La successione di Vauban (altro che porcheria!)

Il nome di Sébastien Le Prestre, marchese di Vauban (1633-1707), spesso indicato semplicemente Vauban, suscita presso i nostri cugini transalpini una reazione positiva, come se fossero ancora protetti dalle imponenti piazzeforti alle quali è legato il suo nome: diresse 53 assedi, ristrutturò 300 piazzeforti e ne costruì 33 nuove. Generale, stratega, ingegnere militare, consigliere del Re, infine Maresciallo di Francia, Vauban è stato una delle figure più importanti del lungo e tormentato regno di Luigi XIV, il Re Sole. 

Organizzatore di uomini e mezzi, attento alle questioni di bilancio che comportava una macchina logistica enorme (l’esercito francese era passato da 60 mila uomini nel 1662 a 150 mila nel 1693), interessato ai problemi dell’economia generale del regno, Vauban si occupò di numeri e di calcoli pur non essendo un matematico di professione. Conosceva la geometria e la misura, ma anche ciò che egli chiamò le “mathématiques plus nécessaires”, la trigonometria, la meccanica, l’aritmetica, la cartografia, l’architettura e il disegno. Fu, se vogliamo, un matematico empirico e applicato, che acquisì con il tempo una competenza e una passione che manifestò anche al di fuori della sua vastissima produzione “professionale”, costituita in prevalenza di note e memorie indirizzate al Re e a Colbert, il suo potente ministro delle finanze, ma che comprende anche un Traité de l'attaque des places, che contiene le teorie scientifiche da lui elaborate per il fuoco di rimbalzo, il tiro verticale antiuomo e l'uso del metodo delle trincee parallele (in realtà concentriche) per avvicinare le fortificazioni nemiche riducendo al minimo le perdite e aumentando l’efficacia del fuoco di artiglieria. 

A partire dal 1689 cominciò a scrivere una serie di saggi con lo scopo di «conservare delle idee per quelli che verranno dopo di me», anche se alcune di esse le diffuse tra i contemporanei, essendo troppo forte la volontà di essere utile al suo paese. Chiamò questi scritti, raccolti in dodici volumi, Oisivetés, ou ramas de plusieurs sujets à ma façon, dove gli ozi del titolo vanno intesi come la piacevole attività di riposo di un intellettuale, che trova finalmente il tempo di occuparsi di ricordi e questioni che gli stanno a cuore. Ciò gli consentiva di sottrarre i 29 testi che compongono l’opera all'ufficialità derivante dalle sue funzioni pubbliche. Tra di essi troviamo alcune congetture, che mostrano il gusto di Vauban per l’esercizio mentale di risolvere problemi a grande scala, come il regno o il mondo intero. 

La più famosa di queste opere, scritta dopo le tre successive carestie degli anni 1692-94, porta il curioso titolo La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître jusqu’où peut aller la production d’une truie pendant dix ans de temps (La porcheria, o calcolo stimato per conoscere fino a dove può giungere la produzione di una scrofa in un periodo di dieci anni), nella quale mostra la sua preoccupazione per i problemi di sussistenza dei contadini tormentati dalla fame, proponendo l’allevamento generalizzato del maiale. Vauban sostiene che una sola scrofa ha una prole tale che, in sole dodici generazioni «vi sarebbero così tanti [maiali] da nutrire l’Europa, e se ci si spinge ancora soltanto fino alla sedicesima, è certo che ce ne sarebbero così tanti da popolare tutta la terra». Di questo testo si è occupato recentemente il matematico Pierre de la Harpe, in un gustoso articolo comparso su Images des Maths, il portale di matematica del CNRS francese. 

Il ragionamento di Vauban è semplice e lineare. Per tener conto delle perdite dovute a malattie, incidenti, alla predazione dei lupi, valutata in 1/15 (conviene ricordare al lettore moderno che i maiali erano un tempo allevati allo stato brado e non in tristi allevamenti in batteria), Vauban stima prudentemente che ogni cucciolata sia composta da sei maialini, tre femmine, che interessano il seguito del calcolo, e tre maschi, di cui non si parlerà quasi più. Nel suo modello, una scrofa figlia la prima volta a due anni, quindi due volte all'anno per quattro anni, prima di diventare sterile a sette anni.

Così, il primo anno c’è 1 scrofa. Il secondo anno questa ha una cucciolata, per cui ci sono 3 nuove scrofe. Il terzo anno ci sono due parti della prima scrofa e uno per ciascuna delle sue figlie, che in totale danno 15 nuove scrofe. Il quarto anno un calcolo analogo fornisce 

(1 × 2 + 3 × 2 + 15 × 1) × 3 = 69

nuove scrofe (la prima ha due cucciolate, le 3 della prima generazione ne hanno 2, le 15 della seconda generazione ne hanno 1, il tutto moltiplicato per 3 scrofe ogni volta). I calcoli per il quinto e il sesto anno danno: 

(1 × 2 + 3 × 2 + 15 × 2 + 69 × 1) × 3 = 321

(1 × 2 + 3 × 2 + 15 × 2 + 69 × 2 + 321 × 1 ) × 3 = 1.491

Fin qui, il numero dei prodotti tra parentesi è aumentato ogni anno di uno. A partire dal settimo anno le generazioni più vecchie diventano sterili, per cui ci sono sempre 5 prodotti da addizionare tra parentesi. Dopo 7 anni il risultato è: 

( 3 × 2 + 15 × 2 + 69 × 2 + 321 × 2 + 1491× 1 ) × 3 = 6.921

i calcoli precedenti forniscono i primi 7 elementi di una successione che Vauban computa con precisione meticolosa fino all’undicesimo: 

1,    3,    15,    69,    321,   1.491,    6.921,   32.139,    149.229,    692.919,    3.217.437. 

Il che vuol dire che dopo undici anni ci sono più di tre milioni di scrofe, numero che va raddoppiato per tener conto di tutte le “dimenticanze” (maschi, cucciolate superiori a 6 maialini, madri, nonne, ecc. che sono contate una sola volta). 

Con una notazione più moderna, de la Harpe ha indicato con T(n) il numero delle scrofe nate nell’anno n. I numeri T(n) costituiscono una successione, definita come segue: T(n) = 0 se n è negativo o nullo, T(1) = 1, e

T(n) = 3T (n ‒ 1) + 6T (n ‒ 2) + 6T (n ‒ 3) + 6T (n ‒ 4) + 6T (n ‒ 5)

per n≥1. La successione cresce molto rapidamente e s’avvicina presto a una crescita esponenziale, con un tasso di crescita annuo del 464%. Con qualche piccolo calcolo si possono stimare gli ordini di grandezza per T(20) e T(30). Per T(20) si ottiene un valore vicino a 3×10¹² e per T(30) un valore vicino a 1,5×10¹⁹! La successione di Vauban ora si trova nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), dove costituisce la sequenza A224749. 

Il lettore avrà notato che la successione di Vauban ricorda, per lo spirito che ne è alla base, quella assai più celebre di Fibonacci, nata ragionando sulle generazioni dei conigli invece che su quelle dei maiali. Il tasso di crescita della sequenza di Fibonacci è tuttavia del 162% al mese, più esattamente è il numero aureo ϕ = 1,61803..., ma i conigli, si sa, sono famosi per la loro fertilità. 

Abbandonato il tono scrupoloso del mero calcolo, Vauban si lascia andare alla fine del suo trattatello a una visione di cibo a sazietà per tutti, e ringrazia la provvidenza d’aver fornito il maiale di una tale fecondità e di una tale facilità di allevamento, precisando che «è di nutrizione così facile che ciascuno lo può allevare». Per l’autore, il maiale può salvare il villico dal pane secco, «non essendoci contadino, per quanto povero egli sia, che non possa allevare un maiale all'anno con le proprie risorse». E se ciò vale per i contadini, vale a maggior ragione per le truppe. 

La stima di Vauban è condotta per mezzo di calcoli semplici, per non dire semplicistici, che hanno attirato la critica di agronomi e matematici, ma è degna di nota perché si inserisce agli esordi della matematica economica. Un suo connazionale, l’agronomo Louis Liger, ci fornisce il punto di vista di un contemporaneo, e non sembra sia più cauto. Nell’opera La Nouvelle Maison rustique (1700-1701), egli fornisce consigli per le coltivazioni e l’allevamento. Nel capitolo dedicato al maiale, afferma che «la scrofa può produrre da un anno fino a sei; ha una gravidanza di cinque mesi e può avere due parti all’anno (…). La scrofa è un animale consigliabile per la sua fecondità, dando ogni volta 10, 12 fino a 15 maialini (…) Le si lasciano 8 o 9 figli per allevarli…». Ligier conferma la fecondità della scrofa fino al sesto anno, ma anticipa il primo parto alla fine del primo anno e, soprattutto, raddoppia il numero dei maialini di ogni cucciolata. Dubitiamo che le stime (al confronto prudenti) di Vauban derivino dall'osservazione pratica: di sicuro si tratta di un calcolo teorico molto lontano dalle reali condizioni d’allevamento nel regno di Francia agli inizi del Settecento, ma assai vicino a quelle che riteneva possibili se la ragione avesse potuto trionfare e non ci fossero stati gli inconvenienti «della mancanza di attenzioni e di intelligenza dei proprietari», causa principale di rese basse. 

Affermando utopicamente il primato della ragione anche nel settore della cochonnerie, Vauban anticipa in qualche modo l’incipiente Illuminismo. E l’introduzione della patata nell'allevamento dei suini gli darà quasi ragione.