La matematica della sbucciatura delle arance

La matematica è ovunque, siamo d’accordo. E le arance in Olanda sono amate in modo particolare per via della casata reale degli Orange, che ha lasciato nome e colore alle maglie delle squadre nazionali. Forse per questo motivo a due matematici di università olandesi, Laurent Bartholdi (Gottinga) e André G. Henriques (Utrecht) è venuto in mente di dimostrare un teorema che mette in relazione la sbucciatura di un’arancia con la spirale di Eulero (o di Cornu, o curva clotoide).

Figura 1 -Un’arancia considerata come una sfera di raggio
unitario, con la spirale di larghezza 1/N.

La difficoltà tecnica di sbucciare con un coltello senza errori un’arancia lungo una spirale di larghezza costante è quasi pari all’elaborazione matematica successiva. I due matematici, compiuta l’impresa, si sono chiesti quale formula potesse descrivere la forma della buccia così tagliata e disposta appiattita sul piano di un tavolo.

Vediamo come hanno fatto. Essi hanno parametrizzato la curva spirale per mezzo di una traiettoria a velocità costante, esprimendo la spirale appiattita come funzione del tempo. Ciò si può fare paragonando la rivoluzione della spirale sull’arancia con la spirale corrispondente su un cono tangente la sua superficie (fig.3, sinistra). Una volta nota la curvatura, è possibile derivare un’equazione differenziale della spirale, che si risolve analiticamente.

Figura 2 - La buccia d’arancia appiattita sul piano

Allo scopo di risolvere matematicamente il problema, Bartholdi e Henriques hanno esaminato una sfera di raggio unitario. La spirale sulla sfera è stata considerata di larghezza 1/N (fig.1) La superficie della sfera è 4π, così la lunghezza della spirale è approssimativamente 4πN. I due hanno descritto la buccia d’arancia appiattita a spirale (fig.2) con una curva (x(t); y(t)) nel piano, parametrizzata a unità di velocità dal tempo t = −2πN a quello t = 2πN.

Sulla sfera di raggio unitario, l’area tra due piani orizzontali alle altezze h₁ e h₂ è 2π (h₁ −h₂). Ne consegue che, al tempo t, il punto sulla sfera ha altezza s := t/2πN (fig.5).

Il primo obiettivo è ora trovare un’equazione differenziale per (x(t); y(t)). A questo scopo, si calcola il raggio di curvatura R(t) della spirale appiattita al tempo t: questo è il raggio di cerchio con il miglior contatto alla curva al tempo t. Per esempio, R(−2πN) = R(2πN) = 0 ai poli e R(0) = ∞ all’equatore.

Per N grandi, la spirale al tempo t segue approssimativamente un parallelo all’altezza s sull’arancia. La superficie sulla sfera può essere approssimata a un cono tangente il cui sviluppo sul piano è un settore di disco. Il raggio:

del disco è uguale al raggio di curvatura della spirale al tempo t, e può essere calcolato con il teorema di Talete (fig.3, destra). Il raggio R(t) è determinato in effetti senza segno: la scelta dei due ricercatori riflette l’orientazione NE-SO della spirale sulla sfera. Con qualche considerazione analitica e alcuni calcoli che risparmio al lettore (che, se vorrà, potrà fare riferimento all'articolo originale), Bartholdi e Henriques giungono a calcolare per la spirale appiattita la parametrizzazione:

Figura 3. sinistra: Spirale sulla sfera trasferita al cono tangente e  sviluppata sul piano per calcolare il suo raggio di curvatura;  destra: Il calcolo del raggio di curvatura R della spirale appiattita.

Figura 3. sinistra: Spirale sulla sfera trasferita al cono tangente e 

sviluppata sul piano per calcolare il suo raggio di curvatura; 

destra: Il calcolo del raggio di curvatura R della spirale appiattita.

Considerando poi che cosa succede quando si varia la larghezza della striscia, si vede che ne sono influenzate due proprietà, la dimensione totale e la forma. Con larghezze sempre più piccole, si ottengono spirali sempre più lunghe. Variando la scala di queste spirali in modo che abbiano tutte la stessa dimensione, la loro forma tende a un limite ben definito. Infatti, per N tendente all’infinito, vale a dire se si pela l’arancia con spirali sempre più sottili, si ottiene la curva:

Che è la soluzione (approssimata con lo sviluppo in serie) del classico integrale di Fresnel, definito dalle condizioni che il raggio di curvatura al tempo t sia 1/2t, con la parametrizzazione per t da −∞ to +∞. La curva corrispondente è la spirale di Eulero, o spirale di Cornu (fig.4), che si avvolge all’infinito spesso intorno ai punti  .

Figura 4 - Spirale di Eulero   

Siccome neanche in Olanda esiste un coltello tanto preciso, e un operatore tanto paziente, da poter ottenere una larghezza della spirale prossima allo zero, il che vuol dire con lunghezza prossima all’infinito, i due matematici si sono adattati a stabilire un teorema per descrivere la spirale di buccia d’arancia posata sul tavolo di fronte ai loro occhi. Ponendo  , la condizione |t| << N^0.7 diventa |T| << N^0.2, così la parte di buccia di larghezza 1/N parametrizzata tra  e è una buona approssimazione della parte della spirale di Eulero parametrizzata tra –T e T.

Figura 5 - Area di una sottile striscia circolare sulla sfera.

La conclusione cui sono giunti Bartholdi e Henriques non è certo di quelle cambiano il mondo, ma ogni tanto c’è bisogno di scoprire la matematica che c’è dietro le piccole cose. Ritengo tuttavia che risultati migliori si sarebbero potuti ottenere utilizzando arance rosse siciliane e non quella della figura 1, che, a occhio e croce, sembra spagnola. La qualità delle soluzioni di un problema dipende dalla qualità delle premesse.

Laurent Bartholdi, & André G. Henriques (2012). Orange Peels and Fresnel Integrals ArXiv arXiv: 1202.3033v1