Giovanni Plana, parabola di un matematico

Alla Scuola Centrale di Grenoble, negli anni finali del ‘700, Henri Beyle, il futuro Stendhal, alla giovanile passione matematica del quale ho dedicato il precedente articolo, incontra un giovane italiano di idee democratiche come le sue, con il quale stringe amicizia e scambierà una regolare corrispondenza negli anni successivi. Si tratta di Giovanni Plana (1781-1864), nato a Voghera da una famiglia di agiati proprietari terrieri, che, a quattordici anni, aveva piantato un Albero della Libertà nel cortile della scuola Sant’Agata della cittadina natale, inducendo i genitori a mandarlo a studiare dagli zii, che da tempo risiedevano a Grenoble, in una sorta di precoce esilio politico.

Plana è un giovane di talento e dimostra la sua abilità eccellendo nei corsi che frequenta, soprattutto in matematica (nelle Scuole Centrali istituite dalla Convenzione per “formare la nuova generazione alle virtù repubblicane” si potevano scegliere i corsi da frequentare e non esisteva un piano di studi vincolante), L’adolescente italiano resta a Grenoble per tre anni, studiando dal secondo anno aritmetica, geometria piana, algebra e trigonometria e, in quello successivo, geometria dello spazio, elementi di calcolo differenziale e integrale, con particolare riguardo alle applicazioni. Nel 1796 vince il primo premio di Disegno, nel 1797 i tre primi premi di Lettere, Matematica, Disegno, nel 1798 il primo premio di Matematica. Stendhal, in una lettera alla sorella Pauline, scrive: «Plana, se niente lo distoglie, sarà un grande entro dieci anni; sono felice di essere un suo amico intimo».

Al termine dei corsi, Plana partecipa al concorso d’ammissione all’École Polytechnique di Parigi, che si svolge a Lione nell’autunno 1800, risultando nono su 74 candidati. La selezione è basata solamente sulla preparazione matematica e valuta le qualità civiche e patriottiche del candidato. Per questo motivo chiede l’attestazione di buona condotta e di fedeltà repubblicana, che gli viene rilasciata con queste parole:

«Il prefetto del dipartimento dell’Isére, viste le attestazioni chi gli sono state fornite dalle autorità costituite di Grenoble, certifica che: il citato Jean-Antoine-Amédée Plana, allievo della École Centrale di questo dipartimento, nato a Voghera in Piemonte, risiede a Grenoble dal 1790 (sic) presso suo zio, che vi risiede da 29 anni e che vi si è stabilito da 22; che si è iscritto al registro della guardia nazionale; che ha compiuto tutti i doveri di cittadino francese compatibili con la sua età, e che ha costantemente dato prova della sua fedeltà al governo repubblicano».

La Scuola Politecnica è basata su tre anni di corso. Il programma è così costituito:

• Primo anno: analisi e sue applicazioni alla geometria a tre dimensioni, geometria descrittiva, stereotomia, elementi di chimica, fisica generale e disegno;
• Secondo anno: applicazioni dell’analisi alla meccanica e all’idrodinamica, applicazioni della geometria descrittiva ai servizi pubblici, in particolare all’architettura, fisica generale, chimica e disegno;
• Terzo anno: applicazioni dell’analisi alle macchine, fortificazioni, fisica, chimica e disegno.

Il metodo didattico adottato è quello dell’alternanza di lezioni teoriche con quelle pratiche, con l’uso di laboratori scientifici; sono previste ripetizioni e spiegazioni delle lezioni effettuate da allievi del terzo anno, scelti fra i migliori. I docenti sono i più grandi matematici e scienziati dell’epoca, tra i quali Monge, Lagrange, Laplace, Poisson e Fourier.

All’École Polytechnique Plana è fortemente influenzato da Lagrange, insegnante di analisi, anch’egli di nascita italiana, con il quale entrerà in confidenza. Apprende poi la meccanica celeste da Lagrange e Laplace. Il suo interesse per la matematica e l’astronomia e la competenza dimostrata colpiscono favorevolmente i suoi insegnanti. Conclusi gli studi, nel 1803, Fourier gli scrive l’11 marzo:

«Il cittadino Dupuy, professore di matematica alla Scuola Centrale, mi ha informato, cittadino, del desiderio di vedervi al posto di Professore della Scuola di Artiglieria di Grenoble. Io condivido a questo riguardo le opinioni di questo stimato professore».

È interessante notare che il posto gli venga offerto da un suo vecchio professore di Grenoble, segno indubbio di stima, ma Sebastien Henri Dupuy de Bordes è quello stesso insegnante che Stendhal definirà come «il nostro enfatico professore […] quest’uomo così vuoto […] questo grande Dupuy ci spiegava le proposizioni come una serie di ricette per fare l’aceto». Sia come sia, Plana rifiuta la proposta di Fourier.

Fourier non demorde, e preme affinché Plana ottenga la cattedra alla Scuola di Artiglieria di Torino e Alessandria. Il 19 marzo 1803 Plana è nominato professore di matematica e può tornare in Italia o, meglio, in Piemonte che, nel 1805, diventerà una provincia francese fino al crollo di Napoleone. Intanto l’applicazione della matematica all'astronomia lo appassiona sempre più. Così scrive a Stendhal nel 1804:

«Per parlarti ora della vita che conduco a Torino, ti dirò che è assai monotona; non frequento la società perché per carattere preferisco la solitudine alla compagnia di quelle persone con le quali ci si può intrattenere solamente sulla pioggia o il bel tempo, e d’altra parte so che ho molto da fare per perfezionarmi in una scienza di cui sono sempre più innamorato mano mano che procedo... Vedi dunque, mio adorato amico [in italiano nel testo, NdR], che la mia vita trascorre a leggere poco e a meditare molto».

Nel novembre 1805 Plana è convinto di ottenere la cattedra preferita, ma la direzione dell’Osservatorio astronomico è assegnata ad Anton Maria Vassalli Eandi, docente di fisica all’Università di Torino, e la cattedra di astronomia va a un certo Blanquet-Duchayla, privo di meriti scientifici. Nel 1806 Stendhal testimonia che: «Plana ha appena visto dare a un altro il posto che sperava. Sembrerebbe che si consoli di ciò quasi interamente con il lavoro».

A Torino in effetti Plana incomincia la sua attività scientifica vera e propria, che sarà prolifica al punto che in tutta la vita produrrà più di 800 tra articoli, saggi e monografie. Tra il 1809 e il 1810 scrive una Mémoire sur l’intégration des équations lineaires aux différences partielles du second [sic] et du troisième ordre, in cui perfeziona il metodo di Laplace per studiare un’equazione lineare alle derivate parziali in tre variabili del secondo ordine in modo diverso, più semplice e diretto, e con risultati equivalenti a quelli ottenuti da Legendre; poi Equation de la courbe formée par une lame élastique, quelle que soient les forces qui agissent sur cette lame e, in cui generalizza un problema di statica già trattato da Eulero, Legendre e Lagrange, e Sulla teoria dell’attrazione degli sferoidi ellittici, un problema di interesse astronomico che riprende la teoria di Laplace. Questo argomento otterrà l’attenzione di Gauss e Jacobi.

Tutte le tre opere sono pubblicate nel 1811, anno in cui Lagrange lo raccomanda per la cattedra di Astronomia a Torino e Plana finalmente ottiene il posto ambito, che forse avrebbe meritato già in precedenza. Egli resterà nel capoluogo piemontese per il resto della propria vita, insegnando astronomia all’università e matematica alla scuola di artiglieria. Nello stesso anno diventa socio dell’Accademia delle Scienze di Torino.

I suoi interessi sono molteplici, e comprendono Analisi matematica (integrali di Eulero, funzioni ellittiche), fisica matematica (riscaldamento di una sfera, Induzione elettrostatica), geodesia (estensione di un arco di latitudine dall’Austria alla Francia), oltre naturalmente alla meccanica celeste (soprattutto la teoria dei movimenti lunari).

Tra il 1810 e l’anno successivo frequenta l'Osservatorio di Brera a Milano, diretto da Barnaba Oriani, che lo invita a collaborare con Francesco Carlini per effettuare misure geodetiche ed elaborare una teoria del moto della luna basandosi sulle equazioni dei moti celesti elaborate da Laplace. Nel marzo 1813, l’anno in cui muore Lagrange, è finalmente nominato direttore dell’Osservatorio di Torino.

Ma le grandi tempeste della storia si abbattono di nuovo sull’Europa, sul Piemonte e sulla vita di Giovanni Plana: sconfitto sul suolo francese, Napoleone Bonaparte il 6 aprile 1814 abdica da imperatore e si consegna alle forze nemiche, che lo mandano in esilio sull’isola d’Elba. Il 20 maggio Vittorio Emanuele I ritorna a Torino: è la Restaurazione, sancita quasi subito dal Congresso di Vienna e poco scossa dall’effimero tentativo di rivalsa napoleonica durato cento giorni e conclusosi a Waterloo il 18 giugno 1815. 

La cattedra di Astronomia, ricoperta da Plana, viene soppressa perché istituita dai francesi. Inoltre la mentalità bigotta dei nuovi padroni d’Europa è malfidente verso le scienze. Plana viene allontanato dall’Accademia e dall’Università, ma per fortuna è immediatamente rinominato: nel dicembre del 1814 ottiene la cattedra di Analisi infinitesimale presso l'Università di Torino e nel 1816, è nominato professore di Meccanica razionale nella ripristinata Accademia Militare, dove ha tra gli allievi anche Camillo Benso di Cavour, al quale predice una luminosa carriera qualora voglia proseguire gli studi matematici. Nel 1817 è nominato astronomo reale e sposa Alessandra Maria Lagrange, figlia del fratello minore del matematico suo insegnante e mentore dai tempi di Parigi. Dal matrimonio nascono due figli, Sofia (1818) e Luigi (1825). 

Passato anche questo accidente, incomincia il periodo più fecondo dal punto di vista scientifico. Carlini e Plana procedono nella loro opera, intesa a continuare la teoria lunare di Laplace, consci dell’Importanza di giungere ad una soluzione completa e soddisfacente per il moto lunare, sia per ragioni puramente teoriche, sia per questioni pratiche legate al calcolo delle eclissi, alla navigazione e alla predizione dei flussi e riflussi delle maree. 

Nel 1818, Laplace decide di stimolare gli studi sul moto della Luna. Così propone all’Accademia delle Scienze di Parigi di istituire un premio da assegnare nel 1820 a chiunque fosse riuscito a costruire tavole lunari basate solamente sulla legge di gravitazione universale. 

Lavorando sulla teoria della Luna e rivedendo l’opera di Laplace, Plana si toglie la soddisfazione nelle sue lettere a Carlini di criticare alcune espressioni analitiche e certi punti procedurali di Laplace. Purtroppo ci sono giunte solo poche risposte di Carlini, pertanto non sappiamo come egli reagì alle opinioni severe espresse da Plana. Ad ogni modo è chiaro che i due avevano caratteri diversi: più impetuoso e permaloso Plana, più pensieroso e posato Carlini. 

Entrambi decidono, con qualche dubbio, di competere per il premio dell’Accademia francese, anche se temono che Laplace possa in qualche modo favorire Damoiseau, impegnato nello stesso tipo di impresa, o qualche altro studioso francese. 

Non c'è molto tempo per redigere l’articolo e inviarlo a Parigi, poiché il testo deve pervenire all’Accademia entro il primo gennaio 1820. Plana teme di non riuscire a essere pronto e, nell’agosto del 1819, scrive allarmato a Carlini: «Ho letto sul giornale di fisica che un articolo per il premio è già stato presentato». Alla fine, dopo qualche ritardo, l’articolo, che più tardi Carlini avrebbe definito un semplice sommario dei loro risultati, è inviato da Torino il 18 dicembre e arriva appena in tempo presso la segreteria del premio. Plana e Carlini presentano una soluzione basata sul metodo di Laplace, ma con sviluppi in serie di ordine superiore per tener conto della forma della Terra e della presenza del Sole, Giove e degli altri pianeti.

Nei primi mesi del 1820 i due continuano a lavorare e a modificare dove necessario la loro teoria della Luna: in particolare preparano il supplemento alla memoria con la quale sono in gara, che inviano successivamente. Il 17 marzo Plana riceve una lettera da Poisson datata ad otto giorni prima, nella quale il francese lo informa che il giorno precedente l’Accademia ha deciso di assegnare a lui e Carlini il premio per la teoria della Luna. Poisson dice anche che un premio dello stesso importo è stato assegnato a Damoiseau per il suo articolo e, nel post-scriptum, lo avvisa che Laplace ha qualche commento da fare sul loro lavoro. 

Plana spera che l’assegnazione del premio sia seguita da un commento che sottolinei la qualità innovativa del lavoro svolto e riconosca il suo potenziale di perfezionare la teoria esistente. Tuttavia si sbaglia, e una lettera di Laplace del 31 marzo dimostra che le sue speranze sono vane. Laplace, dopo le congratulazioni di rito, sostiene di voler fare alcune osservazioni che sente doverose sul lavoro dei due italiani.

Ci sono, dice, alcune differenze sostanziali tra i loro risultati e quelli di Damoiseau riguardo le ineguaglianze secolari dei pianeti maggiori, specialmente quelle del perigeo. Mentre Damoiseau, che ha seguito il metodo impiegato nella Meccanica Celeste, limitandosi a espandere ulteriormente le approssimazioni, ha conseguito risultati che gli sembrano “degni di fede”, egli non si sente di dir nulla sul metodo seguito da Carlini e Plana, che ha condotto «a serie piuttosto complicate e convergenti lentamente». Egli riconosce tuttavia che il loro lavoro è stato accurato. Per quanto riguarda il supplemento presentato successivamente, ritiene che l’analisi contenuta sulle ineguaglianze di lungo termine dovute alla forma della Terra sia incompleta. Qualche giorno più tardi la segreteria parigina comunica ufficialmente la vittoria del premio. 

Nei giorni successivi, Carlini e Piana possono leggere l’articolo che Laplace ha consegnato al Bureau des Longitudes il 29 marzo, un giudizio assai indelicato nei loro confronti. Il tono dell’articolo è davvero sgradevole: 

«Pertanto invito i geometri e gli astronomi che lavorano su questa teoria a seguire il metodo che ho esposto [nella Meccanica Celeste] e a confrontare i loro calcoli con quelli del testo [di Damoiseau] quando sarà pubblicato». 

Non sorprende che l’orgoglioso Plana sia molto irritato dalle critiche di Laplace. Ci sono molti motivi per la sua rabbia. Egli accusa Laplace di mancanza di delicatezza nel criticare pubblicamente un lavoro che non è ancora stato pubblicato: si tratta di un’ostilità preconcetta per le idee diverse dalle sue, oltre che di un pregiudizio in favore dei suoi seguaci e connazionali. 

Le accuse di Plana non sono ingiustificate, e trovano Carlini completamente d’accordo. Tuttavia questi cerca di moderare il risentimento del suo collega. La cosa che dà più fastidio è la riluttanza dell’Accademia parigina a pubblicare le opere che hanno vinto il premio (solo nel 1827 l’istituzione pubblicherà quella di Damoiseau, mentre quella di Plana e Carlini non sarà mai data alle stampe).

Dopo aver invano atteso che Laplace risponda pubblicamente alle loro obiezioni, i due si decidono a inviare una nota, ferma ma cortese, alla rivista specialistica internazionale Correspondance astronomique del barone von Zach, che viene pubblicata nel luglio 1820, con una prefazione di sostegno dello stesso editore, assai influente presso gli astronomi tedeschi. Nella nota, i due forniscono dettagliate risposte alle osservazioni di Laplace, del quale hanno assunto le stesse condizioni preliminari (la Luna compie un moto ellittico intorno alla Terra perturbato dalla massa del Sole, le leggi di gravitazione di Newton sono perfettamente valide, la velocità orbitale della Luna non è rallentata dall’attrito con l’etere, l’effetto delle masse interagenti si può considerare istantaneo). 

La differenza sostanziale consiste nel fatto che essi adottano un metodo diverso di integrazione, che essi praticano per successive approssimazioni, mentre il francese aveva adottato coefficienti indeterminati che lo costringevano a sostituire di volta in volta i coefficienti numerici ottenuti dall’osservazione. Plana mostra che quei coefficienti possono essere espressi in serie letterali di potenze di alcune costanti, in particolare l’eccentricità delle orbite solare (apparente) e lunare, la tangente dell’inclinazione dell’orbita lunare sul piano dell’eclittica, il rapporto tra il movimento medio della Terra e della Luna e il rapporto tra la distanze Terra–Luna e Terra–Sole. Così Plana e Carlini possono determinare più elegantemente i coefficienti attraverso una serie di funzioni esplicite del moto lunare e solare, senza usare valori numerici. 

Nel frattempo la storia torna a bussare alla porta del nostro protagonista. Nel luglio del 1820 Stendhal riceve da Plana una lettera in cui gli si dice che i liberali milanesi sospettano che sia una spia degli austriaci. Per Stendhal è un colpo inatteso, che lo induce a lasciare Milano: «senza i torbidi e la carboneria non sarei mai rientrato in Francia», scriverà anni dopo. La lettera segna la fine dell’amicizia, ormai minata da sospetti e accuse. A partire da quell’episodio, il nome di Plana scompare dalla corrispondenza dello scrittore. Durante la reazione seguita ai moti rivoluzionari del 1821, Plana viene accusato dalla “Commissione Superiore di Scruttinio” con un altro docente “di principii totalmente avversi al legittimo Regio Governo”, ma riesce ad evitare sanzioni per le seguenti motivazioni: 

«Li professori controscritti non potendo avere che pochissima influenza sulla gioventù, tanto per la natura dei trattati che dettano, quanto per il piccolo numero di persone intervenienti alla loro scuola; e trattandosi altronde di persone di non ordinario ingegno, la Giunta è in senso che siano mantenuti, ma che si faccia loro sentire che il Governo non ignora la loro maniera di pensare che altamente disapprova come contraria alla qualità ed ai doveri di buon suddito e che spera che la loro regolare condotta all'avvenire lo dispenserà dal prendere la menoma dispiacevole misura a loro riguardo».

L’episodio, frutto più dell’attività di sbirri zelanti che da un effettivo coinvolgimento del Plana, è presto dimenticato. Forse si tiene anche conto dei suoi ottimi rapporti personali con Vittorio Emanuele I, appassionato di astronomia. Nel 1821 Plana pubblica Sur une novelle expression analityque des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en terms finis la formule générale pour la sommation des suites, in cui esprime i numeri di Bernoulli di indice pari mediante integrali definiti e elabora una formula per la differenza tra una somma discreta e l’integrale corrispondente, ora nota come formula di Abel-Plana (ma Abel la formulerà tre anni dopo). Inoltre, nel 1822, egli, con l’approvazione reale, trasferisce i pochi strumenti dell’osservatorio dal Palazzo dell'Accademia delle scienze di Torino in una delle quattro torri di Palazzo Madama, aggiungendone altri più evoluti e dando inizio a un'attività osservativa sistematica. Si tratta della vera rinascita dell’Osservatorio torinese, che rimarrà in quella sede centrale fino al 1912.

Nel 1821 intraprende con il Carlini degli studi di geodesia che, entro il 1825, gli consentiranno di realizzare la triangolazione della Savoia e del Piemonte e di determinare il “parallelo medio” che attraversa Francia e Italia. I risultati sono sintetizzati in due grossi volumi, le Operations geodesiques et astronomiques, 1825-1827. In riconoscimento del lavoro svolto, nel 1828 a Plana e Carlini è conferito il premio Lalande della Académie des Sciences. Plana ottiene anche la Croce di Ferro dal governo austriaco. 

Alla fine del 1823 Plana e Carlini sono rassicurati dai rispettivi governi (Piemonte e Lombardo-Veneto) che avranno i fondi per pubblicare la loro memoria sul moto lunare: una somma ingente, dato che si tratta di tre volumi. Tuttavia cominciano a manifestarsi differenze di opinioni tra i due sul vero scopo del loro lavoro. Carlini è dell’idea di rivedere l’opera così come era stato concepita, correggendo gli eventuali errori di calcolo, e di fornire una serie di tavole lunari corrette ad uso degli astronomi. L’idea di Plana è molto più ambiziosa: rivedere il lavoro in modo da costruire una nuova teoria della Luna che possa risolvere in ogni dettaglio analitico le incongruenze logiche e le approssimazioni che erano talvolta emerse nell’opera di Laplace. Proseguendo il lavoro, egli lo vuol trasformare in un trattato di matematica applicata al problema generale dei tre corpi. Alla fine i due si rendono conto della inevitabile fine della loro collaborazione. Carlini compilerà le sue tavole lunari, mai pubblicate ma utilizzate a Brera fino al 1862, mentre Plana proseguirà da solo, fino a pubblicare nel 1832 a Torino i tre massicci volumi della Théorie du mouvement de la lune, opera premiata dalla Società astronomica di Londra per il suo approccio innovativo.

L’attività matematica e astronomica di Plana comincia a essere riconosciuta: nel 1827 diventa Astronomo Reale e socio della Royal Society, nel 1831 viene nominato cavaliere di Casa Savoia. 

Nello stesso anno, per uno strano scherzo della storia, la strada del liberale Plana, colui che poco più che bambino aveva piantato l’Albero della Libertà rivoluzionario, si incrocia con quella del più reazionario dei matematici francesi, e forse europei: Augustin-Louis Cauchy, uno dei padri dell’analisi matematica, esule a Torino, colui che un incredulo Niels Abel aveva definito un "cattolico fanatico” , aggiungendo che "era pazzo e non c'era nulla da fare per lui", ma allo stesso tempo aveva riconosciuto come "il solo che sappia come si fa la matematica". 

Nei tre giorni finali del luglio 1830, i moti di rivolta contro il potere assoluto dell’ultimo re borbonico Carlo X, costretto all’esilio, portano sul trono francese Filippo d’Orleans. A questa rivolta parteciperebbe, se non fosse rinchiuso nelle mura della Ècole Normale, anche uno dei più grandi geni matematici dell’epoca, Èvariste Galois, repubblicano convinto, che morirà non ancora ventunenne in un duello alla fine di maggio del 1832. Il bigotto Cauchy, invece, vede il suo mondo crollare, e decide di lasciare le sue cariche d’insegnamento e di seguire il suo re nell’esilio. 

Dopo un breve soggiorno in Svizzera, dove pensa inizialmente di fondare a Friburgo un’accademia scientifica e religiosa, Cauchy accetta l’invito (suggerito dai Gesuiti) del re piemontese Carlo Alberto di venire a insegnare a Torino, dove lo attende la cattedra di Fisica Sublime (teorica) istituita apposta per lui. 

Cauchy si è, per così dire, fatto precedere dalla pubblicazione di un lungo articolo in tre parti in italiano, intitolato Sui metodi analitici, pubblicati nell’inverno 1830-31 dalla Biblioteca italiana di Milano. In questi tre articoli presenta un’introduzione ai metodi dei suoi corsi all’École Polytechnique di Parigi. Il motivo principale di queste pubblicazioni è una recensione, comparsa sulla stessa rivista milanese, del matematico Giuseppe Cossa, che aveva preso in esame i suoi Exercises de Mathématiques e aveva criticato l’eccesso di numeri a scapito delle parole e la “soverchia concisione” delle spiegazioni. Nella sua risposta, il francese vuole dimostrare che cosa significhi il suo “bisogno di rigore” e spiega anche che il suo testo aveva un carattere di supporto alle sue lezioni. Critica poi apertamente l’indeterminatezza dei metodi lagrangiani di calcolo e spiega come il suo rigore si rifletta su concetti fondamentali come quelli di derivata, integrale, integrazione delle equazioni differenziali. Ma il tono è risentito e pedante e genera una reazione ostile tra molti matematici italiani, ancora legati al vecchio approccio lagrangiano al Calculus. Solo il nobile e benestante Gabrio Piola, matematico per diletto, di sentimenti politici e religiosi affini al francese, prende subito posizione a favore di Cauchy, diventandone poi il profeta in Italia (e i reazionari in politica saranno in questo caso i più innovativi in campo matematico).

Cauchy arriva a Torino nella tarda estate del 1831, e il suo interlocutore privilegiato non può essere che Plana, anch’egli dotato, come si è visto, di un carattere per nulla incline ai compromessi. Nelle loro conversazioni, Cauchy gli rimprovera l’utilizzo di metodi di calcolo astronomici che portano a calcoli pedestri e complessi, che egli si propone di semplificare. 

Per questo motivo Cauchy scrive una Mémoire sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, che consegna all’Accademia delle Scienze ancor prima di iniziare a insegnare. Nel testo, datato 15 ottobre, poi pubblicato litografato, dichiara che i suoi metodi sono necessari per contribuire a ridurre le fatiche degli astronomi «quando sapranno che sono giunto a stabilire, sullo sviluppo delle funzioni, (…) principi generali e di facile applicazione, mediante i quali si può non solo dimostrare con rigore le formule e indicare le condizioni della loro esistenza, ma fissare inoltre i limiti degli errori che si commettono trascurando i resti che devono completare le serie». Egli inoltre presenta la prima versione della sua celebre “formula integrale”: una funzione complessa può essere rappresentata in qualche dominio da una serie convergente di potenze. Il teorema mette in relazione il valore di una funzione olomorfa in un punto con un integrale di linea lungo una curva semplice chiusa.

Plana si sente attaccato in prima persona, ma rimane legato all’analisi della sua giovinezza. Non ama i nuovi metodi. Sulle idee di Cauchy commenta “Io guardo ai numeri”, e vede nella “nuova analisi ipertrascendente” solo una confusione di formule sempre più astratte e inapplicabili man mano che passano gli anni. 

Nella capitale piemontese intanto Cauchy pubblica i Résumés analytiques, continuazione degli Exercises forzatamente interrotti per l’esilio, in cui raccoglie le sue lezioni. Egli partecipa anche alla vita politica, dato che il suo nome compare in alcune note sui gruppi di fuoriusciti francesi ultrareazionari che si leggono nei diari del giovane Camillo di Cavour. Nel 1833 tuttavia lascia Torino, chiamato a Praga da Carlo X che lo vuole come precettore scientifico del figlio. 

Nonostante l’ingombrante presenza di Cauchy, Giovanni Plana trova il modo di farsi ancora apprezzare. Tra il 1831 e il 1835 costruisce presso la sagrestia della cappella dei Mercanti di Torino il Calendario Meccanico Universale, tuttora esistente, che permette, scegliendo un giorno, un mese e un anno qualunque (dall'anno 1 all'anno 4000) di identificare il giorno della settimana corrispondente, le festività fisse e mobili (tra cui la data della Pasqua), i cicli lunari e le maree relativi a quell'anno. Lo strumento, assai raffinato, è composto da memorie a tamburo, a disco e nastro, con mezzi di accesso e di lettura azionati da ruote dentate, catene e viti, un vero e antesignano meccanico del computer. Per realizzare quest’opera, Plana deve superare diverse difficoltà astronomico-matematiche e tecnico-pratiche. Tra le numerose variabili che deve considerare ci sono il passaggio dal calendario giuliano a quello gregoriano, gli anni bisestili, il calcolo della durata esatta del giorno, del mese lunare, dell’anno solare. Di sicuro Plana farà vedere il suo meccanismo a Charles Babbage, quando questi verrà a Torino nel 1841 in occasione della sua nomina a socio dell’Accademia delle Scienze piemontese.

Dagli anni ’30 Plana diventa socio di numerose accademie internazionali e riceve onorificenze in vari paesi. Si dedica soprattutto all’insegnamento, dove ha il merito di tenere corsi universitari modellati su quelli dell'École polytechnique, contribuendo così ad aggiornare l’insegnamento scientifico in Piemonte. Di lui scriverà il collega Luigi Menabrea: 

«[Plana] fu certamente uno dei professori più abili e affascinanti che abbiano resa illustre un’Università. Con una lucidità straordinaria, faceva assistere l’allievo alla nascita delle teorie e ne sviluppava le conseguenze; sapeva interessarlo con delle ingegnose applicazioni che ne dimostravano l’utilità». 

Probabilmente Menabrea esagera, perché certi aspetti del carattere di Plana lo rendono talvolta scostante. Celebre è rimasta la frase che rivolge al giovane Schiaparelli: «Di astronomi ve n'è uno in Piemonte e basta!». Forse per questo non ha eredi scientifici. 

Il periodo creativo si esaurisce, sia per motivi personali (la morte per malattia del figlio Luigi a soli 7 anni nel 1832, lo sfortunato matrimonio della figlia con un avventuriero nel 1840), sia perché la matematica è cambiata ed egli è rimasto ancorato a un’epoca che è finita. 

Nel 1842 diventa vicepresidente dell’Accademia, nove anni dopo ne è il presidente. Nominato barone nel 1844, diventa senatore nel 1848, carica che conserverà anche con lo stato unitario. Muore a Torino il 20 gennaio 1864. Di lui scriverà il matematico e storico della matematica Francesco Giacomo Tricomi: 

«A mio avviso, il merito di Plana non sta tanto in questo o quel risultato da lui raggiunto, bensì nell’aver egli potentemente contribuito ad elevare il livello, dianzi assai depresso, degli studi matematici in Piemonte, portandovi il soffio vivificatore delle idee spiranti a Parigi nella sua giovinezza, ove operavano un Lagrange, un Fourier, un Monge ed altri sommi».