare o verificare relazioni tra grandezze fisiche utilizzando le loro dimensioni, che sono associate a simboli come M, L, e T (rispettivamente per massa, lunghezza e tempo), ciascuna elevata a un esponente razionale. Queste, con quelle per l'intensità di corrente (I), la temperatura assoluta (Θ), la quantità di sostanza (N) e l'intensità luminosa (J), costituiscono le cosiddette grandezze fondamentali. Tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse come combinazioni (prodotti) di queste, e sono perciò considerate derivate. Ad esempio, la velocità è dimensionalmente un rapporto tra una lunghezza e un tempo, e si può esprimere come [v] =LT^-1, oppure una forza si esprime in meccanica come il prodotto di una massa M per una accelerazione, che dimensionalmente è una lunghezza diviso il quadrato del tempo. Perciò: [F] = MLT^-2.

Come si vede, il concetto di dimensione è più astratto di quello di unità di misura: la massa è una dimensione di una grandezza, mentre il kilogrammo è una unità scalare di misura nella dimensione della massa. Analogamente, nella dimensione della forza, si utilizza il newton come unità scalare di misura. Si tratta di concetti diversi: le unità di misura di una quantità fisica sono definite per convenzione e fanno riferimento a qualche standard (ad esempio nel Sistema Internazionale la lunghezza viene misurata in metri, dove il metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 di secondo). Una lunghezza può essere misurata in chilometri, micron, miglia, pollici, anni-luce, ma ha sempre dimensione L, indipendentemente dall'unità scelta per misurarla. In ogni caso, le leggi della fisica sono indipendenti dal sistema di unità di misura utilizzato nella loro espressione.

Le dimensioni possono essere trattate come grandezze algebriche, cioè le grandezze possono essere sommate o sottratte fra loro solamente se hanno le stesse dimensioni (non si può sommare un tempo con una velocità). Inoltre, poiché una legge fisica deve essere indipendente dalle unità di misura delle variabili, una semplice conseguenza è che in ogni equazione (o disequazione) fisica i due membri devono avere la stessa dimensione.

Dal punto di vista matematico, i simboli dimensionali, come L, formano un gruppo, che ha la sua identità, L⁰=1, l'inverso, 1/L o L^-1; inoltre L elevato a qualsiasi esponente razionale p è un membro del gruppo, che ha come inverso L^-p o 1/L elevato allo stesso esponente p. L'operazione del gruppo è la moltiplicazione, con le normali regole per trattare gli esponenti.

Esiste anche il gruppo 1, quello delle quantità prive di dimensioni. Il gruppo adimensionale è una quantità che descrive un determinato sistema fisico, ed è un numero senza alcuna unità fisica, un numero puro. Esempi di questo gruppo sono il numero di Avogadro in chimica o il numero di Fourier nella conduzione del calore. Tale gruppo viene generalmente definito come prodotto o rapporto di opportune quantità dimensionali, in modo tale che il risultato sia privo di dimensione. In questo modo si ottengono numeri adimensionali che hanno ordine di grandezza unitario e tali che, rapportando due numeri adimensionali qualsiasi, è possibile ottenere una misura dell'importanza relativa dei fenomeni cui i numeri fanno riferimento. Quantità adimensionali si possono ottenere anche integrando alcune equazioni differenziali.

La riduzione o l’eliminazione delle dimensioni è consentita dal teorema di Buckingham, che, nella sua forma più semplice, afferma che ogni legge fisica può essere espressa come una identità che implica solamente combinazioni (rapporti o prodotti) prive di dimensioni delle variabili coinvolte dalla legge. Conseguenza fondamentale del teorema è che possiamo studiare il medesimo problema usando un numero inferiore di variabili, eliminando le dimensioni delle grandezze secondarie, riducendole alle essenziali grandezze numeriche (i "veri" parametri fisici).

Questo è il pregio principale dell’analisi dimensionale: essa consente di verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni, ma soprattutto di formulare ipotesi ragionevoli riguardo a problemi fisici complessi, concentrandosi sulle grandezze (e i numeri) davvero fondamentali e non considerando le altre. Essa è largamente utilizzata in gran parte dei settori scientifici: matematica, fisica, chimica, ingegneria, biologia, ecc., ma anche nell’economia e nella finanza.

L’analisi dimensionale è uno strumento fondamentale anche nei problemi di scala, perché tutte le quantità adimensionali (o scalari), e le leggi fisiche che ne derivano, sono invarianti per la scala. Ecco alcuni esempi e qualche considerazione, che riprendo dall’articolo Of Bombs and Boats and Mice and Men. A random tour through some scaling laws di Niall MacKay, che verrà pubblicato su Mathematics Today.

L’energia di Trinity - Poco dopo la fine della seconda guerra mondiale, la Commissione per l’Energia Atomica americana diffuse un filmato di Trinity, il primo test di una bomba a fissione nucleare, effettuato ad Alamogordo, nel deserto del New Mexico, il 16 luglio 1945, venti giorni prima dell’attacco a Hiroshima. Dopo i lavori di preparazione alla torre su cui era collocata la bomba, dal minuto 8:50 si può vedere la drammatica ripresa dell’esplosione:

 

Nel 1947 furono anche pubblicati dei fotogrammi del filmato dell’esperimento, ciascuno associato dal fisico Julian Ellis Mack a un tempo t dallo scoppio, espresso in millisecondi. La quantità di energia rilasciata rimaneva segreta, anche perché era stata calcolata con molte difficoltà. Gli americani rimasero pertanto assai sorpresi quando, nel 1950, l’esperto britannico di meccanica dei fluidi Geoffrey Taylor pubblicò l’articolo The formation of a blast wave by a very intense explosion, la cui seconda parte conteneva una stima accurata dell’energia rilasciata basandosi semplicemente sulle immagini. L’episodio divenne quasi mitico e fu abbellito da particolari assai dubbi, come l’allarme della CIA, il sospetto che egli potesse essere venuto in possesso di documenti riservati, la perquisizione della sua abitazione nel bel mezzo della notte per rovistare tra le sue carte.

Oggi sappiamo che la tecnica utilizzata da Taylor non aveva nulla di segreto, essendo basata sull’analisi dimensionale. Supponiamo che, al tempo t, il raggio r dell’onda d’urto dipenda solo da t, cioè dal tempo trascorso dalla detonazione, dalla densità dell’aria ρ e dall'energia E rilasciata (indipendentemente dalla natura della sua causa). L’energia equivale a una massa moltiplicata per una velocità al quadrato, in termini dimensionali: [E] = ML²T⁻². La densità può essere espressa come una massa divisa per un volume, cioè [ρ] = ML⁻³. Per cancellare la massa, combiniamo le due espressioni con il rapporto E/ρ. Si ottengono le dimensioni [E/ρ] = L⁵T⁻², in modo che, per ottenere la lunghezza, dobbiamo considerare l’espressione (Et²/ρ)^1/5 e, infine,

 

Dove C è una costante adimensionale, universale per questo tipo di onde d’urto, che può essere ottenuta dallo studio delle onde di esplosioni convenzionali. Utilizzata assieme a immagini come quella della figura, che fornisce lunghezze e scale dei tempi, questa formula permise a Taylor di ottenere una buona stima di E, che egli indicò in 16.800 tonnellate di tritolo equivalenti (16,8 chilotoni). Il calcolo, che colpisce particolarmente per l’inaspettata comparsa dell’esponente 1/5, può sembrare semplice, ma l’analisi dimensionale di Taylor fu il frutto di uno studio pluriennale assai più profondo, che comprendeva le equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) e un’attenta analisi della fisica coinvolta.

I tempi di cottura al forno – Un altro esempio di analisi dimensionale riguarda i tempi di cottura. Quanto tempo in più ci vuole per cuocere un tacchino di 5 Kg rispetto a un fagiano di 1 Kg? La maggior parte delle ricette fornisce una formula lineare, con i minuti di cottura in funzione della massa, più un tempo fisso. Tuttavia questa è solo un’approssimazione di un problema di ordine di grandezza che può essere affrontato con l’analisi dimensionale. Supponiamo che i due uccelli siano simili come forma, con carne simile che cuoce allo stesso modo, e che i loro centri raggiungano la stessa temperatura per essere cotti a puntino. Allora il tempo di cottura t dipende dalla distanza l dal centro alla superficie e da un solo parametro fisico, la diffusività termica ĸ. Questa è associata all'unica legge della fisica microscopica che serve per risolvere il problema, l’equazione del calore, un'equazione differenziale alle derivate parziali che modellizza l'andamento della temperatura in una regione dello spazio sotto opportune condizioni. Secondo tale equazione, la velocità di variazione della temperatura è proporzionale (attraverso ĸ) al suo operatore di Laplace, così che [ĸ] = L²T⁻¹ (infatti nel Sistema Internazionale ĸ, come tutti i coefficienti di diffusione, è misurata in m²/s). Non ci interessa conoscere precisamente come ĸ dipenda dalla conducibilità termica, dalla densità e dalla capacità termica della carne. Ci interessa invece che l’equazione del calore ci dà che t ∼ l²/ĸ. Siccome la massa degli uccelli è m ∼ l³, abbiamo che t = C’m^2/3/ĸ, dove C’ è una costante priva di dimensioni. Così, se il tempo di cottura del fagiano t_f è ≃ 1h, allora:

 

 e il tempo di cottura del tacchino è 5^2/3 ≃ 3 ore.

L‘analisi dimensionale è legata in modo sostanziale al concetto di riscalamento, che è fondamentale nella matematica applicata. Ad esempio, supponiamo di voler portare un esperimento chimico di laboratorio alla scala di un processo industriale. Se la reazione produce calore, è evidente che l’apparecchiatura non può semplicemente essere una replica identica e ingrandita di quella di laboratorio, poiché il calore prodotto in più (in proporzione al volume dei reagenti) non sarà compensato dalla capacità di dissiparlo in sicurezza (in proporzione alla superficie laterale del reattore). Piuttosto dovremo identificare le grandezze adimensionali che caratterizzano il problema e mantenerle invariate durante il cambio di scala.

Topi e orsi in caduta - Certe volte nella scienza divulgativa si dà l’idea che l’invarianza di scala sia spesso una proprietà delle reti ramificate. Così, ad esempio, un ramoscello ha la stessa architettura di un albero. In realtà la possiamo trovare in qualsiasi processo che sia invariante nel riscalamento di una grandezza dimensionata. È notevole come scali bene la struttura di base dei mammiferi: il topo (m ∼20 g) e l’orso (∼200 kg, anche se nella foto fa il ritroso) condividono la stessa architettura, sebbene la loro massa differisca di quattro ordini di grandezza.

Quali leggi di scala si possono allora applicare in generale ai mammiferi? In un classico saggio, On being the right size, J. B. S. Haldane (1929) notò che ‘Si può gettare un topo in un pozzo di miniera di mille iarde ed esso, giunto in fondo, dopo un piccolo shock, se ne va via, a patto che il terreno sia abbastanza soffice”. Consideriamo allora la velocità terminale di caduta: quando un corpo cade liberamente in un fluido come l’aria, acquista velocità per effetto dell'accelerazione di gravità. Nel suo procedere in questo moto, il corpo incontra la resistenza del fluido che lo rallenta. Questa resistenza aumenta con il crescere della velocità del corpo. Ad un certo punto si verificherà che la forza di gravità e la resistenza dell'aria avranno la stessa intensità. Da quell'istante in poi il corpo, soggetto ad una risultante di forze nulla, procederà ad una velocità costante, detta appunto velocità terminale di caduta. In che modo essa è in relazione con la massa? 

Supponiamo uno scalamento auto-simile, in modo che per un animale di lunghezza di scala l si abbia m ∼ l³. La resistenza dell’aria è proporzionale alla superficie della sezione perpendicolare alla direzione del movimento (cioè a l²) e al quadrato della velocità v. Allora, alla velocità limite, con la resistenza dell’aria che bilancia la gravità, abbiamo l²v² ∼ l³ e quindi v ∼ l^1/2 ∼ m^1/6. Se la velocità limite dell’orso è più o meno di 67 m/s, allora quella del piccolo roditore è circa 13,5 m/s. Come disse lo stesso Haldane: “Il topo muore, l’uomo si rompe, il cavallo va in pezzi”. Certo che Haldane poteva evitare di pensare di far cadere animali, ma la sensibilità in questo campo dipende dai tempi e dai luoghi in cui si vive.

Niall MacKay (2012). Of Bombs and Boats and Mice and Men: A Random tour through some scaling laws Mathematics Today arXiv: 1210.5067v1